>>148の続き
すべての自然数nについて
1+3+5+7+......(2n-1)=n^2
が成り立つ事を
数学的帰納法で証明してみよう。

(1)n=1のとき、代入してみれば確かに成立している。

(2)n=kのとき成立すると仮定すると、1+3+5+7+......(2k-1)=k^2が成り立つ。
この式の両辺に2k+1を足せば、1+3+5+7+......(2k+1)=k^2+(2k+1)。
これは、1+3+5+7+......(2(k+1)-1)=(k+1)^2とも書ける。
n=k+1のときにも問題の式が成り立つことが示された。

(1)(2)より、数学的帰納法によって、
すべての自然数nについて
1+3+5+7+......(2n-1)=n^2
は成り立つ。