>>86
おっちゃんです。>>53では説明不足の部分があったから、補足する。
(1)と(3)は大体の方針では問題ないな。問題は>>53の(2)だな。
はじめに、次のような概念の定義をしよう。実数直線Rの部分集合Bで、Bが有理整数環Z上一次独立な、
即ち、任意の有限個のx_1,…,x_n∈Bと同n個のa_1,…,a_n∈Zに対し、
　　a_1・x_1＋…＋a_n・x_n＝0 ならば、a_1＝…＝a_n＝0。
となるモノは存在する。このとき、Bを「離散基底」と呼ぶことにする。
線型代数の話と同様に、x_1,…,x_nをZ上「線型独立」ということにする。
そして、0でない自然数nを同様に「(線型空間)Rの階数」ということにする。
Bの存在性は、ハメル基底Hの存在性と、有理数体QとZとの包含関係Z⊂Qから直ちに従う。
そして、実数体Rにおける有理数体Q上の超越基底をAとすれば、包含関係はA⊂B⊂H⊂Rになる。
B⊂H⊂Rは、ハメル基底の定義から、すぐ分かる。そして、Rの階数n∈N＼{0}を任意に取る。
x_1,…,x_n∈AがQ上代数的独立となるように、(x_1,…,x_n)∈A^nを任意に取る。
すると、x_1,…,x_n∈A。超越基底の定義から、x_1,…,x_nはZ上線型独立だから、
Z⊂Qに注意すれば、x_1,…,x_n∈B で、(x_1,…,x_n)∈B^n。A^nの点(x_1,…,x_n)は
x_1,…,x_n∈AがQ上代数的独立という条件の下で任意だから、(x_1,……,x_n)を同条件を満たすように、
A^n上で走らせると、Q上代数的独立なx_1,…,x_n∈Aは、Z上線型独立で、x_1,…,x_n∈Bになる。
Rの階数nは任意だから、A,B⊂Rと、A、Bの各定義から、A⊂B が従う。