>>91 つづき

ここらを、基礎論的かつ厳密に証明するのは、スレ主の能力を超えている
なので、問題を実数にして簡単化しよう

>>70より
問題「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」
↓
簡易化
問題「問題:実数体Rによる数直線上の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし実数体Rにはユークリッド位相が入っているものとする。」

で、>>83と同様の議論を行うものとする。重複する部分は省略する
（選択公理と超限帰納法を認める）
１．実数体R内の有理数体Qに対する超越基底Sが存在する（証明略）
２．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。
３．和集合S1∪S2の各要素を、数直線上に並べることができる。（選択公理より）
４．並べた要素で、任意の隣接する３点を考える。s1<s2<s3とする。
５．超越基底の性質から、s1<s2<s3の間に有理数r1,r2を取って、s1<r1<s2<r2<s3とすることができる
６．普通の距離を考えて、d ＜ min(s2-r1,r2-s2) (minは、最小値を取る関数)として、s2から、間の有理数r1,r2を含まない半径dの開球を設定できる
７．同じことを、全ての隣接する和集合S1∪S2の各要素について行い、各間にある有理数r1,r2を含まない半径dの開球を設定できる（記述が厳密でないがご容赦）
８．選択公理と超限帰納法を認めるならば、和集合S1∪S2が無限集合であっても、１〜７は成り立つ。
（注：これはハウスドルフというより、実数の定義と完備性から従う>>90）

よって、>>83の議論は、実数体Rによる数直線上の閉集合全体の集合の濃度に対して、同様に成り立つ
但し、３〜５に対する注釈を再度強調しておく（ここは結構いい加減だという自覚はあります（＾＾； ）

では、上記を、元の問題の複素数体にバージョンアップするにはどうするか？
いろいろ考えられるが、>>73に書いたように、「複素数体Cは、実数体Rに虚数iを添加した体だから、加法としては単純で、R+Riの形になる」としてうまく処理するのかね？
簡易化版を補題として、使えそうに思うが・・・
直感的には自明なんだが、数学の答案としてどうまとめるか。すぐ浮かばないので、スルーします（＾＾；