>>90 つづき

実数の集合の性質から抽出された、ハウスドルフという性質（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E7%A9%BA%E9%96%93
ハウスドルフ空間
定義
相異なる2点を分離するそれぞれの開近傍

Xを位相空間とする。X上の任意の相違なる2点 x, y に対して、U ∩ V = O であるような x の開近傍 U および y の開近傍 V が必ず存在するとき、Xはハウスドルフ空間であるといわれる。
（引用おわり）

これは、”任意の相違なる2点”なのだ
だから、もちろん「有限個の」点を開近傍で分離できる
しかし、例え無限個の点の集合であっても、それら無限個の点の集合が、分離的であれば、ハウスドルフの性質は使える
ここらは、基礎論的かつ厳密には、選択公理と超限帰納法を使うのだろうが

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95#.E8.B6.85.E9.99.90.E5.B8.B0.E7.B4.8D.E6.B3.95
超限帰納法

上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。
この一般化を超限帰納法 (ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)という。任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。
つづく