>>77 つづき
で
１．まず、>>3の564さんの証明にならって、複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。
２．あとは、>>73と類似
３．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。一般性を失わずに、集合S2に含まれないs1'∈S1が存在するとできる。（∵もしs1'∈S2にそのような要素があればS1,S2の番号付けを変えれば良いから）
４．有理数体Qに対し、部分集合S1,S2による拡大体を考える。これをF(S1),F(S2)とする。明らかにF(S1)≠F(S2)である。（∵超越基底の定義から、s1'はF(S2)に含まれないから）
５．F(S1),F(S2)からゼロを除いた乗法群を考えると、明らかにこの二つの群は異なる。（∵超越基底の定義から、s1'はF(S2)から成る群に含まれないから）
６．これによって、”C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ”が従う。（証明略。>>3参照）
７．同様に、F(S1),F(S2)から加法群を考えると、明らかにこの二つの群は異なる。（∵超越基底の定義から、s1'はF(S2)から成る加法群に含まれないから）
８．６と同様に、複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度は、実数体のべき集合の濃度に等しい。

この証明は、一見「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ 」に帰着させているように見えるかも知れない
が、本質は”超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2なら、F(S1)≠F(S2)”ってこと。これから、乗法群も加法群も異なることが導かれる
つまり、これ超越基底Sの本質（定義）そのもの

もっと言えば、超越基底Sを個別の要素として見るのではなく、超越基底Sを全体（集合）として見るってところが、ポイントだと思うんだ
まあ、おそらくこれが出題意図だろう（＾＾