>>71 つづき

では、私から >>3「問題:複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度を求めよ。」を
”もう一つは、「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ 」に帰着させるんだが、簡単な方法を見つけたので、それを書きます”>>

１．まず、実数体Rに対する有理数体Qからの超越基底Sによる体の拡大を考える
２．超越基底Sは、全て正に取ることができる。（∵もしs1∈Sで、s1＜0なら、-s1に基底を取り直すことで、正の超越基底Sに直すことができるから）
３．ここで、実数体Rで、0より大の実数（+Rと表す）の成す乗法群を考え、G(+R)と表す
４．有理数体Qの正の部分と超越基底Sとの組み合わせから成る群を考える。これをG(S,+Q)とする。明らかに、G(S,+Q)⊆G(+R)である
５．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。一般性を失わずに、集合S2に含まれないs1'∈S1が存在するとできる。（∵もしs1'∈S2にそのような要素があればS1,S2の番号付けを変えれば良いから）
５．４と同じように、超越基底Sの部分集合S1,S2による正の乗法群を考える。明らかにG(S1,+Q)≠G(S2,+Q)である。（∵超越基底の定義から、s1'はG(S2,+Q)に含まれないから）
６．よって、0より大の実数（+Rと表す）の成す乗法群G(+R)の部分群の集合の濃度は、超越基底Sの部分集合からなる集合の濃度に等しい
７．超越基底Sは、連続無限の濃度を有する（証明略。>>3参照）から、その部分集合からなる集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を持つ。
８．さて、0より大の実数（+Rと表す）の成す乗法群は、対数関数logによって、加法群に変換できる。
９．G(S1,+Q)≠G(S2,+Q)であれば、この二つの群を対数関数logによって、加法群に変換した群も異なる。（証明略。背理法によって証明できる。）
１０．従って、加法群から成る群の集合も実数体のべき集合の濃度を持つ。
１１．蛇足だが、複素数体Cは、実数体Rに虚数iを添加した体だから、加法としては単純で、R+Riの形になるから、複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度も同様である。