>>660-661 &>>663

>ある問題（証明問題、計算問題、（あるならば、その他の問題）に関わらず）に解法が存在する事は、実際にその問題を解くことによって示せますが
>もし解法が存在しない場合、"解法が存在しない"という事はどのように証明されるのでしょうか。

確かに、ガロア理論はそうだけど
解法＝べき根と四則による解
に限定したときに、「解けない」ということを、示すのがガロア理論

で、解法の範囲を、「べき根と四則による解」を超えて、どうなんだ？と
べき根を取る操作を一種の関数と見たときに、超越関数などを考えたら解けるんじゃないかと考えたのが、エルミートだったかな？
楕円関数だったっけ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
ガロアが楕円モジュラー関数を用いる超越的方法では一般的解法が存在することを予言し、その遺書に書き残している。ガロアの死後、エルミートは、楕円モジュラー関数による五次方程式の解の公式を導いた。

なお、アーベルもモジュラー方程式の研究を行っていたことから、彼にも解の公式のアイディアがあったであろうと考えられている。エルミートから現在まで、5 次より高次の方程式の解の公式は様々に提案されている。

工学的見地からは、これらの解の公式に拠る解法は計算量的な実用性があまりないため、3 次より高次の方程式は数値計算による解法が一般的である。中には、固有値問題へ帰着して行列の固有値計算のアルゴリズムが用いられることもある。