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体 K＝(Q(S))(k) (kは Q(S) 上代数的な元) について、m(K)＝+∞ とする。
仮に上下に有界な超越基底Sに含まれる、或る開区間 I＝(-x,x) (∃x＞0) を
完備とすると、I⊂S⊂(-ε,ε) (∃ε＞x) から、或る a＞0 (ε＞a＞x) が存在して、
Iは閉区間 [-a,a] の真部分集合。だから、或る b＞0 が存在して、[-b,b]⊂S から [0,b]⊂S。
体 Q(S) は通常の加減乗除について閉じているから、加減乗除を任意に可算無限回繰り返すと、
[0,b]⊂S から実数体Rが構成出来て、Q(S)＝R。従って、Q(S) は完備な順序体Rになる。
しかし、Q(S) はRの真部分集合でRとは異なるから、Q(S) が完備順序体Rになることはなく、
矛盾が生じる。従って、超越基底Sに含まれるような、如何なる開区間 I＝(-x,x) (∀x＞0) も
完備とはならない。ところが、card(S)＝c で、超越基底Sは完全集合だから、Sは自己稠密集合。
従って、体 Q(S) は自己稠密集合で、Q(S)∩[0,1] も自己稠密な集合。m(K)＝+∞ としたから、
Rに真に含まれる自己稠密な順序体Kに対し、或る完備な区間 I' が存在して、I'⊂K＝(Q(S))(k)。
しかし、体Kの任意の逆元もKの点だから、I' のすべての元に対して何れも或る加減乗除の操作
を有限回施すと、或る ε＞0 に対して、すべての点がSに属するような、完備な
開区間 (-ε,ε)⊂S を構成出来る。従って、上下に有界な超越基底Sは或る完備な
区間を含む。これは、矛盾する。従って、m(K)＞0 から 0＜m(K)＜m(R)＝+∞ となる。