>>556
(>>652の続き)
[第６段](Q(S)は零集合)：Q(S) の外測度を m(Q(S)) とする。m(Q(S))＞0 とする。定義から、実数体Rは
体 Q(S) の代数拡大体である。体 Q(S) 上超越的なRの点は存在しないから、R＼Q(S) は体 Q(S) 上代数的な
実数全体の集合である。ここに、体 Q(S) 上代数的な実数kを適当に取る。K＝(Q(S))(k) とおく。すると、
Kは体の拡大 R/Q(S) の中間体で、Rの真部分集合である。体Kの外測度を m(K)、実数体Rの外測度を m(R) とする。
すると、m(Q(S))＞0 と仮定したから、Q(S)⊂K⊂R から 0＜m(K)≦m(R)＝+∞。実数体Rの有理数体Q上の
超越基底Sは上下に有界と仮定しているから、0＜m(K)＜m(R)＝+∞。Kの内測度を m'(K) とする。
Kは上下に非有界でコンパクトではないから、定義から、m'(K)＝+∞。従って、m(K)＜m'(K)。
Kが可測なための必要十分は m(K)＝m'(K) だから、中間体Kは非可測である。しかし、これはKが可測なことに反し、
矛盾する。従って、m(Q(S))＝0 で、体 Q(S) は零集合である。

[第７段](S、Q(S)は非可算零集合)：超越基底Sの外測度を m(S) とすると、S⊂Q(S) から、m(S)≦m(Q(S))＝0
から、m(S)＝m(Q(S))＝0。また、card(S)＝card(Q(S))＝c。従って、S、Q(S)は非可算零集合である。

Sは上下に有界な実数体Rの有理数体Q上の超越基底としていたから、
元の超越基底S、元の体Q(S)も、どちらも非可算零集合である。