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A が X の開集合でない場合の命題を提示する。

【命題】
距離空間 (X,dX) の部分集合 A⊂X から (Y,dY) への写像 f:A→Y が連続であるための必要十分条件は、
Y の任意の開集合 U に対して、X のある開集合 V が存在して、f^(-1)(U)=A∩V が成立つことである。
【証明】
A が X の開集合であるなら、前命題より V=f^(-1)(U) とすればよいから、A は X の開集合でないとする。
(1)f は A で連続であると仮定
A は X の開集合でないから、A⊂≠X、よって、X のある開集合 A' が存在し、A⊂≠A'⊂X を満たす。
f':A'→Y を f'|A=f かつ f' は A' で連続 となるように定める。（f'|A は f' の A への制限）
前命題より、Y の任意の開集合 U に対し、f'^(-1)(U):=V は X の開集合である。
a∈f^(-1)(U) ⇒ a∈A かつ f(a)∈U ⇒ f(a)=f'(a)∈U ⇒ a∈f'^(-1)(U) より、f^(-1)(U)⊂f'^(-1)(U)
また定義より、f^(-1)(U)⊂A であるから、f^(-1)(U)⊂A∩V・・・(a)
a∈A かつ a∈f'^(-1)(A) ⇒ f(a)=f'(a)∈U ⇒ a∈f^(-1)(U) より、A∩V⊂f^(-1)(U)・・・(b)
(a),(b)より、f^(-1)(U)=A∩V
ゆえに、Y の任意の開集合 U に対し、X のある開集合 V が存在して、f^(-1)(U)=A∩V
(2)Y の任意の開集合 U に対し、X のある開集合 V が存在して、f^(-1)(U)=A∩V が成り立つと仮定
a∈A、ε>0 とする。
U(f(a),ε) は Y の開集合であるから、仮定より、X のある開集合 V が存在して、f^(-1)(U(f(a),ε))=A∩V
すなわち、f(A∩V)=U(f(a),ε)
これと、f(a)∈U(f(a),ε)より、a∈V
V は X の開集合であるから、ある δ>0 が存在して、U(a,δ)⊂V
よって、f(A∩U(a,δ))⊂f(A∩V)=U(f(a),ε)
ゆえに、f は A で連続である。■