>>556
(>>582の続き)

ε＞0に対して定まる、実数体Rの有理数体Q上の超越基底 S(ε)⊂(-ε,ε) の族Sを
S＝{S(ε)|ε＞0、S(ε)は開区間 I(ε)＝(-ε,ε) に含まれる、RのQ上の超越基底}
とする。Sは非可算集合であり、SからSへの全単射が存在する。

[第５段](任意のε＞0に対して、S(ε)⊂H(ε) )：正の実数 ε＞0 を任意に取ると、
確かに S(ε)⊂H(ε)⊂(-ε,ε)＝I(ε) である。

[第６段](任意のε＞0に対して、card(S(ε))＝c)：ε＞0とする。すると、超越基底
S(ε) は開区間 I(ε)＝(-ε,ε) に含まれるから、実数直線Rの完備性から、S(ε) に
対して、或る有界閉区間 J(ε) が存在して、S(ε)⊂J(ε)⊂I(ε)。そして、有界閉区間
J(ε) には下限 a＝inf(J(ε))、上限 b＝sup(J(ε)) が存在する。J(ε) は閉集合であり、
J(ε)＝[a,b]。ここで、有界閉区間 [a,b] はコンパクトである。従って、S(ε)⊂[a,b]
から、直線Rにおいて、S(ε) はコンパクトである。Heine・Borelの定理から、S(ε) は
有界閉区間である。従って、S(ε) には下限 a＝inf(S(ε))、上限 b＝sup(S(ε)) が存在し、
S(ε)＝[a,b]。ここで、a＝b とする。すると、S(ε) はただ1点aからなる実数体Rの
有理数体Q上の超越基底となる。従って、S(ε)∈H は1点aからなるRのQ上の超越基底{a}である。
定義から、{a}はQ上代数的独立だから、aは超越数である。従って、Qにaを添加した体Q(a)は
超越拡大体となる。従って、定義から、RはQ(a)の代数拡大体である。しかし、
card(Q(a))＝ℵ_0＜c＝card(R) から、体Q(a)上超越的な実数は非可算個存在する。
従って、RはQ(a)の代数拡大体とはならず、矛盾が生じる。従って、a＜b。閉区間 [a,b]
の濃度はcだから、card(S(ε))＝c。ε＞0は任意でよいから、任意のSの超越基底 S(ε) の
濃度は、card(S(ε))＝c。　　　　　　(第６段終了)