>>45
おっちゃんです。
>>3の「Sの部分集合Tに対し、」の部分では「T≠Φ」を仮定していて、
超越基底の定義からS⊂Cなのだから、T⊂Cだな。そして、
>U={Q(T)^* :TはSの任意の部分集合}という集合はC^*の部分群の集合
では、複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sとしていて、同様に定義から、C＝Q(S)から
C^*＝Q(S)^* だから、Uは「C^*の部分群(全体からなる集合)の(部分)集合」になる。
例えば、通常の乗法についてのC^*の部分群{1}は、体ではないから、集合Uには属さない。
このことからも、Uは、部分集合なることは分かる。後は、Sの濃度card(S)が2^{ℵ_0}＝c
に等しいから、Uの定義からcard(U)がSのべき集合の濃度2^cに等しいことがいえる。そして、
>T_1とT_2が相異なっていればQ(T_1)^*とQ(T_2)^*も相異なるのでUは実数体のべき集合の濃度を持つ。
では、(多分)Sの「部分集合T全体」のUにおける特性関数を考えて、card(U)＝2^c といっている。あとは、
>よってC^*の部分群全体の集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を下回らない。
では、card(C^*)＝card(R^*)＝c を使って、(多分)R^*のベキ集合Bの濃度card(B)が＝2^c
なることをいって、同様に、C^*のベキ集合Aの濃度card(A)が＝2^cなることをいっている。
だから、最後は、card(U)＝2^c、card(B)＝2^c から card(U)＝card(B) が従い、実数体Rの濃度
はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(R) といっている。