>>508
おっちゃんです。まあ、結果だけ使えば、次のようになるようだ。

実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、S数全体の
1次元ルベーグ測度は1(Wikiの超越数のサイト参照)だから、Sは
A数、T数、U数の全体からなる集合である。また、リュ―ビル数全体の集合は
非可算集合であり、リウヴィル数はU数である(Wikiのリウビル数のサイト参照)。
従って、Sは非可算零集合である。定義から、RはQ(S)上代数拡大体である。
また、0でない任意の実数は、2つのリウヴィル数の和、及び積で表せる
から(Wikiのリウビル数のサイト参照)、任意の実数はQ(S)上代数的である。
従って、R＝Q(S) から、Q(S)上超越的な実数は存在しない。
しかし、これは矛盾する。

まあ、S数全体の1次元ルベーグ測度は1だから、RがQ(S)上代数拡大体になるには、
実数体Rの有理数体Q上の超越基底SはS数を元に持っていることになる。だから、
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合ということはあり得ない。