>>458 つづき

改良版は
「命題　距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X （但しAは開集合）から(Y, dY ) への写像f : A → B⊂Y が連続であるための必要十分条件は，任意のBの開集合U に対してf^-1(U) がA の開集合となることである．」と補正します。

Aが開集合でない場合、境界の点で不連続になったときに、処理がうまく出来ない
要するに、ある点 x0∈Xで連続という判断を、各点で行えば良い

それを、部分集合 A⊂Xで行えば良いだけの話
但し、部分集合 Aが境界を持つ場合、境界上の点については、最初の案では処理がうまく出来ない

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
連続 (数学)
各点連続

連続性は、各点の周りで考えられる概念である。1変数実関数 f(x) がある点 x0 で連続であるとは、x が x0 に限りなく近づくならば、f(x) が f(x0) に限りなく近づくことを言う。