> 距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。

『任意の空でない部分空間をAとする。写像fをf(A)=t (tは任意の実数）で定めればよい。』

で終わりかな？間違っていれば指摘してくれ。
Aが空集合のときの写像の扱いは詳しくないので除外させてもらった。

おっさんの証明：
(1) Aを勝手に開区間に取る。
(2) 全単射にこだわってtanを持ち出す。
(3) {A,f:A->R}の"組"が非加算あることを示す。