(>>427の続き)
[第２段](位相空間(X,O_X)の任意の部分位相空間(A,O_A)に対して、
f：A→Yが連続なるとき空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)は空間Aの開集合なること)：
位相空間(X,O_X)の部分位相空間(A,O_A)を任意に取る。空間Yの開集合B∈O_Yを任意に取る。
すると、Y−B∈O_Y は空間Yの閉集合で、仮定からf：A→Yは連続だから、連続性の定義から、
f^{-1}(Y−B)∈O_A はXの部分空間Aの閉集合である。fはAからYへの一価の写像で定義域が
Dom(f)＝A なる関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y−B)＝A−f^{-1}(B)。よって、
A−f^{-1}(B)∈O_AはAの閉集合であり、f^{-1}(B)∈O_A はAの開集合である。Yの開集合Bは
任意だから、BをO_Y上で開集合なるように走らせれば、空間Yの任意の開集合Bの、fによる
逆像f^{-1}(B)はXの部分位相空間A⊂Xの開集合である。Xの部分位相空間Aは任意だから、
AをXの中で走らせればよい。

[第３段](空間Xの如何なる真部分空間Aに対しても、f：A→Yが連続なることはあり得ないこと)：
或るXの真部分集合Aが存在して、f：A→Yが連続なることがあったとする。すると、f：A→Yが
連続なるための必要十分は空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Aの開集合なること
である。従って、空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)は空間Aの開集合である。同様に、
f：X→Yが連続なるための必要十分は空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Xの
開集合なることである。仮定から、f：X→Yは連続写像だから、確かに空間Yの任意の開集合Bの
逆像f^{-1}(B)は空間Xの開集合となる。従って、空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)は、
空間Xの開集合であって空間Aの開集合でもある。しかし、AはXの真部分集合だから、
これはあり得ず矛盾する。