>>414
>具体例を一切考えずに抽象的にやったって、
>こんな間違いは出てこないだろ。
そういう意味で書いたのではない。>>408を書くにあたり、はじめは、位相空間の連続性の定義のあたりで
一般的で抽象的にいえる何か新しく面白いことを編み出そうと考えたのだが、それが出来ず失敗だったのだ。

>>406
では、取り敢えず、単純にこんなお品書きでどうです？
[命題]：距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
但し、距離関数dはユークリッド距離とする。
証明]：ε＞0を任意に取る。A(ε)＝(-ε/2,ε/2) とおく。以下、A(ε)をAで略記する。すると、
Aは距離空間Rの部分空間である。xを区間A上の変数とする。A⊂Rから(R,d)への写像f_εを
(f_ε)(0)＝0、　(f_ε)(x)＝tan(1/x)・(πε)/4)　x∈A−{0}　　　　　と定義する。
以下、f_εをfで略記する。すると、開区間(-ε/2,0)でfは単調増加な連続関数になる。
ここで、x→-ε/2 とすると、f(x)→-∞ であり、x→-0 とすると、f(x)→-0 である。従って、
f(0)＝0 から、左半開区間(-ε/2,0]でfは連続写像である。同様に、開区間(0,ε/2)で
fは単調増加な連続関数になる。ここで、x→ε/2 とすると、f(x)→+∞ であり、x→+0 とすると、
f(x)→+0 である。従って、f(0)＝0 から、右半開区間[0,ε/2)でfは連続写像である。
従って、fは区間A上で連続写像である。つまり、f_ε：A(ε)→R は連続写像である。
ε＞0は任意だから、εを開区間(0,+∞)上で走らせると、任意の ε＞0 に対して、
A(ε)＝(-ε/2,ε/2)　　とおき、
(f_ε)(0)＝0,　(f_ε)(x)＝tan(1/x)・(πε)/4)　x∈A(ε)−{0}　と定義した写像
f_ε：A(ε)→R は連続である。相異なるε_1、ε_2＞0を任意に取り、各i＝1,2に対して、
A(ε_i)、f_{ε_i} を、それぞれ上と同様に定義すると、2つの連続写像
f_{ε_1}：A(ε_1)→R、f_{ε_2}：A(ε_2)→Rの各グラフは異なるから、f_{ε_1}≠f_{ε_2}。
従って、距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rは非可算個存在する。