>>389
(>>400の続き)
[第３段](Sが零集合になると矛盾が生じる)：fは、定義域を Dom(f)＝R'とし、値域を Im(f)＝R とする、
全単射なる一価の関数である。従って、fのグラフGは G＝{(x,f(x))∈R^2|x∈R'} と表わせる。点y∈Rを任意に取る。
すると、yに対して或る点x∈R'が一意に存在して、y＝f(x) となり、(x,f(x))∈G。また、一価の関数f：R'→Rは全単射だから、
card(R')＝card(S)＝c から、card(R)＝card(S)＝c であり、RとSの間には全単射が存在する。集合{y}はR上の1点yからなる
集合だから、任意にε＞0を取ると {y}⊂[y-ε,y+ε) と被覆出来て、ε→+0 とすれば、{y}＝[y,y) となる。外測度の定義
から、集合{y}つまり{f(x)}の外測度m({f(x)})は
m({f(x)})＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|各i=1,2,…に対して E_i∈R_(R)、かつ {f(x)}⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}
と表わせて、0≦m({f(x)})≦+∞ を満たす。fの定義域R'は非可算な零集合だから、(+∞)・0＝0 なることに着目すると、
m({f(x)})＝0 を得る。従って、y＝f(x) から m({y})＝0。Rの点yは任意だから、yをR上で走らせると、Rは非可算な
零集合である。しかし、これは直線Rが、完備であって、零集合ではないことに反し、矛盾する。