>>346 つづき
田丸 博士先生は、現代位相空間（学部レベル）で寸止めしているが、まだ先がある（下記）
繰り返すが、証明じゃない、（定義の）進化だ！ （学部レベルの先は、正直ついていけないけどね（＾＾；　 ）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96
位相空間論

歴史
一般位相の研究はいくつかの流れを取りまとめる形で始まった。主なものは

・実数直線の部分集合についての詳細研究、かつて「点集合に関する位相幾何学」(topology of point sets) と呼ばれていたもの、
・多様体概念の導入、
・距離空間論、特にノルム線型空間の研究（後の函数解析学）

などが挙げられる。分野としての位相空間論は1940年頃には成立しており、それにより例えば連続性に関する直観の殆どを、数学の各分野で応用することができるようなものとして、技術的にふさわしい形で捉えることができるようになった。

・数列の収斂、有向点族（ネット）とフィルター、
・種々の分離公理、

点集合位相幾何学の重要な変形版が非点集合的位相幾何学 (pointless topology, point-free topology) で、これは点集合を基礎とする点集合位相幾何学と異なり、束や特に枠と場所の圏論的研究を通じた位相的概念の構築を行うものである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
フィルター (数学) 順序理論的な意味でのフィルターの双対概念はイデアルである。
歴史
1936年9月のブルバキ会合ではアンドレ・ヴェイユによる数学原論の「位相」 [1]の草稿に関して議論がなされた。
その草稿でヴェイユは点列の収束を議論する上で空間に第二可算公理の成立を要求していたが （下の#位相幾何学におけるフィルターも参照）、 この制限を除くためにアンリ・カルタンが会合中に見つけた解決の糸口がフィルターである [2]。
フィルターの概念の初出として一般に言及されるのは、 ブルバキの他メンバーの勧めを基にカルタンが翌年に提出した2つの論文 [3] [4]である。