「＞連続であるための必要十分条件は, 全ての開集合の逆像が開集合となること
スレ主さんは証明できるの？」>>315
という陳述がさ、全然本質を理解していないだろ？

元は、「”4.4 連続写像
関数f : R → R の連続性は, まず最初の段階では所謂「δ−ε 論法」を用いて定義されていた.
距離空間から距離空間への写像f : X → Y の連続性も, 実数の場合と同様の考えの下に（ε近傍を用いて）定義された.

　これらの定義は一見煩雑なものであったが, 「開集合」という概念を導入することにより, 連続性の概念は一気に簡潔な形になる: 連続で
あるための必要十分条件は, 全ての開集合の逆像が開集合となること. 位相空間論では, 開集合が与えられたところから出発している. ”（下記より引用）」>>311だ

そして、この後、>>328「位相空間論では, 開集合が与えられたところから出発している. そこで, 次のように定義することは自然であろう.
定義4.19. 位相空間(X,Ox), (Y,Oy) に対して, 写像f : X → Y が連続（continuous）であるとは, 次が成り立つこと: ∀U ∈ Oy , f^-1(U) ∈ Ox.」

つまり、田丸 博士先生（ 広島大）の数学通論 II 位相空間テキストでは、連続は証明ではなく、「定義4.19.」なのだ！

ID:ih8jWl9Mくんよ！、おまえなー、全然、田丸 博士先生を読んでないじゃんか！
田丸 博士先生を読めば分かるだろ？　田丸 博士先生が言っていることは、証明じゃない！　別のことなんだ！　それが何か分かるか？　君に・・・