いよいよ＜開集合と連続写像＞の登場です！ （＾＾；

定理 距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^?1(U) がX の開集合となることである．

証明： 写像f が連続であるとする．開集合U ⊂ Y に対してp ∈ f^-1(U) とするとf(p) ∈ U であるから，
U が開集合であることより，ある正の数ε が存在してB~f(p)(ε) ⊂ U が成り立つ．
ただしB~q(ε) は(Y, dY ) におけるq のε-近傍である．
このε に対して，f の連続性から，ある正の数δが存在してf(Bp(δ))⊂ B~f(p)(ε) ⊂ U が成り立つ．すなわち
Bp(δ) ⊂ f^-1 (f(Bp(δ)))⊂ f^-1(U)
となる．p はf^-1(U) から任意にとってきたのだからf^-1(U) は開集合である．

逆に，任意の開集合U ⊂ Y に対してf^-1(U) が開集合であったとする．
点p ∈ X を一つ固定し，正の数ε を任意にとると， B~f(p)(ε) はY の開集合であるからV := f^-1( B~f(p)(ε))はX の開集合．
とくにp ∈ V なので，ある正の数δが存在してBp(δ) ⊂ V ．このとき
f(Bp(δ))⊂ f(V ) = f(f^-1( B~f(p)(ε)))⊂ B~f(p)(ε).
したがってf はp で連続．p ∈ X は任意だったからf は連続写像である．

系 距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意の
Y の閉集合V に対してf?1(V ) がX の閉集合となることである．