>>254 補足
>直線R上の閉集合がただ1点からなる集合に限ることの証明は書いていないな。
>なので、根本的な部分の解決はしていないことになる。

意味が取れないが、1点からなる集合については、下記集合と位相 山田光太郎 東京工業大学 抜粋をご参照

www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2011/set/lecture.pdf
集合と位相 第一（2011年度）山田光太郎 東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻 東京工業大学理学部2年次対象
(抜粋)
10 開集合・閉集合 P31

例10.3. ユークリッド空間R^n の1 点からなる集合{p} は開集合でない．これを示すには，任意の正の数ε
に対してBp(ε) が{p} の部分集合でないことを示せば良い．実際，p = (p1 , . . . , pn) とするとき，与えられ
た正の数ε に対してq = (p1 + ε/2 , p2 , . . . , pn) とするとd(p , q) = ε/2 なのでq ∈ Bp(ε) であるが，p ≠ q なのでq ? {p}．

命題10.10. 距離空間(X; d) の1 点p ∈ X からなる集合{p} は閉集合である．
証明： U = X ＼ {p} とおき，q ∈ U をとりε = d(p , q) とおく．
q ≠ p だからε > 0 であって，p ? Bq(ε)．
したがってBq(ε) ⊂ U だからU は開集合．

注意10.11. 例10.3 と違い，命題10.10 は任意の距離空間に対して成立する．距離空間を一般化した"位相空間" の中には，1 点集合が閉集合でないものもある．

問題 10-3 集合X の任意の部分集合は離散距離d-disc に関する開集合であり，かつ閉集合でもある．P33

http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/index-jp.html
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/index-jp.html
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2011/set/index-jp.html