>>262 つづき

これで、実質終わりだが
佃修一よりパクリ

＜補足＞
幾何学序論講義ノート 佃修一 琉球大学 2014 年
P166より

Denition 3.1.4. 位相空間は, 高々可算な基をもつとき, 第二可算公理(second axiom of countability) をみたすという.

Example 3.1.5. n 次元ユークリッド空間R^n において,B = {Ur(x) x ∈ Qn , r ∈ Q , r > 0}
とおくとB は可算基である. よってRn は第二可算公理をみたす.

Proof.
O を開集合, x ∈ O とする. このとき, あるε> 0 が存在して, Uε(x) ⊂ O となる.
0 < r < ε/2 となるようなr ∈ Q をひとつとる（Lem. 2.7.7 参照）.
Q^n はR^n で稠密であった（Ex. 2.10.8）から,
Ur(x)∩Q^n ≠ ?. x' ∈ Ur(x)∩Q^n をひとつとるとUr(x') ∈ Bである.
任意のy ∈ Ur(x') に対し,d(x , y) ? d(x , x') + d(x' , y) < r + r = 2r < ε
だからy ∈ Uε(x), すなわちUr(x') ⊂ Uε(x). またx' ∈ Ur(x) だからx ∈ Ur(x').
よってx ∈ Ur(x') ⊂ O となり, Thm. 3.1.3 から, B は開基である.