>>173
(>>209の続き)
Case2)：card(X)＝ℵ_0 のとき。このとき、Xのベキ集合B(X)の濃度について、card(B(X))＝2^{ℵ_0}＝c。
また、Y≠Xに注意すると、Y∈B(X)に対して或るm∈N＼{0}が存在してH_m＝Y。ここで、X⊂Xだから、
Xのベキ集合B(X)の定義から、X∈B(X)。よって、B(X)の定義、及びY⊂Xに両方共に着目して、
B(X)の各元に選択公理を適用すると、何れもB(X)の元からなるような、次の2つの条件3)、4)を
両方共に満たし、B(X)に属するRの部分集合の列{I_n}が構成出来る：
3)：任意の{I_n}の項I_nはB(X)に属し、I_1＝Y⊂R、I_2＝X⊂R、
4)：{I_n}は包含関係について単調非減少である。
ここで、X⊂RからB(X)⊂B(R)だから、{I_n}はB(R)に属するRの部分集合の列である。
従って、H_m＝Yから、H_{m+1}＝I_2とすると、3)から、H_{m+1}＝X となる。
Case3)：card(X)＞ℵ_0 のとき。このとき、Xのベキ集合B(X)の濃度について、card(B(X))≧2^{ℵ_0}＝c。
そして、Yの濃度について、0≦card(Y)＜ℵ_0、card(Y)＝ℵ_0、card(Y)＞ℵ_0 のうち何れか1つ、
かつその1つに限り成り立つ。