>>173
(>>208の続き)
[第３段]：包含関係に関するIの極大元Xが存在することを示す。
集合の包含関係は半順序関係である。また、B(R)の定義と card(R)＝c とから card(B(R))＝2^c＞ℵ_0。
ここで、任意のJ∈B(R)について、J⊂Rだから、B(R)の定義から、B(R)の各元に選択公理を適用すると、
何れもB(R)の元つまりRの区間からなるような、次の条件1)、2)を満たし、B(R)に属するRの部分集合
の列{H_n}が構成出来る：
1)：任意の{H_n}の項H_nはB(R)に属する、
2)：H_1＝Φ⊂Rであり、{H_n}は包含関係について単調増加である。
2)から、B(R)の元ΦについてH_1＝Φ⊂R。ここで、X∈B(R)を任意に取る。Xのベキ集合をB(X)とする。
すると、X⊂Rだから、B(X)⊂B(R)。よって、B(R)の定義に注意すると、任意のY≠XなるY∈B(X)に
対してY∈B(R)。任意のY≠XなるY∈B(X)に対して、或るn∈N＼{0}が存在してH_n＝Yとなるとする。
すると、Xは、有限集合、可算無限集合、非可算集合の何れか1つとなる。つまり、
0≦card(X)＜ℵ_0、card(X)＝ℵ_0、card(X)＞ℵ_0 のうち何れか1つ、かつその1つに限り成り立つ。
ここで、Y≠XなるY∈B(X)を任意に取る。すると、Y≠Xであり、Y∈B(R)。そして、ベキ集合B(R)の
定義から、Y⊂X である。
Case1)：0≦card(X)＜ℵ_0 のとき。このとき、card(X)は非負整数だから、Xのベキ集合B(X)の濃度
について、1≦card(B(X))＜ℵ_0。よって、Xに対して或るm∈N＼{0}が存在してH_m＝X。