>>173
>”実数の超越基底S（S⊂R）の全ての要素∀s∈Sを、
>s+iyのように+iy（iyはs毎に変えて良い）で虚数軸にそってずらすことで、
>複素平面に分散させて、半径εのε近傍Uε(s)の外、
>つまり各ε近傍Uε(s+iy)が重ならないように、うまく配置することは出来ない”！
>これは、おそらく皆さんの直感に反する結果だと思う
おっちゃんだけど、これと例の濃度の問題とは関係ない。>>166において、
実数体Rにおける有理数体Qの超越基底Sの濃度はcard(S)＝c。Sの相異なる2点はQ上線型独立で、。
RにおけるQ上一次独立な集合の全体をBとして、Φ、S∈Bを満たすとすると、card(B)＝cは直ちに従う。
Sの任意の点は集積点で、Sが完全集合なることも、示せる。両方共に或るx∈S,r＞0が存在して、
(S-{x})∩(x-r, x+r)＝Φとすると、超越基底の定義から、RはQ(S)上代数拡大体だから、
y≠rなる(x-r, x+r)の点y∈Rを任意に取ると、yは体Q(S)上代数的。また、yはQ上超越的。
よって、yの最小多項式の次数をnとすれば、何れも或るa_0,a_1,…,a_n∈Q(S)/Qに対して、
a_0・y^n＋a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}y＋a_n＝0。しかし、如何なるi＝0,1,…,nに対しても
a_i∈Qは成り立たず、同時にa_i∈Q(S)だから、a_i∈Q(S)は代数的数になるか、
a_iに対して或る自然数nが定まりnに対して両方共に或るn変数有理係数多項式f_i
とn個の点z_1,…,z_n∈Sが存在してa_i＝(f_i)(z_1,…,z_n) になる。超越基底の定義から、
如何なるi＝0,1,…,nに対しても、a_iが後者の場合の条件を満たすことはあり得ない。
従って、如何なるi＝0,1,…,nに対しても、即ち任意のi＝0,1,…,nに対して、a_iは代数的数になる。
しかし、これは、yが超越数だったことに反し矛盾。従って、任意のx∈Sについて、
任意のr＞0に対して、(S-{x})∩(x-r, x+r)≠Φで、集積点の定義を満たし、点xは集積点になる。
従って、完全集合の定義から、超越基底Sは完全集合になる。
だから、S∪(Sの閉包)はSの閉包に等しく、Sは閉集合になる。これが、S∈Bなることの証明。