現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©5ch.io
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0001現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/11(日) 20:22:42.62ID:RDXEzJ3Oこのスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
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0153現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 10:37:20.15ID:ZH0WK04q>>145 「ここでにあるよ」→「ここにあるよ」
>>95 「点の集合が分離的でれば」→「点の集合が分離的であれば」
0154現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 10:38:07.24ID:ZH0WK04q>>91
>例え無限個の点の集合であっても、それら無限個の点の集合が、分離的であれば、ハウスドルフの性質は使える
>>136と>>145に関連するから、補足しておく
超越基底Sの二つの要素s1とs2を取る。超越基底だから、当然、s1≠s2と仮定できる。
ユークリッド位相は、ハウスドルフだから、s1とs2の周りに、重ならない小さな半径εの開球を設定できると考えたんだ
高校生にも分かるように解説すると、d=|s1－s2|として、ε＜d/2とすれば良いから
で、εは全部同じじゃなくても良いので、それぞれ隣り合う、s1,s2,s3があったら、順次調整していけると
そう考えたんだ
でも上手く行かない。なぜでしょうか？
「なぜか」を考えるのも、なかなか面白いんだ（指摘されても、すぐにはなぜか分からなかった）
でも、>>95の反例で納得した
そして、>>129みたく、数直線上の開球を、複素平面全体に散らすことを考えた。がダメみたい。それが、問題>>136
で、超越基底Sにせずに、実数体Rそのものにすると、問題は易しくなる気がする（＾＾
0155１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 10:55:46.89ID:YZT/50GD指摘されない限りずっと誤った理解をしてるわけだからね。
「分ってない」方がずっと良い。スレ主みたいに「分ってないのに分ったつもりになってる」のは最悪。
0156現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 11:13:38.26ID:ZH0WK04q人のことより、自分の心配をしたらどう？
学部生なら、就職先や院試
修士なら、修論
DRコースは、さすがに居ないでしょう。教師もつまらんカキコはしないだろう
まあ、初心者向けに書いておくと、おそらく質問の意図は
二つの群GとHで、準同型fがあって、f：G→Hのとき、核ker(f)が、Gの正規部分群になり、像im(f)は商群G/ker(f)に同型と
そう答えてほしいんだろうね（まあ、下記でもご参照）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%9E%8B%E5%AE%9A%E7%90%86
歴史
同型定理は加群の準同型に対してEmmy Noetherによって Mathematische Annalen に 1927 年に出版された彼女の論文 Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkorpern においていくらか一般的に定式化された。
これらの定理のより一般的でないバージョンは Richard Dedekind の仕事や Noether による前の論文において見つけられる。
3年後、B.L. van der Waerden は彼の大きな影響を及ぼした Algebra、主題への 群-環-体 アプローチをとった最初の抽象代数学の教科書を出版した。Van der Waerden は群論に関する Noether の講義と代数学に関する Emil Artin の講義を、
また Wilhelm Blaschke, Otto Schreier, そして van der Waerden 自身によって行われたイデアルに関するセミナーを、主なリファレンスとして信用した。準同型定理と呼ばれる3つの同型定理と同型の2つの法則は群に適用されたとき明示的に現れる。
0157現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 11:15:46.08ID:ZH0WK04qはいはい、講釈は分かったから
君に、問題>>92に対して解答する権利を与えよう！（＾＾
どうぞ！ 君がどれだけ理解しているのか示してください！（＾＾；
0158現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 11:23:33.66ID:ZH0WK04q>そして van der Waerden 自身によって行われたイデアルに関するセミナーを、主なリファレンスとして信用した。
”信用”が、誤訳だな（下記）
https://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphism_theorem
History
The isomorphism theorems were formulated in some generality for homomorphisms of modules by Emmy Noether
in her paper Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkorpern
which was published in 1927 in Mathematische Annalen.
Less general versions of these theorems can be found in work of Richard Dedekind and previous papers by Noether.
Three years later, B.L. van der Waerden published his influential Algebra,
the first abstract algebra textbook that took the groups-rings-fields approach to the subject.
Van der Waerden credited lectures by Noether on group theory and Emil Artin on algebra,
as well as a seminar conducted by Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier,
and van der Waerden himself on ideals as the main references.
The three isomorphism theorems, called homomorphism theorem, and two laws of isomorphism when applied to groups, appear explicitly.
”Van der Waerden credited lectures by Noether on group theory and Emil Artin on algebra, ・・・”で
creditedを信用と誤訳
”〈行為・功績を〉（人に）帰する”だな
http://dictionary.goo.ne.jp/leaf/ej3/20279/m0u/
creditの意味 - goo辞書 英和和英
━━[動](他)
3 ［III[名]（[副]）］〈行為・功績を〉（人に）帰する
0159現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 11:26:05.41ID:ZH0WK04q分かってしまえば、大して難しくもないんだが
しばらく、雑魚叩きに使えることが分かった（＾＾；
0160１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 11:34:20.17ID:YZT/50GD解答乞食かよｗ自分で解けｗ
0161現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 12:40:18.36ID:ZH0WK04qまあ、>>154に大きなヒントが隠されている
それは、出題者の564さんには分かっているだろうさ
0162１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 12:52:00.91ID:YZT/50GD0163現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 12:56:18.34ID:ZH0WK04q>反例を示されないと間違いに気付かないというのは、完全に他人に依存した勉強の仕方。
>指摘されない限りずっと誤った理解をしてるわけだからね。
>「分ってない」方がずっと良い。スレ主みたいに「分ってないのに分ったつもりになってる」のは最悪。
ちょっと、気になるので一言
数学を深く勉強すれば、数学の進歩の歴史は、結局そういう試行錯誤を省いては語れないんだよ
自分の頭で考える。これが、実は一番大事なんだ。間違を恐れずに
自分の直感と違うことも多いだろう。だからと言って、直感を捨ててはいけないんだ！
（一時、日本の数学教育界でδーε全盛時代があった。いわく直感に頼ってはいけない。δーεの理解こそが大学数学だと。が、今日ではそれは否定された。もっと自分の頭で考えることと、自分の直感を磨くことを強調しておきたい）
有名なヒルベルトの２３の問題がある（下記）
２３ののうち、肯定的に解決された問題もあれば、反例が見つかって否定的に解決された問題も多い
君は、ヒルベルトに”反例を示されないと間違いに気付かないというのは、完全に他人に依存した勉強の仕方。指摘されない限りずっと誤った理解をしてるわけだからね。「分ってない」方がずっと良い”と言うのかい？
その発言には、反例があるよ（ヒルベルトの23の問題）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE23%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C
ヒルベルトの23の問題
0164現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 12:58:28.10ID:ZH0WK04q答えを教えて欲しいみたいだな（＾＾；
だが、教えてはやらん
0165現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 13:01:53.99ID:ZH0WK04q２３ののうち
↓
２３のうち
0166１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 13:24:59.68ID:c480h8Mjやあ、おっちゃんです。>>92は、答えだけ書けば、2^cだよ～ん。大雑把な証明は以下。詳細は略。
実数直線Rの部分集合の族をF、Rの閉集合の集合をA、実数体Rにおける有理数体Qの超越基底Sの、
RにおけるQ上一次独立な集合の全体をBとすると、B⊂A⊂Fから、card(B)≦card(A)≦card(F)で、
card(F)＝2^cだから、card(B)≦card(A)≦2^c。また、card(S)＝c だから、超越基底の定義から、
Sの相異なる任意の2点はQ上線型独立であることに注意して、集合Sにおける、
Bに属するような、各RにおけるQ上一次独立な集合の、特性関数を考えると、card(B)＝2^c。
よって、2^c≦card(A)≦2^c であって、ベルンシュタインの定理から、card(A)＝2^cを得る。
0167１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 14:55:18.28ID:YZT/50GD全問不正解の便所虫が何言ってんだか
0168現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 15:16:05.16ID:ZH0WK04qhttp://choreographlife.jp/pdf/intro.pdf
[PDF]哲学者のための圏論入門 - Choreograph Life 応用哲学会サマースクール2013
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0169現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 15:21:35.28ID:ZH0WK04qどうも。スレ主です。
おっちゃん、回答ありがとう
でも、またまた結論が違う
答えは、2^cじゃないよ～
でもここまで言えば、おっちゃんだったら、証明を含めて正解しそうだな（＾＾；
0170現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 15:29:34.49ID:ZH0WK04qくやしいのうwww（下記）
自分が、問題を解けていないことが、丸分かりだね（＾＾；
ところで聞くが、君のこのスレでの数学的な意味あるカキコはどれよ？
過去レスで良いから、「これだよ」と言ってみな
なに？「無い」って！ そうだろう、そうだろう！
>>92の答えを書けないようじゃ、勉強不足だよっ！
http://dic.nico 強制改行
video.jp/a/%E3%81%8F%E3%82%84%E3%81%97%E3%81%84%E3%81%AE%E3%81%86www
くやしいのうwwwとは (クヤシイノウとは) [単語記事] - ニコニコ大百科:
概要
元ネタは中沢氏の漫画「はだしのゲン」のセリフ。
当たり前の話だが作品発表当時「w」を使って笑いや嘲笑を表す表現はなかったので、
原作では単に「くやしいのう」 となっている。
なお、「くやしいのう」の「のう」は広島弁で「だなぁ」等の感嘆、詠嘆程度の役割で
特に深い意味はない。
0171１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 16:20:52.28ID:c480h8Mj>>154を見ると>>136がヒントとのことだが、その>>136の
>複素平面の数直線上で、実数体Rに対し、超越基底S（S⊂R）を取る。
>Sの全ての要素∀s∈Sを数直線上に並べる。
>各要素sを中心とした半径εのε近傍Uε(s)を考える。
>Uε(s)を、虚数軸に沿って、適切に重ならないように配置することを考える。
>全てのUε(s)を、複素平面上に重ならないように配置することが出来るだろうか？
が意味不明な問題になっている。平面C上で、sを中心とした半径εのε近傍Uε(s)は、
位置が定まった1つの開集合になる。何いいたいのか分からん。
0172現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 17:05:16.47ID:ZH0WK04qどうも。スレ主です。
おっちゃん、レスありがとう
>>全てのUε(s)を、複素平面上に重ならないように配置することが出来るだろうか？
>が意味不明な問題になっている。平面C上で、sを中心とした半径εのε近傍Uε(s)は、
>位置が定まった1つの開集合になる。何いいたいのか分からん。
すんません。分かり難くて。
>>129に書いたように、超越基底S（S⊂R）の要素∀s∈Sを、s+iyのように+iyで虚数軸にそってずらす
数直線上では重なっている半径εのε近傍Uε(s)は、一部なら、重ならないように出来る
では、全ての要素∀s∈Sを、半径εの外、つまり重ならないように、うまく配置することができるかと
もし、可能なら、全て重ならない開球が構成でき、それらの任意の組み合わせは、全て異なることが言えて・・・、命題が証明できる>>129
だから、この筋は失敗で、答えは、2^cじゃないよと言いたい
まあ、これ以上のヒントは、おっちゃんには失礼でしょう
0173現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 18:34:05.83ID:ZH0WK04qどうも。スレ主です。
もっとはっきり言えば、答えは、2^cじゃない
だから、背理法で
”実数の超越基底S（S⊂R）の全ての要素∀s∈Sを、s+iyのように+iy（iyはs毎に変えて良い）で虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させて、半径εのε近傍Uε(s)の外、つまり各ε近傍Uε(s+iy)が重ならないように、うまく配置することは出来ない”！
これは、おそらく皆さんの直感に反する結果だと思う
だから、面白いだろう？ >>136の問題は！
0174１３２人目の素数さん
2015/10/26(月) 14:57:22.77ID:cd+s/1Bg>”実数の超越基底S（S⊂R）の全ての要素∀s∈Sを、
>s+iyのように+iy（iyはs毎に変えて良い）で虚数軸にそってずらすことで、
>複素平面に分散させて、半径εのε近傍Uε(s)の外、
>つまり各ε近傍Uε(s+iy)が重ならないように、うまく配置することは出来ない”！
>これは、おそらく皆さんの直感に反する結果だと思う
おっちゃんだけど、これと例の濃度の問題とは関係ない。>>166において、
実数体Rにおける有理数体Qの超越基底Sの濃度はcard(S)＝c。Sの相異なる2点はQ上線型独立で、。
RにおけるQ上一次独立な集合の全体をBとして、Φ、S∈Bを満たすとすると、card(B)＝cは直ちに従う。
Sの任意の点は集積点で、Sが完全集合なることも、示せる。両方共に或るx∈S,r＞0が存在して、
(S-{x})∩(x-r, x+r)＝Φとすると、超越基底の定義から、RはQ(S)上代数拡大体だから、
y≠rなる(x-r, x+r)の点y∈Rを任意に取ると、yは体Q(S)上代数的。また、yはQ上超越的。
よって、yの最小多項式の次数をnとすれば、何れも或るa_0,a_1,…,a_n∈Q(S)/Qに対して、
a_0・y^n＋a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}y＋a_n＝0。しかし、如何なるi＝0,1,…,nに対しても
a_i∈Qは成り立たず、同時にa_i∈Q(S)だから、a_i∈Q(S)は代数的数になるか、
a_iに対して或る自然数nが定まりnに対して両方共に或るn変数有理係数多項式f_i
とn個の点z_1,…,z_n∈Sが存在してa_i＝(f_i)(z_1,…,z_n) になる。超越基底の定義から、
如何なるi＝0,1,…,nに対しても、a_iが後者の場合の条件を満たすことはあり得ない。
従って、如何なるi＝0,1,…,nに対しても、即ち任意のi＝0,1,…,nに対して、a_iは代数的数になる。
しかし、これは、yが超越数だったことに反し矛盾。従って、任意のx∈Sについて、
任意のr＞0に対して、(S-{x})∩(x-r, x+r)≠Φで、集積点の定義を満たし、点xは集積点になる。
従って、完全集合の定義から、超越基底Sは完全集合になる。
だから、S∪(Sの閉包)はSの閉包に等しく、Sは閉集合になる。これが、S∈Bなることの証明。
0175１３２人目の素数さん
2015/10/26(月) 15:21:07.75ID:cd+s/1Bg>>174の
>何れも或るa_0,a_1,…,a_n∈Q(S)/Qに対して、
>a_0・y^n＋a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}y＋a_n＝0。
の部分の「a_0,a_1,…,a_n∈Q(S)/Q」は「a_0,a_1,…,a_n∈Q(S)」と訂正。
些細なことだが、「Sの相異なる2点はQ上線型独立で、。 」の部分の「。」は、除く。
0176１３２人目の素数さん
2015/10/26(月) 15:40:35.76ID:cd+s/1Bg>>174の
>RにおけるQ上一次独立な集合の全体をBとして、Φ、S∈Bを満たすとすると、card(B)＝cは直ちに従う。
の部分は
>実数体Rにおける有理数体Qの超越基底Sの、RにおけるQ上一次独立な集合の全体をBとして、
>Φ、S∈Bを満たすとすると、card(S)＝cだから、超越基底の定義から、card(B)＝2^c は>>166のように従う。
と訂正。つまり、直線Rの閉集合全体の集合Aの濃度は、card(A)＝2^cになる。
0177１３２人目の素数さん
2015/10/26(月) 16:43:33.61ID:cd+s/1Bg何度も失礼だが、>>174の、Sの任意の点は集積点で、Sが完全集合なることの証明は、
>Sの任意の点は集積点で、Sが完全集合なることも、示せる。両方共に或るx∈S,r＞0が存在して、
>(S-{x})∩(x-r, x+r)＝Φとする。y≠「x」なる(x-r, x+r)の点y∈Rを任意に取る。
>すると、超越基底の定義から、RはQ(S)上代数拡大体だから、Sに属さない点y∈Rは体Q(S)上代数的ではない。
>そうでなければ、或いはSに属さない点yはQ上代数的になる。よってyはQ(s)上超越的かまたはyは代数的数である。
>しかし、確かにRはQ(S)上代数拡大体だから、y∈Rから、確かにyはQ(s)上代数的になる。
>よって、yが前者の場合を満たすことはあり得ず、yは代数的数である。y≠xなる(x-r, x+r)の点yは任意であるから、
>y≠xなる点yを開区間(x-r, x+r)において走らせると、任意のy≠xなる点y∈(x-r, x+r)は代数的数である。
>開区間(x-r, x+r)は非可算集合だから、代数的数は非可算個存在する。
>しかし、これは、代数的数全体の濃度がℵ_0で可算無限集合なることに反し矛盾。
と訂正。
0178１３２人目の素数さん
2015/10/26(月) 17:06:18.48ID:cd+s/1Bg悪い悪い。>>177は不要で、単純に>>174の
>y≠rなる(x-r, x+r)の点y∈Rを任意に取ると、yは体Q(S)上代数的。また、yはQ上超越的。
の部分を
>y≠「x」なる(x-r, x+r)の点y∈Rを「1つ任意に選んで」、
>yは体Q(S)上代数的。また、yはQ上超越的「とすることが出来る」。
と訂正するように書くべきだった。その直後の「よって、…」の部分の接続は、
国語として変な気がしないでもないが、もし変なら「よって」を「そして」に変えればいい。
上のような操作は、開区間(x-r, x+r)に(普通のQ上の)超越数が非可算個存在することから保証される。
だから、方法としては、大体は>>174のようにして示せる。
0179１３２人目の素数さん
2015/10/27(火) 10:47:47.67ID:NCDeUk7cおっちゃんだけど、実際に書いてみたら、>>166とか昨日書いた文に色々間違いがあったw から、書き直す。
まあ、何れにしろ、Rの閉集合の集合Aの濃度は2^cで、その結果については変わりはない。
[第１段]：任意のSの点は孤立点で、Sが孤立集合なることを示す。
Sが孤立集合ではないとする。すると、或るx∈Sが存在して、xは孤立点ではなく集積点だから、
集積点の定義から、r＞0を任意に1つ選ぶと、(S-{x})∩(x-r, x+r)≠Φ。
I＝(S-{x})∩(x-r, x+r)とおくと、I≠Φ。y≠xなる1つの点y∈Iを任意に選ぶ。
すると、I⊂Rからy∈R。そして、I⊂Sからy∈Sであって、超越基底の定義から、
RはQ(S)上代数拡大体だから、yは体Q(S)上代数的である。従って、yのR/Q(S)への
最小多項式の次数をnとすれば、何れも或るa_0,a_1,…,a_n∈Q(S)に対して、a_0≠0, a_n≠0 であり、
a_0・y^n＋a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n＝0 …① となる。しかし、超越基底の定義から、
Sの点yはQ上超越的だから、任意のi＝0,1,…,nに対してa_iがQ上代数的となるようなことは、あり得ない。
従って、或るi＝0,1,…,nが存在して、a_iはQ上超越的となる。つまり、a_iは超越数となる。そこで、
Y＝{a_0,a_1,…,a_n}とおき、X＝{a_i∈Y|a_iは超越数} とする。すると、X≠Φ。
0180１３２人目の素数さん
2015/10/27(火) 10:52:26.48ID:NCDeUk7c(>>179の第１段の続き)
a_i∈Xを任意に取る。すると、X⊂Yからa_i∈Y。そして、a_i∈R＼Qであって、同時にa_i∈Q(S)だから、
a_iに対して或る自然数m(a_i)が定まり、自然数m(a_i)をm_iで略記することにすれば、
m_iに対して何れも或る、m_i変数z_1,…,z_{m_i}の有理関数f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i})と
m_i個の点 {z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}∈S が存在して a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i})
となる。Xの点a_iは任意だから、a_iをXの中で走らせると、各a_i∈Xに対して、a_iを表す、何れも或る、
f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i})とm_i個の点{z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}∈S、及び有理関数の形をした式
a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) が定まる。ここで、仮に、各a_i∈Xに対して定まるような、
a_iを表す有理関数の形をした式 a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) における有理関数f_{m_i}の
すべてが定数ではないとして、各a_i∈Xに対して定まるa_iを表す有理関数の形をした式
a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) を、同時にすべて①にすべて同時に代入して
両辺を整理すると、有限個のSの点y , {z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i} , … は体Q上代数的従属なること
が分かり、とりわけy∈Sではなくなって、y∈Sに反し矛盾が生じる。従って、或るa_i∈Xが存在して、
a_iに対して定まるようなa_iを表す有理関数の形をした式 a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i})
におけるf_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i})は定数となる。つまり、f_{m_i}∈Qであって、従ってa_i∈Q。
しかし、a_iは代数的数だから、超越基底の定義から、a_iはa_i∈Sを満たさず、矛盾する。
従って、Sは孤立集合であり、Sの任意の点は孤立点である。
[第２段]：S⊂Rであって、SはRの孤立集合だから、R＼Sは完全集合である
(これは昨日のSが完全集合という予想に反するだろう。card(A)＝2^c の議論には影響しない)。
0181１３２人目の素数さん
2015/10/27(火) 10:54:45.95ID:NCDeUk7c(>>180の続き)
[第３段]：SがRの閉集合の集合Aに属することを示す。
Sは実数体Rにおける有理数体Qの超越基底だったから、超越基底の定義から、
Sの相異なる2点はQ上線型独立である。また、任意のSの点は孤立点である。
1点からなる集合は閉集合なることに着目すると、Sの閉包はS自身に等しいから、
閉集合の定義から、Sは閉集合である。従って、S∈Aである。
[第４段]：Sの部分集合の全体の族Bについて、B⊂Aなることを示す。Φ、S∈Bで、B≠Φ。
空集合ではない集合U∈Bを任意に取る。すると、U⊂Sであり、任意の点x∈Uは孤立点で、
Uは孤立集合である。従って、1つの孤立点だけからなる集合が閉集合なることに着目すると、
Uの閉包はS自身に等しい。閉集合の定義から、Uは閉集合である。従って、U∈A。
Bに属するΦとは異なる集合Uは任意だから、UをB＼{Φ}において走らせると、B＼{Φ}⊂A。
Bに属する集合Φについて、Φ∈A だから、B⊂A。
[第５段]：card(A)＝2^cを示す。
実数直線Rの部分集合の族をFとする。AはRの閉集合の集合だから、A⊂Fからcard(A)≦card(F)で、
card(R)＝c から card(F)＝2^c。従って、card(A)≦2^c。同様に、B⊂Aからcard(B)≦card(A)で、
card(S)＝c から card(B)＝2^cだから、2^c≦card(A)。従って、2^c≦card(A)≦2^c であって、
ベルンシュタインの定理から、card(A)＝2^cを得る。
0182１３２人目の素数さん
2015/10/27(火) 11:46:55.95ID:NCDeUk7c上のようにして超越基底Sが孤立集合なることが示せるから、直観的には非可算集合Sの点は直線R上のどこかで
……●―――――・―――――●……
x-r x(上の1点・) x+r
のように途切れている。任意の点y∈Sの閉包がただ1点yからなる集合{y}に等しくなるように、離散的に分布している。
そして、card(S)＝c だから、Sの点はどこかで稠密に分布している。
だけど、少なくとも card(A)＝2^c なることは上のように示せる。
どこかで、テイラー展開出来る微分可能な関数f(x)が1点で発散するとかいう
奇妙な結果も聞いたことがある。こういうのは、解析をするときに微妙に影響して来る。
な、闇雲な直観は、時として昨日のような誤った判断や結果につながるのだ。
0183１３２人目の素数さん
2015/10/27(火) 12:29:55.40ID:NCDeUk7c>>180の第１段の続きの部分の最後の方の
>しかし、a_iは代数的数だから、超越基底の定義から、a_iはa_i∈Sを満たさず、矛盾する。
は、
>しかし、a_iは代数的数だから、「a_iは超越数ではないことになって」、矛盾する。
と訂正。
0184１３２人目の素数さん
2015/10/27(火) 14:01:18.86ID:NCDeUk7c>>181の第４段の「Uの閉包はS自身に等しい。」の部分の「S」は「U」の間違い。
0185１３２人目の素数さん
2015/10/27(火) 14:36:33.55ID:NCDeUk7c一応、
[第６段]：Sが完全集合なることを示す。
Sが完全集合ではないとすると、完全集合の定義から、或る点x∈Sが存在して、
xに対して或るr＞0が定まり、(S-{x})∩(x-r, x+r)＝Φとなる。開区間(x-r, x+r)に
属するy≠xなる点yを任意に取る。すると、(S-{x})∩(x-r, x+r)＝Φ だから、yは y∈S-{x} を
満たさず、y≠xから、y∈Sではない。n∈N＼{0}を任意に選ぶ。そして、z_1,…,z_n∈Sを任意に取る。
すると、Sは実数体Rにおける有理数体Qの超越基底だったから、超越基底の定義から、
集合{y,z_1,…,z_n}はQ上代数的従属である。よって、集合{z_1,…,z_n}はQにyを添加した
拡大体Q(y)上代数的従属である。開区間(x-r, x+r)のy≠xなる点yは任意だったから、
(x-r, x+r)の点yを代数的無理数とすれば、yに対して或るn∈N＼{0}が存在して、nに対して
何れも或るz_1,…,z_n∈Sが存在して、集合{z_1,…,z_n}は代数拡大体Q(y)上代数的従属となる。
従って、z_1,…,z_nはQ上代数的従属となる。しかし、z_1,…,z_n∈Sだったから、
Sが超越基底の定義を満たさないことになり、矛盾が生じる。
という議論はしたんだが、よく考えるとこの議論も正しいのか。そうすると、>>180の第２段の()内の
>これは昨日のSが完全集合という予想に反するだろう。
が不要になったり、>>182のような直観が間違いでしたw ということになる。
>>182では面白いお絵描きをしたということになる。
0186１３２人目の素数さん
2015/10/27(火) 15:08:12.61ID:NCDeUk7cどうやら、>>182では
>上のようにして超越基底Sが孤立集合かつ完全集合なることが
>示せるから、直観的には非可算集合Sの点は、有理直線Qのように直線状に
>…………………………
>のように途切れて離散的かつ稠密に分布しているようだ。
>任意の点y∈Sの閉包がただ1点yからなる集合{y}に等しくなるように、離散的かつ稠密に分布している。
と書くべきだったようだ。そんな訳で、超越基底Sは非可算な零集合かも知れん。
あと、>>185の第６段の「(x-r, x+r)の点yを代数的無理数とすれば、」は
「(x-r, x+r)の点yをy≠xを満たす代数的無理数とすれば、」と訂正。
0187１３２人目の素数さん
2015/10/28(水) 05:00:37.32ID:3UgS8Hae昨日も何か変なこと考えていたw から、例の濃度が2^cなることの証明だけ書き直す。
実数直線Rの部分集合の族をF、Rの閉集合の集合をAとすると、A⊂Fから、card(A)≦card(F) であり、
card(R)＝c から card(F)＝2^c だから、card(A)≦2^c。ここで、card(A)＝2^c なることを示す。
[第１段]：実数体Rにおける有理数体Qの超越基底Sに対してSの有限部分集合の全体の族をBとすると、B⊂A なることを示す。
Bの定義から、B≠Φ であり、空集合Φは有限集合だから、Φ∈B。X≠ΦなるX∈Bを任意に取る。
すると、X≠Φ から card(X)≧1 である。r(X)＝card(X) とおくと、r(X)は有限な正整数だから、
1≦r(X)＜ℵ_0。以下、r(X)をrで略記することにする。すると、1≦r＜ℵ_0。
(1)、r＝1のとき。このとき、Xに対して或る1点x∈Sが存在して、X＝{x} となる。
従って、S⊂R、X⊂S から X⊂R である。Xは直線R上のただ1点xからなる集合だから、
Xの閉包はXに等しい。Xは直線Rの閉集合だから、X∈A。
(2)、2≦r＜ℵ_0 のとき。このとき、rは2以上の自然数だから、Xに対して何れも或るx_1,…,x_r∈Sが存在して、
X＝{x_1,…,x_r} となる。従って、X＝∪_{i＝1,…,r}{x_i}。ここで、i＝1,…,rを任意に取る。
すると、x_i∈S から {x_i}⊂S であり、S⊂R だから、{x_i}⊂R。{x_i}は直線R上のただ1点x_iからなる集合だから、
{x_i}の閉包は{x_i}自身に等しい。{x_i}は直線Rの閉集合だから、{x_i}∈A。1≦i≦r なる自然数iは任意だから、
自然数iを1≦i≦rを満たすように走らせると、直線R上の有限個の閉集合 {x_1},…,{x_r} の和集合Xは
直線Rの閉集合である。従って、X∈A。
(1)、(2)から、必ず X∈A である。Bに属するような有限部分集合X⊂Sは、条件X≠Φの下で任意だから、
XをS＼{Φ}において走らせると、B＼{Φ}⊂A。従って、Φ∈B から B⊂A である。
0188１３２人目の素数さん
2015/10/28(水) 05:04:22.91ID:3UgS8Hae(>>187の続き)
[第２段]：card(B)＝2^c なることを示す。
Sの有限部分集合X∈Bを任意に取ると、X⊂S である。任意のX∈Bに対して、
SにおけるXの特性関数f_Xを次のように定義する：
任意のx∈Sに対して、x∈Xのとき (f_X)(x)＝1、x∈S＼Xのとき (f_X)(x)＝0。
このようにして定義される、Sにおける、Sの有限集合Xの特性関数全体の集合をYとする。
つまり、Y＝{f_X：S→{0,1}|X∈B, f_XはSにおける有限部分集合Xの特性関数} とする。
すると、超越基底Sの濃度は card(S)＝c 。また、Sの部分集合Xについて、X＝Φ なることと S＼X＝S なることとは
同値である。同様に、Sの部分集合Xについて、S＼X＝Φ なることと X＝S なることとは同値である。従って、card(Y)＝2^c
である。ここで、YからBへの全単射が存在するから、card(Y)＝card(B)。従って、card(B)＝2^c を得る。
[第３段]：card(A)＝2^c を示す。
B⊂A から card(B)≦card(A) であり、card(B)＝2^c だから、2^c≦card(A)。また、card(A)≦2^c。
従って、ベルンシュタインの定理から、card(A)＝2^c を得る。
0189１３２人目の素数さん
2015/10/28(水) 05:20:45.95ID:3UgS8Hae超越基底Sについて、一般に、上下に有界なことの議論は出来ず、
超越基底Sの取り方によって、Sを上に有界としたり、Sを下に有界にしたり、
上下どちらにも有界ではないようにすることが出来て、一概にSの有界性については
何ともいえないから、昨日のような第３、４、５段のような直観的な議論は通用しなかったのだ。
0190１３２人目の素数さん
2015/10/28(水) 05:37:07.77ID:3UgS8Haeそれにしても、マジメに考えてはみたが、どう見ても
例の濃度の議論は、殆ど濃度の議論にしか見えない。
群論とかの議論ではないな。
0191１３２人目の素数さん
2015/10/28(水) 14:03:12.33ID:3UgS8Haeおっと危なかった。間違いがあったから、>>187-188は一旦取り消し。
まあ、何れにしろ、card(A)＝c であるなら、上からの評価も card(A)≦c と出来るのだ。
0192現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/30(金) 21:47:52.71ID:e7a3XQpyいつもいつも、おっちゃんの証明を投下する迫力には圧倒されます（＾＾；
でも、みんな納得してるんかね？
おっちゃんの証明
というか、”おっと危なかった。間違いがあったから、>>187-188は一旦取り消し。”か・・・
”まあ、何れにしろ、card(A)＝c であるなら、上からの評価も card(A)≦c と出来るのだ。”は、どう評価したら良いんだろう？
0193現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/30(金) 21:59:52.96ID:e7a3XQpy>例の濃度の議論は、殆ど濃度の議論にしか見えない。
>群論とかの議論ではないな。
もとの問題から言えばその通り
もとの問題は、>>92記載の564さんの出題だから
ところで、彼 ID:9oIIz4Cl くん>>106は、どうしたんだ？
まだ、何にも書けないのかね？ 勉強不足もいいところだな！（＾＾；
0194１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 00:15:34.30ID:CmWLA97b0195現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 06:27:04.06ID:e+POqdBI君は、本当に恥かきだね
>>173が嘘だと？
>>179が正しいとでも・・
その主張の瞬間に、 ID:CmWLA97bくん、君は、間違った主張をしているんだ
それを悟るときが、いずれ、君にもくるだろう！（＾＾；
0196現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 06:54:03.99ID:e+POqdBIhttp://www.shayashi.jp/xoopsMain/html/modules/wordpress/index.php?m=201309
林晋ブログ 2013年09:（抜粋）
応用哲学会サマースクール （続き）- susumuhayashi @ 11時18分11秒 ２１日に訂正とさらに追加の投稿あり。応用哲学会サマースクール （続きの続き）２０１３．０９．２１
講師の森田さんは、自分の理解が浅いこと、専門家（丸山君）から色々間違いを正してもらったことにレクチャーの際に、ちゃんと言及していたとのこと。
久木田さんに、圏論のレクチャーの司会をしなくてはならないという話を聞いたとき、なんで応用哲学会で、と嫌みを言っておいたのだが、久木田さんのメールによると、水谷さんが、初日のレセプションでの挨拶で、「圏論はトンでも哲学を誘発する危険がある、
そうならないよう圏論の基礎をきっちりと学んでおく必要がある」と発言していて、それが企画の本旨だったらしいとのこと。
しかし、今回のこと、森田さんという方の清々しい対応といい、丸山くんの頑張りといい、若い人たちは実にすばらしい。
丸山君のメールによると、最初ちょっと感情的な行き違いがあったらしく、自分は言い過ぎた（書きすぎた？）ので、謝罪したそうだが、そういう風に、ちゃんと謝罪して修正できること、
また、森田さんという人が、資料改善の努力をし、また、自分の理解ががまだ十分でないことを素直に表明するということ、これは、何も起きないより、よほど素晴らしいことだ。
現在の日本の「おとな」たちは、なんらの失敗も許さないという非現実的態度に終始している。要するに問題が起きたときに対応しないといけない（これを responsibility という。土下座して謝って見せることではない）のを避けようとしているだけ。
僕からみれば、これは大人げない態度だと思う。
多分、失敗することを恥だと思っているのだろうが、もしそうならば、「恥を回避し続け、恥をかかない人生」なんて恥ずかしいのだろう。＃うむ、われながら名言。ハハ :-D :hammer: なんだ？某アニメのOPテーマのパクリだろうが！
僕は、そういう人生を送るのが嫌なので、平気で恥をかくし、失敗する。
しかし、一旦、間違いがあることがわかれば懸命に修正する。そして、そういう間違いと、修正から、よりよい理解や社会が生まれるし、何より生きているのが楽しくなる。
0197現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 08:19:01.12ID:e+POqdBIhttp://ac-net.org/tjst/doc/announce/nsa96.html
1996/7 数学概論B（全学教育２年）
超準数学入門(辻下 徹)
概要
微積分の諸定理は無限小量に基づく直観的議論により 納得できることが多いが、それを証明するには一旦直観的議論を忘れて $\epsilon$-$\delta$ 式の精密な議論によってもう一度証明を見い出さなければ ならないことになっている。
$\epsilon$-$\delta$ 式の議論も一旦習得すれば独特の魅力もあり 何の不都合ないようにみえるかもしれないが、実はその議論の間接性は 生の解析的諸現象を心理的に遠ざけてしまう危険性が大きいのである。
一方無限小の量に基づく発見的議論は直観に基づくことが多く、それに 基づく論証はしばしば誤りに導くことが多い。事実、無限小の量を用いて 信頼の置ける議論をする方法は１９６０年代に数理論理学の進歩によって 初めて発見されたのであった。
この講義の直接の目的は、「無限小量の概念」に基づいて正確な議論を する方法を習得して頂くことであるが、
それだけでなく、それを通して「無限小量の概念」のように一見すると辻妻の あわないようなものが精密な議論の土台となるありさまを経験することにより 数学という学問のもつ役割の一つ
－－形式化しにくいが直観的には明白な 概念を学問の武器に昇格させるという役割－－
を知って頂くことが講義の本 当の目的である。
全資料
PDF （残念ながらリンク切れ）
0198現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 08:36:43.82ID:e+POqdBIPDF （残念ながらリンク切れ）の代用に
下記は、北大 辻下徹先生の1999の講義の一部らしい
http://ac-net.org/tjst/doc/lect/am99/5am99.pdf
きょうの予定
? Forcing としてのCantor の対角線論法
? 超積によるモデル構成
? internal set theory
目次
4.5 **Forcing としてのCantor の対角線論法** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4.6 **初等的埋め込み** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4.7 **超積による初等的埋め込み** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
5 第５回：＜無限＞の柔軟性(2)：internal set theory 2
5.1 記号. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5.2 内的集合論の公理:内包性公理の制限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5.3 理想化公理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5.4 標準化公理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.5 転移公理Transfer . . . . . . . . . . . . . .
5 第５回：＜無限＞の柔軟性(2)：internal set theory
Skolem の定理により、１階の述語論理で記述された自然数の理論に複数の同型ではな
いモデルがあることは、当初は数理論理学の有効性についての否定的な結果と思われい
たのではないかと想像される。しかし、A. Robinson は1960 年頃に、これを利用するこ
とで、無限大や無限小を明確な存在として扱うことが可能になることに気づき、超準解析
Nonstandard Analysis を創始した。これは1977 にE. Nelson により内的集合論(Internal
Set Theory) として数学のすべての分野で使える形式に整備された。以下この形式におい
て、無限集合の不定性がどのように現れているかを調べたい。
0199現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 08:58:46.67ID:e+POqdBIhttp://ac-net.org/tjst/doc/tjst/borel-intro.html
エミールボレル「到達不能数」の紹介 辻下 徹 2008 => 素訳 http://ac-net.org/tjst/doc/tjst/borel-1950.pdf
抜粋
この本は前世紀の半ばにエミール・ボレル(1871-1956)が80歳のときに出版したも のです。
明確なビジョンが得られないま ま、これからの数学者に晩年のボレルが、研究をバトンタッチしようとしたもの と言えます。
問題が根本的なものであるだけに、難しい数学理論を用いるようなテーマではな いので、関心のある高校生でも理解ができる部分がほとんどです。
しかし、現代 数学は、ボレルの問題意識を共有できない方向に流れてしまい、他の言語に訳さ れないまま６０年近くの時が流れました。
現代数学は、この本の主題である巨大 数という概念そのものを否定するところに成立していると言っても過言ではなく、 この本は忘れ去られたのは仕方のないことであったというべきでしょう。
しかし、前世紀後半になると自然数の質的多様性を意識した数学者が、数はわず かですが現れるようになりました。
1964年にはロビンソンが超準 解析を発見しました。数理論理学の発展に支えられた現代数学内の精緻な理論で すが、これによって、普通の数とは質的に異なる巨大数が数学的に精密に使える ようになり、それと同時にゼロではない無限小も利用できるようになりました。
この理論を、解析学におけるニュートン以来の進歩であるとゲーデルは絶賛した ことが知られています。
この理論の原点は前世紀初頭に人々を困惑させたスコーレムの逆理と呼ばれるも のです。数学の理論は「一階の理論」と呼ばれる種類の枠組みで公理化できると 言っても良いのですが、この枠組みの理論では数学的存在を唯一には特定できな いという定理です。
しかし、唯一には特定 できないことを逆用し、異なる「自然数モデル」を利用することで、「巨大数」 を扱えるようになったわけです。
自然数集合と呼ばれ N と書かれている、最小の無 限集合の存在や整合性については、宙に浮いたまま、これを基礎にして現代数学 は進化してきました。
バナッハ・タルスキーの逆理は志賀浩二著「無限からの光芒」で日 本で広く知られるようになりましたが、ボレルは、その原点であるハウスドルフ の逆理を取り上げ、選択公理を使うことの危うさを描出しています
0200現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 09:27:32.90ID:e+POqdBI>下記は、北大 辻下徹先生の1999の講義の一部らしい
分かりました
http://ac-net.org/tjst/lecture.html
Tsujishita's lectures Last modifed 2015.8.28
1999 年度
1999年度後期「数学における不定性」（数学科４年・修士課程） (==> 案内 [99.12.17])
http://ac-net.org/tjst/doc/announce/am99.html
1999年度後期 数理計算理論（数学専攻修士課程）・計算数学特論（数学科４年）
数学における不定性
5. 11月8日 5：＜無限＞の柔軟性（2）：Internal Set Theory (PDF,ps file, gzipped) http://ac-net.org/tjst/doc/lect/am99/5am99.pdf
0201現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 09:43:53.41ID:e+POqdBI「”実数の超越基底S（S⊂R）の全ての要素∀s∈Sを、s+iyのように+iy（iyはs毎に変えて良い）で虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させて、半径εのε近傍Uε(s)の外、つまり各ε近傍Uε(s+iy)が重ならないように、うまく配置することは出来ない”！
これは、おそらく皆さんの直感に反する結果だと思う だから、面白いだろう？ >>136の問題は！」
高校生でも分かるように補足説明しよう
１．有理数体Qの拡大体として実数Rを考える
２．ここで、実数の超越基底S（S⊂R）が存在することは、知識として前提とする
３．超越基底の全ての要素∀s∈Sを、複素平面上の実数の数直線に並べることができるとする（選択公理を仮定する）
４．要素sを中心とする半径εのε近傍Uε(s)を考える
５．これを、虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させる。s→s+iy（iyはs毎に変えて良い）で、Uε(s)→Uε(s+iy)となる
６．Uε(s+iy)が、全て、重ならないような配置は存在しない！
複素平面は、虚数軸方向に、+∞および-∞に広がっている。一方、εはいくらでも小さく取れる
だから、普通の人は、全て、重ならないような配置は可能と思うだろう・・
そこがこの問題の面白さなんだ！（＾＾；
0202現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 10:09:52.70ID:e+POqdBI元の問題>>7
”似たような問題でもう少し難しいものを出しておきます。
問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。”だった。
出題者の564さんには、>>173の背理法が正しいことは、一番分かっているはずだ
では私からの出題
>>201を背理法（>>173）によらず、証明することができるか？
私スレ主は、一応証明らしきことは考えたよ・・（＾＾；
0203現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 10:19:55.75ID:e+POqdBIああだ、こうだ、外野から、あれこれいうヤツがいる。が、「じゃあ、おまえ書いてみろ」というと、何も書けない！ 雑魚だよ！（＾＾；
その点、おっちゃんはえらい！
チャレンジ精神と数学の豊かな知識があるね
私スレ主の知らないことを沢山知っている
”特性関数”か・・・、ボレル先生の素訳 http://ac-net.org/tjst/doc/tjst/borel-1950.pdf で、 1.5 数え上の特性関数.P11と出てくるね（＾＾；
0204現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 10:29:31.89ID:e+POqdBI[PDF]哲学者のための圏論入門 森田>>168
に加えて、以前にも紹介した
灘高 圏論によるプログラミングと論理(PDF) http://www.npca.jp/works/magazine/2013_10/
http://www.npca.jp/works/magazine/
の併読をお薦めします。恐ろしいことに、灘高PDFが森田PDFを完全にカバーしている・・（＾＾；
でも、森田PDFから入ることをお薦めします
0205現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 10:37:32.69ID:e+POqdBIあと、”AwodeyのCategory Theoryの訳書”は、下記を見ておいた方がいいだろう。スレ4は１０００達成したが
圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 4
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1364351100/947-969
947 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/09/24(木) 22:54:54.46 ID:sw0IOYcb [1/2]
AwodeyのCategory Theoryの訳書買って来たけど、
訳の出来は残念ながら絶妙にイマイチですね……
細かい構文の訳し間違いによる意味のズレを挙げ始めたらキリがないので
取り敢えずパラ見して割と大きめの間違いだけ ページ数は訳書
以下略
0206現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 10:57:39.87ID:e+POqdBIそうそう、次の知識も追加しておく
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%AC%A1%E6%95%B0
Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）
ベクトル空間の次元とのアナロジー
ベクトル空間の次元の理論との類似がある。代数的に独立な集合は線型独立な集合と対応し、L が K(S) 上代数的であるような集合 S は spanning sets と対応し、超越基底は基底と対応し、そして超越次数は次元と対応する。
超越基底が常に存在するという事実（これは線形代数学において基底が常に存在するという事実との類似である）は選択公理を要求する。
任意の2つの基底が同じ濃度をもつことの証明は、各設定において、exchange lemma（英語版） に依存する[1]。
0207１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 11:59:26.88ID:GtgS+prU0208１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 13:42:15.05ID:nquRHh21実数直線Rのベキ集合をB(R)、Rの閉集合の族をAとする。すると、A≠Φ。I∈Aを任意に
1つ選んで取ると、I⊂Rであり、R∈B(R)からI∈B(R)だから、card(A)≦card(F)。また、
card(R)＝c から card(B(R))＝2^c。従って、card(A)≦2^c。ここで、card(A)＝2^c
なることを示す。任意のS⊂RなるS∈B(R)に対して、S⊂Rのベキ集合をB(S)とする。
すると、任意のS⊂RなるS∈B(R)に対してB(S)≠Φ。
[第１段]：任意のS≠ΦなるS∈B(R)に対して、1≦card(B(S))≦2^c なることを示す。
S≠ΦなるS∈B(R)を任意に取る。すると、R∈B(R)だから、S⊂Rに着目すると、S∈B(R)。
また、card(R)＝c から card(B(R))＝2^c。S⊂RからB(S)⊂B(R)であり、card(B(S))≦card(B(R))
だから、card(B(S))≦2^c。ところで、Φ⊂SからΦ∈B(S)だから、card(B(S))≧1。
従って、1≦card(B(S))≦2^c。ベキ集合B(R)の元Sは条件S≠Φの下で任意だから、
SをB(R)＼{Φ}の中で走らせると、card(B(R))＝2^c から、任意のS∈B(R)＼{Φ}
について、1≦card(B(S))≦2^c である。
[第２段]：或るS≠ΦなるS∈B(R)が存在して、2≦card(B(S))＜ℵ_0 なることを示す。
B(R)の部分集合Iを、I＝{X∈B(R)|2≦card(B(X))＜ℵ_0} と定義する。すると、
任意のS≠ΦなるS∈B(R)について、1≦card(B(S))≦2^c だから、card(B(R))＝2^c から、
B(R)の各元に選択公理を適用すると、確かにI≠Φとなる。任意の空集合Φとは異なる
集合のベキ集合の濃度は2以上だから、Iの定義から、任意のX≠ΦなるX∈Iに対して
X∈B(R)であり、2≦card(B(X))＜ℵ_0。
0209１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 13:46:45.57ID:nquRHh21(>>208の続き)
[第３段]：包含関係に関するIの極大元Xが存在することを示す。
集合の包含関係は半順序関係である。また、B(R)の定義と card(R)＝c とから card(B(R))＝2^c＞ℵ_0。
ここで、任意のJ∈B(R)について、J⊂Rだから、B(R)の定義から、B(R)の各元に選択公理を適用すると、
何れもB(R)の元つまりRの区間からなるような、次の条件1)、2)を満たし、B(R)に属するRの部分集合
の列{H_n}が構成出来る：
1)：任意の{H_n}の項H_nはB(R)に属する、
2)：H_1＝Φ⊂Rであり、{H_n}は包含関係について単調増加である。
2)から、B(R)の元ΦについてH_1＝Φ⊂R。ここで、X∈B(R)を任意に取る。Xのベキ集合をB(X)とする。
すると、X⊂Rだから、B(X)⊂B(R)。よって、B(R)の定義に注意すると、任意のY≠XなるY∈B(X)に
対してY∈B(R)。任意のY≠XなるY∈B(X)に対して、或るn∈N＼{0}が存在してH_n＝Yとなるとする。
すると、Xは、有限集合、可算無限集合、非可算集合の何れか1つとなる。つまり、
0≦card(X)＜ℵ_0、card(X)＝ℵ_0、card(X)＞ℵ_0 のうち何れか1つ、かつその1つに限り成り立つ。
ここで、Y≠XなるY∈B(X)を任意に取る。すると、Y≠Xであり、Y∈B(R)。そして、ベキ集合B(R)の
定義から、Y⊂X である。
Case1)：0≦card(X)＜ℵ_0 のとき。このとき、card(X)は非負整数だから、Xのベキ集合B(X)の濃度
について、1≦card(B(X))＜ℵ_0。よって、Xに対して或るm∈N＼{0}が存在してH_m＝X。
0210１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 13:50:21.25ID:nquRHh21(>>209の続き)
Case2)：card(X)＝ℵ_0 のとき。このとき、Xのベキ集合B(X)の濃度について、card(B(X))＝2^{ℵ_0}＝c。
また、Y≠Xに注意すると、Y∈B(X)に対して或るm∈N＼{0}が存在してH_m＝Y。ここで、X⊂Xだから、
Xのベキ集合B(X)の定義から、X∈B(X)。よって、B(X)の定義、及びY⊂Xに両方共に着目して、
B(X)の各元に選択公理を適用すると、何れもB(X)の元からなるような、次の2つの条件3)、4)を
両方共に満たし、B(X)に属するRの部分集合の列{I_n}が構成出来る：
3)：任意の{I_n}の項I_nはB(X)に属し、I_1＝Y⊂R、I_2＝X⊂R、
4)：{I_n}は包含関係について単調非減少である。
ここで、X⊂RからB(X)⊂B(R)だから、{I_n}はB(R)に属するRの部分集合の列である。
従って、H_m＝Yから、H_{m+1}＝I_2とすると、3)から、H_{m+1}＝X となる。
Case3)：card(X)＞ℵ_0 のとき。このとき、Xのベキ集合B(X)の濃度について、card(B(X))≧2^{ℵ_0}＝c。
そして、Yの濃度について、0≦card(Y)＜ℵ_0、card(Y)＝ℵ_0、card(Y)＞ℵ_0 のうち何れか1つ、
かつその1つに限り成り立つ。
0211１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 13:52:24.03ID:nquRHh21(>>210のCase3の続き)
Case3-1)：0≦card(Y)＜ℵ_0 のとき。このとき、card(X)＞ℵ_0から card(Y)＜ℵ_0＜card(X) だから、
Yに対して或るm∈N＼{0}が存在してH_m＝Y。同様に、card(X)＞ℵ_0から card(B(X))≧2^{ℵ_0}＝c。
ここで、Y∈B(X)＼{X}だから、Xのベキ集合B(X)の定義から、YはXの真部分集合である。従って、
B(X)の各元に選択公理を適用すると、何れもB(X)の元からなるような、次の条件5)を満たす、
B(X)に属するRの部分集合の列{I'_n}が構成出来る：
5)：任意の{I'_n}の項I'_nはB(X)に属し、I'_1＝Y⊂R、I'_2＝X⊂R である。
ここで、X⊂RからB(X)⊂B(R)だから、{I'_n}はB(R)に属するRの部分集合の列である。
従って、H_m＝Yから、H_{m+1}＝I'_2とすると、5)から、H_{m+1}＝Xとなる。
Case3-2)：card(Y)＝ℵ_0 のとき。
このとき card(X)＞ℵ_0 であり、Y≠X。また、Yに対して或るm∈N＼{0}が存在してH_m＝Y。
従って、Case3-1と同様に考えると、H_{m+1}＝Xとなる。
Case3-3)：card(Y)＞ℵ_0 のとき。
このとき、Yに対して或るm∈N＼{0}が存在してH_m＝Y。また、X⊂Xだから、Xのベキ集合B(X)の
定義から、X∈B(X)。また、Y∈B(X)＼{X}だから、同様に、定義から、YはXの真部分集合である。
従って、ベキ集合B(X)の定義に注意して、B(X)の各元に選択公理を適用すると、何れもB(X)の元から
なるような、次の条件6)を満たす、B(R)に属するRの部分集合の列{J_n}が構成出来る：
6)：任意の{J_n}の項J_nはFに属し、J_1＝Y⊂R 、J_2＝X⊂R である。
ここで、X⊂RからB(X)⊂B(R)だから、{J_n}はB(R)に属するRの部分集合の列である。また、H_m＝Yから
H_m＝J_1 となる。従って、J_2＝Xに着目して H_{m+1}＝J_2 とすると、6)から、H_{m+1}＝X となる。
Case3-1)、3-2)、3-3)から、集合Xが非可算のとき、Xに対して或るm∈N＼{0}が存在して、H_m＝X。
0212１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 13:55:28.52ID:nquRHh21(>>211の続き)
Case1、Case2、Case3 から、Xに対して或るm∈N＼{0}が存在して、H_m＝X。
B(X)の元Yを任意に取ると或るn∈N＼{0}が定まってY＝H_nとなると仮定していたから、
Yを条件Y≠Xの下でB(X)において走らせると、任意のY∈B(X)に対して或るm∈N＼{0}を取ってH_m＝Y
とすると、Xに対して或るk∈N＼{0}が定まりH_k＝Xとなる。従って、B(X)⊂B(R)から任意のY∈B(X)に
対して超限帰納法を適用出来るようになる。そこで、任意のY∈B(X)に対して超限帰納法を用いると、
Xに対して或るn∈N＼{0}が存在して、H_n＝Xとなる。B(R)の元Xは任意だったから、XをB(R)の中で走らせて、
任意にX∈B(R)を取ると、X⊂Rであり、Xに対して或るn∈N＼{0}が存在して、H_n＝Xとなる。
従って、Iの定義からI⊂B(R)なることに着目すると、任意のX∈Iに対して或るm∈N＼{0}が存在して、
H_m＝Xとなる。集合列{H_n}は条件2)を満たし、単調増加だから、I⊂B(R)から、集合列{H_n}の項なるIの元
全体からなる、{H_n}の単調増加な部分列{K_n}は上に有界である。ここで、{K_n}にZornの補題を適用すると、
{K_n}には包含関係に関する極大元が存在する。X∈Iは任意であるから、Iの任意の全順序部分集合は
上界を持つことになる。従って、Zornの補題から、包含関係に関するIの極大元Xは存在する。
0213１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 13:57:10.77ID:nquRHh21(>>212の続き)
[第４段]：包含関係に関するIの極大元XについてB(X)⊂Aなることを示す。
Iの定義から、包含関係に関するIの極大元Xについて、X∈B(R)であり、Xのベキ集合B(X)が定まる。同様に、
Iの定義から、ベキ集合B(X)について、2≦card(B(X))＜ℵ_0 だから、B(X)≠Φ。集合x∈B(X)を任意に取る。
すると、card(B(X))≧2 から、card(X)≧1。また、2≦card(B(X))＜ℵ_0 からcard(x)は有限な非負整数である。
よって、r＝card(x) とおくと、0≦r＜ℵ_0となる。
(0)、r＝0のとき。このとき、card(x)＝0 から、x＝Φ。また、A⊂A。空集合Φの閉包はAに等しいから、
xの閉包はAに等しい。従って、閉集合の集合Aの定義から、x∈A。
(1)、r＝1のとき。このとき、card(x)＝1 だから、集合xに対して或るただ1点y∈Rが存在して、x＝{y}となる。
従って、x⊂Rとなる。xは直線R上のただ1点yからなる集合だから、xの閉包はxに等しい。
xは直線Rの閉集合だから、閉集合の集合Aの定義から、x∈A。
(2)、2≦r＜ℵ_0 のとき。このとき、rは2以上の自然数だから、xに対して何れも或る y_1,…,y_r∈R が
存在して、x＝{y_1,…,y_r} となる。従って、x＝∪_{i＝1,…,r}({y_i})。ここで、i＝1,…,rを任意に取る。
すると、y_i∈Rから{y_i}⊂R。{y_i}は直線R上のただ1点y_iからなる集合だから、{y_i}の閉包は
{y_i}自身に等しい。{y_i}は直線Rの閉集合だから、Aの定義から、{y_i}∈A。1≦i≦rなる自然数iは
任意だから、自然数iを条件1≦i≦rの下で走らせると、直線R上の有限個の閉集合{y_1},…,{y_r}の
和集合xは直線Rの閉集合である。従って、x∈A。
(0)、(1)、(2)から、必ずx∈Aである。B(X)に属する集合xは任意だから、
xをB(X)において走らせると、B(X)⊂Aを得る。
0214１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 13:59:44.10ID:nquRHh21(>>213の続き)
[第５段]：包含関係に関するIの極大元Xについて、card(B(X))≧2^c なることを示す。
Iの極大元X≠Φに対して、Xにおける、Xの部分集合Eの、Xを定義域とする、特性関数f_Eを次のように定義する：
任意のx∈Xに対して、x∈Eのとき (f_E)(x)＝1、x∈R＼Eのとき (f_E)(x)＝0。
このようにして定義されるような、Iの極大元Xに対して定義される、Xにおける、Xの部分集合Eの、
Xを定義域とする、特性関数全体の集合をF(X)とする。つまり、
F(X)＝{f_E：X→{0,1}|f_EはXの部分集合E∈B(X)における特性関数}
とする。すると、XはI≠Φの包含関係に関する極大元だから、任意のY∈IについてY⊂Xであり、ベキ集合B(R)、
及びIの各定義から、X⊂Rの濃度について、card(X)≧card(R)＝c。従って、上に述べた、特性関数、
及び特性関数全体の集合F(X)の各定義から、card(F(X))≧2^c。同様に、定義に着目すると、F(X)からB(X)への
全単射が存在するから、card(F(X))＝card(B(X))。従って、card(B(X))≧2^c を得る。
[第６段]：card(A)＝2^c を示す。
B(X)⊂A から card(B(X))≦card(A) であり、card(B(X))≧2^c だから、2^c≦card(A)。
また、card(A)≦2^c。従って、ベルンシュタインの定理から、card(A)＝2^c を得る。
0215現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 14:30:17.67ID:e+POqdBIこのスレでも、私スレ主は１問正解をしているよ。、>73と>>77-79だ
ID:a5sAw5TAさんは、ハメル基底を使った見事な解答だった>>66-69が、私のは、それとは違う別解だよ
それはそうと、ID:GtgS+prUくん
>>201や、元の問題>>92を考えてみてくれないか？
0216現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 14:35:21.90ID:e+POqdBIおっちゃん、ありがとう
でも、「card(A)＝2^c」の結論が違うと思うんだ（＾＾；
0217１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 14:48:19.54ID:nquRHh21>>211の{J_n}についての6)の「F」は「B(R)」と訂正。
0218１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 15:04:20.96ID:nquRHh21そういうのが直観に反するってことなんだろ。
上からどころか下からもcard(B)をcard(B)≧2^cと評価出来るんだから、
あり得るのはcard(A)＝2^cだけ。>>201で
>３．超越基底の全ての要素∀s∈Sを、複素平面上の実数の数直線に
>並べることができるとする（選択公理を仮定する）
の後の話としているんだろ。そして
>４．要素sを中心とする半径εのε近傍Uε(s)を考える
>５．これを、虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させる。
> s→s+iy（iyはs毎に変えて良い）で、Uε(s)→Uε(s+iy)となる
としているから、選択公理を仮定して直線Rに適用すれば、半径εの近傍U_εを
互いに重ならないように分散させる操作は可能になるだろう。
無限遠点∞を加えない複素平面は上にも下にも有界ではないからな。
0219現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 15:07:05.44ID:e+POqdBIおっちゃん、どうも
実は、私スレ主は解いてないんだ
でも、答えを知った
そして、それは、知っている人には常識のことなんだよ
0220現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 15:12:21.26ID:e+POqdBI0221現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 15:18:15.50ID:e+POqdBI0222１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 15:24:31.26ID:nquRHh21複素平面Cの無限遠点∞の絶対値に相当するモノは+∞で、
平面R^2と同型だから、C上で>>218のような操作は出来るぞ。
何も問題はない。
0223現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 16:09:25.50ID:e+POqdBIそういえば、ここらの話題は、旧スレの現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11 でおっちゃんの問題（下記）から始まっているんだ
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/498 だ
で、私は、http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/508 で正答している
だから、少なくとも２問は正解を出している
0224現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 16:11:36.69ID:e+POqdBIおっちゃん、どうも。スレ主です。
いや、書くと、ネタばらしだから、詳しく書きたくないんだ・・（＾＾；
0225１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 16:37:53.59ID:nquRHh21>３．超越基底の全ての要素∀s∈Sを、複素平面上の実数の
>数直線に並べることができるとする（選択公理を仮定する）
ちなみに、間違っているのはここだろうな。
超越基底Sが零集合でないという保証はないから、Sの点を
直線状に並べるという、選択公理による幾何学的操作は許されない。
これが出来るときは、Sの点を平面上に分布させることも出来る。
どこにも長さや面積の概念における幾何学的な扱いが実数直線Rと
同じになるという保証はない。もし、仮にSが零集合だったら、
有理直線Qのように……………と稠密に点がS上に並んでいるから、
幾何学的扱いとしては有理数体Qと同じになるといってもいい。
……………と離散的に並んでいる状態を―――――と
連続的な非可算集合にすることは出来ない。そんなことしたら長さや
面積などにおける幾何学的形状や扱いが変わる。
……………と並んでいても濃度は非可算な集合なんて沢山ある。
至る所微分不可能な連続関数とかも。
0226現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 16:42:22.38ID:e+POqdBI私スレ主は、新作問題を２つ作った
一つは、現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15 [転載禁止](c)2ch.net
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1439642249/407
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
一つは、このスレ>>173
「”実数の超越基底S（S⊂R）の全ての要素∀s∈Sを、s+iyのように+iy（iyはs毎に変えて良い）で虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させて、半径εのε近傍Uε(s)の外、つまり各ε近傍Uε(s+iy)が重ならないように、うまく配置することは出来ない”！」
付録で
>>202 背理法（>>173）によらず、証明することができるか？
付録があるから、１．５題分か（＾＾；
（もし、新作じゃないという人がいたら教えて）
追伸
最初のは、連続濃度の”べきの濃度”っていうところが新味なんだ。高等数学で、ここまで論じる問題は少ない
後のは、直感に反するところが、意外性があって面白いんだ（＾＾；
因みに、面白い新作問題作成は、教科書の問題を解くよりむつかしいよ（＾＾；
0227現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 16:50:21.22ID:e+POqdBIおっちゃん、どうも。スレ主です。
>>数直線に並べることができるとする（選択公理を仮定する）
>ちなみに、間違っているのはここだろうな。
>超越基底Sが零集合でないという保証はないから、Sの点を
>直線状に並べるという、選択公理による幾何学的操作は許されない。
ここは、微妙。というか、私の力では、YesともNoとも言えない。どう考えたら良いんだろうね？
でも、選択公理を仮定したら可能な気はするよ
>これが出来るときは、Sの点を平面上に分布させることも出来る。
そこは、意見が違うね
0228１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 17:00:40.98ID:nquRHh21超越基底Sが零集合かどうか分からないのにそういうことを
しているということは、直線Rとその上の非可算な零集合について、
ルベーグ測度やら外測度やらを変えていることになるかも知れない。
0229現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 17:53:41.83ID:e+POqdBIおっちゃん、どうも。スレ主です。
零集合か・・・。えらく難しいことを考えているんだね（＾＾；
知らなかったよ。博識やね～
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%AC%E5%BA%A6%E8%AB%96
完備性
可測集合 S が μ (S ) = 0 であるとき零集合 (null set ) という。
測度 μ が完備 (complete ) であるとは、零集合の全ての部分集合が可測であることである。
もちろん自動的に零集合自身が可測となる。
0230現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 17:55:19.83ID:e+POqdBIそもそも、ルベーグ測度は、選択公理なしでは成立しないんじゃないかな？
0231現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 18:36:59.33ID:e+POqdBIルベーグ積分か
昔読んだ話は、下記かな？
有理数体 Qで、実数区間 [0,1] の積分を考える
1Q（ディリクレの関数）を考えて、下記のようにルベーグ積分をすると、ゼロだと
が、1Q（ディリクレの関数）のゼロと１を反転させて、有理数でゼロにしたら？ 積分は１だろ？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E7%A9%8D%E5%88%86
ルベーグ積分
例
有理数体 Q の定義関数 1Q（ディリクレの関数）を考える。この関数は至るところ不連続である。
・1Q は [0,1] 上でリーマン可積分ではない: [0,1] をどのように区間に分割しても、各区間には有理数と無理数の両方が少なくともひとつは入っている。よって、上積分は常に 1 であり、下積分は常に 0 になり、リーマン可積分ではない。
・1Q は [0,1] 上でルベーグ可積分である: 集合の定義関数の積分は定義より ０。
0232現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 19:03:56.32ID:e+POqdBI要は
有理数体 Q（零集合）で、実数区間 [0,1] で、補集合は無理数
1Q（ディリクレの関数）の類似が考えられる
実数での代数的数全体（零集合）と、その補集合は超越数＊）
まあ、理屈は変わらんでしょ
補集合の方、無理数あるいは超越数のときに１になっている1Q（ディリクレの関数）の類似を考えれば
零集合でない補集合の方を集めて積分していると考えることもできる
まあ、言いたいことは、上記のように、零集合か否かは、関係無いように思います
＊）超越数が、超越基底になるけど、非加算無限。だが、測度はどうなのでしょうか？（＾＾；
0233現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 19:48:51.71ID:e+POqdBIおっちゃん、１題出来たね！（＾＾；
１）実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。Sは、零集合か？
２）問題１）が零集合でないとき、ディリクレの関数1Q（有理数で１その他で0を取る関数）の類似で、超越基底で１それ以外で０の値を取る関数を1Tとする。
関数1Tを実数軸そって、-∞から+∞まで積分したとき、値はいくらか？
私には、答えが分かりません（＾＾；
0234現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 21:11:30.70ID:e+POqdBIよくわからんが・・・
しかし、超越基底Sというのは、得たいの知れないものですな～（＾＾；
0235現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 06:57:50.12ID:KxTJyOv3ああだ、こうだ、外野から、あれこれいうヤツがいる。が、「じゃあ、おまえ書いてみろ」というと、何も書けない！ 雑魚だよ！（＾＾；
その点、おっちゃんはえらい！
チャレンジ精神と数学の豊かな知識があるね
私スレ主の知らないことを沢山知っている
”零集合”か・・・、知らなかったね。ネット検索かけたよ。（＾＾；
0236１３２人目の素数さん
2015/11/01(日) 06:59:21.51ID:BrF0s2zuhttps://m.youtube.com/watch?v=qCGXAzgH3tI
0237現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 07:07:26.49ID:KxTJyOv3１．>>202「>>201を背理法（>>173）によらず、証明することができるか？」
２．>>233「１）実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。Sは、零集合か？」
の二つを考えてみてください
元の問題>>92は、おっちゃんのお楽しみにとっておいてください（＾＾；
0238１３２人目の素数さん
2015/11/01(日) 09:36:41.38ID:9EkZMtUp>>219の
>でも、答えを知った
>そして、それは、知っている人には常識のことなんだよ
直観の根拠や拠り所にしているのって、まさか平面を被覆するヒルベルトの曲線か？
これは、しっかりと答えるように。直観の拠り所があるなら、是か非か位は答えられるだろう。
あと、もし超越基底Sが零集合だったら、当然Sには超越数が含まれている。
仮に>>201の３のようなことをしたとしよう。Sは上や下に有界か
どうかも分からんし、ジョルダン可測かどうかも分からんぞ。
仮にジョルダン可測ではなかったとする。そうしたら、直線Rは
非可算な可測集合で、Sは非可算な零集合だから、Sに属する
超越数を直線Rに並べてR上でのジョルダン測度を考えたとき、
結果が異なって来る。だから、３のような操作が見事に結果に影響するぞ。
0239１３２人目の素数さん
2015/11/01(日) 09:41:46.89ID:9EkZMtUp>そして、ベキ集合B(R)の定義から、Y⊂X である。
の部分の「B(R)」は「B(X)」の間違い。
0240現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 10:03:42.25ID:KxTJyOv3おっちゃん、どうも。スレ主です。
おっちゃん、博識やねー（＾＾
ヒルベルトの曲線は、ペアノ曲線かもしれないけど
おっちゃん、”半径εのε近傍Uε(s)”を見落としているよ。これは重要キーワードだ
あと、話が長くなるので、つっこんで書いておくよ
前にも書いたけど、>>92の後半の証明部分はミスリード。ここに入ると、訳分からなくなるよ
それより読み返すと、元の問題>>7の直後の>>8が正解に近い。結論は間違っている（>>11）が。
そのときは気付かなかったが、知ったあとで読み直すとそういうこと（＾＾；
0241現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 10:38:24.61ID:KxTJyOv3http://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/math/contents/kiroku/Guide/fractdim.pdf
フラクタル図形とフラクタル次元とは 静岡大学 理学部 数学科 奥村 善英
（静岡大学 2005夏季オープンキャンパス 数学科ツアー 配布資料）
注意
・無限の操作を行ってペアノ曲線を作った．
・ペアノ曲線を実際には見ることが出来ない． しかし，ペアノ曲線は存在するのである
静岡大学 2005夏季オープンキャンパス 数学科ツアー 配布資料
http://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/math/contents/kiroku/opencampus/05summer/2005MGuidePrn.pdf
http://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/math/contents/kiroku/opencampus/05summer.html
0242現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 10:47:48.19ID:KxTJyOv3ペアノ曲線とどう違う？ ”as a variant of the space-filling Peano curves discovered by Giuseppe Peano in 1890.[2]”か
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_curve
A Hilbert curve (also known as a Hilbert space-filling curve) is a continuous fractal space-filling curve first described by the German mathematician David Hilbert in 1891,[1]
as a variant of the space-filling Peano curves discovered by Giuseppe Peano in 1890.[2]
Because it is space-filling, its Hausdorff dimension is 2 (precisely, its image is the unit square, whose dimension is 2 in any definition of dimension; its graph is a compact set homeomorphic to the closed unit interval, with Hausdorff dimension 2).
0243現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 11:12:31.77ID:KxTJyOv3ペアノ曲線とどう違う？
http://ci.nii.ac.jp/naid/110002936012
空間充填曲線と画像圧縮応用
鎌田 清一郎 KAMATA Sei-ichiro 九州大学大学院 システム情報科学
情報処理学会研究報告オーディオビジュアル複合情報処理（AVM） 1999
G.ペアノは，1890年『平面領域内の全ての点を通過するような曲線』を発見し，その存在を明らかにした．
現在，単位線分を単位超立方体全体へ移すこのような連続曲線は，空間充填曲線，あるいはペアノ曲線と呼ばれている．
この曲線の応用研究は，画像処理，情報検索，計算機ホログラム，リモートセンシングなど様々な分野に及ぶ．
空間充填曲線の中で応用研究の最も多い曲線は，ヒルベルト曲線である．ヒルベルト曲線に沿った画像走査により画像の1次元データが得られるが，この周波数スペクトルを見ると，ラスタ走査より低域にエネルギーがより集中することが確認される．
この近傍保存性の良さから画像圧縮に利用した研究が数多くなされている．本論文では，まず空間充填曲線についての定義といくつかの例を紹介し，次にその画像圧縮の応用研究について幾つかを概観する．
(引用おわり)
そういえば、https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_curve ”Applications and mapping algorithms”があるね
0244１３２人目の素数さん
2015/11/01(日) 11:20:21.22ID:9EkZMtUp>>92の
>２．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。
>３．和集合S1∪S2の各要素を、数直線上に並べることができる。（選択公理より）
についても>>238の後半と同様なことがいえる。ちなみに、
超限帰納法や選択公理等の集合論による解答は当然あっていい。
その解答の方が一般的な議論になる。
ヒルベルトの曲線は、両端を固定して構成していく、正方形内の図形だろう。
範囲が複素平面Cだと、両端を固定することが出来なくなるから、
C内ではヒルベルトの曲線のような図形があるという保証はない。
0245現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 11:29:06.13ID:KxTJyOv3>ヒルベルト曲線に沿った画像走査により画像の1次元データが得られるが，この周波数スペクトルを見ると，ラスタ走査より低域にエネルギーがより集中することが確認される．
>この近傍保存性の良さから画像圧縮に利用した研究が数多くなされている．
ラスタ走査は分かると思うので説明省略（分からん人はぐぐれ）
この話は、>>240に通じる
「近傍保存性の良さ」というのは理解出来ないのでスルーだが、「近傍」というキーワードが出てくるでしょ（＾＾；
要は、２次元画像を1次元データにしたい
そのアルゴリズムってことだろう
デジタル時代で、「近傍」というキーワードが理解しやすくなったかも（＾＾；
２次元に非加算（連続）無限の点がある
現実そのままじゃ、デジタル処理できない。だから、ある半径のε近傍Uε(s)で処理しているわけよ
で、εが小さい方が、画質は良いけど、メモリー食う
で、メモリーは有限なんだ。実生活ではね
で、数学としては、アナロジーとして、εが理想的に小さいとき（メモリー無限大）を考えるとする分かり易いだろうね・・・。どう？（＾＾；
（有限のままで終わったら、算数だから・・・）
0246１３２人目の素数さん
2015/11/01(日) 11:39:44.43ID:9EkZMtUpまあ、位相の問題なのだから、超越基底とかより、集合論がずっと身近になるな。
集合論の手法の方が信憑性は高くなるだろう。通常の感覚ではそうなる。
0247現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 11:52:50.17ID:KxTJyOv3おっちゃん、どうも。スレ主です。
１．率直に言って、>>92の後半で書いた、超越基底Sにはこだわらない方が良いと思う（おそらく使えない）
２．超越基底Sというのは、考えるとわけわらん集合だったから
３．関連する>>202の問題や>>237の問題１で書いておくと
１）あるs∈Sがあったとして、sを開区間（0,1）に入れることができる。超越基底Sの他の要素を変えずに。∵sの整数部分を0にしても、基底として性質は不変で、符合は正に揃えられる
２）同じことを、全てのSの要素について行える。だから、超越基底Sの一つの組みとして、全て（0,1）の数の組みが取れる
３）次に、原点0の周りでε近傍Uε(0)を考える。ε=1/n ( n>１の整数)とする。超越基底Sの要素全てに、1/nを乗じても、超越基底であることは変わらない
４）だから、超越基底Sの一つの組みとして、原点0の周りでε近傍Uε(0)に全て入る組みが取れる
これで、私が感じている超越基底Sのわけのわからさの一端が感じて貰えたろうか（＾＾；
0249現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 11:55:07.95ID:KxTJyOv3おっちゃん、どうも。スレ主です。
そっちの方向で考えてみて
0250現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 12:26:35.89ID:KxTJyOv3一題できた！
実数の超越基底Sの一つの組みとして、原点0の周りでε近傍Uε(0)に全て入る組みが取れる→うまく平行移動させれば、任意の実数rの周りでε近傍Uε(r)に全て入る組みを取ることとできる
だから
問題：実数の超越基底Sの一つの組みとして、任意の実数rの周りでε近傍Uε(r)に全て入る組みを取ることとできるか
この結論を、「超越基底Sの局在定理」と名付けます！ （複素数でも同じ。ｎ次元ユークリッド空間でも同じでしょう。証明書いてないが）
これ、新作だと思うんだ（＾＾；
もし、ここに書いてあるよという方がいれば、教えて下さいm（＿ ＿）m
0251現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 12:30:24.27ID:KxTJyOv3全て入る組みを取ることとできる
↓
全て入る組みを取ることができる
かな。日本語としては
ところで、>>202の問題は、この逆みたいなことを考えているんだ（＾＾；
面白いだろ？
0252現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 12:37:40.23ID:KxTJyOv3「超越基底Sの局在定理」
↓
「超越基底Sの局在可能定理」
とします。こっちの方が、名は体を表すに近いから
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