>>13 つづき

>>7の問題もちょっと考えさせる問題ではあるね。こういう形で、閉集合の濃度を聞いた問題は初見だから、新作かな？
まあ、閉集合の定義（下記）などを見ると、直感的には簡単そうだが、細かい議論では、落とし穴があるね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間

閉集合の補集合は開集合であり、開集合を定める三つの公理にド・モルガンの法則を適用することにより、閉集合の満たすべき性質が定まるが、逆にそれを閉集合の公理として開集合を定め、位相を決定することもできる。すなわち、X の部分集合族 σ が

１．空集合 φ および全体集合 X は σ に属す。
２．σ に属する集合の有限個の合併はふたたび σ に属す。
３．σ に属する集合の任意個（無限濃度をも許す）の交叉はふたたび σ に属す。

を満たすならば、X に σ の元を閉集合とする位相が定まるといい、σ を位相空間 (X, σ) の閉集合系と呼ぶ。

この開集合系による定義と閉集合系による定義は自然同値である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E3%81%AE%E7%89%B9%E5%BE%B4%E4%BB%98%E3%81%91
位相の特徴付け
数学において位相空間の位相は開集合系として定義することが多いが、
それと同値な位相の特徴付けがいくつも知られており、それらは同じ位相空間の圏を定める。どの定義からも位相的概念に対する新たな見方が提供され、多くの位相的概念について更なる事実や一般化の方向性が導き出される。