>>86
(>>99の続き)
ここで、S_1＝S_2 とすると、G_1＝G_2で矛盾が生じるから、S_1≠S_2になる。
G_1≠G_2なる2つの群G_1、G_2∈G(n)は任意だから、G(n)からB(n)への単射が存在する。
逆に、S∈B(n)によって張られる加法部分群G∈G(n)は確かに存在するから、
G(n)からB(n)への全射も存在する。従って、B(n)とG(n)との間には、全単射が存在する。
そして、card(B(n))＝card(G(n)) になる。しかし、Zornの補題から、
各B(n)の基底を取るにあたり、通常の大小関係について、Bのn個の点を小さい方から
順に並べて取ることが出来る。任意の基底 {x_1,…,x_n}∈B(n)に対して、
x_1,…,x_nはZ上線型独立になる。だから、card(B)＝cから、card(B(n))は、
Bの相異なるn個の点を並べたときの順列 c^n＝c に等しい。
つまり、card(B(n))＝cになる。card(B(n))＝card(G(n)) だから、
集合G(n)の濃度はcard(G(n))＝cになる。2≦n＜ℵ_0なる自然数nは
任意に取っていたから、点nををN＼{0,1}上で走らせれば、
card(N＼{0.1})＝ℵ_0から、Bに属するZ上線型独立な、1つの、
2個以上の有限個の点から構成されるBの基底によって張られる、
Rの加法部分群の、全体の、集合 X＝∪_{n＝2,3,…,∞}G(n) の濃度は、
card(X)＝cℵ_0＝c になる。
(1),(2)から、有限次元の場合は解決されて、このときの
Rの加法部分群全体の濃度はc+c+1＝cになる。(1は自明な部分群{0}の個数)