現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止]©5ch.io
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0001現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/11(日) 20:22:42.62ID:RDXEzJ3Oこのスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
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0002現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/11(日) 20:23:39.82ID:RDXEzJ3O新スレ立てたので、件数かせぎ
0003現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/11(日) 20:32:20.17ID:RDXEzJ3Ohttp://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1439642249/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15
407 返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/09/13(日) 23:17:25.69 ID:8lVD4F4L
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
564 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/10/03(土) 07:34:36.14 ID:ikZEN+WS
では私の解答を書いておきます。
命題:C^*を0でない複素数全体のなす乗法群とする。C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ。
証明:複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。また、SはCの部分集合であることから
Sの濃度は実数体の濃度に等しい。Sの部分集合Tに対し、Q(T)をQにTを付加して得られる体、そしてQ(T)^*を
Q(T)の0でない元全体のなす乗法群とする。するとU={Q(T)^* :TはSの任意の部分集合}という集合はC^*の部分群の
集合であり、T_1とT_2が相異なっていればQ(T_1)^*とQ(T_2)^*も相異なるのでUは実数体のべき集合の濃度を持つ。
よってC^*の部分群全体の集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を下回らない。
このことと、C^*のべき集合の濃度が実数のべき集合の濃度に等しいことから命題が従う。(証明終わり)
617 返信：564[] 投稿日：2015/10/09(金) 09:57:44.27 ID:h0FUr9tN
>>597
じゃあ類題を出します。
問題:複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度を求めよ。
これは元の問題の理解度を示す良い試金石だと思います。
これを解いてくれませんか？
0004現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/11(日) 20:34:36.12ID:RDXEzJ3O「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」
は、個人的には新作問題かなと
もとは、おっちゃんの作った問題があって、それを非加算濃度→連続濃度の”べきの濃度”にひねったんだ
0005現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/11(日) 20:35:49.81ID:RDXEzJ3O0006現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/11(日) 20:37:37.94ID:RDXEzJ3Oここで、564の解答があるから、>>617は別に難しくない
というか、・・・、まああんまり書くとネタばらしだから、控えておこう・・
0007564
2015/10/11(日) 21:06:49.09ID:7jDSbCoQ617の問題は簡単過ぎましたか？
でもちゃんとした証明を書くのはスレ主さんの良い勉強になるはずです。
似たような問題でもう少し難しいものを出しておきます。
問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。
0008１３２人目の素数さん
2015/10/11(日) 21:40:26.42ID:VK3wi8Gp可算個の和集合の可算減少列の極限として
表せる部分集合の全体の（無限）部分集合だから
可算濃度
0009１３２人目の素数さん
2015/10/12(月) 05:54:37.29ID:ct7OOLyO連続体仮説はどうすんだ
と尋ねたが
返事が無かった。
0010現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 06:46:39.29ID:bHE7evZIどうも。スレ主です。
前スレ 655 で回答したが、リンク間違っていたから気付かなかった？ リンク訂正は>>657に入れた
もっとも、質問は出題者向けかも知れないけどね
だれへの質問かをはっきりした方が良いね
0011現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 06:53:52.46ID:bHE7evZIどうも。スレ主です。
スマホからかね？
あんまりへんなクセ付けない方が数学では良いとおもうけどね
インフォーマルな仲間での話は別として、学生時代の数学では、省略はおうおう減点対象になるよ
で>>7に対する回答なんだろうが
～だからの部分の主語がない
後半も主語がない
試験の答案なら大減点だろう
かつ、答えが間違っていると思うよ
0012現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 07:41:37.01ID:bHE7evZIどうも。スレ主です。
このスレの趣旨をご理解頂きありがとう
まあ、スレ主の勉強のためのスレではあるけれども、一方みなさまのためのスレでもなければならない
だから、みなさんにも楽しんで貰うことも重要なのだ
もちろん、全ての人を満足することは難しいとしても、多くの人に楽しんで貰うを目指したい
ところで、気がついて頂いたようだが、前スレで引用した角皆 宏 （ツノガイ ヒロシ）先生のPDFは解答の参考になると。それを見れば私がほぼ理解していると・・
もちろん、理解と証明を書くこととは別だ。とくに試験場ではね。が、まあ自宅で時間をかければ、理解がすすめば大概は
また、617の問題（>>3に引用）は、564の解答（>>3に引用）があれば、簡単でしょうよ。564の解答が無ければ、別だが
ところで、新主題に対して、過去スレで引用した下記がある
名無しさんになっているが、私だ。
このPDFが、問題>>7の参考になるだろう
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13
78 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/04/11(土) 23:10:01.30 ID:pLE9DoNh
http://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/basicmath.pdf
数学基礎演習 – 集合と位相 – 2014 年度後期 中川仁（なかがわじん）上越教育大学
命題1.23. X, Y がともに可算集合ならば，直積集合X Y も可算集合である．
例1.18 と命題1.23 より，Z^2 は可算集合である．帰納的にZ^n は可算集合である．
命題1.24 と命題1.23 より，Q^2 は可算集合である．帰納的に，Q^n は可算集合である．
0013現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 07:56:55.88ID:bHE7evZI訂正：新主題→新出題
ところで>>7に戻るが「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」
は、「問題:複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。
複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。」の方が流れが良いだろう
いわずもがなだが、閉集合は定義次第。先にユークリッド位相を宣言すべき。”但し・・”と後付けで書く流儀もあるが、それは”但し・・”の部分が軽いとき（例えばほぼ自明だが念のためとか）
この場合も閉集合は自明に近いが、先の方が流れが良いと思った
ところで、私スレ主が位相に弱いと思っての心遣いと思うが、今後はご無用に
位相に弱いは当たっているし、これはこれで良いが、このスレは単純に問題と解答というスレではないと
位相の勉強を、問題ー解答だけでやっているときりながないだろ？
出題に戻ると、「第一感、簡単じゃないか」と思ったが、結構難しかった。解けたけどね。が、解答を書くと、>>3の解答のネタばらしになるから後で
0014現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 08:29:45.82ID:bHE7evZI>>7の問題もちょっと考えさせる問題ではあるね。こういう形で、閉集合の濃度を聞いた問題は初見だから、新作かな？
まあ、閉集合の定義（下記）などを見ると、直感的には簡単そうだが、細かい議論では、落とし穴があるね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間
閉集合の補集合は開集合であり、開集合を定める三つの公理にド・モルガンの法則を適用することにより、閉集合の満たすべき性質が定まるが、逆にそれを閉集合の公理として開集合を定め、位相を決定することもできる。すなわち、X の部分集合族 σ が
１．空集合 φ および全体集合 X は σ に属す。
２．σ に属する集合の有限個の合併はふたたび σ に属す。
３．σ に属する集合の任意個（無限濃度をも許す）の交叉はふたたび σ に属す。
を満たすならば、X に σ の元を閉集合とする位相が定まるといい、σ を位相空間 (X, σ) の閉集合系と呼ぶ。
この開集合系による定義と閉集合系による定義は自然同値である
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E3%81%AE%E7%89%B9%E5%BE%B4%E4%BB%98%E3%81%91
位相の特徴付け
数学において位相空間の位相は開集合系として定義することが多いが、
それと同値な位相の特徴付けがいくつも知られており、それらは同じ位相空間の圏を定める。どの定義からも位相的概念に対する新たな見方が提供され、多くの位相的概念について更なる事実や一般化の方向性が導き出される。
0015１３２人目の素数さん
2015/10/12(月) 08:35:01.76ID:Ieo7mfZphttps://ja.wikipedia.org/w/index.php?search=%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%A4%89%E6%8F%9B&;title=%E7%89%B9%E5%88%A5%3A%E6%A4%9C%E7%B4%A2&go=%E8%A1%A8%E7%A4%BA
ネーターの定理と位相変換
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86#.E4.BD.8D.E7.9B.B8.E5.A4.89.E6.8F.9B
ネーターの定理（ネーターのていり、英: Noether's theorem）は、
系に連続的な対称性がある場合はそれに対応する保存則が存在する、と述べる定理である。
ドイツの女性数学者エミー・ネーターによって1915年に証明され、1918年に公表された。
0016１３２人目の素数さん
2015/10/12(月) 08:36:22.36ID:epKn6sme0017１３２人目の素数さん
2015/10/12(月) 09:11:38.28ID:Ieo7mfZphttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
テンソル（英: tensor, 独: Tensor）とは、線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので
、基底を選べば、多次元の配列として表現できるようなものである。
しかし、テンソル自身は、特定の表示系によらないで定まる対象である。
個々のテンソルについて、対応する量を記述するのに必要な配列の添字の組の数は、そのテンソルの階数とよばれる。
連続体力学
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E5%8A%9B%E5%AD%A6
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/27/Deformation.png
アインシュタインの縮約記法
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E7%B8%AE%E7%B4%84%E8%A8%98%E6%B3%95
https://upload.wikimedia.org/math/8/0/e/80eb438b3de669d624c20dfd76f191f5.png
https://upload.wikimedia.org/math/5/f/c/5fc3ade3241593fd20f1d6ed29623251.png
https://upload.wikimedia.org/math/6/0/3/603bb353bc358cc2eac7d3f2add1bb19.png
0018現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 09:38:48.04ID:bHE7evZI>でもちゃんとした証明を書くのはスレ主さんの良い勉強になるはずです。>>7
数学屋さんらしいね。が
カントールの集合論で、どこまで戻るか。
まあ、下記濃度の例などは認めないと、２ちゃんねるなんかには書ききれないだろう（＾＾
そもそも、２ちゃんねるなんかで、正面から「証明！」というのが、場違いな気がする（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E6%BF%83%E5%BA%A6
連続体濃度
連続体濃度をもつ集合 例略
連続体濃度よりも大きな濃度 例略
0019現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 10:02:33.44ID:bHE7evZIどうも。スレ主です。誤爆？（＾＾；
ネーターの定理と位相変換での位相は、例えば交流電流の数式で表したときの、下記(ωt + α) のこと（下記）
ひらたく言えば、波の変動部分
物理や工学で波を扱う場合の英語phaseの意味
数学の位相は、英語でtopologyかな？（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8
位相 曖昧さ回避 この項目では、フェイズ (phase) ：波形などを特徴付ける量について説明しています。 トポロジー (topology) ：空間に定まる幾何学的性質については「位相空間」をご覧ください。
位相（いそう、英語: phase）は、波動などの周期的な現象において、ひとつの周期中の位置を示す無次元量で、通常は角度（単位は「度」または「ラジアン」）で表される。
たとえば、時間領域における正弦波を
y(t) = A sin(ωt + α)
とすると、(ωt + α) のことを位相と言う。特に t = 0 における位相 α は初期位相と呼ばれる。
https://en.wikipedia.org/wiki/Topology
Concepts
Topologies on Sets Main article: Topological space
The term topology also refers to a specific mathematical idea central to the area of mathematics called topology.
Informally, a topology tells how elements of a set relate spatially to each other. The same set can have different topologies. For instance, the real line, the complex plane, and the Cantor set can be thought of as the same set with different topologies.
Formally, let X be a set and let τ be a family of subsets of X. Then τ is called a topology on X if:
１．Both the empty set and X are elements of τ
２．Any union of elements of τ is an element of τ
３．Any intersection of finitely many elements of τ is an element of τ
If τ is a topology on X, then the pair (X, τ) is called a topological space. The notation Xτ may be used to denote a set X endowed with the particular topology τ.
0020現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 11:02:12.62ID:bHE7evZI学部３より上→学部３年より上
0021現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 11:08:55.02ID:bHE7evZI旧スレ転載より
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1439642249/
573 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/10/03(土) 10:40:59.66 ID:ikZEN+WS [3/3]
抜粋
>「このときSは非可算濃度を持つ。また、SはCの部分集合であることから
>Sの濃度は実数体の濃度に等しい。」>>564
>の部分はどうなの？連続体仮説不要ですか？
不要です。
理由:CはQ(S)の代数拡大となるのでCの濃度とQ(S)の濃度は等しい。それとQが可算であることからSの濃度は
Cの濃度に等しくなる。よってSは実数体の濃度を持つ。
655 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/10/11(日) 18:21:01.68 ID:RDXEzJ3O [4/10]
抜粋
連続体仮説は、前提にする方が、なにかとすっきりするけどね。考える上で。
が、厳密には>>573の回答が正しいと思う
0022現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 11:33:43.36ID:bHE7evZIQ(S)→Q~(S) or A(S) |Q~ or Aは、Q上の代数的数全体からなる集合は体、とした方が、理論的には綺麗かもね
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number
An algebraic number is a possibly complex number that is a root of a finite, non-zero polynomial in one variable with rational coefficients
(or equivalently ? by clearing denominators ? with integer coefficients). Numbers such as π that are not algebraic are said to be transcendental.
Properties
・The set of algebraic numbers is countable (enumerable).
・Hence, the set of algebraic numbers has Lebesgue measure zero (as a subset of the complex numbers), i.e. "almost all" complex numbers are not algebraic.
・Given an algebraic number, there is a unique monic polynomial (with rational coefficients) of least degree that has the number as a root.
This polynomial is called its minimal polynomial. If its minimal polynomial has degree n, then the algebraic number is said to be of degree n.
An algebraic number of degree 1 is a rational number. A real algebraic number of degree 2 is a quadratic irrational.
・The set of real algebraic numbers is linearly ordered, countable, densely ordered, and without first or last element, so is order-isomorphic to the set of rational numbers.
The field of algebraic numbers
The sum, difference, product and quotient of two algebraic numbers is again algebraic (this fact can be demonstrated using the resultant),
and the algebraic numbers therefore form a field Q~ (sometimes denoted by A, though this usually denotes the adele ring).
Every root of a polynomial equation whose coefficients are algebraic numbers is again algebraic. This can be rephrased by saying that the field of algebraic numbers is algebraically closed.
In fact, it is the smallest algebraically closed field containing the rationals, and is therefore called the algebraic closure of the rationals.
The set of real algebraic numbers itself forms a field.
0023現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 11:37:06.87ID:bHE7evZIQ(S)→Q~(S) or A(S) |Q~ or Aは、Q上の代数的数全体からなる集合は体、とした方が、理論的には綺麗かもね
↓
Q(S)→Q~(S) or A(S) |Q~ or Aは、Q上の代数的数全体からなる体、とした方が、理論的には綺麗かもね
まあ、要するに、Q~(S) or A(S) としておけば、これはCに一致する
そして、Q~ or Aは、countable (enumerable)で、Sに対して同じ論法が成り立つ
0024現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 11:37:48.76ID:bHE7evZI0025現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 14:14:57.78ID:bHE7evZI現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15 [転載禁止](c)2ch.net
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1439642249/
652 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/10/11(日) 18:09:06.87 ID:RDXEzJ3O
どうも。スレ主です。ノーベル賞ネタ投下
http://www.sankei.com/west/news/151011/wst1510110025-n1.html
2015.10.11 【ノーベル賞】今年は山梨に埼玉、いや徳島や長崎だって… 旧帝大には負けない地方大学の受賞ラッシュ 産経
（引用おわり）
まあ、３０まで埋めたいので（＾＾
”旧帝大には負けない地方大学の受賞ラッシュ”ね
今年は、確かにそういう年
0026現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 14:24:40.21ID:bHE7evZIhttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%9D%91%E6%99%BA
大村智
生い立ち
山梨県北巨摩郡神山村（のちの韮崎市）にて生まれた[5][6]。1954年、山梨県立韮崎高等学校を卒業後[7]、山梨大学の学芸学部自然科学科へ進学した。
大学では丸田銓二朗に師事し、クロマトグラフィーを習得したものの、成績は不振だった[8]。1958年、山梨大学の学芸学部自然科学科を卒業した[9]。
大学卒業後は、理科の教諭として東京都立墨田工業高等学校の定時制に勤務した[8]。1960年、東京教育大学の研究生となった。
東京教育大学では、中西香爾に師事した[8]。1963年、東京理科大学の大学院にて、理学研究科の修士課程を修了した[9]。大学院においては、中西香爾の紹介で都築洋次郎の研究室に所属し、働きながら5年かけて修士号を取得した[10]。
なお、のちに複数の大学から博士号を取得しており、[1968年]]には「Leucomycinに関する研究」により東京大学から薬学博士の学位を授与されており、
1970年には「ロイコマイシン、スピラマイシン及びセルレニンの絶対構造」により東京理科大学から理学博士の学位を授与されている。
研究者として
1963年、文部教官として採用され、山梨大学の工学部発酵生産学科の助手となった。これは丸田銓二朗の紹介により採用に至ったものであり、加賀美元男の研究室でブランデーの製法の研究に従事した[11]。
1965年、山梨大学を退官し、社団法人である北里研究所にて技術補として採用された[9]。
1971年には、ウェズリアン大学の客員教授も兼任することになった[9]。カナダの国際会議で知り合ったアメリカ化学会会長のマックス・ティシュラーに対して留学を打診し、採用に至ったものである。
メルク・アンド・カンパニーからの研究費も獲得することに成功した[13]。
日本に帰国し、1973年に北里研究所にて抗生物質研究室の室長に就任した[14]。また、メルク・アンド・カンパニーとの共同研究を開始した[8]。
業績
45年余に亘り独創的な探索系を構築し、微生物の生産する有用な天然有機化合物の探索研究を続け、これまでに類のない450種を超える新規化合物を発見した。
0027現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 14:26:46.02ID:bHE7evZIhttp://kotowaza-allguide.com/ni/ningenitarutokoroseizan.html
人間到る処青山あり - 故事ことわざ辞典
【読み】 にんげんいたるところせいざんあり
【意味】 人間到る処青山ありとは、世の中は広く、死んで骨を埋める場所ぐらいどこにでもあるのだから、大望を成し遂げるためにならどこにでも行って、大いに活躍するべきであるということ。
【人間到る処青山ありの解説】
【注釈】 「人間」は、人の住む世界・世の中という意味で、「じんかん」とも読む。
「青山」は、死んで骨を埋める地・墓地のこと。
幕末の僧、釈月性の詩「男児志を立てて郷関を出ず、学若し成る無くんば復還らず、骨を埋むる何ぞ墳墓の地を期せん、人間到る処青山あり」から。
0028現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 14:31:53.80ID:bHE7evZI大村智先生の例を覚えておくことだ
紆余曲折
人間到る処青山あり
0029現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 14:36:21.66ID:bHE7evZI梶田隆章
生い立ち
1959年3月9日、埼玉県東松山市に生まれる。幼少期から特に自然科学に興味があったわけではなかったが、暗記よりも考える勉強を好み、高校の授業で物理に興味を持ったことから埼玉大学で物理学を専攻した[5]。
自身について、真面目で楽観的な性格だから研究を続けられた、としている。
学歴
大学卒業後、東京大学大学院理学系研究科に進み、小柴昌俊研究室に入る[8]。研究室では小柴、戸塚洋二の下で宇宙線研究に従事した[9]。
素粒子に特に強い関心があったわけではなかったが、「何となく興味があった」という理由で研究室を選んだという[6]。
業績
ニュートリノ研究を始めたのは、東大理学部助手になって間もない1986年のことである。ニュートリノの観測数が理論的予測と比較して大幅に不足していることに気づき、それがニュートリノ振動によるものと推測した。
ニュートリノ振動とは、ニュートリノが途中で別種のニュートリノに変化するという現象であり、ニュートリノに質量があることを裏付けるものである。
これを明らかにするためには膨大な観測データが必要であり、岐阜県神岡町（現・飛騨市）にあるニュートリノの観測装置カミオカンデで観測を始めた。
転機となったのはカミオカンデより容積が15倍大きいスーパーカミオカンデが1996年に完成し、観測データが飛躍的に増大してからだった。
1996年よりスーパーカミオカンデで大気ニュートリノを観測、ニュートリノが質量を持つことを確認し、1998年ニュートリノ物理学・宇宙物理学国際会議で発表。1999年に第45回仁科記念賞を受賞した。
これらの成果はすべてグループによる研究の賜物であった[10][11][12]。
2015年のノーベル物理学賞をアーサー・B・マクドナルドと共に受賞[4]。受賞理由は「ニュートリノが質量をもつことを示すニュートリノ振動の発見[4]」である。
0030現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 14:40:36.85ID:bHE7evZIhttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%88%B8%E5%A1%9A%E6%B4%8B%E4%BA%8C
戸塚 洋二 (とつか ようじ、1942年3月6日 - 2008年7月10日) は日本の物理学者。東京大学特別栄誉教授。静岡県富士市出身。富士市名誉市民(第1号)[1]。
1995年には神岡宇宙素粒子研究施設長に就任、1997年からは東京大学宇宙線研究所長。翌1998年、スーパーカミオカンデでニュートリノ振動を確認しニュートリノの質量がゼロでないことを世界で初めて示した。
2001年に起きたスーパーカミオカンデの光電子増倍管の70%を損失する大規模破損事故の責任をとり、東京大学を辞職した[要出典]。翌2002年には高エネルギー加速器研究機構素粒子原子核研究所教授となった。2003年より2006年まで同機構長。
2008年7月10日、直腸ガンのため死去 (66歳没) 。2002年のノーベル物理学賞受賞者・小柴昌俊の愛弟子の一人だった。
小柴は文藝春秋2008年9月号に寄稿した追悼文集「弟子の弔辞を読む痛恨」において、戸塚の告別式での弔辞で「あと十八ヶ月、君が長生きしていれば、国民みんなが喜んだでしょう」と、ノーベル賞受賞を期待されながらの死去を惜しんだことを明かしている。
没後の2009年に平成基礎科学財団が戸塚の功績を記念して「戸塚洋二賞」を創設した[2]。
なお、同じく小柴門下の一人にして戸塚から指導を受けた人物であり、第1回の「戸塚洋二賞」受賞者でもある梶田隆章が2015年にノーベル物理学賞を受賞し、戸塚が果たせなかった悲願を実現させる形となった[3]。
0031現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 14:43:09.84ID:bHE7evZI梶田隆章さん、運も実力のうち
埼玉大学からのノーベル賞は初だろう
0032現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 14:49:57.92ID:bHE7evZI太陽ニュートリノ問題
太陽ニュートリノ問題（たいよう～もんだい、英: Solar neutrino problem ）は、地球を貫通していくニュートリノの観測数が、太陽内部の理論的モデルから予測される値と一致しないという問題である。
1960年代半ばから続く問題とされてきたが、2002年に解決した。この不一致は素粒子標準模型を修正したニュートリノ物理の新しい解釈であるニュートリノ振動により解決された。
これは質量をもつ太陽内部で生成されたニュートリノが、伝搬の過程で存在確率が周期的に変化（振動）することにより検出器で同時には捉えられない別の2つのフレーバーのニュートリノに交換されるためと説明される。
初期の観測
1960年代後期、レイモンド・デイビスやジョン・バーコールらが、太陽からのニュートリノ線の予測値からの不足を最初に観測した。Homestakes の実験は塩素を使った検出器で行われたが、その後放射化学や水のチェレンコフ光を使った検出器でも確認された。
標準太陽モデル（英語版）によると、現在の太陽から輻射されるエネルギーが全て核融合から賄われるとすれば、観測されたニュートリノの値よりも大きくなければならず、理論を含めた検討がなされた。
つづく
0033現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 14:55:24.99ID:bHE7evZIhttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%AA%E9%99%BD%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%8E%E5%95%8F%E9%A1%8C
ニュートリノ振動の発見による解決 詳細は「ニュートリノ振動」を参照
太陽ニュートリノ問題は改良されたニュートリノの特性についての理解によって解決された。素粒子物理学の標準理論によれば、三種類の異なるニュートリノがある。
・電子ニュートリノ (太陽で生み出されるもので、Homestake等の実験で観測されたもの),
・ミューニュートリノ
・タウニュートリノ
1968年にはブルーノ・ポンテコルボがもしニュートリノが質量を持つなら、その種類を別のものに変化させることができることを示した。[note 1]
したがって、太陽からの「失われた」電子ニュートリノは地球への道のりで他の種類に変化しため、電子ニュートリノしか検出できない Homestake 鉱山や同時代のニュートリノ観測所の検出器では見つけられなかった可能性が残った。
1987年、超新星 1987AからのニュートリノがカミオカンデとIMBで検出された。しかしながら、検出数が非常にわずかであったため、確実性を持って何らかの結論を導くのは困難だった。[note 2]
1998年、ニュートリノ振動の最初の強力な証拠が日本のスーパーカミオカンデの共同研究によってもたらされた。
ミューオンニュートリノ（宇宙線によって上層の大気で生成される）がタウニュートリノに変化すると考えれば矛盾しない観測結果が得られた。
そして、この観測では地球の大気と宇宙線の相互作用からくるミューオンニュートリノのみに着目していた。タウニュートリノはスーパーカミオカンデでは観測されない。
2001年になると、太陽ニュートリノ振動の説得力のある証拠がカナダのサドベリー・ニュートリノ天文台 (SNO)によってもたらされた。
SNOでは太陽から来るすべての種類のニュートリノを検出し、重水を検出媒体に用いることで電子ニュートリノと他の2つのフレーバーとを区別することができた（ミューとタウのフレーバーは区別できない）。
広範囲にわたる統計解析ののち、太陽から届くニュートリノの約35%が電子ニュートリノでその他がミューまたはタウニュートリノであることがわかった。
検出されたニュートリノの全数は、以前の太陽内部の核融合反応に基づく原子核物理学の予測と非常によく一致した。
0034現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 15:01:38.34ID:bHE7evZI>梶田隆章さん、運も実力のうち
"1986年のことである。ニュートリノの観測数が理論的予測と比較して大幅に不足していることに気づき、それがニュートリノ振動によるものと推測した。">>29
"1968年にはブルーノ・ポンテコルボがもしニュートリノが質量を持つなら、その種類を別のものに変化させることができることを示した。">>33だから、梶田さんの推測は学術的には意味があまりない
やはり、”1998年、ニュートリノ振動の最初の強力な証拠が日本のスーパーカミオカンデの共同研究によってもたらされた。”が大きい
梶田さん自身が言っているように、あくまで共同研究で、自分一人ではないと
2015年代表してノーベル賞、それは運でもあり、もちろん実力でもある
0035現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 15:05:26.37ID:bHE7evZI>1987年、超新星 1987AからのニュートリノがカミオカンデとIMBで検出された
これが小柴先生のノーベル賞受賞理由になった
５００年に一度という超新星を捉えた幸運
だが、２０１５年の受賞で、小柴先生はその実力を示した（最初にニュートリノ天文学のレールを引いたという意味で）
0036現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 15:14:00.31ID:bHE7evZI湯川先生のノーベル賞も、ニュートリノが絡んでいるのだった（下記）
http://wiki.yukawa100.org/index.php?%C3%E6%B4%D6%BB%D2%A4%C8%A6%C2%CA%F8%B2%F5
中間子とβ崩壊
「湯川論文の概要」の「β崩壊の説明（＝弱い相互作用）はニュートリノが関与」というのは、フェルミがすでに発表していた内容で、湯川は、β崩壊の際にも「中間子を媒介として」転換が起こるという説を提唱したのです。
これは正しくはありませんでしたが、後に弱い相互作用はWボソンによって媒介されるという理解へと発展する基礎を与えたという意義があるのです。
フェルミの理論は、ニュートンの運動方程式や、マックスウェル方程式の様に、現在でも通用する理論で、当時知られていたベータ崩壊をことごとく説明するものだったと聞いています。つまり、フェルミの理論は大成功だったわけです。
で、湯川は自分の理論からこのフェルミの理論を演繹することを企てました。フェルミ理論を自分の理論で説明しようと思ったわけで、フェルミ理論より自分の理論がより根源的なものであることを示そうとしたのです。
それが4章です。その後、湯川粒子が発見されて、その性質が知れるようになると、湯川の試みは実験事実と合わなくなり、今日に残っていないようです。
ただし、フェルミの理論をUで説明しようとした思想は、現在の標準理論では、Uの代わりにWボソンとして現実化していると言われることがあります。
0037現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 15:25:58.28ID:bHE7evZI研究に使う多量の重水調達が容易だったかも知れないね
https://ja.wikipedia.org/wiki/CANDU%E7%82%89
CANDU炉（英語: CANDU reactor）とは、中性子の減速及び燃料の冷却に、共に重水を使用することを特徴とする原子炉のことである。
減速材に重水を使用することから重水炉に分類される。CANDUとはCanadian deuterium uraniumの略である。1960年代にカナダ政府と民間企業との合弁企業によって設計された。
特徴
・中性子の減速に重水を使用する
・天然ウランが使用できるため、ウラン濃縮の必要性がない
この点は、ウラン資源が豊富なカナダにおいては、特に利点となる
0038１３２人目の素数さん
2015/10/12(月) 15:51:24.51ID:WXWksHFOお久しぶりです。おっちゃんです。
>ここで、564の解答があるから、617は別に難しくない
617を解くのに超越基底はいらない。それどころか、体も殆どいらない。
本当に簡単な複素解析、加法群の定義、集合論の知識があれば十分かな。
617を解くにあたっては、連続体仮説の問題も関係ない。
で、答えは、自然数全体からなる集合の濃度をℵ_0として、実数直線Rの濃度2^{ℵ_0}。
何か凄いバトルやっていたようだな。
0039１３２人目の素数さん
2015/10/12(月) 16:21:40.27ID:WXWksHFO例えば、617は
複素数体Cの「加法」部分群全体の集合をAとする。実数直線Rは複素平面Cの空でない真部分集合である。
また、通常の加減乗除の演算について、実数直線Rは加法群として扱うことが出来、同様に、複素平面C
は加法群として扱うことが出来る。従って、R、Cを両方共に、通常の加減乗除の演算について加法群と
見なすと、通常の加法+の演算について、Rは加法群Cの部分群である。従って、A≠Φである。ここで、
Cの加法部分群G∈Aを任意に取る。すると、複素平面C上の点0は加法群Cの単位元であることに注意すると、
Gの単位元は点0である。G⊂Cなることに注意して、Gの各元zに対して、zの実部をRe(z)、zの虚部をIm(z)
とする。すると、任意のzに対してRe(z),Im(z)∈R。また、加法群Rは加法群Cの加法部分群である。複素
平面C上において実軸と虚軸は直交するから、Gは、或る1つの複素平面C上の点0を通る直線上の全体から
なるような集合である。Cの加法部分群Gは任意であるから、GをAの中で走らせると、Aの濃度は、平面C上の
点0を中心とする、半径1の半円の、平面Cの実軸を含むような平面Cの上半分にあたる部分における点全体
からなるような、平面Cの部分集合における、半円の弧C'からC'の1つの端点-1を除いて出来る部分集合
C'-{-1}の濃度に等しい。つまり、Aの濃度は、平面Cの上半平面における点0を中心とする半径1の半円の弧の
部分集合に、平面Cの点1を加えた曲線C'-{-1}の濃度に等しい。ここで、偏角の不定性に注意すると、C'-{-1}
は、C'-{-1}＝{e^{θi}∈C|0≦θ＜π}と表せる。また、区間[0,π)からC'-{-1}への全単射が存在する。従って、
C'-{-1}の濃度は区間[0,π)の濃度に等しい。C'-{-1}の濃度はAの濃度に等しいから、Aの濃度は区間[0,π)の
濃度に等しい。区間[0,π)は区間[0,1)を含み、区間[0,1)の濃度は実数直線Rの濃度2^{ℵ_0}に等しいから、
区間[0,π)の濃度は2^{ℵ_0}である。
というように解けますな。まあ、もしかしたら、解くにあたって細部の論理の飛躍があるかも知れんが、
大体の方針は上のようになる。
0040１３２人目の素数さん
2015/10/12(月) 16:29:45.53ID:WXWksHFO>>39の
>すると、任意のzに対してRe(z),Im(z)∈R。
の部分は、正確には
>すると、任意の「z∈G」に対してRe(z),Im(z)∈R。
だな。まあ、一般に任意の複素数zに対してRe(z),Im(z)∈Rで、
このあたりは何ともいえんが。
0041１３２人目の素数さん
2015/10/12(月) 16:40:08.16ID:ct7OOLyOそうだろう？ だからこそ、
2^{自然数の濃度} が 連続体濃度 と同じか否か
が問題になる。最初から言っているじゃないか。
0042１３２人目の素数さん
2015/10/12(月) 16:52:16.48ID:WXWksHFOあっ、あと>>39では問題を解くときに一応最後に肝心な？
>区間[0,π)は区間[0,1)を含み、区間[0,1)の濃度は実数直線Rの濃度2^{ℵ_0}に等しいから、
>区間[0,π)の濃度は2^{ℵ_0}である。
のあとに
>従って、Aの濃度は2^{ℵ_0}である。
という文章を付け加えるのを忘れた。こういうのは、直前に
>Aの濃度は区間[0,π)の濃度に等しい。
と書いてあるから、文章の流れとしてはなくてもいいとは思うが。
0043現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 17:57:35.27ID:bHE7evZIおっちゃん、どうも。スレ主です。
ご無沙汰です
>で、答えは、自然数全体からなる集合の濃度をℵ_0として、実数直線Rの濃度2^{ℵ_0}。
そこは、ちょっと意見が違う
>何か凄いバトルやっていたようだな。
この程度は、最初のおっちゃんの問題のときに比べればあれですよ
0044現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 18:01:44.93ID:bHE7evZIどうも。スレ主です。
またまた、おっちゃんらしい
がーーーと、見にくい証明書いて（＾＾；
正直読む気がしないけど
結論が違うというのは、>>43の通り
まあ、あんまり書くとネタばらしだから・・・
0045現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 18:08:35.95ID:bHE7evZI>>3に引用した旧スレ564の超越基底Sを使う証明は納得しているの？ それをちょっと確認しておきたかったんだ（＾＾
0046現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 18:31:11.23ID:bHE7evZI閉集合の公理１～３で、閉集合が定まる
一見簡単そうだが・・・
任意の部分集合を取ったときに、開か閉かどちらでもないかの３種類
ここらをどう処理するか
まあ、皆さんも考えて下さい
0047564
2015/10/12(月) 19:26:37.06ID:towYU6hL>ここで、
>Cの加法部分群G∈Aを任意に取る。すると、複素平面C上の点0は加法群Cの単位元であることに注意すると、
>Gの単位元は点0である。G⊂Cなることに注意して、Gの各元zに対して、zの実部をRe(z)、zの虚部をIm(z) >
>とする。すると、任意のzに対してRe(z),Im(z)∈R。また、加法群Rは加法群Cの加法部分群である。複素
>平面C上において実軸と虚軸は直交するから、Gは、或る1つの複素平面C上の点0を通る直線上の全体から
>なるような集合である。
これは間違いです。例えば実部と虚部がともに整数値の複素数全体のなす加法部分群LはAの元ですが、
もちろん点0を通る直線ではありません。
この証明は正しくありません。
>>41
連続体濃度が2^{自然数の濃度}として定義されるものなのでこの２つが等しいのは定義そのものです。
連続体仮説は自然数の濃度と2^{自然数の濃度}の間に他の濃度がないという主張なのでこの話とは無関係です。
0048現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 20:49:50.82ID:bHE7evZIどうも。スレ主です。
564さん、レスありがとう。が、書いちゃったね・・（＾＾；
ぼかしてたんだよ、それ（前半部分）>>44
でも、これで分かったろう？ >>12に書いたこと
おれが全部解いたら、みなさんの勉強の機会をうばうことになると（＾＾；
0049１３２人目の素数さん
2015/10/12(月) 21:44:48.79ID:F9Nd69n1＞ぼかしてたんだよ、それ
後出しジャンケン乙
0050１３２人目の素数さん
2015/10/12(月) 21:55:49.06ID:ct7OOLyO連続体濃度の定義は、実数の濃度だろ。
対角線論法から♯N＜♯R、実数の小数表記から♯R≦♯pow(N)
だから、連続体仮説から♯R＝♯pow(N)になる。
0051564
2015/10/12(月) 22:57:01.07ID:towYU6hL連続体仮説が無くてもpow(N)からRへの単射は作れるので#pow(N)=#Rは成り立ちますよ。
0052１３２人目の素数さん
2015/10/16(金) 09:29:03.34ID:q0g452AGおっちゃんです。
>>3の「Sの部分集合Tに対し、」の部分では「T≠Φ」を仮定していて、
超越基底の定義からS⊂Cなのだから、T⊂Cだな。そして、
>U={Q(T)^* :TはSの任意の部分集合}という集合はC^*の部分群の集合
では、複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sとしていて、同様に定義から、C＝Q(S)から
C^*＝Q(S)^* だから、Uは「C^*の部分群(全体からなる集合)の(部分)集合」になる。
例えば、通常の乗法についてのC^*の部分群{1}は、体ではないから、集合Uには属さない。
このことからも、Uは、部分集合なることは分かる。後は、Sの濃度card(S)が2^{ℵ_0}＝c
に等しいから、Uの定義からcard(U)がSのべき集合の濃度2^cに等しいことがいえる。そして、
>T_1とT_2が相異なっていればQ(T_1)^*とQ(T_2)^*も相異なるのでUは実数体のべき集合の濃度を持つ。
では、(多分)Sの「部分集合T全体」のUにおける特性関数を考えて、card(U)＝2^c といっている。あとは、
>よってC^*の部分群全体の集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を下回らない。
では、card(C^*)＝card(R^*)＝c を使って、(多分)R^*のベキ集合Bの濃度card(B)が＝2^c
なることをいって、同様に、C^*のベキ集合Aの濃度card(A)が＝2^cなることをいっている。
だから、最後は、card(U)＝2^c、card(B)＝2^c から card(U)＝card(B) が従い、実数体Rの濃度
はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(R) といっている。
0053１３２人目の素数さん
2015/10/16(金) 12:10:12.20ID:q0g452AG>>47
確かに>>39などの文章「だけ」では間違いになるが、39の考え方は使える。
(1)：39では、Cの加法部分群全体の、或る、複素平面C上の1次元の連結な加法部分群の、全体の、場合になる。それだから、
(2)：今度は、Cの加法部分群全体の、或る、複素平面C上の直線上の不連結な加法部分群の、全体の、場合を考えればいい。
(2-1)：この場合は、はじめに、加法群R上の不連結な加法部分群全体A_1の濃度card(A_1)を、求めればいい。
濃度がcard(R)＝cなる加法群Rの不連結な加法部分群を考えているから、A_1の群Gを任意に取ると、
任意の点a∈G(,R)の閉包は1点aからなる空間{a}⊂Rになることに着目すると、加法群の定義とA_1の定義から、
card(A_1)＝c になる。これは、A_1からRへの全単射が存在すること、換言すれば、
任意の群G∈A_1が、G＝{na|n∈Z, aは直線R上の或る定まった1点} と表せることから分かる。
(2-2)：で、次に、Cの加法部分群全体の、或る、平面C上の、如何なる直線上にもすべての点が存在する訳ではない
ような、不連結な加法部分群の、全体の、場合、を考えればいいが、この場合の濃度は、39と同様に考えれば、
(2-1)から、Cの加法部分群全体の、或る、平面C上の、如何なる直線上にもすべての点が存在する訳ではない
ような、不連結な加法部分群の、全体の、濃度は、(2^{ℵ_0})^2＝c^2＝c と分かる。
(3)：あとは、Cの加法部分群全体の、平面C上の、2次元の連結な加法部分群全体の場合は、平面Cに限られて、濃度は1。
従って、(1)～(3)から、複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度は、2^{ℵ_0}つまりcになる。
大雑把過ぎるだろうが、上のように考えればいい。
0054１３２人目の素数さん
2015/10/16(金) 14:29:37.63ID:q0g452AG>>52の最後の
>実数体Rの濃度はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(R) といっている。
の部分の「実数体Rの濃度」は「実数体Rのベキ集合の濃度」の間違いな。
このことは、card(R^*)＝card(R)＝c なのだから、すぐ分かるな。
まあ、今度は18日の日曜に来るわ。
0055１３２人目の素数さん
2015/10/16(金) 14:41:50.26ID:q0g452AGあ～、>>54の訂正については取り消しで、正しくは、>>52の最後の
>だから、最後は、card(U)＝2^c、card(B)＝2^c から card(U)＝card(B) が従い、実数体Rの濃度
>はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(R) といっている。
の部分は、
>だから、最後は、card(U)＝2^c、card(B)＝2^c から card(U)＝card(B) が従い、「実数体Rのベキ集合の濃度」
>はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(「Rのベキ集合」) といっている。
と訂正な。何れにしろ、card(R^*)＝card(R)＝c なのだから、すぐ分かるな。
まあ、今度は18日な。
0056１３２人目の素数さん
2015/10/16(金) 15:45:19.93ID:q0g452AGまあ、正確には「card(U)＝card(「Rのベキ集合」) 」は「card(「乗法群C^*の部分群全体」)＝card(「Rのベキ集合」) 」だな。
U⊂乗法群C^*の部分群全体⊂C^*のベキ集合A で、card(U)≦card(乗法群C^*の部分群全体)≦card(A) だから、
card(A)＝card(U)＝2^c から 2^c≦card(乗法群C^*の部分群全体)≦2^c で、ベルンシュタインの定理から
card(乗法群C^*の部分群全体)＝2^c が従うと。まあ、>>3では、暗にそういうことをいっている。日曜まで、そんじゃね。
0057１３２人目の素数さん
2015/10/16(金) 21:58:06.91ID:L+oJ2zpgあと何回来るんだかな。
0058現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/16(金) 22:27:36.47ID:gHCHyb0vおっちゃん、564さん、乙です
ところで、「後出しジャンケン乙」と宣うID:F9Nd69n1くんに問う
564さんの>>7の問題「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」を、私スレ主より先出しジャンケンできるかな？ やれるものならやってみろ。出来ないなら大口叩くなってことよ
0059現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/16(金) 22:36:49.88ID:gHCHyb0vhttp://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1439642249/646
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15
646 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/10/09(金) 23:59:09.55 ID:vh5z+a2B
あーあ、もったいねえな。せっかくのスレ主のための問題だったのに。
564の意向により、>>631が有効になったので、スレ主の勝負、受けて立つ。
ルールどおり、10/23(金)になったら、オレはこのスレに解答を書く。
では、10/23(金)になったらまた会おう、クソッタレ。
0060１３２人目の素数さん
2015/10/16(金) 23:23:27.14ID:pAg1QvVK自分が指定した日程すら理解してないアホ発見ｗ
お前が指定した曜日まで、まだ一週間もあるわけだが？
お前の方から
＞１．いまから、２週間10/23（金）以降10/30（金）で、おまえの解答を書いて見ろ（２週間は皆様のお楽しみ期間とする）
と言い出したから「10/23(金)」ていう日程に合わせてやってるのに、
何が不満なんだよクソッタレ
せっかくだから、今ここでスレ主に聞いておく
オレは2種類の解答を用意した。
1つ目の方法は、ハメル基を使う方法。実は連続体仮説は必要ない。
2つ目の方法は、既に証明された定理
「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ 」
に帰着させるという方針を取る。この定理に帰着させた時点で瞬時に証明が完了するので、
あとは「いかにして帰着させるか」に議論の大半を割くことになる。
どちらの方法で解答してほしいか、お前が選べ。お前が選んだ方で解答してやる
解答日時は、お前が指定した「10/23(金)」だが、すぐに書いてほしいならすぐに書いても構わん
既に解答は用意してあるからな
(とはいっても、今日はもう寝るから明日以降だ)
ちなみに、どちらの解答も正しいので、お前の敗北は既に決定している
今から謝罪の準備をしておくように
0061現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/17(土) 06:37:35.92ID:ZRSuwEgaどうも。スレ主です。
ID:pAg1QvVKさん、ありがとう
おっちゃんが乱入してきて、無茶苦茶になりそうなので、日曜の前に決着させたいと
つい期日を勘違いしてしまいました
間違った証明が投下されても、お楽しみにはほど遠いので、期間短縮しましょう
で、ハメル基を使う方法でお願いします。
ハメル基がいまいち分かってないので勉強になります。楽しみです
証明を書いて頂いた後で、私なりの解答を書きます。
一つは、どちらの方法とも違う解答
もう一つは、「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ 」に帰着させるんだが、簡単な方法を見つけたので、それを書きます
>今から謝罪の準備をしておくように
はい、挑戦受諾のお礼と、下記敗北宣言再アップと、ごめんなさいの謝罪を先にしておきますｍ（＿＿）ｍ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15 [転載禁止](c)2ch.net
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1439642249/653
653 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/10/11(日) 18:12:06.91 ID:RDXEzJ3O [2/10]
どうも。スレ主です。
ああ、勝負受けたのか！ なら、おそらく君（ID:vh5z+a2B ）の勝ちだよ
0062現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/17(土) 06:49:05.79ID:ZRSuwEgahttp://gogen-allguide.com/ko/gomen.html
御免（ごめん） - 語源由来辞典:
【意味】 ごめんとは、自分の失礼に対して許しを請うたり、謝罪の意思を表すときに言う言葉。他家を訪問した際の挨拶の言葉。拒絶の意を表す言葉。ご免。ゴメン。
【ごめんの語源・由来】
許す意味の「免」に尊敬の接頭語「御」がついた言葉で、鎌倉時代から見られる。
本来は、許す人を敬う言い方として用いられたが、室町前期には許しを求める言い方で、相手の寛容を望んだり自分の無礼を詫びる表現になっていった。
「ごめんあれ」「ごめん候へ」などの形で初めは使われていたが、「ごめんくだされ」や、その省略の「ごめん」が多く用いられるようになった。
ごめんなさいの「なさい」は、動詞「なさる」の命令形で、「御免なすって」の「なすって」と同じ用法である。
挨拶で用いる「ごめんください」は、許しを請う「御免させてください」の意味が挨拶として使われるようになったもの。
「それは御免だ」などの拒絶・断わりは、比較的新しい用法で江戸時代から見られる。
0063１３２人目の素数さん
2015/10/17(土) 09:49:46.18ID:wNioddJ2図星か
0064１３２人目の素数さん
2015/10/17(土) 16:35:24.86ID:CYyREJhG辞典のくせに「対して」の使い方がでたらめすぐるw
0065１３２人目の素数さん
2015/10/17(土) 18:57:25.87ID:a5sAw5TAスレ主からも煙たがられる誤答おじさんワロタｗｗｗｗ
では、予定を繰り上げて、今から解答を書く
0066１３２人目の素数さん
2015/10/17(土) 19:01:25.53ID:a5sAw5TA以降、このHは常に固定する。以下、4個の補題と4個の定理を証明し、そのあとで問題の解答を与える。
連続体仮説を仮定する場合には、「4個の補題」は全く必要ないので、読み飛ばしてよい。
補題1：集合Aは無限集合とする。このとき、任意の正整数nに対して、card(A^n)＝card(A)である。
証明：ZFCの範囲で証明できる。基本的な定理だが非常に面倒くさい。集合論もしくは数学基礎論の本に証明が載っている。■
補題2：集合Aは無限集合とする。Nは自然数全体の集合とする。このとき、card(A×N)＝card(A)である。
証明：ZFCの範囲で証明できる。基本的な定理であり、集合論もしくは数学基礎論の本に証明が載っている。■
(文字数制限につき、次のレスへ)
0067１３２人目の素数さん
2015/10/17(土) 19:02:28.36ID:a5sAw5TA証明：集合論もしくは数学基礎論の本に証明が載っているが、ここでは補題1と補題2を使って証明する。
Aの一元集合全体を考えれば、明らかに card(A)≦card(B) が成り立つ。あとは card(B)≦card(A) を示せばよい。
まず、Aには全順序が存在することに注意する(たとえば、整列可能定理で得られる整列順序を採用すればよい)。
以下、A上の全順序を1つ取って固定する。さて、写像 f：B → ∪[n＝1～∞]A^n を以下のように作る：まず、
S∈B に対して、Sの元の個数をmと置く。Sの元をAの全順序≦で小さい方から順番に並べて s_1＜s_2＜…＜s_m と
番号づける。そして、f(S)：＝(s_1,s_2,…,s_m) ∈ ∪[n＝1～∞]A^n と定義する。このように定義した f は
単射であることが証明できる。よって、card(B)≦card(∪[n＝1～∞]A^n)である。次に、補題1から card(A^n)＝card(A) なので、
各nに対して、全単射 f_n：A^n → A が取れる。そこで、写像 g：∪[n＝1～∞]A^n → N×A を以下のように作る：まず、
x∈∪[n＝1～∞]A^n に対して、x∈A^n なるnがただ1つ取れる。特に、f_n(x)が定義できて、しかもf_n(x)∈Aである。
そこで、g(x)：＝(n, f_n(x))∈N×A としてgを定義する。このとき、gは単射であることが示せる。よって、
card(∪[n＝1～∞]A^n)≦card(N×A)となる。補題2からcard(N×A)＝card(A)だから、
以上を繋げて、card(B)≦card(A)となる。以上より、card(B)＝card(A) である。■
補題4：∪[n＝1～∞]Q^n は可算無限集合である。
証明：ZFCの範囲で証明できる。基本的な定理であるから、証明は省略する。■
(文字数制限につき、次のレスへ)
0068１３２人目の素数さん
2015/10/17(土) 19:03:40.57ID:a5sAw5TA証明：ZFCの範囲で証明できる。基本的な定理であるから、証明は省略する。■
定理2：Hは非可算無限集合である。
証明：Hが高々可算無限集合だとして矛盾を導けばよい。まず、Hが可算無限集合の場合に矛盾を導く。
H＝{ t_i｜i＝1,2,… } と番号づけて表示しておく。定理1のAを取り、写像 f：R → A を以下のように作る：
まず、任意の x∈R に対して、
x＝Σ[i＝1～∞] q_i * t_i (q_i∈Q, 有限個のiを除いてq_i＝0)
という表示が一意的に取れる。そこで、f(x)：＝(q_1, q_2, …) ∈ A として f(x) を定義する。
この f は単射であることが簡単に示せる。よって、card(R)≦card(A)＝card(N) となり、矛盾する。
以下、Hは有限集合だとしてよいが、この場合も同じような議論で矛盾が出る。以上より、Hは非可算無限集合である。■
定理3：card(H)＝card(R)である。
証明：定理2と連続体仮説を使えば即座に従うので、連続体仮説を仮定する場合は証明が終わっている。
以下では、連続体仮説を使わずZFCの範囲で証明する。
Hの空でない有限部分集合全体の集合族を I と置く。定理2により、Hは無限集合であるから、Iも無限集合である。
写像 f：R－{0} → I×∪[n＝1～∞]Q^n を以下のように作る：まず、任意のx∈R－{0}に対して、
有限個のHの元 h_1＜h_2＜…＜h_m と、同じ個数の q_1,q_2,…,q_m∈Q－{0} が存在して
x＝Σ[i＝1～m] q_i * h_i と表せる。また、このときの「 m 」と「h_1＜h_2＜…＜h_m」と「q_1,q_2,…,q_m」は
xごとに一意的に決まる。そこで、f(x)：＝( { h_i｜1≦i≦m }, (q_1, q_2, …, q_m) ) ∈ I×∪[n＝1～∞]Q^n と定義する。
こうして定義した f は単射であることが言える。よって、card(R)＝card(R－{0})≦card(I×∪[n＝1～∞]Q^n) となる。
ここで、補題4により card(I×∪[n＝1～∞]Q^n)＝card(I×N) となる。また、補題2により card(I×N)＝card(I) となる。
さらに、補題3により card(I)＝card(H) となる。以上を繋げて、card(R)≦card(H) となる。
一方で、H⊂R よりcard(H)≦card(R)である。以上より、card(H)＝card(R)である。■
(文字数制限につき、次のレスへ)
0069１３２人目の素数さん
2015/10/17(土) 19:05:29.50ID:a5sAw5TA証明：まず、H_1⊂H_2 を示す。h∈H_1 を任意に取る。H_1⊂span_Q(H_1)＝span_Q(H_2)に注意して、h∈span_Q(H_2) である。
また、ハメル基 H の定義から、h≠0である。よって
h＝Σ[i＝1～n] q_i*h_i (q_i∈Q－{0}, h_i∈H_2, h_i は全て異なる)
という形に表せる。特に Σ[i＝1～n] q_i*h_i＋(－1)h＝0 … (1) である。もし h≠h_i (∀i) が成り立つならば、
h_1,h_2,…,h_n,h は全て異なることになる。また、これらは全てHの元である。Hの定義から、これらはQ上一次独立となるので、
(1)から q_i＝0 (∀i) かつ (－1)＝0 でなければならない。しかし、(－1)＝0 は矛盾である(q_i＝0 の方も矛盾だが)。
よって、h＝h_i となる i が存在する。h_i∈H_2だったから、h∈H_2となる。以上より、H_1⊂H_2 となる。
H_2⊂H_1 も全く同様にして示せる。よって、H_1＝H_2 である。■
問題：複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度を求めよ。
解答：その濃度は card(2^R) である。以下でこのことを証明する。
加法群Cの部分群全体の集合を M_+ と置く。card(M_+)＝card(2^R) を示せばよい。
J＝power(H)－{φ} と置く。写像 f：J → M_+ を f(S)：＝ span_Q(S) (S∈J) で定義する。
定理4により、f は単射である。よって、card(J)≦card(M_+) となる。
card(J)＝card(power(H)－{φ})＝card(power(H))＝card(2^H)＝card(2^R)であるから、card(2^R)≦card(M_+) となる。
一方で、M_+ ⊂ power(C) より card(M_+)≦card(power(C))＝card(2^C)＝card(2^R)である。
以上より、card(M_+)＝card(2^R) となる。■
(終了)
0070現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/17(土) 19:26:36.66ID:ZRSuwEgaどうも。スレ主です。
で、
564さんの>>7の問題「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」を、私スレ主より先出しジャンケンできるかな？ やれるものならやってみろ。出来ないなら大口叩くなってことよ！
についてのおぬしの解答なないのか？
なら、私スレ主が時間つぶしに解答を書くか。
＜方針＞
１．複素数体のユークリッド位相だから、まず開集合として、開球を考える
２．複素数体のユークリッド位相だから、ハウスドルフがキーワード
３．開集合定義と、ドモルガンの定理から、開集合の補集合が閉集合だから、開集合と閉集合とは一対一対応がつく。つまり濃度は等しい
0071現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/17(土) 19:36:47.17ID:ZRSuwEgaID:a5sAw5TA さん、どうも。スレ主です。
いやー、レベル高いね
本格的な証明ですな～
私らには、こういうのは書けない
完敗！ 脱帽です！（＾＾；
0072１３２人目の素数さん
2015/10/17(土) 20:21:20.91ID:MoaMy0B0中途半端な言いっぱなしだが、この時点で既に
開かつ閉は無いことへの言及が落ちてる。
0073現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/17(土) 20:25:38.31ID:ZRSuwEgaでは、私から >>3「問題:複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度を求めよ。」を
”もう一つは、「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ 」に帰着させるんだが、簡単な方法を見つけたので、それを書きます”>>
１．まず、実数体Rに対する有理数体Qからの超越基底Sによる体の拡大を考える
２．超越基底Sは、全て正に取ることができる。（∵もしs1∈Sで、s1＜0なら、-s1に基底を取り直すことで、正の超越基底Sに直すことができるから）
３．ここで、実数体Rで、0より大の実数（+Rと表す）の成す乗法群を考え、G(+R)と表す
４．有理数体Qの正の部分と超越基底Sとの組み合わせから成る群を考える。これをG(S,+Q)とする。明らかに、G(S,+Q)⊆G(+R)である
５．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。一般性を失わずに、集合S2に含まれないs1'∈S1が存在するとできる。（∵もしs1'∈S2にそのような要素があればS1,S2の番号付けを変えれば良いから）
５．４と同じように、超越基底Sの部分集合S1,S2による正の乗法群を考える。明らかにG(S1,+Q)≠G(S2,+Q)である。（∵超越基底の定義から、s1'はG(S2,+Q)に含まれないから）
６．よって、0より大の実数（+Rと表す）の成す乗法群G(+R)の部分群の集合の濃度は、超越基底Sの部分集合からなる集合の濃度に等しい
７．超越基底Sは、連続無限の濃度を有する（証明略。>>3参照）から、その部分集合からなる集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を持つ。
８．さて、0より大の実数（+Rと表す）の成す乗法群は、対数関数logによって、加法群に変換できる。
９．G(S1,+Q)≠G(S2,+Q)であれば、この二つの群を対数関数logによって、加法群に変換した群も異なる。（証明略。背理法によって証明できる。）
１０．従って、加法群から成る群の集合も実数体のべき集合の濃度を持つ。
１１．蛇足だが、複素数体Cは、実数体Rに虚数iを添加した体だから、加法としては単純で、R+Riの形になるから、複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度も同様である。
0074現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/17(土) 20:28:52.35ID:ZRSuwEga（>>61が抜けていた)
”もう一つは、「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ 」に帰着させるんだが、簡単な方法を見つけたので、それを書きます”>>
↓
”もう一つは、「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ 」に帰着させるんだが、簡単な方法を見つけたので、それを書きます”>>61
0075現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/17(土) 20:35:52.17ID:ZRSuwEgaどうも。スレ主です。
さすがのご指摘だが、多分「開かつ閉は無いことへの言及」は不要だと思うよ
ドモルガンの定理：開集合の補集合が閉集合
を認めてしまえば
そして、空集合と全体集合は、開かつ閉だよ
また、空集合と全体集合とは、互いに補集合の関係にある
0076１３２人目の素数さん
2015/10/17(土) 20:36:29.07ID:wNioddJ2叩き甲斐の無いサンドバックだな
0077現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/17(土) 20:59:42.91ID:ZRSuwEgaでは、>>61"証明を書いて頂いた後で、私なりの解答を書きます。
一つは、どちらの方法とも違う解答"へ
おそらく、こちらが出題意図だと思う
ハメル基のかわりに、超越基底をそのまま使う方法
0078現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/17(土) 21:24:01.65ID:ZRSuwEgaで
１．まず、>>3の564さんの証明にならって、複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。
２．あとは、>>73と類似
３．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。一般性を失わずに、集合S2に含まれないs1'∈S1が存在するとできる。（∵もしs1'∈S2にそのような要素があればS1,S2の番号付けを変えれば良いから）
４．有理数体Qに対し、部分集合S1,S2による拡大体を考える。これをF(S1),F(S2)とする。明らかにF(S1)≠F(S2)である。（∵超越基底の定義から、s1'はF(S2)に含まれないから）
５．F(S1),F(S2)からゼロを除いた乗法群を考えると、明らかにこの二つの群は異なる。（∵超越基底の定義から、s1'はF(S2)から成る群に含まれないから）
６．これによって、”C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ”が従う。（証明略。>>3参照）
７．同様に、F(S1),F(S2)から加法群を考えると、明らかにこの二つの群は異なる。（∵超越基底の定義から、s1'はF(S2)から成る加法群に含まれないから）
８．６と同様に、複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度は、実数体のべき集合の濃度に等しい。
この証明は、一見「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ 」に帰着させているように見えるかも知れない
が、本質は”超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2なら、F(S1)≠F(S2)”ってこと。これから、乗法群も加法群も異なることが導かれる
つまり、これ超越基底Sの本質（定義）そのもの
もっと言えば、超越基底Sを個別の要素として見るのではなく、超越基底Sを全体（集合）として見るってところが、ポイントだと思うんだ
まあ、おそらくこれが出題意図だろう（＾＾
0079現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/17(土) 21:35:57.33ID:ZRSuwEga”乗法群は、対数関数logによって、加法群に変換できる”ってところ
複素数の場合には、log(z)は、偏角2πiの不定性があるので、この処理が少々やっかい
多少手間をかければ、可能だが
ややこしいので、まず実数 log(x) | x >0 に限定した
0080１３２人目の素数さん
2015/10/17(土) 22:03:48.10ID:XV/iC39qそれと同等の機能を果たし得るパターン、機能、構造が存在するのかな。
0081現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/17(土) 22:22:36.21ID:ZRSuwEgaまず、基礎知識を準備
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%A9%BA%E9%96%93
ユークリッド空間
位相構造
ユークリッド空間は距離空間であるから、距離から誘導される自然な位相を持った位相空間でもある。En 上の距離位相は、ユークリッド位相あるいは通常の位相と呼ばれる。
すなわち、ユークリッド空間の部分集合が開集合であるための必要十分条件は、その部分集合に属する各点に対して、それを中心とする適当な大きさの開球体をその部分集合が必ず含むことである。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E7%A9%BA%E9%96%93
ハウスドルフ空間
ハウスドルフ空間（- くうかん、Hausdorff space）とは、異なる点がそれらの近傍によって分離できるような位相空間のことである。これは分離空間(separated space)またはT2 空間とも呼ばれる。
位相空間についてのさまざまな分離公理の中で、このハウスドルフ空間に関する条件はもっともよく仮定されるものの一つである。
ハウスドルフ空間においては点列（あるいはより一般に、フィルターやネット）の極限の一意性が成り立つ。位相空間の理論の創始者の一人であるフェリックス・ハウスドルフにちなんでこの名前がついている。
ハウスドルフによって与えられた位相空間の公理系にはこのハウスドルフ空間の公理も含まれていた。
例
実数の集合は、その上に通常定義される位相構造によってハウスドルフ空間になっている。
さらに、幾何学などで扱われる位相多様体や距離空間、あるいは解析学などで扱われるノルム空間やその上で弱位相を考えた空間など様々な空間がハウスドルフ空間になる。
一方で、代数学におけるザリスキ位相を考えた代数多様体や、可換環のスペクトルなどの位相空間はしばしばハウスドルフ空間にならない。
つづく
0082現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/17(土) 22:25:11.95ID:ZRSuwEgahttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%8B%E9%9B%86%E5%90%88
開集合（かいしゅうごう、英: open set）は、実数直線の開区間の考えを一般化した抽象的な概念である。
最も簡単な例は距離空間におけるものであり、開集合をその任意の点に対しそれを（元として）含む開球を（部分集合として）含むような集合（あるいは同じことだが境界点を全く含まないような集合）として定義できる。
性質
必ずしも有限個でない開集合の族の和集合はまた開集合である。
有限個の開集合の共通部分はまた開集合である。無限個の場合はその限りではない。
距離空間 (X, d) において x を中心とする半径 ε の開球体 B(x; ε) は開集合であり、任意の開集合 A はある x ∈ A を中心とする十分小さな半径 ε の球体 B(x; ε) を含む。
開集合の補集合は閉集合である。
0083現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/17(土) 23:11:26.59ID:ZRSuwEga１．さて、>>78のように、超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。一般性を失わずに、集合S2に含まれないs1'∈S1が存在するとできる。（∵もしs1'∈S2にそのような要素があればS1,S2の番号付けを変えれば良いから）
２．複素平面が、ハウスドルフ空間であることを認めるものとする。
３．とすると、部分集合S2の各要素の周囲に十分小さな開球を取ることができ、s1'∈S1を含まないようにできる。
４．同様に、和集合S1∪S2の各要素の周囲に十分小さな開球を取ることができ、ハウスドルフ空間であるから、各開球は分離できる
５．よって、蛇足だが、結局S1,S2に対し、各要素の周囲に十分小さな開球を取ることで、S1に属する開球の集合とS2に属する開球の集合は、異なるように取れる
６．ユークリッド位相を仮定しているから、開球は開集合でもある
７．開集合の性質より、「必ずしも有限個でない開集合の族の和集合はまた開集合である」>>82から、S1及びS2に属する開球の集合（和集合）は開集合であり、この二つの開集合は異なる
８．よって、超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2から、異なる二つの開集合を作ることができる
９．よって、開集合の濃度は、超越基底Sの部分集合からなる集合の濃度以上である。つまり、実数体のべき集合の濃度以上。（証明略。>>3参照）
１０．一方、任意の開集合は、複素平面に含まれる。つまり、複素数体の部分集合でもある。だから、開集合の濃度は、複素数体の部分集合から成る集合の濃度以下。つまり、実数体のべき集合の濃度以下（この証明略 ）。
１１．９及び１０より、開集合の濃度は、実数体のべき集合の濃度に等しい。
１２．閉集合を、開集合の補集合とする。開集合と閉集合とは一対一対応がつく。つまり濃度は等しい。
（３～５は、ハウスドルフ空間であることを認めた時点で自明で、もっと簡潔な記述が可能と思うが、かみ砕いて書いた。）
0084現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/17(土) 23:18:03.59ID:ZRSuwEga１３．従って、複素数体の閉集合全体の集合の濃度は、実数体のべき集合の濃度に等しい。
追伸
１３（つまり結論）を書いておかないと、試験答案なら減点される可能性ありだろう。自明だが省略はしない方が良い
”複素数体の部分集合から成る集合の濃度以下。つまり、実数体のべき集合の濃度以下（この証明略 ）。”も、証明略でなく、簡単な理由付けを書きたいところだが、浮かばなかった（＾＾
0085現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/17(土) 23:46:24.51ID:ZRSuwEga”実数体Rに対する有理数体Qからの超越基底Sによる体の拡大を考える”のところ
超越基底Sは、連続無限の濃度を有するの証明は、>>66-68の証明を見ると、アナロジーとして
実数体Rを有理数体Q上のベクトル空間と見たときの基底を1つとってHとする(ハメル基底)。
↓
実数体Rを、有理数体Q上の代数拡大体Ａのベクトル空間と見たときの超越基底を1つとってＳとする(超越基底)
が、本当かもね
代数拡大体Ａなら、超越基底による拡大体がＲになるけど
有理数体Q上の超越基底による拡大体には、代数的数は含まれないから
まあ、「超越基底Sは、連続無限の濃度を有する」を基礎論として認めてしまえば、有理数体Qで考えても同じだが
0086現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/17(土) 23:56:29.81ID:ZRSuwEgaで、結局、おっちゃんの結論
「複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度は、2^{ℵ_0}つまりcになる。」が、違っていると思うんだ
理由は、
>>73の”乗法群は、対数関数logによって、加法群に変換できる”とか
>>78"本質は”超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2なら、F(S1)≠F(S2)”ってこと。これから、乗法群も加法群も異なることが導かれる"とか
これを見て、ご納得頂ければ幸いです（＾＾
0087現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/18(日) 00:07:50.80ID:AbOcHf9Kどうも。スレ主です。
ID:wNioddJ2 くんか
>>58を見てくれたか？
>>70は、ID:wNioddJ2 くんを叩くつもりで書いた。サンドバッグ。>>81-84のパンチはどうかね？
564さんの>>7の問題「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」を、私スレ主より先出しジャンケンできるかな？ やれるものならやってみろ。出来ないなら大口叩くなってことよ>>58って
0088現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/18(日) 00:12:08.06ID:AbOcHf9K誤爆？ 本気？
>ガロア理論が存在する必然性は何か？
>それと同等の機能を果たし得るパターン、機能、構造が存在するのかな。
その答えは圏論にありと思うんだ
禅問答だが（＾＾；
では
0089564
2015/10/18(日) 00:28:04.19ID:kDiNTmvJ3から5の議論がおかしいです。
ハウスドルフ性からそのようなことは従いません。
ハウスドルフ性は「有限個の」点を開近傍で分離できるというものですので。
0090現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/18(日) 08:07:27.42ID:AbOcHf9K564さん、どうも。スレ主です。
>3から5の議論がおかしいです。
>ハウスドルフ性からそのようなことは従いません。
>ハウスドルフ性は「有限個の」点を開近傍で分離できるというものですので。
君はいつも鋭いね。レベル高い。おそらく私よりも
が、（３～５は、ハウスドルフ空間であることを認めた時点で自明で、もっと簡潔な記述が可能と思うが、かみ砕いて書いた。）>>83
と注釈を付けたろう？
>>81に引用したように、「実数の集合は、その上に通常定義される位相構造によってハウスドルフ空間になっている」
というより、実数の集合の性質から、ハウスドルフという性質が抽出され抽象化されたんだ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E6%80%A7
実数の完備性: 実数の完備性は実数を公理的に定義する際に必要とされる性質の一つ。この場合の完備性は、実数全体の成す集合 R を距離空間と見た場合の完備性、あるいは R を半順序集合と見た場合の完備性の何れの意味とも取ることができる。
つづく
0091現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/18(日) 08:25:43.32ID:AbOcHf9K実数の集合の性質から抽出された、ハウスドルフという性質（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E7%A9%BA%E9%96%93
ハウスドルフ空間
定義
相異なる2点を分離するそれぞれの開近傍
Xを位相空間とする。X上の任意の相違なる2点 x, y に対して、U ∩ V = O であるような x の開近傍 U および y の開近傍 V が必ず存在するとき、Xはハウスドルフ空間であるといわれる。
（引用おわり）
これは、”任意の相違なる2点”なのだ
だから、もちろん「有限個の」点を開近傍で分離できる
しかし、例え無限個の点の集合であっても、それら無限個の点の集合が、分離的であれば、ハウスドルフの性質は使える
ここらは、基礎論的かつ厳密には、選択公理と超限帰納法を使うのだろうが
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95#.E8.B6.85.E9.99.90.E5.B8.B0.E7.B4.8D.E6.B3.95
超限帰納法
上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。
この一般化を超限帰納法 (ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)という。任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。
つづく
0092現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/18(日) 09:12:37.75ID:AbOcHf9Kここらを、基礎論的かつ厳密に証明するのは、スレ主の能力を超えている
なので、問題を実数にして簡単化しよう
>>70より
問題「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」
↓
簡易化
問題「問題:実数体Rによる数直線上の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし実数体Rにはユークリッド位相が入っているものとする。」
で、>>83と同様の議論を行うものとする。重複する部分は省略する
（選択公理と超限帰納法を認める）
１．実数体R内の有理数体Qに対する超越基底Sが存在する（証明略）
２．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。
３．和集合S1∪S2の各要素を、数直線上に並べることができる。（選択公理より）
４．並べた要素で、任意の隣接する３点を考える。s1<s2<s3とする。
５．超越基底の性質から、s1<s2<s3の間に有理数r1,r2を取って、s1<r1<s2<r2<s3とすることができる
６．普通の距離を考えて、d ＜ min(s2-r1,r2-s2) (minは、最小値を取る関数)として、s2から、間の有理数r1,r2を含まない半径dの開球を設定できる
７．同じことを、全ての隣接する和集合S1∪S2の各要素について行い、各間にある有理数r1,r2を含まない半径dの開球を設定できる（記述が厳密でないがご容赦）
８．選択公理と超限帰納法を認めるならば、和集合S1∪S2が無限集合であっても、１～７は成り立つ。
（注：これはハウスドルフというより、実数の定義と完備性から従う>>90）
よって、>>83の議論は、実数体Rによる数直線上の閉集合全体の集合の濃度に対して、同様に成り立つ
但し、３～５に対する注釈を再度強調しておく（ここは結構いい加減だという自覚はあります（＾＾； ）
では、上記を、元の問題の複素数体にバージョンアップするにはどうするか？
いろいろ考えられるが、>>73に書いたように、「複素数体Cは、実数体Rに虚数iを添加した体だから、加法としては単純で、R+Riの形になる」としてうまく処理するのかね？
簡易化版を補題として、使えそうに思うが・・・
直感的には自明なんだが、数学の答案としてどうまとめるか。すぐ浮かばないので、スルーします（＾＾；
0093現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/18(日) 09:17:04.58ID:AbOcHf9Kおそらく、多くの方はお気づきだと思うが
「超越基底の性質から、s1<s2<s3の間に有理数r1,r2を取って、s1<r1<s2<r2<s3とすることができる」は、数学的には冗長なんだ
でも、初心者向けテキストとしてはありだろう
以上です
では（＾＾；
0094現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/18(日) 09:22:21.92ID:AbOcHf9K>”複素数体の部分集合から成る集合の濃度以下。つまり、実数体のべき集合の濃度以下（この証明略 ）。”も、証明略でなく、簡単な理由付けを書きたいところだが、浮かばなかった（＾＾
いま思うと、>>73に書いた「複素数体Cは、実数体Rに虚数iを添加した体で、R+Riの形になるから」くらい書いておけば良いかも
0095１３２人目の素数さん
2015/10/18(日) 11:03:52.49ID:kDiNTmvJ＞しかし、例え無限個の点の集合であっても、それら無限個の点の集合が、分離的であれば、ハウスドルフの性質は使える
「点の集合が分離的でれば」というのは意味が分かりませんが、ハウスドルフの性質が使えるというのは間違いです。
たとえば複素数体上で有理点全体の集合を考えます。各有理点にどのような開近傍
を対応させても、これらの開近傍が互いに交わらないようには出来ません。なぜなら
任意の空でない開集合は無限個の有理点を含むからです。
0096１３２人目の素数さん
2015/10/18(日) 11:43:01.31ID:9oIIz4Cl0097１３２人目の素数さん
2015/10/18(日) 15:35:11.66ID:G7yxHfLZおっちゃんです。>>53では説明不足の部分があったから、補足する。
(1)と(3)は大体の方針では問題ないな。問題は>>53の(2)だな。
はじめに、次のような概念の定義をしよう。実数直線Rの部分集合Bで、Bが有理整数環Z上一次独立な、
即ち、任意の有限個のx_1,…,x_n∈Bと同n個のa_1,…,a_n∈Zに対し、
a_1・x_1＋…＋a_n・x_n＝0 ならば、a_1＝…＝a_n＝0。
となるモノは存在する。このとき、Bを「離散基底」と呼ぶことにする。
線型代数の話と同様に、x_1,…,x_nをZ上「線型独立」ということにする。
そして、0でない自然数nを同様に「(線型空間)Rの階数」ということにする。
Bの存在性は、ハメル基底Hの存在性と、有理数体QとZとの包含関係Z⊂Qから直ちに従う。
そして、実数体Rにおける有理数体Q上の超越基底をAとすれば、包含関係はA⊂B⊂H⊂Rになる。
B⊂H⊂Rは、ハメル基底の定義から、すぐ分かる。そして、Rの階数n∈N＼{0}を任意に取る。
x_1,…,x_n∈AがQ上代数的独立となるように、(x_1,…,x_n)∈A^nを任意に取る。
すると、x_1,…,x_n∈A。超越基底の定義から、x_1,…,x_nはZ上線型独立だから、
Z⊂Qに注意すれば、x_1,…,x_n∈B で、(x_1,…,x_n)∈B^n。A^nの点(x_1,…,x_n)は
x_1,…,x_n∈AがQ上代数的独立という条件の下で任意だから、(x_1,……,x_n)を同条件を満たすように、
A^n上で走らせると、Q上代数的独立なx_1,…,x_n∈Aは、Z上線型独立で、x_1,…,x_n∈Bになる。
Rの階数nは任意だから、A,B⊂Rと、A、Bの各定義から、A⊂B が従う。
0098１３２人目の素数さん
2015/10/18(日) 15:36:49.82ID:G7yxHfLZ(>>97の続き)
そして、card(A)≦card(B)≦card(R) で、card(A)＝card(R)＝c だから、ベルンシュタインの定理から、
card(B)＝c。以下、Rの階数nが、ℵ_0、c、もし連続体仮説が真なら、このとき存在する濃度の、
ときも含めて、各Rの階数nに対して、Bのn個の点によって張られるような、
加法群R上の不連結な加法部分群全体の集合をG(n)とする。
そして、Rの階数nがℵ_0、c、もし連続体仮説が真なら、このとき存在する濃度のときも含めて、
各Rの階数nに対して、加法部分群Gを張るような、n個のBの点からなる、
線型空間の意味での基底の全体の集合をB(n)とする。
0099１３２人目の素数さん
2015/10/18(日) 15:43:18.18ID:G7yxHfLZ(>>98の続き)
(1)：n＝1のとき。このときは、G(1)に属する群は非可算個あって、
任意のG∈G(1)に対してG⊂Rであり、card(B)＝card(R)＝cに着目すると、
G(1)からRへの全単射は存在するから、濃度card(G(1))は、card(G(1))＝c。
このときの話が>>53の2(-1)にあたる。
(2)：2≦n＜ℵ_0のとき。
Rの階数n≧2を任意に取る。すると、n＜ℵ_0から、nは2以上の自然数になる。
そして、階数nの基底全体の集合B(n)が定まる。集合G(n)を考える。
つまり、G(n)の濃度を考える。G_1≠G_2なる2つの群G_1、G_2∈G(n)を任意に取る。
すると、G_1に対して或るS_1∈B(n)が存在して、何れも或るx_1,…,x_n∈Bによって、
G_1の基底S_1は、S_1＝{x_1,…,x_n}と表わされ、G_1は、
G_1＝{a_1・x_1＋…＋a_n・x_n∈R|a_1,…,a_n∈Z} と表わせる。同様に、
G_2に対して或るS_2∈B(n)が存在して、何れも或るy_1,…,y_n∈Bによって、
G_2の基底S_2は、S_2＝{y_1,…,y_n}と表わされ、G_2は、
G_2＝{b_1・y_1＋…＋b_n・y_n∈R|b_1,…,b_n∈Z} と表わせる。
0100１３２人目の素数さん
2015/10/18(日) 15:44:45.90ID:G7yxHfLZ(>>99の続き)
ここで、S_1＝S_2 とすると、G_1＝G_2で矛盾が生じるから、S_1≠S_2になる。
G_1≠G_2なる2つの群G_1、G_2∈G(n)は任意だから、G(n)からB(n)への単射が存在する。
逆に、S∈B(n)によって張られる加法部分群G∈G(n)は確かに存在するから、
G(n)からB(n)への全射も存在する。従って、B(n)とG(n)との間には、全単射が存在する。
そして、card(B(n))＝card(G(n)) になる。しかし、Zornの補題から、
各B(n)の基底を取るにあたり、通常の大小関係について、Bのn個の点を小さい方から
順に並べて取ることが出来る。任意の基底 {x_1,…,x_n}∈B(n)に対して、
x_1,…,x_nはZ上線型独立になる。だから、card(B)＝cから、card(B(n))は、
Bの相異なるn個の点を並べたときの順列 c^n＝c に等しい。
つまり、card(B(n))＝cになる。card(B(n))＝card(G(n)) だから、
集合G(n)の濃度はcard(G(n))＝cになる。2≦n＜ℵ_0なる自然数nは
任意に取っていたから、点nををN＼{0,1}上で走らせれば、
card(N＼{0.1})＝ℵ_0から、Bに属するZ上線型独立な、1つの、
2個以上の有限個の点から構成されるBの基底によって張られる、
Rの加法部分群の、全体の、集合 X＝∪_{n＝2,3,…,∞}G(n) の濃度は、
card(X)＝cℵ_0＝c になる。
(1),(2)から、有限次元の場合は解決されて、このときの
Rの加法部分群全体の濃度はc+c+1＝cになる。(1は自明な部分群{0}の個数)
0101１３２人目の素数さん
2015/10/18(日) 15:59:05.07ID:G7yxHfLZ(>>100の続き)
(3)：n＝ℵ_0のとき。このときは、集合G(ℵ_0)の濃度card(G(ℵ_0))を求めればいい。
だが、本来card(G(ℵ_0))を単純に求めてはいけない。もしcard(G(ℵ_0))を求めるなら、
実数直線には大小関係が定まっているから、G(ℵ_0)＝Φからcard(G(ℵ_0))＝0。
仮にG(ℵ_0)≠Φだったとしよう。すると、或る加法群G∈G(ℵ_0)が存在して、Gは、
濃度ℵ_0を次元とするような、Z上の可算無限個の点からなる或るB(ℵ_0)の基底によって
張られる線型空間となる。そして、Λをcard(Λ)＝ℵ_0なる添数集合として、任意の点x∈Gは、
x＝Σ_{λ∈Λ}(a_λ・x_λ) 任意のλ∈Λに対して a_λ∈Z, x_λ∈B(ℵ_0)
の形に表せることになる。だが、このとき、任意のμ∈Zに対してZ⊂Rからμ∈Rで、通常の考え方では、
μx＝μΣ_{λ∈Λ}(a_λ・x_λ)＝Σ_{λ∈Λ}(μ・a_λ・x_λ) つまり
μx＝μΣ_{n＝1,…,∞}(a_n・x_n)＝Σ_{n＝1,…,∞}(μ・a_n・x_n) が成り立つから、
実数体Rにおける代数系に矛盾が生じて来る。だから、G(ℵ_0)＝Φになる。なので、濃度はcard(G(ℵ_0))＝0。
0102１３２人目の素数さん
2015/10/18(日) 16:01:57.28ID:G7yxHfLZ(>>101の続き)
(4)：(連続体仮説の問題にかかわらず)n＝cのとき。このときは、集合G(c)の濃度card(G(c))を求めればいい。
だが、本来card(G(c))を単純に求めてはいけない。もしcard(G(c))を求めるなら、ℵ_0＜cで、
実数直線には大小関係が定まっているから、G(c)＝Φからcard(G(c))＝0になる。
仮にG(c)≠Φだったとしよう。すると、或る加法群G∈G(c)が存在して、
Gは、実数体の濃度cを次元とするような、Z上の非可算(c)個の点からなる
或るB(c)の基底によって張られる線型空間となる。そして、Λをcard(Λ)＝cなる添数集合として、
任意の点x∈Gは、x＝Σ_{λ∈Λ}(a_λ・x_λ) 任意のλ∈Λに対して a_λ∈Z, x_λ∈B(n)
の形に表せることになる。だが、このとき、任意のμ∈Zに対してZ⊂Rからμ∈Rで、通常の考え方に倣えば、
μx＝μΣ_{λ∈Λ}(a_λ・x_λ)＝Σ_{λ∈Λ}(μ・a_λ・x_λ) が成り立つから、
実数体Rにおける代数系に矛盾が生じて来る。だから、G(c)＝Φになる。なので、濃度はcard(G(c))＝0。
0103１３２人目の素数さん
2015/10/18(日) 16:05:18.49ID:G7yxHfLZ(>>102の続き)
(5)：連続体仮説が真か偽かについて場合分けをする。
(5-1)：連続体仮説が真とする。すると、ℵ_0＜m＜c なる濃度mが存在する。
そして、集合G(m)の濃度card(G(m))を求めればいい。だが、本来card(G(c))を単純に求めてはいけない。
もしcard(G(c))を求めるなら、ℵ_0＜cで、実数直線には大小関係が定まっているから、
G(c)＝Φからcard(G(c))＝0。仮にG(m)≠Φだったとしよう。すると、或る加法群G∈G(m)が存在して、
Gは、濃度mを次元とするような、Z上の非可算(m)個の点からなる或るB(m)の基底によって張られる
線型空間となる。そして、Λをcard(Λ)＝mなる添数集合として、任意の点x∈Gは、
x＝Σ_{λ∈Λ}(a_λ・x_λ) 任意のλ∈Λに対して a_λ∈Z, x_λ∈B(m)
の形に表せることになる。だが、このとき、任意のμ∈Zに対してZ⊂Rからμ∈Rで、通常の考え方に倣えば、
μx＝μΣ_{λ∈Λ}(a_λ・x_λ)＝Σ_{λ∈Λ}(μ・a_λ・x_λ) が成り立つから、
実数体Rにおける代数系に矛盾が生じて来る。だから、G(m)＝Φになる。なので、濃度はcard(G(m))＝0。
(5-2)：連続体仮説が偽とする。このときは、濃度は求めようがない。
5-1、5-2から、濃度が存在すると仮定すれば、card(Φ)＝0になる。 ((5)終わり)
0104１３２人目の素数さん
2015/10/18(日) 16:19:42.81ID:G7yxHfLZ(>>103の続き)
本来は、連続体仮説にかかわらず、(非)可算無限個の線型独立なBの点からなる基底に
よって張られるようなRの加法部分群Gの濃度を上のようにして単純に求めてはいけない。
Λを濃度が(非)可算無限濃度の添数集合として、
Σ_{λ∈Λ}(a_λ・x_λ) 任意のλ∈Λに対して a_λ∈Z, x_λ∈Bについて、μ∈Zとして、
μΣ_{λ∈Λ}(a_λ・x_λ)を考えたとき、μとΣの間の積μΣとΣ内の和とのどちらを優先させるか
の決め方で、濃度が異なって来る。通常の考え方に倣えば、濃度は(3)や(4)、(5-1)のようになる。
なのだから、(1)～(5)から、加法群Rの不連結な加法部分群全体の集合の濃度は、c+c＝cになる。
(6)：今度は、Cの加法部分群全体の、或る、複素平面C上の、如何なる直線上にもすべての点が
存在する訳ではないような、不連結な加法部分群の、全体の、濃度を求めればいい。
このときは、複素平面C上において実軸と虚軸は直交するから、(1)～(5)の議論から、
その濃度は通常の考え方に倣えば、c^2＝cになる。
(1)～(6)までが、>>53の(2)で書こうとしていたことの大体の話。
0105564
2015/10/18(日) 18:17:44.14ID:kDiNTmvJとりあえず答えだけ言うと、スレ主さんの通りで実数体のべき集合の濃度が正解です。
0106現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/18(日) 20:29:37.62ID:AbOcHf9K564さん、どうも。スレ主です。
君は本当にレベル高いね
すぐ反例を思いつくんだ
その反例には納得だ
とすると、別の筋を使うしかないね
>>96
ID:9oIIz4Cl くんか。君は、レベルが高そうに見えない。そのレベルで、このスレ主に刃向かうつもりなのか？
その意気やよし！ 挑戦を受けよう！ （＾＾；
では、君が>>92記載の564さんの出題そのものか、あるいは簡易化版でも良いから、解答を書いてみなさい。
期日は、来週金曜までだ
私は、金曜以降に自分の解答を書こう
私スレ主より先に正解すれば、君の勝ち
遅ければ、君の負け（＾＾；
私には、ある解答の筋が浮かんだ
君は、よほど頑張らないと勝てないだろうね（＾＾；
0107現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/18(日) 20:39:39.50ID:AbOcHf9Kおっちゃん、どうも。スレ主です。
８連投ありがとうございます
まあ、しかし、こんな２ちゃんねるの制約のある板で
まともに証明を書こうという根性がすごいね
私ら、>>78みたくだらだら、文章で書き流してしまった
手書きだと逆で、きっと数学記号を多用する
が、多くの数学記号がキーボードから入力しにくい
だから、つい書きやすい文章にして、書き流してしまうんだ
0108１３２人目の素数さん
2015/10/18(日) 21:31:44.05ID:OUm9X15cたぶん、その人は数学者か、数学者になり得る候補者だと思われます。
0109１３２人目の素数さん
2015/10/18(日) 21:38:45.90ID:Sj+lQR5o0110１３２人目の素数さん
2015/10/19(月) 16:50:32.19ID:IygwR3FN0111１３２人目の素数さん
2015/10/20(火) 14:23:15.46ID:uHJfL3Emおっちゃんです。>>97の包含関係「A⊂B⊂H⊂R」は、正しくは「包含関係はA⊂H⊂B⊂R」だった。
この間違いは議論には余り影響しない。>>99-100には見落としがあった。
nを1≦n＜ℵ_0なる自然数としたとき、任意の加法部分群G∈G(n)⊂C
に対して、次のように特性関数fを定義する：
Gに平面Cの加法部分群G＋iRを対応させるとき、f(G)＝1、
mを1≦m＜ℵ_0なる任意の自然数として、或る加法部分群H∈G(m)⊂Cを
任意に取って、GにG＋iHを対応させるとき、f(G)＝0。
そうすると、集合G(n)の濃度をcard(G(n))＝cと求めた後に、今度は
実部の加法部分群がG(n)のGであるような、平面Cの加法部分群の濃度が2^cと求まると。
尚、こういう特性関数の定め方は一意には決まらない。他のやり方でもいい。
だから、本当は、実部の加法部分群(Z上の有限次元の線型空間)を御丁寧に求めてなんていうことせずに、
実部の加法部分群がZ上の有限次元の線型空間であるような、平面Cの加法部分群の濃度を、
一気に2^cと求めなければならなかったと。こういう操作は実部と虚部を入れ替えても同様。
0112１３２人目の素数さん
2015/10/20(火) 14:26:32.58ID:uHJfL3Em(>>111の続き)
しかし直観に反するな。実軸方向への幾何ベクトルと虚部方向への幾何ベクトルは
直交するから、直観的には日曜に書いたような方針で濃度が自然に求まる筈なんだが。
直線R上に、何らかの、局所的に1点の閉包がその点だけからなったり
或るε-近傍に含まれたりするような加法部分群が、個数としては、
2^cの濃度に等しくなるように存在するということだろうな。
純代数的に無限次元のときをことを考えることは出来ないわな。無限級数を考えたとき、
e^π＝Σ_{n=0,1,…,∞}(1/(n！))(π)^0 (π)は超越数だが、
e^{log(2)}＝Σ_{n=0,1,…,∞}(1/(n！))(log(2))^0 (log(2)は超越数)
は有理数2に等しく、そんな方針通用しない。
0113１３２人目の素数さん
2015/10/20(火) 14:31:10.89ID:uHJfL3Emまあ、今書いたのは気楽に書いた文章だから、気軽に読んで下さいな。
0114１３２人目の素数さん
2015/10/20(火) 14:55:51.13ID:uHJfL3Em>>112の
>e^π＝Σ_{n=0,1,…,∞}(1/(n！))(π)^0
>e^{log(2)}＝Σ_{n=0,1,…,∞}(1/(n！))(log(2))^0
は
>e^π＝Σ_{n=0,1,…,∞}(1/(n！))(π)^n
>e^{log(2)}＝Σ_{n=0,1,…,∞}(1/(n！))(log(2))^n
の間違い。
0115１３２人目の素数さん
2015/10/20(火) 20:16:12.04ID:1Ysi0L/20116１３２人目の素数さん
2015/10/21(水) 14:06:19.27ID:vSvYhfyLおっちゃんです。よく考えたら、私の方法では扱えない致命的な場合があった。
eやπを超越数として、超越拡大体Q(e)やQ(π)などの場合がそれにあたる。
Q(e)は、任意のn∈Zに対してe^n∈Q(e)を満たし、1,e,…,e^nはQ上(従ってZ上)線型独立だから、
基底{1,e,…,e^n}を取り出したと同時に、その基底によって張られるZ上の線型空間の階数がn+1と定まる。
だが、整数n∈Zは上下に有界でなく、Q(e)は1変数有理関数体Q(X)に同型で、Q(e)やQ(e)＋iQ(π)自体が
既に複素平面C(直線R)の加法部分群だから、それに属する点を取り出さないと
Rの階数(例としては、先のn+1な)が定まらないような、加法部分群の構造
を持つ対象に対しては、私の方針では無力だったと。そういうことだ。
Z上の線型空間だけを扱っていて、超越拡大体の構造自体は扱ってなかったから、そうなるわな。
以上、反省会でした。
0117現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/23(金) 21:22:54.32ID:Zuo6CnAJどうも。スレ主です。
ID:OUm9X15cさん、「たぶん、その人は数学者か、数学者になり得る候補者」に賛成だね（＾＾
0118現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/23(金) 21:34:20.23ID:Zuo6CnAJどうも。スレ主です。
おっちゃん、ありがとう
証明は良く分からないが
>>86には、ご納得頂けましたか？
0119現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/23(金) 21:43:06.82ID:Zuo6CnAJどうも。スレ主です。
ID:9oIIz4Cl くんか、君の解答はどうだ？ 進んでいるか？ あと約２時間
いま、白紙ということか・・・
君にはレベルが高すぎる問題なんだろうね（＾＾；
0120現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/23(金) 21:57:16.47ID:Zuo6CnAJどうも。スレ主です。
>私には、ある解答の筋が浮かんだ
>君は、よほど頑張らないと勝てないだろうね（＾＾；
正直に言えば、浮かんだ筋は、だめだった
簡易化で
問題「実数体Rによる数直線上の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし実数体Rにはユークリッド位相が入っているものとする。」
で、数直線上の実数から成る超越基底Sを、虚数軸方向にランダムにばらせば、半径dの開球（近傍）をばらばらに出来るだろうと
しかし、ある一つの要素s∈Sなら、簡単に重ならないように出来るけど、それが超越基底S全体（連続の濃度）になると、簡単じゃない（おそらく無理（証明出来てないが））
結局自力では解けなかった。が、解答は得た。
いま思えば、自力では百年経っても無理だわ
0121現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/23(金) 22:01:31.76ID:Zuo6CnAJ解答は得たが、暫く書かない
ID:9oIIz4Cl くんか、こいつのレベルでは、解けないんだろうな（＾＾
が、皆さんなら解けるでしょ？
皆さん、一緒に問題を楽しんで下さい
なかなか深く考えさせる問題ですよ・・
0122１３２人目の素数さん
2015/10/23(金) 22:16:19.86ID:l4DBaxJ30123現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/23(金) 22:21:30.84ID:Zuo6CnAJどうも。スレ主です。
>スレ主は頭だけじゃなく性格も悪いね
いやー、分かってしまえば、なーんだと
が、君を叩くネタには使えるんだよね（＾＾
0124現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/23(金) 23:50:24.26ID:Zuo6CnAJ>いやー、分かってしまえば、なーんだと
まあ、こう書けば、出題者には分かるだろう。「ああ、解けたんだ」と
おーい、ID:9oIIz4Cl くんよ、間違っていてもいいから、何か書いてみなさいよ（＾＾；
あーあ、なんにも書けないのかよ、おい
へたれの根性無しかよ、おい（＾＾；
0125１３２人目の素数さん
2015/10/24(土) 00:20:20.32ID:KMhP4hYZ0126１３２人目の素数さん
2015/10/24(土) 01:15:41.03ID:wq5GidlR0127現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/24(土) 10:03:02.79ID:cms+vzq2どうも。スレ主です。
>嘘つきは土日の始まり
これは、私スレ主がまだ正解を得ていないと思ってのことだろうが
思うに、君は、>>92の問題に対して、まだ解答を得ていないってことを自白したんだ（＾＾
なぜなら、あることに気付けば、答えは明白
かつ、勉強をしている人には常識
だから、知っている人から見れば、にやにやして見ているんだろうと思う
君の低レベルの推測を。こいつ何にも知らないなと思いながら・・・（＾＾
0128現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/24(土) 11:36:09.88ID:cms+vzq20129現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/24(土) 13:38:44.64ID:cms+vzq2後の参考になるので、失敗した考えだが、以下書いてみる
>で、数直線上の実数から成る超越基底Sを、虚数軸方向にランダムにばらせば、半径dの開球（近傍）をばらばらに出来るだろうと
>しかし、ある一つの要素s∈Sなら、簡単に重ならないように出来るけど、それが超越基底S全体（連続の濃度）になると、簡単じゃない
まず、準備として、衝突断面積という考えを紹介する。散乱断面積ともいう
詳しくは、下記PDFのFig6を見て欲しい
統計物理ではよく使う図だが、気体の原子や分子を剛体の球と考えたとき、半径ｒの二つの球がぶつかるのは、お互いが距離2r以内に近づいたとき
つまり、一つの球の中心から半径2rの円の面積を、衝突断面積と呼ぶ。これは、高校物理でも出てくると思うが、これを最初に聞いたときは「おお！」と思った
二つの球を動かすと考えるのが難しい。一つは止まっていることにして、もう一つを動かす
http://www.mssj.jp/publications/pdf/kaisetsu/01/ms570345.pdf
「衝突論（早川滋雄） 日本質量分析学会2009」
つまり、数直線上の実数から成る超越基底Sで、∃s1∈Sで、s1→s1+iyとsを虚数軸方向に動かして、他のs2・・・などを、s1+iyを中心とする半径2rの外に配置すれば良い
虚数軸は、上下に、無限に広がっているから、これだけなら楽勝なんだ
そして、これができれば、s1+iyを中心とする半径rの開球（近傍）を、複素平面内に重ならないように配置できる
だから、重ならない開球が構成できれば、それらの任意の組み合わせは、全て異なることが言えて・・・、命題が証明できる
しかし、他のs2・・・などを同じように出来るのか？
半径2rの円を考えると、（s1-2r, s1+2r）の区間に入る全ての超越基底Sを、同じように半径2rの外に配置しなければ行けない
（s1-2r, s1+2r）の区間内には、連続無限の濃度の超越基底Sの要素があるんだよね・・・
そう考えて行くと、この筋で証明するのは、難しいと気付いた
そこで、方向転換したんだ（＾＾；
0130現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/24(土) 14:41:30.65ID:cms+vzq2ID:9oIIz4Cl くん、やーい
そろそろ、何か気付いたろう
なんか書いて見ろよ
そうすれば、君のレベルが分かるから。Ha,Ha,Haッ！（＾＾
0131現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/24(土) 17:08:16.38ID:cms+vzq2分かっている人には、常識だし
解答ばらしたら、「なーんだ、そんなことか！」とお叱りを受けるくらいのものだ
が、そう簡単でもないし、いちどじっくり悩む時間がある方が、深く理解できて良いと思うんだよね（＾＾；
ID:9oIIz4Cl くん、悩んで下さい。そして、理解を深めて下さい！（＾＾；
0132１３２人目の素数さん
2015/10/24(土) 22:20:52.32ID:PGwbOHKa煽るだけの奴に答えをねだらずに、
自分で考えてみたら？
0133１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 00:33:15.08ID:t6f0J+/g0134１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 01:25:55.38ID:YZT/50GDそれスレ主のいつもの手口
0135現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 06:14:18.07ID:ZH0WK04qどうも。スレ主です。
その書きぶりだと、君たちもまだ答えは得ていないようだね
教えて欲しいか？
だが、教えてはやらん
いちどじっくり悩む時間がある方が、深く理解できて良いと思うんだよね（＾＾；
悩んで下さい。そして、理解を深めて下さい！（＾＾；
さらに言っておくが、君たちに解けるとは思っていないよ（＾＾；
0136現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 06:37:57.11ID:ZH0WK04qこの失敗した考えから、面白い問題が１題出来た
「複素平面の数直線上で、実数体Rに対し、超越基底S（S⊂R）を取る。
Sの全ての要素∀s∈Sを数直線上に並べる。
各要素sを中心とした半径εのε近傍Uε(s)を考える。
Uε(s)を、虚数軸に沿って、適切に重ならないように配置することを考える。
全てのUε(s)を、複素平面上に重ならないように配置することが出来るだろうか？」
面白い問題だろう？
εはいくらでも小さく取れる。一方、虚数軸は、∞に広がっている。だから、出来そうに思うだろ？
0137現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 06:40:40.18ID:ZH0WK04q「ああ、スレ主は解けているんだ」と
0138１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 07:18:55.96ID:iVosc7uYスレ主さんが１ページずつ解説してくれるような輪読会
やってくれませんか？
0139１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 08:19:32.02ID:KR83T0Go0140現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 08:29:20.91ID:ZH0WK04qどうも。スレ主です。
>スレ主さん、雪江代数２が難しすぎます。
>スレ主さんが１ページずつ解説してくれるような輪読会
結論から言うと、無理
友達おらんのか？ 輪読会なんて、リアルの場で、わいわいがやがや、ブレスト的にの方が（輪講では「とにかく否定をしない、相手を肯定する。」は良いが、「質は問わない、量を出す」はこだわらなくても良いと思う）
頭の活性化に良いだろうよ
http://www.kayac.com/vision/style/brainstorm
ブレインストーミング(brainstorming、brainstorm)
略して、ブレスト。集団でアイデアを出す会議手法のこと。
カヤックの社内では、このブレストが毎日おこなわれている。
0141現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 08:34:54.28ID:ZH0WK04q雪江代数２か、もっとらんのよ
雪江代数３は、書棚のこやしとして買ったが、つん読だな。なにか課題が出てきたときに読むため
雪江代数２か。正誤表見とけよ
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/
雪江明彦のホームページ
教科書「代数学2 環と体とガロア理論」の 正誤表 (2015/7/30更新)
0142現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 08:49:42.44ID:ZH0WK04q他の本で間に合っている。所詮、学部の本でしょ
「雪江代数２が難しすぎます」？ 私ら、そんな難しい本を修行的に勉強する気もないし、ニーズもない。数学をメシの種にする必要はないから
まあ、分からんことがあったら、このスレに書いてみな
分からんことを整理して、人に分かるようにアップする。その過程で、頭が整理されて、自ずから解答が得られることもあるだろうし、最低限頭の整理になる。人に説明する練習になる
学生さんか。アップしたら、平行してだれかに聞いてみな。あるいは、教師に。口頭で聞くのが良いよ。だが、その前に周辺を勉強していけ。基礎的テクニカルタームを知らないと言われると、教える方がげんなりする。こいつどこまでレベル下げないと行けないんだろうと（＾＾
0143現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 08:53:06.31ID:ZH0WK04qここで得られるものは、必要なことの１割以下と思って下さい
0144１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 08:57:24.13ID:KR83T0Go次からスレ立てするたびに>>1に書いとけ。
何も知らん人が検索して引っかかっても誤解のないようにな。
0145現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 08:58:35.82ID:ZH0WK04qこれ、新作問題だと思うんだ
もし、「ここでにあるよ」という方が居れば、教えて下さい
超越基底Sにせずに、実数体Rそのものにして、ε近傍Uε(x) ∀x∈R でも類題になるけど
それだと、問題がちょっと易しくなる気がする
超越基底Sを取る方が、問題が高度でしょ？（＾＾
0146現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 09:01:42.28ID:ZH0WK04qどうも。スレ主です。
”２ちゃんねるで”と書いた
それ、いまや世間の常識でね
「いやいや、２ちゃんねるでこんな良いスレがあって、ここで必要なことの１割以上は得られるよ」というスレがあれば、教えてくれよ
0147１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 09:03:45.96ID:ny3IMF4t濃度論とか選択公理についての注意書きみたいの。
まぁ本編ではほとんどというか全く触れる必要ないんだが。
0148１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 09:07:04.55ID:KR83T0Go0149現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 09:18:41.85ID:ZH0WK04q大学レベルのまともなスレは、２ちゃんねるでは皆無じゃないかい？
で、下記みたく、２ちゃんねるなんかで質問しないで、アメリカの数学フォーラムサイトで質問するのも手だよ
いまどき、翻訳サイトに和文入れれば、適当に英訳してくれる。それを手直しすれば良い（＾＾
数学の本 第66巻
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1442929725/
高校数学の質問スレPart392
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1443981226/
分らない問題はここに書いてね405
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1445275987/35
35 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/10/21(水) 19:54:53.40 ID:g33XVy1m [3/3]
アメリカの数学フォーラムサイトAoPSでは問題が投下されると
解答者が続出するのに日本の掲示板では解けない言い訳が投
下されるだけ。これが日本人の数学の実力
本当は教授も予備校講師も数学はまるでダメな人間しかいない
0150現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 09:55:51.27ID:ZH0WK04q>>139
一番オーソドックスな代数の基礎の環論はガン無視：当たっているが、このスレタイにあるように、ここは本来古典ガロア理論のスレ。環論は、ネター女史が考え単だっけ？ 必須ではない。
（なお、環論とイデアルは食わず嫌いだったが、面白いね。（＾＾ ）
怪しい濃度論っぽい議論：これは自分から持ち出した話ではなく、私以外の出題者から出された
ガロア理論のターム使ってるだけで：>>92の問題が解けていることは、出題者の564さんが一番分かっているだろう。君には分からないだけで
>>147
どうも。スレ主です。
「濃度論とか選択公理」は、雪江３と関連している気がする。超越基底とか無限次元拡大、位相、付値と完備化とか
が、雪江３の書きぶりでは、P8辺りで「まず位相について復習する」と始まっている
が、目次を見る限り、雪江１で位相を論じている気配もないから、雪江３をやるレベルの人は、どこかで「位相（トポロジー）」は勉強しているはずと
そういう前提のテキストと見ました
雪江２の目次を見る限り、３ほどではないだろうが
なんとなく、雪江２をやるレベルの人は「これくらい知っているよね」というにおいがしないでもない
0151現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 09:58:39.58ID:ZH0WK04qいいんじゃない、それで
主観的には、ここは私の気楽なメモ帳なんで
0152１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 10:08:38.98ID:KR83T0Go準同型定理分かるようになった？。
準同型定理の言ってることが理解できないなら単射と全射の意味すら分かってない可能性がある。
0153現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 10:37:20.15ID:ZH0WK04q>>145 「ここでにあるよ」→「ここにあるよ」
>>95 「点の集合が分離的でれば」→「点の集合が分離的であれば」
0154現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 10:38:07.24ID:ZH0WK04q>>91
>例え無限個の点の集合であっても、それら無限個の点の集合が、分離的であれば、ハウスドルフの性質は使える
>>136と>>145に関連するから、補足しておく
超越基底Sの二つの要素s1とs2を取る。超越基底だから、当然、s1≠s2と仮定できる。
ユークリッド位相は、ハウスドルフだから、s1とs2の周りに、重ならない小さな半径εの開球を設定できると考えたんだ
高校生にも分かるように解説すると、d=|s1－s2|として、ε＜d/2とすれば良いから
で、εは全部同じじゃなくても良いので、それぞれ隣り合う、s1,s2,s3があったら、順次調整していけると
そう考えたんだ
でも上手く行かない。なぜでしょうか？
「なぜか」を考えるのも、なかなか面白いんだ（指摘されても、すぐにはなぜか分からなかった）
でも、>>95の反例で納得した
そして、>>129みたく、数直線上の開球を、複素平面全体に散らすことを考えた。がダメみたい。それが、問題>>136
で、超越基底Sにせずに、実数体Rそのものにすると、問題は易しくなる気がする（＾＾
0155１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 10:55:46.89ID:YZT/50GD指摘されない限りずっと誤った理解をしてるわけだからね。
「分ってない」方がずっと良い。スレ主みたいに「分ってないのに分ったつもりになってる」のは最悪。
0156現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 11:13:38.26ID:ZH0WK04q人のことより、自分の心配をしたらどう？
学部生なら、就職先や院試
修士なら、修論
DRコースは、さすがに居ないでしょう。教師もつまらんカキコはしないだろう
まあ、初心者向けに書いておくと、おそらく質問の意図は
二つの群GとHで、準同型fがあって、f：G→Hのとき、核ker(f)が、Gの正規部分群になり、像im(f)は商群G/ker(f)に同型と
そう答えてほしいんだろうね（まあ、下記でもご参照）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%9E%8B%E5%AE%9A%E7%90%86
歴史
同型定理は加群の準同型に対してEmmy Noetherによって Mathematische Annalen に 1927 年に出版された彼女の論文 Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkorpern においていくらか一般的に定式化された。
これらの定理のより一般的でないバージョンは Richard Dedekind の仕事や Noether による前の論文において見つけられる。
3年後、B.L. van der Waerden は彼の大きな影響を及ぼした Algebra、主題への 群-環-体 アプローチをとった最初の抽象代数学の教科書を出版した。Van der Waerden は群論に関する Noether の講義と代数学に関する Emil Artin の講義を、
また Wilhelm Blaschke, Otto Schreier, そして van der Waerden 自身によって行われたイデアルに関するセミナーを、主なリファレンスとして信用した。準同型定理と呼ばれる3つの同型定理と同型の2つの法則は群に適用されたとき明示的に現れる。
0157現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 11:15:46.08ID:ZH0WK04qはいはい、講釈は分かったから
君に、問題>>92に対して解答する権利を与えよう！（＾＾
どうぞ！ 君がどれだけ理解しているのか示してください！（＾＾；
0158現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 11:23:33.66ID:ZH0WK04q>そして van der Waerden 自身によって行われたイデアルに関するセミナーを、主なリファレンスとして信用した。
”信用”が、誤訳だな（下記）
https://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphism_theorem
History
The isomorphism theorems were formulated in some generality for homomorphisms of modules by Emmy Noether
in her paper Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkorpern
which was published in 1927 in Mathematische Annalen.
Less general versions of these theorems can be found in work of Richard Dedekind and previous papers by Noether.
Three years later, B.L. van der Waerden published his influential Algebra,
the first abstract algebra textbook that took the groups-rings-fields approach to the subject.
Van der Waerden credited lectures by Noether on group theory and Emil Artin on algebra,
as well as a seminar conducted by Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier,
and van der Waerden himself on ideals as the main references.
The three isomorphism theorems, called homomorphism theorem, and two laws of isomorphism when applied to groups, appear explicitly.
”Van der Waerden credited lectures by Noether on group theory and Emil Artin on algebra, ・・・”で
creditedを信用と誤訳
”〈行為・功績を〉（人に）帰する”だな
http://dictionary.goo.ne.jp/leaf/ej3/20279/m0u/
creditの意味 - goo辞書 英和和英
━━[動](他)
3 ［III[名]（[副]）］〈行為・功績を〉（人に）帰する
0159現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 11:26:05.41ID:ZH0WK04q分かってしまえば、大して難しくもないんだが
しばらく、雑魚叩きに使えることが分かった（＾＾；
0160１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 11:34:20.17ID:YZT/50GD解答乞食かよｗ自分で解けｗ
0161現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 12:40:18.36ID:ZH0WK04qまあ、>>154に大きなヒントが隠されている
それは、出題者の564さんには分かっているだろうさ
0162１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 12:52:00.91ID:YZT/50GD0163現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 12:56:18.34ID:ZH0WK04q>反例を示されないと間違いに気付かないというのは、完全に他人に依存した勉強の仕方。
>指摘されない限りずっと誤った理解をしてるわけだからね。
>「分ってない」方がずっと良い。スレ主みたいに「分ってないのに分ったつもりになってる」のは最悪。
ちょっと、気になるので一言
数学を深く勉強すれば、数学の進歩の歴史は、結局そういう試行錯誤を省いては語れないんだよ
自分の頭で考える。これが、実は一番大事なんだ。間違を恐れずに
自分の直感と違うことも多いだろう。だからと言って、直感を捨ててはいけないんだ！
（一時、日本の数学教育界でδーε全盛時代があった。いわく直感に頼ってはいけない。δーεの理解こそが大学数学だと。が、今日ではそれは否定された。もっと自分の頭で考えることと、自分の直感を磨くことを強調しておきたい）
有名なヒルベルトの２３の問題がある（下記）
２３ののうち、肯定的に解決された問題もあれば、反例が見つかって否定的に解決された問題も多い
君は、ヒルベルトに”反例を示されないと間違いに気付かないというのは、完全に他人に依存した勉強の仕方。指摘されない限りずっと誤った理解をしてるわけだからね。「分ってない」方がずっと良い”と言うのかい？
その発言には、反例があるよ（ヒルベルトの23の問題）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE23%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C
ヒルベルトの23の問題
0164現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 12:58:28.10ID:ZH0WK04q答えを教えて欲しいみたいだな（＾＾；
だが、教えてはやらん
0165現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 13:01:53.99ID:ZH0WK04q２３ののうち
↓
２３のうち
0166１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 13:24:59.68ID:c480h8Mjやあ、おっちゃんです。>>92は、答えだけ書けば、2^cだよ～ん。大雑把な証明は以下。詳細は略。
実数直線Rの部分集合の族をF、Rの閉集合の集合をA、実数体Rにおける有理数体Qの超越基底Sの、
RにおけるQ上一次独立な集合の全体をBとすると、B⊂A⊂Fから、card(B)≦card(A)≦card(F)で、
card(F)＝2^cだから、card(B)≦card(A)≦2^c。また、card(S)＝c だから、超越基底の定義から、
Sの相異なる任意の2点はQ上線型独立であることに注意して、集合Sにおける、
Bに属するような、各RにおけるQ上一次独立な集合の、特性関数を考えると、card(B)＝2^c。
よって、2^c≦card(A)≦2^c であって、ベルンシュタインの定理から、card(A)＝2^cを得る。
0167１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 14:55:18.28ID:YZT/50GD全問不正解の便所虫が何言ってんだか
0168現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 15:16:05.16ID:ZH0WK04qhttp://choreographlife.jp/pdf/intro.pdf
[PDF]哲学者のための圏論入門 - Choreograph Life 応用哲学会サマースクール2013
http://choreographlife.jp/
森田真生公式ウェブサイト - Choreograph Life
『数学する身体』ついに発売です。
多くの人にとって、数学と新たに出会うきっかけになればと願っています。ぜひよろしくお願いします。
・書籍情報（新潮社）http://www.shinchosha.co.jp/book/339651/
0169現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 15:21:35.28ID:ZH0WK04qどうも。スレ主です。
おっちゃん、回答ありがとう
でも、またまた結論が違う
答えは、2^cじゃないよ～
でもここまで言えば、おっちゃんだったら、証明を含めて正解しそうだな（＾＾；
0170現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 15:29:34.49ID:ZH0WK04qくやしいのうwww（下記）
自分が、問題を解けていないことが、丸分かりだね（＾＾；
ところで聞くが、君のこのスレでの数学的な意味あるカキコはどれよ？
過去レスで良いから、「これだよ」と言ってみな
なに？「無い」って！ そうだろう、そうだろう！
>>92の答えを書けないようじゃ、勉強不足だよっ！
http://dic.nico 強制改行
video.jp/a/%E3%81%8F%E3%82%84%E3%81%97%E3%81%84%E3%81%AE%E3%81%86www
くやしいのうwwwとは (クヤシイノウとは) [単語記事] - ニコニコ大百科:
概要
元ネタは中沢氏の漫画「はだしのゲン」のセリフ。
当たり前の話だが作品発表当時「w」を使って笑いや嘲笑を表す表現はなかったので、
原作では単に「くやしいのう」 となっている。
なお、「くやしいのう」の「のう」は広島弁で「だなぁ」等の感嘆、詠嘆程度の役割で
特に深い意味はない。
0171１３２人目の素数さん
2015/10/25(日) 16:20:52.28ID:c480h8Mj>>154を見ると>>136がヒントとのことだが、その>>136の
>複素平面の数直線上で、実数体Rに対し、超越基底S（S⊂R）を取る。
>Sの全ての要素∀s∈Sを数直線上に並べる。
>各要素sを中心とした半径εのε近傍Uε(s)を考える。
>Uε(s)を、虚数軸に沿って、適切に重ならないように配置することを考える。
>全てのUε(s)を、複素平面上に重ならないように配置することが出来るだろうか？
が意味不明な問題になっている。平面C上で、sを中心とした半径εのε近傍Uε(s)は、
位置が定まった1つの開集合になる。何いいたいのか分からん。
0172現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 17:05:16.47ID:ZH0WK04qどうも。スレ主です。
おっちゃん、レスありがとう
>>全てのUε(s)を、複素平面上に重ならないように配置することが出来るだろうか？
>が意味不明な問題になっている。平面C上で、sを中心とした半径εのε近傍Uε(s)は、
>位置が定まった1つの開集合になる。何いいたいのか分からん。
すんません。分かり難くて。
>>129に書いたように、超越基底S（S⊂R）の要素∀s∈Sを、s+iyのように+iyで虚数軸にそってずらす
数直線上では重なっている半径εのε近傍Uε(s)は、一部なら、重ならないように出来る
では、全ての要素∀s∈Sを、半径εの外、つまり重ならないように、うまく配置することができるかと
もし、可能なら、全て重ならない開球が構成でき、それらの任意の組み合わせは、全て異なることが言えて・・・、命題が証明できる>>129
だから、この筋は失敗で、答えは、2^cじゃないよと言いたい
まあ、これ以上のヒントは、おっちゃんには失礼でしょう
0173現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/25(日) 18:34:05.83ID:ZH0WK04qどうも。スレ主です。
もっとはっきり言えば、答えは、2^cじゃない
だから、背理法で
”実数の超越基底S（S⊂R）の全ての要素∀s∈Sを、s+iyのように+iy（iyはs毎に変えて良い）で虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させて、半径εのε近傍Uε(s)の外、つまり各ε近傍Uε(s+iy)が重ならないように、うまく配置することは出来ない”！
これは、おそらく皆さんの直感に反する結果だと思う
だから、面白いだろう？ >>136の問題は！
0174１３２人目の素数さん
2015/10/26(月) 14:57:22.77ID:cd+s/1Bg>”実数の超越基底S（S⊂R）の全ての要素∀s∈Sを、
>s+iyのように+iy（iyはs毎に変えて良い）で虚数軸にそってずらすことで、
>複素平面に分散させて、半径εのε近傍Uε(s)の外、
>つまり各ε近傍Uε(s+iy)が重ならないように、うまく配置することは出来ない”！
>これは、おそらく皆さんの直感に反する結果だと思う
おっちゃんだけど、これと例の濃度の問題とは関係ない。>>166において、
実数体Rにおける有理数体Qの超越基底Sの濃度はcard(S)＝c。Sの相異なる2点はQ上線型独立で、。
RにおけるQ上一次独立な集合の全体をBとして、Φ、S∈Bを満たすとすると、card(B)＝cは直ちに従う。
Sの任意の点は集積点で、Sが完全集合なることも、示せる。両方共に或るx∈S,r＞0が存在して、
(S-{x})∩(x-r, x+r)＝Φとすると、超越基底の定義から、RはQ(S)上代数拡大体だから、
y≠rなる(x-r, x+r)の点y∈Rを任意に取ると、yは体Q(S)上代数的。また、yはQ上超越的。
よって、yの最小多項式の次数をnとすれば、何れも或るa_0,a_1,…,a_n∈Q(S)/Qに対して、
a_0・y^n＋a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}y＋a_n＝0。しかし、如何なるi＝0,1,…,nに対しても
a_i∈Qは成り立たず、同時にa_i∈Q(S)だから、a_i∈Q(S)は代数的数になるか、
a_iに対して或る自然数nが定まりnに対して両方共に或るn変数有理係数多項式f_i
とn個の点z_1,…,z_n∈Sが存在してa_i＝(f_i)(z_1,…,z_n) になる。超越基底の定義から、
如何なるi＝0,1,…,nに対しても、a_iが後者の場合の条件を満たすことはあり得ない。
従って、如何なるi＝0,1,…,nに対しても、即ち任意のi＝0,1,…,nに対して、a_iは代数的数になる。
しかし、これは、yが超越数だったことに反し矛盾。従って、任意のx∈Sについて、
任意のr＞0に対して、(S-{x})∩(x-r, x+r)≠Φで、集積点の定義を満たし、点xは集積点になる。
従って、完全集合の定義から、超越基底Sは完全集合になる。
だから、S∪(Sの閉包)はSの閉包に等しく、Sは閉集合になる。これが、S∈Bなることの証明。
0175１３２人目の素数さん
2015/10/26(月) 15:21:07.75ID:cd+s/1Bg>>174の
>何れも或るa_0,a_1,…,a_n∈Q(S)/Qに対して、
>a_0・y^n＋a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}y＋a_n＝0。
の部分の「a_0,a_1,…,a_n∈Q(S)/Q」は「a_0,a_1,…,a_n∈Q(S)」と訂正。
些細なことだが、「Sの相異なる2点はQ上線型独立で、。 」の部分の「。」は、除く。
0176１３２人目の素数さん
2015/10/26(月) 15:40:35.76ID:cd+s/1Bg>>174の
>RにおけるQ上一次独立な集合の全体をBとして、Φ、S∈Bを満たすとすると、card(B)＝cは直ちに従う。
の部分は
>実数体Rにおける有理数体Qの超越基底Sの、RにおけるQ上一次独立な集合の全体をBとして、
>Φ、S∈Bを満たすとすると、card(S)＝cだから、超越基底の定義から、card(B)＝2^c は>>166のように従う。
と訂正。つまり、直線Rの閉集合全体の集合Aの濃度は、card(A)＝2^cになる。
0177１３２人目の素数さん
2015/10/26(月) 16:43:33.61ID:cd+s/1Bg何度も失礼だが、>>174の、Sの任意の点は集積点で、Sが完全集合なることの証明は、
>Sの任意の点は集積点で、Sが完全集合なることも、示せる。両方共に或るx∈S,r＞0が存在して、
>(S-{x})∩(x-r, x+r)＝Φとする。y≠「x」なる(x-r, x+r)の点y∈Rを任意に取る。
>すると、超越基底の定義から、RはQ(S)上代数拡大体だから、Sに属さない点y∈Rは体Q(S)上代数的ではない。
>そうでなければ、或いはSに属さない点yはQ上代数的になる。よってyはQ(s)上超越的かまたはyは代数的数である。
>しかし、確かにRはQ(S)上代数拡大体だから、y∈Rから、確かにyはQ(s)上代数的になる。
>よって、yが前者の場合を満たすことはあり得ず、yは代数的数である。y≠xなる(x-r, x+r)の点yは任意であるから、
>y≠xなる点yを開区間(x-r, x+r)において走らせると、任意のy≠xなる点y∈(x-r, x+r)は代数的数である。
>開区間(x-r, x+r)は非可算集合だから、代数的数は非可算個存在する。
>しかし、これは、代数的数全体の濃度がℵ_0で可算無限集合なることに反し矛盾。
と訂正。
0178１３２人目の素数さん
2015/10/26(月) 17:06:18.48ID:cd+s/1Bg悪い悪い。>>177は不要で、単純に>>174の
>y≠rなる(x-r, x+r)の点y∈Rを任意に取ると、yは体Q(S)上代数的。また、yはQ上超越的。
の部分を
>y≠「x」なる(x-r, x+r)の点y∈Rを「1つ任意に選んで」、
>yは体Q(S)上代数的。また、yはQ上超越的「とすることが出来る」。
と訂正するように書くべきだった。その直後の「よって、…」の部分の接続は、
国語として変な気がしないでもないが、もし変なら「よって」を「そして」に変えればいい。
上のような操作は、開区間(x-r, x+r)に(普通のQ上の)超越数が非可算個存在することから保証される。
だから、方法としては、大体は>>174のようにして示せる。
0179１３２人目の素数さん
2015/10/27(火) 10:47:47.67ID:NCDeUk7cおっちゃんだけど、実際に書いてみたら、>>166とか昨日書いた文に色々間違いがあったw から、書き直す。
まあ、何れにしろ、Rの閉集合の集合Aの濃度は2^cで、その結果については変わりはない。
[第１段]：任意のSの点は孤立点で、Sが孤立集合なることを示す。
Sが孤立集合ではないとする。すると、或るx∈Sが存在して、xは孤立点ではなく集積点だから、
集積点の定義から、r＞0を任意に1つ選ぶと、(S-{x})∩(x-r, x+r)≠Φ。
I＝(S-{x})∩(x-r, x+r)とおくと、I≠Φ。y≠xなる1つの点y∈Iを任意に選ぶ。
すると、I⊂Rからy∈R。そして、I⊂Sからy∈Sであって、超越基底の定義から、
RはQ(S)上代数拡大体だから、yは体Q(S)上代数的である。従って、yのR/Q(S)への
最小多項式の次数をnとすれば、何れも或るa_0,a_1,…,a_n∈Q(S)に対して、a_0≠0, a_n≠0 であり、
a_0・y^n＋a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n＝0 …① となる。しかし、超越基底の定義から、
Sの点yはQ上超越的だから、任意のi＝0,1,…,nに対してa_iがQ上代数的となるようなことは、あり得ない。
従って、或るi＝0,1,…,nが存在して、a_iはQ上超越的となる。つまり、a_iは超越数となる。そこで、
Y＝{a_0,a_1,…,a_n}とおき、X＝{a_i∈Y|a_iは超越数} とする。すると、X≠Φ。
0180１３２人目の素数さん
2015/10/27(火) 10:52:26.48ID:NCDeUk7c(>>179の第１段の続き)
a_i∈Xを任意に取る。すると、X⊂Yからa_i∈Y。そして、a_i∈R＼Qであって、同時にa_i∈Q(S)だから、
a_iに対して或る自然数m(a_i)が定まり、自然数m(a_i)をm_iで略記することにすれば、
m_iに対して何れも或る、m_i変数z_1,…,z_{m_i}の有理関数f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i})と
m_i個の点 {z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}∈S が存在して a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i})
となる。Xの点a_iは任意だから、a_iをXの中で走らせると、各a_i∈Xに対して、a_iを表す、何れも或る、
f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i})とm_i個の点{z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}∈S、及び有理関数の形をした式
a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) が定まる。ここで、仮に、各a_i∈Xに対して定まるような、
a_iを表す有理関数の形をした式 a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) における有理関数f_{m_i}の
すべてが定数ではないとして、各a_i∈Xに対して定まるa_iを表す有理関数の形をした式
a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) を、同時にすべて①にすべて同時に代入して
両辺を整理すると、有限個のSの点y , {z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i} , … は体Q上代数的従属なること
が分かり、とりわけy∈Sではなくなって、y∈Sに反し矛盾が生じる。従って、或るa_i∈Xが存在して、
a_iに対して定まるようなa_iを表す有理関数の形をした式 a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i})
におけるf_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i})は定数となる。つまり、f_{m_i}∈Qであって、従ってa_i∈Q。
しかし、a_iは代数的数だから、超越基底の定義から、a_iはa_i∈Sを満たさず、矛盾する。
従って、Sは孤立集合であり、Sの任意の点は孤立点である。
[第２段]：S⊂Rであって、SはRの孤立集合だから、R＼Sは完全集合である
(これは昨日のSが完全集合という予想に反するだろう。card(A)＝2^c の議論には影響しない)。
0181１３２人目の素数さん
2015/10/27(火) 10:54:45.95ID:NCDeUk7c(>>180の続き)
[第３段]：SがRの閉集合の集合Aに属することを示す。
Sは実数体Rにおける有理数体Qの超越基底だったから、超越基底の定義から、
Sの相異なる2点はQ上線型独立である。また、任意のSの点は孤立点である。
1点からなる集合は閉集合なることに着目すると、Sの閉包はS自身に等しいから、
閉集合の定義から、Sは閉集合である。従って、S∈Aである。
[第４段]：Sの部分集合の全体の族Bについて、B⊂Aなることを示す。Φ、S∈Bで、B≠Φ。
空集合ではない集合U∈Bを任意に取る。すると、U⊂Sであり、任意の点x∈Uは孤立点で、
Uは孤立集合である。従って、1つの孤立点だけからなる集合が閉集合なることに着目すると、
Uの閉包はS自身に等しい。閉集合の定義から、Uは閉集合である。従って、U∈A。
Bに属するΦとは異なる集合Uは任意だから、UをB＼{Φ}において走らせると、B＼{Φ}⊂A。
Bに属する集合Φについて、Φ∈A だから、B⊂A。
[第５段]：card(A)＝2^cを示す。
実数直線Rの部分集合の族をFとする。AはRの閉集合の集合だから、A⊂Fからcard(A)≦card(F)で、
card(R)＝c から card(F)＝2^c。従って、card(A)≦2^c。同様に、B⊂Aからcard(B)≦card(A)で、
card(S)＝c から card(B)＝2^cだから、2^c≦card(A)。従って、2^c≦card(A)≦2^c であって、
ベルンシュタインの定理から、card(A)＝2^cを得る。
0182１３２人目の素数さん
2015/10/27(火) 11:46:55.95ID:NCDeUk7c上のようにして超越基底Sが孤立集合なることが示せるから、直観的には非可算集合Sの点は直線R上のどこかで
……●―――――・―――――●……
x-r x(上の1点・) x+r
のように途切れている。任意の点y∈Sの閉包がただ1点yからなる集合{y}に等しくなるように、離散的に分布している。
そして、card(S)＝c だから、Sの点はどこかで稠密に分布している。
だけど、少なくとも card(A)＝2^c なることは上のように示せる。
どこかで、テイラー展開出来る微分可能な関数f(x)が1点で発散するとかいう
奇妙な結果も聞いたことがある。こういうのは、解析をするときに微妙に影響して来る。
な、闇雲な直観は、時として昨日のような誤った判断や結果につながるのだ。
0183１３２人目の素数さん
2015/10/27(火) 12:29:55.40ID:NCDeUk7c>>180の第１段の続きの部分の最後の方の
>しかし、a_iは代数的数だから、超越基底の定義から、a_iはa_i∈Sを満たさず、矛盾する。
は、
>しかし、a_iは代数的数だから、「a_iは超越数ではないことになって」、矛盾する。
と訂正。
0184１３２人目の素数さん
2015/10/27(火) 14:01:18.86ID:NCDeUk7c>>181の第４段の「Uの閉包はS自身に等しい。」の部分の「S」は「U」の間違い。
0185１３２人目の素数さん
2015/10/27(火) 14:36:33.55ID:NCDeUk7c一応、
[第６段]：Sが完全集合なることを示す。
Sが完全集合ではないとすると、完全集合の定義から、或る点x∈Sが存在して、
xに対して或るr＞0が定まり、(S-{x})∩(x-r, x+r)＝Φとなる。開区間(x-r, x+r)に
属するy≠xなる点yを任意に取る。すると、(S-{x})∩(x-r, x+r)＝Φ だから、yは y∈S-{x} を
満たさず、y≠xから、y∈Sではない。n∈N＼{0}を任意に選ぶ。そして、z_1,…,z_n∈Sを任意に取る。
すると、Sは実数体Rにおける有理数体Qの超越基底だったから、超越基底の定義から、
集合{y,z_1,…,z_n}はQ上代数的従属である。よって、集合{z_1,…,z_n}はQにyを添加した
拡大体Q(y)上代数的従属である。開区間(x-r, x+r)のy≠xなる点yは任意だったから、
(x-r, x+r)の点yを代数的無理数とすれば、yに対して或るn∈N＼{0}が存在して、nに対して
何れも或るz_1,…,z_n∈Sが存在して、集合{z_1,…,z_n}は代数拡大体Q(y)上代数的従属となる。
従って、z_1,…,z_nはQ上代数的従属となる。しかし、z_1,…,z_n∈Sだったから、
Sが超越基底の定義を満たさないことになり、矛盾が生じる。
という議論はしたんだが、よく考えるとこの議論も正しいのか。そうすると、>>180の第２段の()内の
>これは昨日のSが完全集合という予想に反するだろう。
が不要になったり、>>182のような直観が間違いでしたw ということになる。
>>182では面白いお絵描きをしたということになる。
0186１３２人目の素数さん
2015/10/27(火) 15:08:12.61ID:NCDeUk7cどうやら、>>182では
>上のようにして超越基底Sが孤立集合かつ完全集合なることが
>示せるから、直観的には非可算集合Sの点は、有理直線Qのように直線状に
>…………………………
>のように途切れて離散的かつ稠密に分布しているようだ。
>任意の点y∈Sの閉包がただ1点yからなる集合{y}に等しくなるように、離散的かつ稠密に分布している。
と書くべきだったようだ。そんな訳で、超越基底Sは非可算な零集合かも知れん。
あと、>>185の第６段の「(x-r, x+r)の点yを代数的無理数とすれば、」は
「(x-r, x+r)の点yをy≠xを満たす代数的無理数とすれば、」と訂正。
0187１３２人目の素数さん
2015/10/28(水) 05:00:37.32ID:3UgS8Hae昨日も何か変なこと考えていたw から、例の濃度が2^cなることの証明だけ書き直す。
実数直線Rの部分集合の族をF、Rの閉集合の集合をAとすると、A⊂Fから、card(A)≦card(F) であり、
card(R)＝c から card(F)＝2^c だから、card(A)≦2^c。ここで、card(A)＝2^c なることを示す。
[第１段]：実数体Rにおける有理数体Qの超越基底Sに対してSの有限部分集合の全体の族をBとすると、B⊂A なることを示す。
Bの定義から、B≠Φ であり、空集合Φは有限集合だから、Φ∈B。X≠ΦなるX∈Bを任意に取る。
すると、X≠Φ から card(X)≧1 である。r(X)＝card(X) とおくと、r(X)は有限な正整数だから、
1≦r(X)＜ℵ_0。以下、r(X)をrで略記することにする。すると、1≦r＜ℵ_0。
(1)、r＝1のとき。このとき、Xに対して或る1点x∈Sが存在して、X＝{x} となる。
従って、S⊂R、X⊂S から X⊂R である。Xは直線R上のただ1点xからなる集合だから、
Xの閉包はXに等しい。Xは直線Rの閉集合だから、X∈A。
(2)、2≦r＜ℵ_0 のとき。このとき、rは2以上の自然数だから、Xに対して何れも或るx_1,…,x_r∈Sが存在して、
X＝{x_1,…,x_r} となる。従って、X＝∪_{i＝1,…,r}{x_i}。ここで、i＝1,…,rを任意に取る。
すると、x_i∈S から {x_i}⊂S であり、S⊂R だから、{x_i}⊂R。{x_i}は直線R上のただ1点x_iからなる集合だから、
{x_i}の閉包は{x_i}自身に等しい。{x_i}は直線Rの閉集合だから、{x_i}∈A。1≦i≦r なる自然数iは任意だから、
自然数iを1≦i≦rを満たすように走らせると、直線R上の有限個の閉集合 {x_1},…,{x_r} の和集合Xは
直線Rの閉集合である。従って、X∈A。
(1)、(2)から、必ず X∈A である。Bに属するような有限部分集合X⊂Sは、条件X≠Φの下で任意だから、
XをS＼{Φ}において走らせると、B＼{Φ}⊂A。従って、Φ∈B から B⊂A である。
0188１３２人目の素数さん
2015/10/28(水) 05:04:22.91ID:3UgS8Hae(>>187の続き)
[第２段]：card(B)＝2^c なることを示す。
Sの有限部分集合X∈Bを任意に取ると、X⊂S である。任意のX∈Bに対して、
SにおけるXの特性関数f_Xを次のように定義する：
任意のx∈Sに対して、x∈Xのとき (f_X)(x)＝1、x∈S＼Xのとき (f_X)(x)＝0。
このようにして定義される、Sにおける、Sの有限集合Xの特性関数全体の集合をYとする。
つまり、Y＝{f_X：S→{0,1}|X∈B, f_XはSにおける有限部分集合Xの特性関数} とする。
すると、超越基底Sの濃度は card(S)＝c 。また、Sの部分集合Xについて、X＝Φ なることと S＼X＝S なることとは
同値である。同様に、Sの部分集合Xについて、S＼X＝Φ なることと X＝S なることとは同値である。従って、card(Y)＝2^c
である。ここで、YからBへの全単射が存在するから、card(Y)＝card(B)。従って、card(B)＝2^c を得る。
[第３段]：card(A)＝2^c を示す。
B⊂A から card(B)≦card(A) であり、card(B)＝2^c だから、2^c≦card(A)。また、card(A)≦2^c。
従って、ベルンシュタインの定理から、card(A)＝2^c を得る。
0189１３２人目の素数さん
2015/10/28(水) 05:20:45.95ID:3UgS8Hae超越基底Sについて、一般に、上下に有界なことの議論は出来ず、
超越基底Sの取り方によって、Sを上に有界としたり、Sを下に有界にしたり、
上下どちらにも有界ではないようにすることが出来て、一概にSの有界性については
何ともいえないから、昨日のような第３、４、５段のような直観的な議論は通用しなかったのだ。
0190１３２人目の素数さん
2015/10/28(水) 05:37:07.77ID:3UgS8Haeそれにしても、マジメに考えてはみたが、どう見ても
例の濃度の議論は、殆ど濃度の議論にしか見えない。
群論とかの議論ではないな。
0191１３２人目の素数さん
2015/10/28(水) 14:03:12.33ID:3UgS8Haeおっと危なかった。間違いがあったから、>>187-188は一旦取り消し。
まあ、何れにしろ、card(A)＝c であるなら、上からの評価も card(A)≦c と出来るのだ。
0192現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/30(金) 21:47:52.71ID:e7a3XQpyいつもいつも、おっちゃんの証明を投下する迫力には圧倒されます（＾＾；
でも、みんな納得してるんかね？
おっちゃんの証明
というか、”おっと危なかった。間違いがあったから、>>187-188は一旦取り消し。”か・・・
”まあ、何れにしろ、card(A)＝c であるなら、上からの評価も card(A)≦c と出来るのだ。”は、どう評価したら良いんだろう？
0193現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/30(金) 21:59:52.96ID:e7a3XQpy>例の濃度の議論は、殆ど濃度の議論にしか見えない。
>群論とかの議論ではないな。
もとの問題から言えばその通り
もとの問題は、>>92記載の564さんの出題だから
ところで、彼 ID:9oIIz4Cl くん>>106は、どうしたんだ？
まだ、何にも書けないのかね？ 勉強不足もいいところだな！（＾＾；
0194１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 00:15:34.30ID:CmWLA97b0195現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 06:27:04.06ID:e+POqdBI君は、本当に恥かきだね
>>173が嘘だと？
>>179が正しいとでも・・
その主張の瞬間に、 ID:CmWLA97bくん、君は、間違った主張をしているんだ
それを悟るときが、いずれ、君にもくるだろう！（＾＾；
0196現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 06:54:03.99ID:e+POqdBIhttp://www.shayashi.jp/xoopsMain/html/modules/wordpress/index.php?m=201309
林晋ブログ 2013年09:（抜粋）
応用哲学会サマースクール （続き）- susumuhayashi @ 11時18分11秒 ２１日に訂正とさらに追加の投稿あり。応用哲学会サマースクール （続きの続き）２０１３．０９．２１
講師の森田さんは、自分の理解が浅いこと、専門家（丸山君）から色々間違いを正してもらったことにレクチャーの際に、ちゃんと言及していたとのこと。
久木田さんに、圏論のレクチャーの司会をしなくてはならないという話を聞いたとき、なんで応用哲学会で、と嫌みを言っておいたのだが、久木田さんのメールによると、水谷さんが、初日のレセプションでの挨拶で、「圏論はトンでも哲学を誘発する危険がある、
そうならないよう圏論の基礎をきっちりと学んでおく必要がある」と発言していて、それが企画の本旨だったらしいとのこと。
しかし、今回のこと、森田さんという方の清々しい対応といい、丸山くんの頑張りといい、若い人たちは実にすばらしい。
丸山君のメールによると、最初ちょっと感情的な行き違いがあったらしく、自分は言い過ぎた（書きすぎた？）ので、謝罪したそうだが、そういう風に、ちゃんと謝罪して修正できること、
また、森田さんという人が、資料改善の努力をし、また、自分の理解ががまだ十分でないことを素直に表明するということ、これは、何も起きないより、よほど素晴らしいことだ。
現在の日本の「おとな」たちは、なんらの失敗も許さないという非現実的態度に終始している。要するに問題が起きたときに対応しないといけない（これを responsibility という。土下座して謝って見せることではない）のを避けようとしているだけ。
僕からみれば、これは大人げない態度だと思う。
多分、失敗することを恥だと思っているのだろうが、もしそうならば、「恥を回避し続け、恥をかかない人生」なんて恥ずかしいのだろう。＃うむ、われながら名言。ハハ :-D :hammer: なんだ？某アニメのOPテーマのパクリだろうが！
僕は、そういう人生を送るのが嫌なので、平気で恥をかくし、失敗する。
しかし、一旦、間違いがあることがわかれば懸命に修正する。そして、そういう間違いと、修正から、よりよい理解や社会が生まれるし、何より生きているのが楽しくなる。
0197現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 08:19:01.12ID:e+POqdBIhttp://ac-net.org/tjst/doc/announce/nsa96.html
1996/7 数学概論B（全学教育２年）
超準数学入門(辻下 徹)
概要
微積分の諸定理は無限小量に基づく直観的議論により 納得できることが多いが、それを証明するには一旦直観的議論を忘れて $\epsilon$-$\delta$ 式の精密な議論によってもう一度証明を見い出さなければ ならないことになっている。
$\epsilon$-$\delta$ 式の議論も一旦習得すれば独特の魅力もあり 何の不都合ないようにみえるかもしれないが、実はその議論の間接性は 生の解析的諸現象を心理的に遠ざけてしまう危険性が大きいのである。
一方無限小の量に基づく発見的議論は直観に基づくことが多く、それに 基づく論証はしばしば誤りに導くことが多い。事実、無限小の量を用いて 信頼の置ける議論をする方法は１９６０年代に数理論理学の進歩によって 初めて発見されたのであった。
この講義の直接の目的は、「無限小量の概念」に基づいて正確な議論を する方法を習得して頂くことであるが、
それだけでなく、それを通して「無限小量の概念」のように一見すると辻妻の あわないようなものが精密な議論の土台となるありさまを経験することにより 数学という学問のもつ役割の一つ
－－形式化しにくいが直観的には明白な 概念を学問の武器に昇格させるという役割－－
を知って頂くことが講義の本 当の目的である。
全資料
PDF （残念ながらリンク切れ）
0198現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 08:36:43.82ID:e+POqdBIPDF （残念ながらリンク切れ）の代用に
下記は、北大 辻下徹先生の1999の講義の一部らしい
http://ac-net.org/tjst/doc/lect/am99/5am99.pdf
きょうの予定
? Forcing としてのCantor の対角線論法
? 超積によるモデル構成
? internal set theory
目次
4.5 **Forcing としてのCantor の対角線論法** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4.6 **初等的埋め込み** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4.7 **超積による初等的埋め込み** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
5 第５回：＜無限＞の柔軟性(2)：internal set theory 2
5.1 記号. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5.2 内的集合論の公理:内包性公理の制限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5.3 理想化公理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5.4 標準化公理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.5 転移公理Transfer . . . . . . . . . . . . . .
5 第５回：＜無限＞の柔軟性(2)：internal set theory
Skolem の定理により、１階の述語論理で記述された自然数の理論に複数の同型ではな
いモデルがあることは、当初は数理論理学の有効性についての否定的な結果と思われい
たのではないかと想像される。しかし、A. Robinson は1960 年頃に、これを利用するこ
とで、無限大や無限小を明確な存在として扱うことが可能になることに気づき、超準解析
Nonstandard Analysis を創始した。これは1977 にE. Nelson により内的集合論(Internal
Set Theory) として数学のすべての分野で使える形式に整備された。以下この形式におい
て、無限集合の不定性がどのように現れているかを調べたい。
0199現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 08:58:46.67ID:e+POqdBIhttp://ac-net.org/tjst/doc/tjst/borel-intro.html
エミールボレル「到達不能数」の紹介 辻下 徹 2008 => 素訳 http://ac-net.org/tjst/doc/tjst/borel-1950.pdf
抜粋
この本は前世紀の半ばにエミール・ボレル(1871-1956)が80歳のときに出版したも のです。
明確なビジョンが得られないま ま、これからの数学者に晩年のボレルが、研究をバトンタッチしようとしたもの と言えます。
問題が根本的なものであるだけに、難しい数学理論を用いるようなテーマではな いので、関心のある高校生でも理解ができる部分がほとんどです。
しかし、現代 数学は、ボレルの問題意識を共有できない方向に流れてしまい、他の言語に訳さ れないまま６０年近くの時が流れました。
現代数学は、この本の主題である巨大 数という概念そのものを否定するところに成立していると言っても過言ではなく、 この本は忘れ去られたのは仕方のないことであったというべきでしょう。
しかし、前世紀後半になると自然数の質的多様性を意識した数学者が、数はわず かですが現れるようになりました。
1964年にはロビンソンが超準 解析を発見しました。数理論理学の発展に支えられた現代数学内の精緻な理論で すが、これによって、普通の数とは質的に異なる巨大数が数学的に精密に使える ようになり、それと同時にゼロではない無限小も利用できるようになりました。
この理論を、解析学におけるニュートン以来の進歩であるとゲーデルは絶賛した ことが知られています。
この理論の原点は前世紀初頭に人々を困惑させたスコーレムの逆理と呼ばれるも のです。数学の理論は「一階の理論」と呼ばれる種類の枠組みで公理化できると 言っても良いのですが、この枠組みの理論では数学的存在を唯一には特定できな いという定理です。
しかし、唯一には特定 できないことを逆用し、異なる「自然数モデル」を利用することで、「巨大数」 を扱えるようになったわけです。
自然数集合と呼ばれ N と書かれている、最小の無 限集合の存在や整合性については、宙に浮いたまま、これを基礎にして現代数学 は進化してきました。
バナッハ・タルスキーの逆理は志賀浩二著「無限からの光芒」で日 本で広く知られるようになりましたが、ボレルは、その原点であるハウスドルフ の逆理を取り上げ、選択公理を使うことの危うさを描出しています
0200現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 09:27:32.90ID:e+POqdBI>下記は、北大 辻下徹先生の1999の講義の一部らしい
分かりました
http://ac-net.org/tjst/lecture.html
Tsujishita's lectures Last modifed 2015.8.28
1999 年度
1999年度後期「数学における不定性」（数学科４年・修士課程） (==> 案内 [99.12.17])
http://ac-net.org/tjst/doc/announce/am99.html
1999年度後期 数理計算理論（数学専攻修士課程）・計算数学特論（数学科４年）
数学における不定性
5. 11月8日 5：＜無限＞の柔軟性（2）：Internal Set Theory (PDF,ps file, gzipped) http://ac-net.org/tjst/doc/lect/am99/5am99.pdf
0201現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 09:43:53.41ID:e+POqdBI「”実数の超越基底S（S⊂R）の全ての要素∀s∈Sを、s+iyのように+iy（iyはs毎に変えて良い）で虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させて、半径εのε近傍Uε(s)の外、つまり各ε近傍Uε(s+iy)が重ならないように、うまく配置することは出来ない”！
これは、おそらく皆さんの直感に反する結果だと思う だから、面白いだろう？ >>136の問題は！」
高校生でも分かるように補足説明しよう
１．有理数体Qの拡大体として実数Rを考える
２．ここで、実数の超越基底S（S⊂R）が存在することは、知識として前提とする
３．超越基底の全ての要素∀s∈Sを、複素平面上の実数の数直線に並べることができるとする（選択公理を仮定する）
４．要素sを中心とする半径εのε近傍Uε(s)を考える
５．これを、虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させる。s→s+iy（iyはs毎に変えて良い）で、Uε(s)→Uε(s+iy)となる
６．Uε(s+iy)が、全て、重ならないような配置は存在しない！
複素平面は、虚数軸方向に、+∞および-∞に広がっている。一方、εはいくらでも小さく取れる
だから、普通の人は、全て、重ならないような配置は可能と思うだろう・・
そこがこの問題の面白さなんだ！（＾＾；
0202現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 10:09:52.70ID:e+POqdBI元の問題>>7
”似たような問題でもう少し難しいものを出しておきます。
問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。”だった。
出題者の564さんには、>>173の背理法が正しいことは、一番分かっているはずだ
では私からの出題
>>201を背理法（>>173）によらず、証明することができるか？
私スレ主は、一応証明らしきことは考えたよ・・（＾＾；
0203現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 10:19:55.75ID:e+POqdBIああだ、こうだ、外野から、あれこれいうヤツがいる。が、「じゃあ、おまえ書いてみろ」というと、何も書けない！ 雑魚だよ！（＾＾；
その点、おっちゃんはえらい！
チャレンジ精神と数学の豊かな知識があるね
私スレ主の知らないことを沢山知っている
”特性関数”か・・・、ボレル先生の素訳 http://ac-net.org/tjst/doc/tjst/borel-1950.pdf で、 1.5 数え上の特性関数.P11と出てくるね（＾＾；
0204現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 10:29:31.89ID:e+POqdBI[PDF]哲学者のための圏論入門 森田>>168
に加えて、以前にも紹介した
灘高 圏論によるプログラミングと論理(PDF) http://www.npca.jp/works/magazine/2013_10/
http://www.npca.jp/works/magazine/
の併読をお薦めします。恐ろしいことに、灘高PDFが森田PDFを完全にカバーしている・・（＾＾；
でも、森田PDFから入ることをお薦めします
0205現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 10:37:32.69ID:e+POqdBIあと、”AwodeyのCategory Theoryの訳書”は、下記を見ておいた方がいいだろう。スレ4は１０００達成したが
圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 4
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1364351100/947-969
947 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/09/24(木) 22:54:54.46 ID:sw0IOYcb [1/2]
AwodeyのCategory Theoryの訳書買って来たけど、
訳の出来は残念ながら絶妙にイマイチですね……
細かい構文の訳し間違いによる意味のズレを挙げ始めたらキリがないので
取り敢えずパラ見して割と大きめの間違いだけ ページ数は訳書
以下略
0206現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 10:57:39.87ID:e+POqdBIそうそう、次の知識も追加しておく
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%AC%A1%E6%95%B0
Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）
ベクトル空間の次元とのアナロジー
ベクトル空間の次元の理論との類似がある。代数的に独立な集合は線型独立な集合と対応し、L が K(S) 上代数的であるような集合 S は spanning sets と対応し、超越基底は基底と対応し、そして超越次数は次元と対応する。
超越基底が常に存在するという事実（これは線形代数学において基底が常に存在するという事実との類似である）は選択公理を要求する。
任意の2つの基底が同じ濃度をもつことの証明は、各設定において、exchange lemma（英語版） に依存する[1]。
0207１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 11:59:26.88ID:GtgS+prU0208１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 13:42:15.05ID:nquRHh21実数直線Rのベキ集合をB(R)、Rの閉集合の族をAとする。すると、A≠Φ。I∈Aを任意に
1つ選んで取ると、I⊂Rであり、R∈B(R)からI∈B(R)だから、card(A)≦card(F)。また、
card(R)＝c から card(B(R))＝2^c。従って、card(A)≦2^c。ここで、card(A)＝2^c
なることを示す。任意のS⊂RなるS∈B(R)に対して、S⊂Rのベキ集合をB(S)とする。
すると、任意のS⊂RなるS∈B(R)に対してB(S)≠Φ。
[第１段]：任意のS≠ΦなるS∈B(R)に対して、1≦card(B(S))≦2^c なることを示す。
S≠ΦなるS∈B(R)を任意に取る。すると、R∈B(R)だから、S⊂Rに着目すると、S∈B(R)。
また、card(R)＝c から card(B(R))＝2^c。S⊂RからB(S)⊂B(R)であり、card(B(S))≦card(B(R))
だから、card(B(S))≦2^c。ところで、Φ⊂SからΦ∈B(S)だから、card(B(S))≧1。
従って、1≦card(B(S))≦2^c。ベキ集合B(R)の元Sは条件S≠Φの下で任意だから、
SをB(R)＼{Φ}の中で走らせると、card(B(R))＝2^c から、任意のS∈B(R)＼{Φ}
について、1≦card(B(S))≦2^c である。
[第２段]：或るS≠ΦなるS∈B(R)が存在して、2≦card(B(S))＜ℵ_0 なることを示す。
B(R)の部分集合Iを、I＝{X∈B(R)|2≦card(B(X))＜ℵ_0} と定義する。すると、
任意のS≠ΦなるS∈B(R)について、1≦card(B(S))≦2^c だから、card(B(R))＝2^c から、
B(R)の各元に選択公理を適用すると、確かにI≠Φとなる。任意の空集合Φとは異なる
集合のベキ集合の濃度は2以上だから、Iの定義から、任意のX≠ΦなるX∈Iに対して
X∈B(R)であり、2≦card(B(X))＜ℵ_0。
0209１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 13:46:45.57ID:nquRHh21(>>208の続き)
[第３段]：包含関係に関するIの極大元Xが存在することを示す。
集合の包含関係は半順序関係である。また、B(R)の定義と card(R)＝c とから card(B(R))＝2^c＞ℵ_0。
ここで、任意のJ∈B(R)について、J⊂Rだから、B(R)の定義から、B(R)の各元に選択公理を適用すると、
何れもB(R)の元つまりRの区間からなるような、次の条件1)、2)を満たし、B(R)に属するRの部分集合
の列{H_n}が構成出来る：
1)：任意の{H_n}の項H_nはB(R)に属する、
2)：H_1＝Φ⊂Rであり、{H_n}は包含関係について単調増加である。
2)から、B(R)の元ΦについてH_1＝Φ⊂R。ここで、X∈B(R)を任意に取る。Xのベキ集合をB(X)とする。
すると、X⊂Rだから、B(X)⊂B(R)。よって、B(R)の定義に注意すると、任意のY≠XなるY∈B(X)に
対してY∈B(R)。任意のY≠XなるY∈B(X)に対して、或るn∈N＼{0}が存在してH_n＝Yとなるとする。
すると、Xは、有限集合、可算無限集合、非可算集合の何れか1つとなる。つまり、
0≦card(X)＜ℵ_0、card(X)＝ℵ_0、card(X)＞ℵ_0 のうち何れか1つ、かつその1つに限り成り立つ。
ここで、Y≠XなるY∈B(X)を任意に取る。すると、Y≠Xであり、Y∈B(R)。そして、ベキ集合B(R)の
定義から、Y⊂X である。
Case1)：0≦card(X)＜ℵ_0 のとき。このとき、card(X)は非負整数だから、Xのベキ集合B(X)の濃度
について、1≦card(B(X))＜ℵ_0。よって、Xに対して或るm∈N＼{0}が存在してH_m＝X。
0210１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 13:50:21.25ID:nquRHh21(>>209の続き)
Case2)：card(X)＝ℵ_0 のとき。このとき、Xのベキ集合B(X)の濃度について、card(B(X))＝2^{ℵ_0}＝c。
また、Y≠Xに注意すると、Y∈B(X)に対して或るm∈N＼{0}が存在してH_m＝Y。ここで、X⊂Xだから、
Xのベキ集合B(X)の定義から、X∈B(X)。よって、B(X)の定義、及びY⊂Xに両方共に着目して、
B(X)の各元に選択公理を適用すると、何れもB(X)の元からなるような、次の2つの条件3)、4)を
両方共に満たし、B(X)に属するRの部分集合の列{I_n}が構成出来る：
3)：任意の{I_n}の項I_nはB(X)に属し、I_1＝Y⊂R、I_2＝X⊂R、
4)：{I_n}は包含関係について単調非減少である。
ここで、X⊂RからB(X)⊂B(R)だから、{I_n}はB(R)に属するRの部分集合の列である。
従って、H_m＝Yから、H_{m+1}＝I_2とすると、3)から、H_{m+1}＝X となる。
Case3)：card(X)＞ℵ_0 のとき。このとき、Xのベキ集合B(X)の濃度について、card(B(X))≧2^{ℵ_0}＝c。
そして、Yの濃度について、0≦card(Y)＜ℵ_0、card(Y)＝ℵ_0、card(Y)＞ℵ_0 のうち何れか1つ、
かつその1つに限り成り立つ。
0211１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 13:52:24.03ID:nquRHh21(>>210のCase3の続き)
Case3-1)：0≦card(Y)＜ℵ_0 のとき。このとき、card(X)＞ℵ_0から card(Y)＜ℵ_0＜card(X) だから、
Yに対して或るm∈N＼{0}が存在してH_m＝Y。同様に、card(X)＞ℵ_0から card(B(X))≧2^{ℵ_0}＝c。
ここで、Y∈B(X)＼{X}だから、Xのベキ集合B(X)の定義から、YはXの真部分集合である。従って、
B(X)の各元に選択公理を適用すると、何れもB(X)の元からなるような、次の条件5)を満たす、
B(X)に属するRの部分集合の列{I'_n}が構成出来る：
5)：任意の{I'_n}の項I'_nはB(X)に属し、I'_1＝Y⊂R、I'_2＝X⊂R である。
ここで、X⊂RからB(X)⊂B(R)だから、{I'_n}はB(R)に属するRの部分集合の列である。
従って、H_m＝Yから、H_{m+1}＝I'_2とすると、5)から、H_{m+1}＝Xとなる。
Case3-2)：card(Y)＝ℵ_0 のとき。
このとき card(X)＞ℵ_0 であり、Y≠X。また、Yに対して或るm∈N＼{0}が存在してH_m＝Y。
従って、Case3-1と同様に考えると、H_{m+1}＝Xとなる。
Case3-3)：card(Y)＞ℵ_0 のとき。
このとき、Yに対して或るm∈N＼{0}が存在してH_m＝Y。また、X⊂Xだから、Xのベキ集合B(X)の
定義から、X∈B(X)。また、Y∈B(X)＼{X}だから、同様に、定義から、YはXの真部分集合である。
従って、ベキ集合B(X)の定義に注意して、B(X)の各元に選択公理を適用すると、何れもB(X)の元から
なるような、次の条件6)を満たす、B(R)に属するRの部分集合の列{J_n}が構成出来る：
6)：任意の{J_n}の項J_nはFに属し、J_1＝Y⊂R 、J_2＝X⊂R である。
ここで、X⊂RからB(X)⊂B(R)だから、{J_n}はB(R)に属するRの部分集合の列である。また、H_m＝Yから
H_m＝J_1 となる。従って、J_2＝Xに着目して H_{m+1}＝J_2 とすると、6)から、H_{m+1}＝X となる。
Case3-1)、3-2)、3-3)から、集合Xが非可算のとき、Xに対して或るm∈N＼{0}が存在して、H_m＝X。
0212１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 13:55:28.52ID:nquRHh21(>>211の続き)
Case1、Case2、Case3 から、Xに対して或るm∈N＼{0}が存在して、H_m＝X。
B(X)の元Yを任意に取ると或るn∈N＼{0}が定まってY＝H_nとなると仮定していたから、
Yを条件Y≠Xの下でB(X)において走らせると、任意のY∈B(X)に対して或るm∈N＼{0}を取ってH_m＝Y
とすると、Xに対して或るk∈N＼{0}が定まりH_k＝Xとなる。従って、B(X)⊂B(R)から任意のY∈B(X)に
対して超限帰納法を適用出来るようになる。そこで、任意のY∈B(X)に対して超限帰納法を用いると、
Xに対して或るn∈N＼{0}が存在して、H_n＝Xとなる。B(R)の元Xは任意だったから、XをB(R)の中で走らせて、
任意にX∈B(R)を取ると、X⊂Rであり、Xに対して或るn∈N＼{0}が存在して、H_n＝Xとなる。
従って、Iの定義からI⊂B(R)なることに着目すると、任意のX∈Iに対して或るm∈N＼{0}が存在して、
H_m＝Xとなる。集合列{H_n}は条件2)を満たし、単調増加だから、I⊂B(R)から、集合列{H_n}の項なるIの元
全体からなる、{H_n}の単調増加な部分列{K_n}は上に有界である。ここで、{K_n}にZornの補題を適用すると、
{K_n}には包含関係に関する極大元が存在する。X∈Iは任意であるから、Iの任意の全順序部分集合は
上界を持つことになる。従って、Zornの補題から、包含関係に関するIの極大元Xは存在する。
0213１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 13:57:10.77ID:nquRHh21(>>212の続き)
[第４段]：包含関係に関するIの極大元XについてB(X)⊂Aなることを示す。
Iの定義から、包含関係に関するIの極大元Xについて、X∈B(R)であり、Xのベキ集合B(X)が定まる。同様に、
Iの定義から、ベキ集合B(X)について、2≦card(B(X))＜ℵ_0 だから、B(X)≠Φ。集合x∈B(X)を任意に取る。
すると、card(B(X))≧2 から、card(X)≧1。また、2≦card(B(X))＜ℵ_0 からcard(x)は有限な非負整数である。
よって、r＝card(x) とおくと、0≦r＜ℵ_0となる。
(0)、r＝0のとき。このとき、card(x)＝0 から、x＝Φ。また、A⊂A。空集合Φの閉包はAに等しいから、
xの閉包はAに等しい。従って、閉集合の集合Aの定義から、x∈A。
(1)、r＝1のとき。このとき、card(x)＝1 だから、集合xに対して或るただ1点y∈Rが存在して、x＝{y}となる。
従って、x⊂Rとなる。xは直線R上のただ1点yからなる集合だから、xの閉包はxに等しい。
xは直線Rの閉集合だから、閉集合の集合Aの定義から、x∈A。
(2)、2≦r＜ℵ_0 のとき。このとき、rは2以上の自然数だから、xに対して何れも或る y_1,…,y_r∈R が
存在して、x＝{y_1,…,y_r} となる。従って、x＝∪_{i＝1,…,r}({y_i})。ここで、i＝1,…,rを任意に取る。
すると、y_i∈Rから{y_i}⊂R。{y_i}は直線R上のただ1点y_iからなる集合だから、{y_i}の閉包は
{y_i}自身に等しい。{y_i}は直線Rの閉集合だから、Aの定義から、{y_i}∈A。1≦i≦rなる自然数iは
任意だから、自然数iを条件1≦i≦rの下で走らせると、直線R上の有限個の閉集合{y_1},…,{y_r}の
和集合xは直線Rの閉集合である。従って、x∈A。
(0)、(1)、(2)から、必ずx∈Aである。B(X)に属する集合xは任意だから、
xをB(X)において走らせると、B(X)⊂Aを得る。
0214１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 13:59:44.10ID:nquRHh21(>>213の続き)
[第５段]：包含関係に関するIの極大元Xについて、card(B(X))≧2^c なることを示す。
Iの極大元X≠Φに対して、Xにおける、Xの部分集合Eの、Xを定義域とする、特性関数f_Eを次のように定義する：
任意のx∈Xに対して、x∈Eのとき (f_E)(x)＝1、x∈R＼Eのとき (f_E)(x)＝0。
このようにして定義されるような、Iの極大元Xに対して定義される、Xにおける、Xの部分集合Eの、
Xを定義域とする、特性関数全体の集合をF(X)とする。つまり、
F(X)＝{f_E：X→{0,1}|f_EはXの部分集合E∈B(X)における特性関数}
とする。すると、XはI≠Φの包含関係に関する極大元だから、任意のY∈IについてY⊂Xであり、ベキ集合B(R)、
及びIの各定義から、X⊂Rの濃度について、card(X)≧card(R)＝c。従って、上に述べた、特性関数、
及び特性関数全体の集合F(X)の各定義から、card(F(X))≧2^c。同様に、定義に着目すると、F(X)からB(X)への
全単射が存在するから、card(F(X))＝card(B(X))。従って、card(B(X))≧2^c を得る。
[第６段]：card(A)＝2^c を示す。
B(X)⊂A から card(B(X))≦card(A) であり、card(B(X))≧2^c だから、2^c≦card(A)。
また、card(A)≦2^c。従って、ベルンシュタインの定理から、card(A)＝2^c を得る。
0215現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 14:30:17.67ID:e+POqdBIこのスレでも、私スレ主は１問正解をしているよ。、>73と>>77-79だ
ID:a5sAw5TAさんは、ハメル基底を使った見事な解答だった>>66-69が、私のは、それとは違う別解だよ
それはそうと、ID:GtgS+prUくん
>>201や、元の問題>>92を考えてみてくれないか？
0216現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 14:35:21.90ID:e+POqdBIおっちゃん、ありがとう
でも、「card(A)＝2^c」の結論が違うと思うんだ（＾＾；
0217１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 14:48:19.54ID:nquRHh21>>211の{J_n}についての6)の「F」は「B(R)」と訂正。
0218１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 15:04:20.96ID:nquRHh21そういうのが直観に反するってことなんだろ。
上からどころか下からもcard(B)をcard(B)≧2^cと評価出来るんだから、
あり得るのはcard(A)＝2^cだけ。>>201で
>３．超越基底の全ての要素∀s∈Sを、複素平面上の実数の数直線に
>並べることができるとする（選択公理を仮定する）
の後の話としているんだろ。そして
>４．要素sを中心とする半径εのε近傍Uε(s)を考える
>５．これを、虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させる。
> s→s+iy（iyはs毎に変えて良い）で、Uε(s)→Uε(s+iy)となる
としているから、選択公理を仮定して直線Rに適用すれば、半径εの近傍U_εを
互いに重ならないように分散させる操作は可能になるだろう。
無限遠点∞を加えない複素平面は上にも下にも有界ではないからな。
0219現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 15:07:05.44ID:e+POqdBIおっちゃん、どうも
実は、私スレ主は解いてないんだ
でも、答えを知った
そして、それは、知っている人には常識のことなんだよ
0220現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 15:12:21.26ID:e+POqdBI0221現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 15:18:15.50ID:e+POqdBI0222１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 15:24:31.26ID:nquRHh21複素平面Cの無限遠点∞の絶対値に相当するモノは+∞で、
平面R^2と同型だから、C上で>>218のような操作は出来るぞ。
何も問題はない。
0223現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 16:09:25.50ID:e+POqdBIそういえば、ここらの話題は、旧スレの現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11 でおっちゃんの問題（下記）から始まっているんだ
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/498 だ
で、私は、http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/508 で正答している
だから、少なくとも２問は正解を出している
0224現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 16:11:36.69ID:e+POqdBIおっちゃん、どうも。スレ主です。
いや、書くと、ネタばらしだから、詳しく書きたくないんだ・・（＾＾；
0225１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 16:37:53.59ID:nquRHh21>３．超越基底の全ての要素∀s∈Sを、複素平面上の実数の
>数直線に並べることができるとする（選択公理を仮定する）
ちなみに、間違っているのはここだろうな。
超越基底Sが零集合でないという保証はないから、Sの点を
直線状に並べるという、選択公理による幾何学的操作は許されない。
これが出来るときは、Sの点を平面上に分布させることも出来る。
どこにも長さや面積の概念における幾何学的な扱いが実数直線Rと
同じになるという保証はない。もし、仮にSが零集合だったら、
有理直線Qのように……………と稠密に点がS上に並んでいるから、
幾何学的扱いとしては有理数体Qと同じになるといってもいい。
……………と離散的に並んでいる状態を―――――と
連続的な非可算集合にすることは出来ない。そんなことしたら長さや
面積などにおける幾何学的形状や扱いが変わる。
……………と並んでいても濃度は非可算な集合なんて沢山ある。
至る所微分不可能な連続関数とかも。
0226現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 16:42:22.38ID:e+POqdBI私スレ主は、新作問題を２つ作った
一つは、現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15 [転載禁止](c)2ch.net
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1439642249/407
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
一つは、このスレ>>173
「”実数の超越基底S（S⊂R）の全ての要素∀s∈Sを、s+iyのように+iy（iyはs毎に変えて良い）で虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させて、半径εのε近傍Uε(s)の外、つまり各ε近傍Uε(s+iy)が重ならないように、うまく配置することは出来ない”！」
付録で
>>202 背理法（>>173）によらず、証明することができるか？
付録があるから、１．５題分か（＾＾；
（もし、新作じゃないという人がいたら教えて）
追伸
最初のは、連続濃度の”べきの濃度”っていうところが新味なんだ。高等数学で、ここまで論じる問題は少ない
後のは、直感に反するところが、意外性があって面白いんだ（＾＾；
因みに、面白い新作問題作成は、教科書の問題を解くよりむつかしいよ（＾＾；
0227現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 16:50:21.22ID:e+POqdBIおっちゃん、どうも。スレ主です。
>>数直線に並べることができるとする（選択公理を仮定する）
>ちなみに、間違っているのはここだろうな。
>超越基底Sが零集合でないという保証はないから、Sの点を
>直線状に並べるという、選択公理による幾何学的操作は許されない。
ここは、微妙。というか、私の力では、YesともNoとも言えない。どう考えたら良いんだろうね？
でも、選択公理を仮定したら可能な気はするよ
>これが出来るときは、Sの点を平面上に分布させることも出来る。
そこは、意見が違うね
0228１３２人目の素数さん
2015/10/31(土) 17:00:40.98ID:nquRHh21超越基底Sが零集合かどうか分からないのにそういうことを
しているということは、直線Rとその上の非可算な零集合について、
ルベーグ測度やら外測度やらを変えていることになるかも知れない。
0229現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 17:53:41.83ID:e+POqdBIおっちゃん、どうも。スレ主です。
零集合か・・・。えらく難しいことを考えているんだね（＾＾；
知らなかったよ。博識やね～
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%AC%E5%BA%A6%E8%AB%96
完備性
可測集合 S が μ (S ) = 0 であるとき零集合 (null set ) という。
測度 μ が完備 (complete ) であるとは、零集合の全ての部分集合が可測であることである。
もちろん自動的に零集合自身が可測となる。
0230現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 17:55:19.83ID:e+POqdBIそもそも、ルベーグ測度は、選択公理なしでは成立しないんじゃないかな？
0231現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 18:36:59.33ID:e+POqdBIルベーグ積分か
昔読んだ話は、下記かな？
有理数体 Qで、実数区間 [0,1] の積分を考える
1Q（ディリクレの関数）を考えて、下記のようにルベーグ積分をすると、ゼロだと
が、1Q（ディリクレの関数）のゼロと１を反転させて、有理数でゼロにしたら？ 積分は１だろ？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E7%A9%8D%E5%88%86
ルベーグ積分
例
有理数体 Q の定義関数 1Q（ディリクレの関数）を考える。この関数は至るところ不連続である。
・1Q は [0,1] 上でリーマン可積分ではない: [0,1] をどのように区間に分割しても、各区間には有理数と無理数の両方が少なくともひとつは入っている。よって、上積分は常に 1 であり、下積分は常に 0 になり、リーマン可積分ではない。
・1Q は [0,1] 上でルベーグ可積分である: 集合の定義関数の積分は定義より ０。
0232現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 19:03:56.32ID:e+POqdBI要は
有理数体 Q（零集合）で、実数区間 [0,1] で、補集合は無理数
1Q（ディリクレの関数）の類似が考えられる
実数での代数的数全体（零集合）と、その補集合は超越数＊）
まあ、理屈は変わらんでしょ
補集合の方、無理数あるいは超越数のときに１になっている1Q（ディリクレの関数）の類似を考えれば
零集合でない補集合の方を集めて積分していると考えることもできる
まあ、言いたいことは、上記のように、零集合か否かは、関係無いように思います
＊）超越数が、超越基底になるけど、非加算無限。だが、測度はどうなのでしょうか？（＾＾；
0233現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 19:48:51.71ID:e+POqdBIおっちゃん、１題出来たね！（＾＾；
１）実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。Sは、零集合か？
２）問題１）が零集合でないとき、ディリクレの関数1Q（有理数で１その他で0を取る関数）の類似で、超越基底で１それ以外で０の値を取る関数を1Tとする。
関数1Tを実数軸そって、-∞から+∞まで積分したとき、値はいくらか？
私には、答えが分かりません（＾＾；
0234現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/31(土) 21:11:30.70ID:e+POqdBIよくわからんが・・・
しかし、超越基底Sというのは、得たいの知れないものですな～（＾＾；
0235現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 06:57:50.12ID:KxTJyOv3ああだ、こうだ、外野から、あれこれいうヤツがいる。が、「じゃあ、おまえ書いてみろ」というと、何も書けない！ 雑魚だよ！（＾＾；
その点、おっちゃんはえらい！
チャレンジ精神と数学の豊かな知識があるね
私スレ主の知らないことを沢山知っている
”零集合”か・・・、知らなかったね。ネット検索かけたよ。（＾＾；
0236１３２人目の素数さん
2015/11/01(日) 06:59:21.51ID:BrF0s2zuhttps://m.youtube.com/watch?v=qCGXAzgH3tI
0237現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 07:07:26.49ID:KxTJyOv3１．>>202「>>201を背理法（>>173）によらず、証明することができるか？」
２．>>233「１）実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。Sは、零集合か？」
の二つを考えてみてください
元の問題>>92は、おっちゃんのお楽しみにとっておいてください（＾＾；
0238１３２人目の素数さん
2015/11/01(日) 09:36:41.38ID:9EkZMtUp>>219の
>でも、答えを知った
>そして、それは、知っている人には常識のことなんだよ
直観の根拠や拠り所にしているのって、まさか平面を被覆するヒルベルトの曲線か？
これは、しっかりと答えるように。直観の拠り所があるなら、是か非か位は答えられるだろう。
あと、もし超越基底Sが零集合だったら、当然Sには超越数が含まれている。
仮に>>201の３のようなことをしたとしよう。Sは上や下に有界か
どうかも分からんし、ジョルダン可測かどうかも分からんぞ。
仮にジョルダン可測ではなかったとする。そうしたら、直線Rは
非可算な可測集合で、Sは非可算な零集合だから、Sに属する
超越数を直線Rに並べてR上でのジョルダン測度を考えたとき、
結果が異なって来る。だから、３のような操作が見事に結果に影響するぞ。
0239１３２人目の素数さん
2015/11/01(日) 09:41:46.89ID:9EkZMtUp>そして、ベキ集合B(R)の定義から、Y⊂X である。
の部分の「B(R)」は「B(X)」の間違い。
0240現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 10:03:42.25ID:KxTJyOv3おっちゃん、どうも。スレ主です。
おっちゃん、博識やねー（＾＾
ヒルベルトの曲線は、ペアノ曲線かもしれないけど
おっちゃん、”半径εのε近傍Uε(s)”を見落としているよ。これは重要キーワードだ
あと、話が長くなるので、つっこんで書いておくよ
前にも書いたけど、>>92の後半の証明部分はミスリード。ここに入ると、訳分からなくなるよ
それより読み返すと、元の問題>>7の直後の>>8が正解に近い。結論は間違っている（>>11）が。
そのときは気付かなかったが、知ったあとで読み直すとそういうこと（＾＾；
0241現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 10:38:24.61ID:KxTJyOv3http://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/math/contents/kiroku/Guide/fractdim.pdf
フラクタル図形とフラクタル次元とは 静岡大学 理学部 数学科 奥村 善英
（静岡大学 2005夏季オープンキャンパス 数学科ツアー 配布資料）
注意
・無限の操作を行ってペアノ曲線を作った．
・ペアノ曲線を実際には見ることが出来ない． しかし，ペアノ曲線は存在するのである
静岡大学 2005夏季オープンキャンパス 数学科ツアー 配布資料
http://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/math/contents/kiroku/opencampus/05summer/2005MGuidePrn.pdf
http://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/math/contents/kiroku/opencampus/05summer.html
0242現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 10:47:48.19ID:KxTJyOv3ペアノ曲線とどう違う？ ”as a variant of the space-filling Peano curves discovered by Giuseppe Peano in 1890.[2]”か
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_curve
A Hilbert curve (also known as a Hilbert space-filling curve) is a continuous fractal space-filling curve first described by the German mathematician David Hilbert in 1891,[1]
as a variant of the space-filling Peano curves discovered by Giuseppe Peano in 1890.[2]
Because it is space-filling, its Hausdorff dimension is 2 (precisely, its image is the unit square, whose dimension is 2 in any definition of dimension; its graph is a compact set homeomorphic to the closed unit interval, with Hausdorff dimension 2).
0243現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 11:12:31.77ID:KxTJyOv3ペアノ曲線とどう違う？
http://ci.nii.ac.jp/naid/110002936012
空間充填曲線と画像圧縮応用
鎌田 清一郎 KAMATA Sei-ichiro 九州大学大学院 システム情報科学
情報処理学会研究報告オーディオビジュアル複合情報処理（AVM） 1999
G.ペアノは，1890年『平面領域内の全ての点を通過するような曲線』を発見し，その存在を明らかにした．
現在，単位線分を単位超立方体全体へ移すこのような連続曲線は，空間充填曲線，あるいはペアノ曲線と呼ばれている．
この曲線の応用研究は，画像処理，情報検索，計算機ホログラム，リモートセンシングなど様々な分野に及ぶ．
空間充填曲線の中で応用研究の最も多い曲線は，ヒルベルト曲線である．ヒルベルト曲線に沿った画像走査により画像の1次元データが得られるが，この周波数スペクトルを見ると，ラスタ走査より低域にエネルギーがより集中することが確認される．
この近傍保存性の良さから画像圧縮に利用した研究が数多くなされている．本論文では，まず空間充填曲線についての定義といくつかの例を紹介し，次にその画像圧縮の応用研究について幾つかを概観する．
(引用おわり)
そういえば、https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_curve ”Applications and mapping algorithms”があるね
0244１３２人目の素数さん
2015/11/01(日) 11:20:21.22ID:9EkZMtUp>>92の
>２．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。
>３．和集合S1∪S2の各要素を、数直線上に並べることができる。（選択公理より）
についても>>238の後半と同様なことがいえる。ちなみに、
超限帰納法や選択公理等の集合論による解答は当然あっていい。
その解答の方が一般的な議論になる。
ヒルベルトの曲線は、両端を固定して構成していく、正方形内の図形だろう。
範囲が複素平面Cだと、両端を固定することが出来なくなるから、
C内ではヒルベルトの曲線のような図形があるという保証はない。
0245現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 11:29:06.13ID:KxTJyOv3>ヒルベルト曲線に沿った画像走査により画像の1次元データが得られるが，この周波数スペクトルを見ると，ラスタ走査より低域にエネルギーがより集中することが確認される．
>この近傍保存性の良さから画像圧縮に利用した研究が数多くなされている．
ラスタ走査は分かると思うので説明省略（分からん人はぐぐれ）
この話は、>>240に通じる
「近傍保存性の良さ」というのは理解出来ないのでスルーだが、「近傍」というキーワードが出てくるでしょ（＾＾；
要は、２次元画像を1次元データにしたい
そのアルゴリズムってことだろう
デジタル時代で、「近傍」というキーワードが理解しやすくなったかも（＾＾；
２次元に非加算（連続）無限の点がある
現実そのままじゃ、デジタル処理できない。だから、ある半径のε近傍Uε(s)で処理しているわけよ
で、εが小さい方が、画質は良いけど、メモリー食う
で、メモリーは有限なんだ。実生活ではね
で、数学としては、アナロジーとして、εが理想的に小さいとき（メモリー無限大）を考えるとする分かり易いだろうね・・・。どう？（＾＾；
（有限のままで終わったら、算数だから・・・）
0246１３２人目の素数さん
2015/11/01(日) 11:39:44.43ID:9EkZMtUpまあ、位相の問題なのだから、超越基底とかより、集合論がずっと身近になるな。
集合論の手法の方が信憑性は高くなるだろう。通常の感覚ではそうなる。
0247現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 11:52:50.17ID:KxTJyOv3おっちゃん、どうも。スレ主です。
１．率直に言って、>>92の後半で書いた、超越基底Sにはこだわらない方が良いと思う（おそらく使えない）
２．超越基底Sというのは、考えるとわけわらん集合だったから
３．関連する>>202の問題や>>237の問題１で書いておくと
１）あるs∈Sがあったとして、sを開区間（0,1）に入れることができる。超越基底Sの他の要素を変えずに。∵sの整数部分を0にしても、基底として性質は不変で、符合は正に揃えられる
２）同じことを、全てのSの要素について行える。だから、超越基底Sの一つの組みとして、全て（0,1）の数の組みが取れる
３）次に、原点0の周りでε近傍Uε(0)を考える。ε=1/n ( n>１の整数)とする。超越基底Sの要素全てに、1/nを乗じても、超越基底であることは変わらない
４）だから、超越基底Sの一つの組みとして、原点0の周りでε近傍Uε(0)に全て入る組みが取れる
これで、私が感じている超越基底Sのわけのわからさの一端が感じて貰えたろうか（＾＾；
0249現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 11:55:07.95ID:KxTJyOv3おっちゃん、どうも。スレ主です。
そっちの方向で考えてみて
0250現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 12:26:35.89ID:KxTJyOv3一題できた！
実数の超越基底Sの一つの組みとして、原点0の周りでε近傍Uε(0)に全て入る組みが取れる→うまく平行移動させれば、任意の実数rの周りでε近傍Uε(r)に全て入る組みを取ることとできる
だから
問題：実数の超越基底Sの一つの組みとして、任意の実数rの周りでε近傍Uε(r)に全て入る組みを取ることとできるか
この結論を、「超越基底Sの局在定理」と名付けます！ （複素数でも同じ。ｎ次元ユークリッド空間でも同じでしょう。証明書いてないが）
これ、新作だと思うんだ（＾＾；
もし、ここに書いてあるよという方がいれば、教えて下さいm（＿ ＿）m
0251現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 12:30:24.27ID:KxTJyOv3全て入る組みを取ることとできる
↓
全て入る組みを取ることができる
かな。日本語としては
ところで、>>202の問題は、この逆みたいなことを考えているんだ（＾＾；
面白いだろ？
0252現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 12:37:40.23ID:KxTJyOv3「超越基底Sの局在定理」
↓
「超越基底Sの局在可能定理」
とします。こっちの方が、名は体を表すに近いから
0253１３２人目の素数さん
2015/11/01(日) 13:08:17.00ID:9EkZMtUpその集合論で考えた文章が昨日の書き込みで、その結果が2^cになる。
スレ主が考えているイメージのこと(ε近傍を重ならないように配置云々)は、
私にとっても直観的には正しい。というか、直観的には明らかである。
しかし、スレ主は証明のどこにも平面C上の閉集合がただ1点からなる集合に限る
ことを書いていない。そのため、この結果は使えないということになる。
むしろスレ主が書くべきことは、平面C上の閉集合がただ1点からなる集合に限る
ことの方である。しかし、空集合Φも閉集合にあたるので、このことの証明は書けないだろう。
0254１３２人目の素数さん
2015/11/01(日) 13:24:02.23ID:9EkZMtUp>>253の平面Cは、直線Rに置き換えて読んでもいい。何れにしろ、見る限りでは、
直線R上の閉集合がただ1点からなる集合に限ることの証明は書いていないな。
なので、根本的な部分の解決はしていないことになる。
0255１３２人目の素数さん
2015/11/01(日) 14:29:09.65ID:9EkZMtUp>任意のx∈Xに対して、x∈Eのとき (f_E)(x)＝1、x∈R＼Eのとき (f_E)(x)＝0。
の「R＼E」は「X＼E」に訂正。
0256１３２人目の素数さん
2015/11/01(日) 16:08:51.53ID:9EkZMtUp>>213は次のように訂正。間違いがあった。
[第４段]：包含関係に関するIの極大元XについてB(X)⊂Aなることを示す。
Iに属する、包含関係に関する、任意の全順序部分集合の上界xのベキ集合B(x)についてB(x)⊂Aなることを示す。
Iに属する、包含関係に関する、任意の全順序部分集合の上界xの全体をZとする。すると、Z≠Φ。
集合x∈Zを任意に取る。元xのベキ集合をB(x)とする。すると、card(B(x))≧2 から、card(x)≧1。また、
x∈Iから 2≦card(B(x))＜ℵ_0 だからcard(x)は有限な非負整数である。よって、r＝card(x) とおくと、0≦r＜ℵ_0となる。
(0)、r＝0のとき。このとき、card(x)＝0 から、x＝Φ。また、A⊂A。空集合Φの閉包はAに等しいから、
xの閉包はAに等しい。従って、閉集合の集合Aの定義から、x∈A。
(1)、r＝1のとき。このとき、card(x)＝1 だから、集合xに対して或るただ1点y∈Rが存在して、x＝{y}となる。
従って、x⊂Rとなる。xは直線R上のただ1点yからなる集合だから、xの閉包はxに等しい。
xは直線Rの閉集合だから、閉集合の集合Aの定義から、x∈A。
(2)、2≦r＜ℵ_0 のとき。このとき、rは2以上の自然数だから、xに対して何れも或る y_1,…,y_r∈R が
存在して、x＝{y_1,…,y_r} となる。従って、x＝∪_{i＝1,…,r}({y_i})。ここで、i＝1,…,rを任意に取る。
すると、y_i∈Rから{y_i}⊂R。{y_i}は直線R上のただ1点y_iからなる集合だから、{y_i}の閉包は
{y_i}自身に等しい。{y_i}は直線Rの閉集合だから、Aの定義から、{y_i}∈A。1≦i≦rなる自然数iは
任意だから、自然数iを条件1≦i≦rの下で走らせると、直線R上の有限個の閉集合{y_1},…,{y_r}の
和集合xは直線Rの閉集合である。従って、x∈A。
(0)、(1)、(2)から、必ずx∈Aである。Zに属する集合xは任意だから、xをZにおいて走らせると、Z⊂Aを得る。
包含関係に関するIの極大元Xについて、任意のx∈Zに対して x⊂X から x∈B(X) だから Z⊂B(X)。
ここで、X⊂R。また、Rは閉集合だから、Aの定義からR∈A。従って、Zに属する、包含関係に関する、Iにおける、
各全順序部分集合の上界に対して選択公理を適用すると、B(X)⊂A を得る。
0257１３２人目の素数さん
2015/11/01(日) 16:30:07.59ID:9EkZMtUp>>256の1番下の
>従って、Zに属する、包含関係に関する、Iにおける、
>各全順序部分集合の上界に対して選択公理を適用すると、B(X)⊂A を得る。
は、
>従って、X∈Aから B(X)⊂A である。そして、Zに属する、包含関係に関する、
>Iにおける、 各全順序部分集合の上界に対して選択公理を適用すると、
>B(X)⊂A を得る。
に訂正。というか、Iの定義とB(R)の定義を見ると>>256の[第４段]は
>Xは包含関係に関するIの極大元だから、Iの定義とB(R)の定義から、X⊂R。
>また、Rは閉集合だから、Aの定義からR∈A。従って、X∈Aから B(X)⊂A である。
で終わっているな。選択公理とかは必要なさそうだ。まあ、昨日は[第３段]で疲れたしな。
0258現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 16:37:01.47ID:KxTJyOv3おっちゃん、どうも。スレ主です。
沢山書いてくれたので、そろそろ幕引きしますか
その前に、新作問題の補足を書きます
0259現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 16:47:02.62ID:KxTJyOv3新作問題の補足
問題再録
１）実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。Sは、零集合か？
２）問題１）が零集合でないとき、ディリクレの関数1Q（有理数で１その他で0を取る関数）の類似で、超越基底で１それ以外で０の値を取る関数を1Tとする。
関数1Tを実数軸そって、-∞から+∞まで積分したとき、値はいくらか？
答えは分かった。１）Yes、
２）は１）＝Yesで終わっているが、積分値はゼロだ
そこで、２）の問題を以下のように修正する
・実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。
・ディリクレの関数1Q（有理数で１その他で0を取る関数）の類似で、超越基底で１それ以外で０の値を取る関数を1Tとする。
・関数1Tを実数軸そって、-∞から+∞まで積分したとき、値はいくらか？
答えは、ゼロ。（証明せよ）
ディリクレの関数1Qについての説明は下記参照>>231
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E7%A9%8D%E5%88%86
ルベーグ積分
例
有理数体 Q の定義関数 1Q（ディリクレの関数）を考える。この関数は至るところ不連続である。
・1Q は [0,1] 上でリーマン可積分ではない: [0,1] をどのように区間に分割しても、各区間には有理数と無理数の両方が少なくともひとつは入っている。よって、上積分は常に 1 であり、下積分は常に 0 になり、リーマン可積分ではない。
・1Q は [0,1] 上でルベーグ可積分である: 集合の定義関数の積分は定義より ０。
0260現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 16:55:17.62ID:KxTJyOv3<前段>
１．まず、閉集合で考えるより、開集合で考える方が、頭が働くので、それで書きます
２．閉集合－開集合は、補集合を考えることで、お互いに移れる。高級に言えば、双対だと（ド・モルガン）
３．そこらは、位相の話でどこにでもあるけど、一応下記参照
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間
閉集合の補集合は開集合であり、開集合を定める三つの公理にド・モルガンの法則を適用することにより、閉集合の満たすべき性質が定まるが、逆にそれを閉集合の公理として開集合を定め、位相を決定することもできる。
0261現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 16:59:07.49ID:KxTJyOv3＜キーワード：位相 可算公理＞
約 6,570 件 （0.45 秒） 検索結果
第一可算的空間 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/第一可算的空間
数学の位相空間論において、第一可算空間（だいいちかさんくうかん、英: first-countable space）とは、"第一可算公理"を満たす位相空間のこと。位相空間 X が第一可算公理を満たすとは「各点 x が高々可算な近傍からなる基本近傍系（局所基）をもつこと」を ...
第二可算的空間 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/第二可算的空間
数学の位相空間論おける第二可算空間（だいにかさんくうかん、英: second-countable space）とは、第二可算公理を満たす位相空間のことである。空間が第二可算公理を満たすとは「その位相が可算な開基を持つ」ということを言う。つまり、位相空間 T が第二 ...
基本近傍系、可算公理、稠密 - nifty
homepage3.nifty.com/rikei-index01/syugou/kasankouri.html
任意の x∈X に対し、x の基本近傍系で、高々可算個の近傍から構成されるものが存在するとする。 このとき、「 X は第1可算公理を満たす 」 という。 定義 （ 第2可算公理 ） （X、O）を位相空間とする。 X の基底で、高々可算個の開集合から構成されるものが存在 ...
0262現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 17:09:04.15ID:KxTJyOv3おっちゃんには、キーワードだけの方が楽しいだろうが
まあ、ここは初学者もいるので下記テキストでも
＜テキスト＞
幾何学序論講義ノート 佃修一 琉球大学 2014 年4 月1 日 / 1.2MB
http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/~tsukuda/lecturenotes/note_20140401.pdf
0263現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 17:28:24.90ID:KxTJyOv3これで、実質終わりだが
佃修一よりパクリ
＜補足＞
幾何学序論講義ノート 佃修一 琉球大学 2014 年
P166より
Denition 3.1.4. 位相空間は, 高々可算な基をもつとき, 第二可算公理(second axiom of countability) をみたすという.
Example 3.1.5. n 次元ユークリッド空間R^n において,B = {Ur(x) x ∈ Qn , r ∈ Q , r > 0}
とおくとB は可算基である. よってRn は第二可算公理をみたす.
Proof.
O を開集合, x ∈ O とする. このとき, あるε> 0 が存在して, Uε(x) ⊂ O となる.
0 < r < ε/2 となるようなr ∈ Q をひとつとる（Lem. 2.7.7 参照）.
Q^n はR^n で稠密であった（Ex. 2.10.8）から,
Ur(x)∩Q^n ≠ ?. x' ∈ Ur(x)∩Q^n をひとつとるとUr(x') ∈ Bである.
任意のy ∈ Ur(x') に対し,d(x , y) ? d(x , x') + d(x' , y) < r + r = 2r < ε
だからy ∈ Uε(x), すなわちUr(x') ⊂ Uε(x). またx' ∈ Ur(x) だからx ∈ Ur(x').
よってx ∈ Ur(x') ⊂ O となり, Thm. 3.1.3 から, B は開基である.
0264現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 17:36:52.21ID:KxTJyOv3おっちゃんには蛇足だが
B = {Ur(x) x ∈ Qn , r ∈ Q , r > 0} とおくとB は可算基である！
＜補足＞
・B = {Ur(x) x ∈ Qn , r ∈ Q , r > 0} は、要するに有理点xと有理数半径rから、開近傍を定めてるんだと
・それが、「 B は開基である」となるので、有理点xは可算、有理数半径rも可算。だから、その直積も可算
・B は可算基であると
細かい証明技巧は、本文PDF参照
0265現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 17:41:57.99ID:KxTJyOv3さらに補足
・n 次元ユークリッド空間R^n は、第二可算公理をみたし、可算基Bが存在する
・よって、任意の開集合は、可算基Bの組み合わせで尽くされる
・だから、その濃度は連続の非加算濃度を超えない
・あとは、下限評価として、実際に連続の非加算濃度の開集合族を構成すれば良い
0266現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 17:51:25.80ID:KxTJyOv3最後の"連続の非加算濃度の開集合族を構成"
これもパクリです
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13131775278 polepoledefさん 2014/7/1213:22:17 - Yahoo!知恵袋:
ユークリッド空間R^Nの開集合全体からなる集合系の濃度が連続体濃度であることの証明を教えてください。
ベストアンサーに選ばれた回答 siolaglebaさん 2014/7/1406:53:58
次の定理を使う
(1)Ｒ^Nの位相Ｏには、可算基底Ｕがある。
(2)可算集合の巾集合の濃度は、連続体濃度(実数の濃度)と一致する。
可算基底Ｕの巾集合をＰ(Ｕ)で、Ｏから空集合を除いた集合をＯ*で表す。
Ｐ(Ｕ)からＯ*への写像θを
A∈Ｐ(Ｕ)に対し、
θ:A→∪[X∈A]X
で定義すると
θは全射。
Ｐ(Ｕ)の濃度は、連続体濃度。
ＯとＯ*の濃度は、等しい。
が言えるから
｢Ｏの濃度は、連続体濃度以下｣
が言える。
ＲからＯへの写像λを
x∈Ｒに対し、
λ:x→(x,∞)×Ｒ^(N-1)
で定義すると
λは単射だから
｢Ｏの濃度は、連続体濃度以上｣が言える。
以上から、｢Ｒ^Nの位相Ｏの濃度は、連続体濃度と一致する｣ことが示された。
0267現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 17:59:27.96ID:KxTJyOv3１．ユークリッド空間R^N→複素平面（二次元）あるいは実数軸（一次元）は”自明”でいいでしょ
２．任意の開集合は連続の濃度が言えたから、その補集合の閉集合の濃度も連続の濃度が言える QED
追記
実際の順序は、 １）Yahoo!知恵袋、２）”可算基底”で検索、３）第一可算公理と第二可算公理を知る、４）幾何学序論講義ノート 佃修一 琉球大学 2014 年を見つける
なんだ （＾＾；
0268現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 18:01:15.57ID:KxTJyOv3キーワード”開集合”の方が、情報がヒットすると思ったんだ
それが正解だった
閉集合では、検索がうまく行かなかったかもしれないね
0269１３２人目の素数さん
2015/11/01(日) 18:34:34.37ID:OsRG9h/G表題通りなら、早めに準備するのも悪くないね
0270現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 20:24:34.68ID:KxTJyOv3レスありがとう
位相の宿題を出す人>>7が出たんだよ（＾＾
いや、勉強になりました
0271現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 20:34:27.68ID:KxTJyOv3>直線R上の閉集合がただ1点からなる集合に限ることの証明は書いていないな。
>なので、根本的な部分の解決はしていないことになる。
意味が取れないが、1点からなる集合については、下記集合と位相 山田光太郎 東京工業大学 抜粋をご参照
www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2011/set/lecture.pdf
集合と位相 第一（2011年度）山田光太郎 東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻 東京工業大学理学部2年次対象
(抜粋)
10 開集合・閉集合 P31
例10.3. ユークリッド空間R^n の1 点からなる集合{p} は開集合でない．これを示すには，任意の正の数ε
に対してBp(ε) が{p} の部分集合でないことを示せば良い．実際，p = (p1 , . . . , pn) とするとき，与えられ
た正の数ε に対してq = (p1 + ε/2 , p2 , . . . , pn) とするとd(p , q) = ε/2 なのでq ∈ Bp(ε) であるが，p ≠ q なのでq ? {p}．
命題10.10. 距離空間(X; d) の1 点p ∈ X からなる集合{p} は閉集合である．
証明： U = X ＼ {p} とおき，q ∈ U をとりε = d(p , q) とおく．
q ≠ p だからε > 0 であって，p ? Bq(ε)．
したがってBq(ε) ⊂ U だからU は開集合．
注意10.11. 例10.3 と違い，命題10.10 は任意の距離空間に対して成立する．距離空間を一般化した"位相空間" の中には，1 点集合が閉集合でないものもある．
問題 10-3 集合X の任意の部分集合は離散距離d-disc に関する開集合であり，かつ閉集合でもある．P33
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/index-jp.html
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/index-jp.html
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2011/set/index-jp.html
0272現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 20:40:47.99ID:KxTJyOv3まあ、ここは２ちゃんねる
なんでもありの世界です
0273現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 20:59:02.71ID:KxTJyOv3>・あとは、下限評価として、実際に連続の非加算濃度の開集合族を構成すれば良い
「ユークリッド空間R^n の1 点からなる集合{p} は閉集合である」を使えば、数直線上の任意の点rから成る閉集合族が考えられるから、明らかに濃度は連続体の濃度
そして、閉集合の補集合として開集合を考えれば、これまた濃度は連続体の濃度になるのだった
可算公理を知る前は、これで連続のべきの濃度をが言えるかと思った時期もあった
つまり、「1 点からなる集合{p} は閉集合である」として、これら無限を含む任意の組み合わせが、閉集合であることが言えれば、連続のべきの濃度が言えるから
しかし、これはできない
閉集合では、有限なら、任意の組み合わせが閉集合であることが言えるが、無限はだめ
開集合では、有限無限ともOKなんだ （開集合では交叉が有限に限られる） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
これは、公理がそうなっているんだが（＾＾；
なぜだろうか？
0274現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 21:07:10.32ID:KxTJyOv3なぜだろうか？
思うに、一つの答えてとして、「ユークリッド空間R^n の1 点からなる集合{p} は閉集合である」として
その無限の和集合が、閉集合になると不都合がおきる
例えば、ユークリッド空間においては、開集合といえども、点の集合なのだ
そう考えると、点の無限集合である開集合が、１点から成る閉集合の集まりだからと、閉集合に分類されると都合が悪い・・！
まあ、そういうことなのでしょう・・
0275現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 21:33:30.34ID:KxTJyOv3>それより読み返すと、元の問題>>7の直後の>>8が正解に近い。結論は間違っている（>>11）が。
>>8より引用
有理点を中心とし有理数を半径とする円板の
可算個の和集合の可算減少列の極限として
表せる部分集合の全体の（無限）部分集合だから
可算濃度
（引用おわり）
これ、かなり正解に近い
可算公理あるいは可算基底というキーワードを使って、最後を、可算濃度→連続濃度（非加算）
としていれば、正解を貰えたろう（＾＾；
0276現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/01(日) 22:28:01.29ID:KxTJyOv3もちろん、キーワードをきちんと理解しているということも示す必要があるが （というか、「分かってない」と思われたら意味がない）
２．結論が合ってないと、減点だな
３．そういう目で>>8を見ると、可算公理あるいは可算基底というキーワードおよび基本概念が分かっているというレベルには達していないという推定が働くね>>8は。発想は良い線は行っているが・・
余談がだ、頭が良すぎて試験に合格しないということがある
ガロアがその典型かも
試験で計ろうとしている力に対して、解答が独創的すぎるとか
自分で定義を全部作ったりして・・・、採点基準に合わない、あるいは理解されない・・・。まあ、>>8はそういう話じゃないが
0277１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 02:40:45.66ID:z9zAyjiR何か私が考えたり書いたりしたことは、予想が真逆で結果的には無意味だったようだな。>>7には
>似たような問題でもう少し難しいものを出しておきます。
とあったから、似た類の問題と捉え、超越基底の手法が通用しないから最初集合論だと思ったんだが。
位相の問題だったのか。>>266を見ると有名な問題のようだから、お久しぶりに現代数学概説Ⅰ、Ⅱの
位相の部分を見たが、その類の問題に関する定理とかは載っていない。
どうやらはじめて知ったことのようだ。
0278１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 02:46:36.42ID:z9zAyjiRどうやら、知名度といい、昔の本に載ってないあたりからすると、
>>7は完全な院試対策のような問題だったんじゃないか。なんだよ。
0279１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 03:11:37.80ID:z9zAyjiRまあ、距離空間RやR^nが可分であることや、それと>>266の
>(1)Ｒ^Nの位相Ｏには、可算基底Ｕがある。
とが同値であることは例に載っているが、その(1)の定理を最初から証明しようとすると、
全部導き出す形になって、単純に1行で済むようには書いていない。
(1)の結果を使っていいなら、それだけ書けば、それで済むとしかいいようがない。
0280１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 03:49:17.67ID:z9zAyjiR位相空間が第2可算公理を満たせば可分であることとかも多分載っている。
何れにしろ、>>7の問題に関することは、明示されては載っていない。
>>7は、完全な院試対策みたいな問題だ。
0281１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 07:48:13.15ID:OhjoiJ06＞どうやら、知名度といい、昔の本に載ってないあたりからすると、
＞>>7は完全な院試対策のような問題だったんじゃないか。なんだよ。
「なんだよ」ってなんだよ。なにが不満なんだよ
勝手に問題の性質を邪推しておいて、アテが外れたら「院試対策」かよ
てめーがバカなだけだろｗ
みっともない奴だな
濃度が card(2^R) でないことはスレ主が散々言ってたことだし、スレ主からのヒントも出ていた
それを全て無視して的外れなクソ長文を撒き散らして、最後の最後まで
全く解答にカスリもしなかったクソザコが何いってるんだ
だいたいてめーは「院試対策」でない普通の問題ですらまともに解けたためしがないだろうが
＞(1)の結果を使っていいなら、それだけ書けば、それで済むとしかいいようがない。
そうだよ、この問題の本質は(1)であり、この問題はほとんど(1)そのものなんだ
となれば、この問題は事実上は「数学書に載っている」ことになる
院試どうこうの問題じゃなくて、単にお前が(1)の使い道に気づかなかっただけの話
お前がバカだっただけの話
なんなら(1)を懇切丁寧に証明したっていいんだぞ？
なぜなら、そもそもお前のクソ長文スタイルは全く1行で終わってないからだｗ
言い訳にもならんわ
＞何れにしろ、>>7の問題に関することは、明示されては載っていない。
「数学書に明示されてない問題はクソ問題だから俺は悪くない」とでも言いたいのか？
てめーがクソなだけだろｗ
毎度毎度みっともない言い訳はやめろ
お前の悪いクセだ
0282現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/02(月) 09:15:03.54ID:Ra+GZ3GJ備忘録のメモを貼っておきます。
https://en.wikipedia.org/wiki/Complete_Heyting_algebra
Complete Heyting algebra
Locales and frames form the foundation of pointless topology, which, instead of building on point-set topology, recasts the ideas of general topology in categorical terms, as statements on frames and locales.
Contents
1 Definition
2 Examples
3 Frames and locales
4 Literature
https://en.wikipedia.org/wiki/Pointless_topology
Pointless topology
Contents
1 General concepts
2 Categories of frames and locales
3 Relation to point-set topology
4 See also
5 References
次は数学ではなく、人工知能の論文だが
https://kaigi.org/jsai/webprogram/2013/pdf/293.pdf
因果的集合の中で・使用する・推論 含むロケール 郡司 神戸大 2013
[PDF]PDFファイル - kaigi.org
https://kaigi.org/jsai/webprogram/2013/pdf/293.pdf
Vickers(1996)の提案した一般位相システ. ムは、集合 P、ロケール L、その間の二項関係 R によって構成. される三つ組<P, L, R>で定義されるが、
<P, ↑P, ∈>もその定義. を満たし、一般位相システムとなっている。Vickers(1996). は P と L の各々で論理操作 ...
0283１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 09:22:39.59ID:2ArDYFjY0284現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/02(月) 09:31:49.63ID:Ra+GZ3GJどうも。スレ主です。
可算公理あるいは、可算基底というキーワードで、この問題の本質は終わっている
だから、キーワードを書いてしまったら、面白くもなんともない問題なんだ
>>7は、閉集合という言葉で、位相を思いつかないように隠蔽してあるんだ
まあ、すぐに開集合を使う方針を採用したが
流れから、超越基底Sを使えばできるように思ったんだよね。それが失敗だと気付くのに何日か掛かった
いま思っても、可算公理あるいは、可算基底というキーワードは、自力では無理だわ（＾＾；
時代の天才たちが、何人も何年も心血を注いで構築したトポロジーの基礎。そんなものを、自分が数年考えたところで到達できるはずもなく・・・
もちろん、検索しました。が、検索は、いかに、適切なキーワードを選ぶかだ。それが数学的センスでもあるんだ
Yahoo!知恵袋 >>>266 は、方針を切り替えたら、結構早くヒットした。
その前は、”「1 点からなる集合{p} は閉集合である」として、これら無限を含む任意の組み合わせが、閉集合であることが言えれば、連続のべきの濃度が言える”>>273という方針を立てていたときもあったけど
”(1)Ｒ^Nの位相Ｏには、可算基底Ｕがある。”というコンセプトに気付くか（調べることも含め）が、キーなんだ。気付かなければ解けないと思う（＾＾；
0285１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 09:35:51.32ID:z9zAyjiR>＞どうやら、知名度といい、昔の本に載ってないあたりからすると、
>＞>>7は完全な院試対策のような問題だったんじゃないか。なんだよ。
>「なんだよ」ってなんだよ。なにが不満なんだよ
直観的に明らかなことを考えるだけだった、となると虚しくなるだろ。
>濃度が card(2^R) でないことはスレ主が散々言ってたことだし、スレ主からのヒントも出ていた
>それを全て無視して的外れなクソ長文を撒き散らして、最後の最後まで
>全く解答にカスリもしなかったクソザコが何いってるんだ
経験上、スレ主の主張は、信用しないことにしていた。
経験上、スレ主の主張の方を嘘っぱちだと思うことにしていた。
>なんなら(1)を懇切丁寧に証明したっていいんだぞ？
そのうち書いてあげますよ。
0286現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/02(月) 09:44:58.44ID:Ra+GZ3GJこの問題>>7は、収穫があった
新作問題が四つできた。>>173と>>202と>>250-252と>>259と
新作問題が出来たのは、おっちゃんの貢献のお陰です。ｍ（＿ ＿）ｍ ありがとう！
0287１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 09:52:18.45ID:z9zAyjiR>>7みたいな、直観的に明らかで虚しくなるような問題を人にやらすなw
あと、イメージとしては、正確には、或る点x∈Cを含むε近傍ではなく、
xを含むコンパクトな領域や或いはコンパクトな領域とその境界との和からなる
図形Dと、そのDの補集合とかを考えるのが正しいイメージなのだ。
0288１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 09:55:44.48ID:z9zAyjiR>>287のDのような図形からなる単調増加列を構成して
考えていくと、>>7はイメージとして自然に溶けるな。
0289現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/02(月) 09:58:08.11ID:Ra+GZ3GJいま見ると、>>173と>>202とは同じだから新作は３つだな
なので訂正
新作問題が四つできた。>>173と>>202と>>250-252と>>259と
↓
新作問題が三つできた。>>202と>>250-252と>>259と
0290現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/02(月) 10:04:41.32ID:Ra+GZ3GJ>>285
>>なんなら(1)を懇切丁寧に証明したっていいんだぞ？
>そのうち書いてあげますよ。
証明は、>>262の幾何学序論講義ノート 佃修一 琉球大学 2014 年4 月1 日 / 1.2MBの中にあるよ
つーか、>>263で終わっているだろ？（＾＾；
では
0291１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 10:10:07.41ID:z9zAyjiR載っているのか。じゃ、書く必要ないな。
0292１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 11:17:18.02ID:z9zAyjiR>>287-288でいわんとすること(コンパクトな領域云々の行のあたり)は
>点x∈Cを含むコンパクトな領域Dや、或いはDとその境界∂Dとの和∂D∪Dからなる図形Fからなる単調増加列を、
>xごとに構成してその各項を点ごとに走らせて、更にその後全平面C上で走らせる操作
な。開集合や閉集合が角度や長さとかの計量を持った図形でない以上、半ば抽象的なイメージになる。
各穴の中心z∈Cを定めて、穴が大きく小さい浮き輪z_1から、穴が小さく大きい浮き輪z_mからなる
単調増加列{z_n}を任意に構成して、そのような単調増加列の全体を平面C上で走らせますみたいな感じ。
0293現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/02(月) 11:51:13.58ID:Ra+GZ3GJおっちゃん、どうも。スレ主です。
>経験上、スレ主の主張の方を嘘っぱちだと思うことにしていた。
おっちゃんの参戦で、多大の恩恵を受けている当方としては、何も文句を言える筋合いではないですが・・（＾＾；
">>7みたいな、直観的に明らかで虚しくなるような問題を人にやらすなw"
これ、実に良いこと、かつ大事なことを言った！（＾＾；
すぐ前に、真逆の直観を言っていた・・
例えば、>>112, >>182, あるいは>>218「そういうのが直観に反するってことなんだろ。
上からどころか下からもcard(B)をcard(B)≧2^cと評価出来るんだから、
あり得るのはcard(A)＝2^cだけ。」
しかし、可算公理あるいは、可算基底というキーワードを通してこの問題を見れば、直観的に見える風景が変わっているはずだ
これは、私が>>163で言いたいことの補足になっている。（＾＾；
”自分の直感と違うことも多いだろう。だからと言って、直感を捨ててはいけないんだ！
（一時、日本の数学教育界でδーε全盛時代があった。いわく直感に頼ってはいけない。δーεの理解こそが大学数学だと。が、今日ではそれは否定された。もっと自分の頭で考えることと、自分の直感を磨くことを強調しておきたい）”>>163
0294現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/02(月) 12:30:36.52ID:Ra+GZ3GJおっちゃん、どうも。スレ主です。
おっちゃんの参戦で、多大の恩恵を受けている当方としては、何も文句を言える筋合いではないですが・・（＾＾；
まあ、ここは初学者も来るので、細かいですが・・・、一言
>開集合や閉集合が角度や長さとかの計量を持った図形でない以上、半ば抽象的なイメージになる。
ここね、気になる
位相（トポロジー）が、角度や長さとかの計量忘れて図形を扱う技法で、抽象的な議論になるのはその通りだ
で、開集合や閉集合は、位相（トポロジー）の道具の一つで、基本的概念の一つ
が、元々の問題は、「複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする」>>7だから、距離がキーワードで、開集合や閉集合たちは、少なくとも距離の属性は持っている
その距離の属性を使うことで、>>263の”Example 3.1.5. n 次元ユークリッド空間R^n において,B = {Ur(x) x ∈ Qn , r ∈ Q , r > 0}
とおくとB は可算基である. よってRn は第二可算公理をみたす.” by 幾何学序論講義ノート 佃修一 琉球大学 2014 年 P166 の論証が成り立っているんだ！
>>262-263は、スレ主の主張ではなく、佃修一先生の主張なんだから
そこはしっかり読んでほしいね（＾＾；
0295１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 13:55:32.52ID:z9zAyjiRそもそも、位相の相異なる理論展開の方法は何通りもあるから、
位相をネット上のファイルやサイトで人に学習させんとする発想がおかしい。
>>262-263とは異なる理論展開の仕方で学んでいる人も当然いる筈。
こういう人には、異なる理論展開のファイルを見せても全く効果がない。
まあ、[第３段]では、選択公理やZornの補題の使用、超限帰納法の論法
の訓練にはなりましたけど。こういうことは、余りやりませんからね。
0296１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 14:04:06.99ID:z9zAyjiRそういう訳(>>295のこと)で、位相の話はやめた方がいいね。
中には、閉包が満たす公理を出発点にして学習している人もいるだろうね。
0297１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 15:15:53.70ID:OhjoiJ06包含関係に関してIに極大元は存在しない
第３段は間違ってる
何の訓練のつもりだ？
バカじゃねーの
0298１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 15:22:23.66ID:z9zAyjiRフーン、超限帰納法がああいう論法でないことは分かった。
超限帰納法は余り見ないからね。
0299１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 15:28:26.40ID:z9zAyjiRところでさ、私をバカにして楽しいか？
0300１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 15:29:41.39ID:OhjoiJ06フーンじゃねえよ
極大元が存在しないことくらい一目みて分かるだろ
Zornとか超限帰納法とか、それ以前の問題だよ
なんでお前はいつもいつもそうなんだよ
超限帰納法の使い方もおかしい
超限帰納法を使うには整列順序が予め入っていなければならないのに、
整列順序に関する言及が1つも無い時点で問題外
あと、Zornの補題は超限再帰＋選択公理で証明できるから、
Zornの補題と超限帰納法が同時に登場するのも不自然で、
同じ論法を二重にやっているような感じになる
ま、誤答おじさんは何も分かってないってことだわな
0301１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 15:41:04.71ID:z9zAyjiR>極大元が存在しないことくらい一目みて分かるだろ
自然数の範囲で考えているから、そりゃそうだわな。
>ま、誤答おじさんは何も分かってないってことだわな
何も分かっていないって考えてくれた方が、こっちも気楽だ。
知識が豊富みたいに捉えられると、かえって重圧がかかる。
0302１３２人目の素数さん
2015/11/02(月) 18:46:19.00ID:+rBeHtf60303現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/02(月) 19:29:22.33ID:Ra+GZ3GJおっちゃん、どうも。スレ主です。
まあ、ここは位相（トポロジー）のスレじゃないが
なんでもありで良いと思うんだ
0304現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/02(月) 19:56:04.72ID:Ra+GZ3GJそういう言葉もある
いろんな分野で関連している部分がある
あるいは関連が発見されたところもある
あるいは関連を発見することもある
というか、そういうのも数学研究ネタじゃないのかね？
0305現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/02(月) 19:59:24.60ID:Ra+GZ3GJところで、
>>263の”Example 3.1.5. n 次元ユークリッド空間R^n において,B = {Ur(x) x ∈ Qn , r ∈ Q , r > 0}
とおくとB は可算基である. よってRn は第二可算公理をみたす.”というのは感動したよ
ちょっと書いてみようか
どこに感動したか
0306現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/02(月) 20:19:44.34ID:Ra+GZ3GJどこに感動したかというと
（この話はどこかで読んだが、どこにあったか思い出せないので記憶で書く）
１．例えば、複素平面で、実数√２の半径１の開近傍を考える
２．B = {Ur(x) x ∈ Qn , r ∈ Q , r > 0}をもって、可算基で被覆しようとすると、ここだけで、可算無限のBの要素が必要だ。∵√２が無理数だから、有限の有理数からなる開基で埋め尽くすことはできない
３．で、半径の方も、√３でもいいから、一つ無理数の要素を持つ近傍Uε(x) に対して、可算無限のBの要素が必要で、そういう無理数の要素を持つ近傍Uε(x) って、無限にあるじゃない？
４．それが、「可算基がある」という発想がねー、自分にはとても思いつかない。教えられたら、「ああ、そうか！」だがね。考えた人は、コロンブスなみに偉い！と思ったねー、天才の発想だろうね！（＾＾；
５．でこれが、開集合の公理で ”τ に属する集合の任意個（無限濃度をも許す）の合併はふたたび τ に属す。”と決めてある意味だと気付いた https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
”任意個（無限濃度をも許す）の合併”、（無限濃度をも許す）の一つの意味は、これだったんだ！（＾＾；
0307現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/02(月) 23:49:33.03ID:Ra+GZ3GJhttp://eldesh.yukishigure.com/
数学の犬
位相幾何学（トポロジー）の基本的情報を掲載。PDFでも順次公開。犬か数学かと問われれば、明らかに数学のコンテンツですのでご注意を。
学術的なこともあれば、メモ程度に適当に書いたものもあります。間違いにご注意ください。現在、少しずつ修正中です。
ようこそ数学の犬のページへ
ここは代数的位相幾何学（Algebraic Topology）に関する情報を載せてあります。すべてを鵜呑みにせず、真偽は自らで判断してください。
このホームページの当初の目的は、Texの練習でゼミノートをTex化した際にネット上においておけば、どこからでも自分で見直せるから良いかなと作ったものです。
一応は大学の2,3年生程度で習う位相空間や代数学の知識があれば理解できるようにとは思っていました。目指すコンセプトとしては、日本語でわかりやすく丁寧な証明、参考文献付きの数学サイトです。
「このホームページに関する注意」
※ 本文中、ＰＤＦ内に間違いが多数あります。お気をつけて。
※ 参考文献として挙げてある本、論文の方が信憑性大です。
※ 学生の頃の練習ノートがそのままのものもありですので、Texの構成やフォントの稚拙さ、スペルミスはご愛嬌。
とにかく信用してはいけません。数学は疑うことからスタートします。もう全部ウソだろという気概で臨んでいただいた方がいいかもしれません。
自分の手を動かして証明を後追いしてみる、あるいは自分でよりスマートな証明を考えてみることを強く推奨します。
0308現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/02(月) 23:50:47.52ID:Ra+GZ3GJトップページ
トポロジーとは
ホモロジー論
ホモトピー論
圏と関手
多様体
スペクトル系列
モデル圏
リー群論
Ｋ-理論
安定ホモトピー論
応用トポロジー
その他の話題
参考文献
Arxiv
Journal
0309現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/02(月) 23:54:54.28ID:Ra+GZ3GJ最近更新されたページ
8/9 モデル圏の例
3/26 Cech複体
12/28 応用トポロジー
11/5 GNS表現
9/7 非可換確率論
7/28 2-category
6/13 C^*-代数
5/7 トーリック多様体
4/2 亜群
2/19 ホモトピー極限
1/23 豊穣圏
12/31 不動点定理
12/6 Morse理論
11/4 小圏のEuler標数
10/13 Morse関数
9/5 ベクトル場
8/31 接空間
8/25 多様体
8/16 Brown表現定理
8/5 Dold-Thomの定理
7/30 モデル圏
7/25 離散モース理論
7/11 Kunnethの公式
7/4 Eilenberg-Zilber
6/28 Cech複体
5/25 エタールホモトピー
4/21 微分空間
4/3 Leray-Serre
3/12 離散モース理論
2/21 Stack
0310現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/03(火) 00:03:55.20ID:E0ZOM897開集合と閉集合
普通は開集合が使いやすい。今回みたいなユークリッド空間では（と思う）
が、ザリスキ位相は、閉集合を使うという話があった。まあ、両方使い分けするんだろう
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B6%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E4%BD%8D%E7%9B%B8
ザリスキー位相
トポロジーは開集合というより、閉集合を特定することにより定義され・・・
0311現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/03(火) 07:46:15.16ID:E0ZOM897唐突ですが
”4.4 連続写像
関数f : R ! R の連続性は, まず最初の段階では所謂「δ－ε 論法」を用いて定義され
ていた. 距離空間から距離空間への写像f : X → Y の連続性も, 実数の場合と同様の考
えの下に（ε近傍を用いて）定義された.
これらの定義は一見煩雑なものであったが, 「開
集合」という概念を導入することにより, 連続性の概念は一気に簡潔な形になる: 連続で
あるための必要十分条件は, 全ての開集合の逆像が開集合となること. 位相空間論では, 開
集合が与えられたところから出発している. ”（下記より引用）ってことかな
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/files/07tsuron2.pdf
数学通論 II 位相空間 2007年度後期 田丸 博士 広島大
プリントは, 数学通論 I で配布したプリントの続きです. プリントの前半部分（距離空間を扱っています）が欲しい方は, 数学通論 I のページ から入手して下さい.
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/kougi/07tsuron2.html
数学通論 II （2007年度後期）
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/intro.html
Tamaru's PROFILE
氏名: 田丸 博士（たまる ひろし）（某有名中国人数学者に名前を笑われたことがある）
職業: 広島大学 大学院理学研究科 数学専攻 教授
1989年（平成元年）3月 横浜市立金沢高等学校 卒業
1993年（平成5年）3月 上智大学理工学部数学科 卒業
1995年（平成7年）3月31日 上智大学大学院理工学研究科数学専攻博士前期課程 修了, 修士（理学）取得
修士論文の題目: 例外型単純リー環の新しい構成法 (Sophia-R)
指導教員: 長野正先生
1998年（平成10年）3月31日 上智大学大学院理工学研究科数学専攻博士後期課程 修了, 博士（理学）取得
学位論文の題目: The orbit types of symmetric spaces and their applications to generalized symmetric spaces (Sophia-R)
指導教員: 長野正先生
0312現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/03(火) 07:58:25.71ID:E0ZOM897>>173 ”実数の超越基底S（S⊂R）の全ての要素∀s∈Sを、s+iyのように+iy（iyはs毎に変えて良い）で虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させて、半径εのε近傍Uε(s)の外、つまり各ε近傍Uε(s+iy)が重ならないように、うまく配置することは出来ない”！
>>202 上記を、可算公理の背理法に寄らず証明せよ
>>250 問題：実数の超越基底Sの一つの組みとして、任意の実数rの周りでε近傍Uε(r)に全て入る組みを取ることとできるか
この結論を、「超越基底Sの局在可能定理」とします！
>>259
１）実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。Sは、零集合か？
２）・実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。
・ディリクレの関数1Q（有理数で１その他で0を取る関数）の類似で、超越基底で１それ以外で０の値を取る関数を1Tとする。
・関数1Tを実数軸そって、-∞から+∞まで積分したとき、値はいくらか？
答えは、ゼロ。（証明せよ）
ディリクレの関数1Qについての説明は下記参照>>231
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E7%A9%8D%E5%88%86
ルベーグ積分
例
有理数体 Q の定義関数 1Q（ディリクレの関数）を考える。この関数は至るところ不連続である。
・1Q は [0,1] 上でリーマン可積分ではない: [0,1] をどのように区間に分割しても、各区間には有理数と無理数の両方が少なくともひとつは入っている。よって、上積分は常に 1 であり、下積分は常に 0 になり、リーマン可積分ではない。
・1Q は [0,1] 上でルベーグ可積分である: 集合の定義関数の積分は定義より ０。
0313現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/03(火) 08:03:01.57ID:E0ZOM897>>4 「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」
もとは、おっちゃんの作った問題があって、それを非加算濃度→連続濃度の”べきの濃度”にひねったんだ
新作問題が出来たのは、おっちゃんの貢献のお陰です。ｍ（＿ ＿）ｍ ありがとう！
0314現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/03(火) 08:54:27.08ID:E0ZOM897から派生しているんだ
564さん、ｍ（＿ ＿）ｍ ありがとう！
0315１３２人目の素数さん
2015/11/03(火) 11:30:08.65ID:9FOIe7mqスレ主さんは証明できるの？
0316１３２人目の素数さん
2015/11/03(火) 16:32:32.45ID:2jt6Fkhw0317１３２人目の素数さん
2015/11/03(火) 16:51:09.21ID:yGWrQEj/おもしろいなw
・このホームページに関する注意
「とにかく信用してはいけません。数学は疑うことからスタートします。もう全部ウソだろという気概で臨んでいただいた方がいいかもしれません。」
意味ないホームページだから参考文献リストだけ載せればいいのではw → 「生兵法は大怪我のもと」と書いてリストでOKでは。
0318現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/03(火) 20:54:41.99ID:E0ZOM897ここは、スレ主の備忘録だよ。ここに貼っておけば、世界のどこからでも検索できるし、世界一の検索ソフトの上位にヒットするよ（＾＾；
>>317
「とにかく信用してはいけません。数学は疑うことからスタートします。もう全部ウソだろという気概で臨んでいただいた方がいいかもしれません。」は、面白いだ？
ソフトの使用許諾で、よく見る文句だ。「このソフトを信用してはいけません。使って損害を被っても、自分の責任ですよ！」みたいな（＾＾；
次からテンプレに入れようか？
0319現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/03(火) 21:00:11.29ID:E0ZOM897多分、情報が増えて下積みとか、検索のロジック（重み付け）が変わったとかだろう
その点、２ちゃんねる情報は上位に来るから、ここに書いておいた情報は、検索の再現性の点では便利だね（＾＾；
0320１３２人目の素数さん
2015/11/04(水) 00:30:46.60ID:ih8jWl9Mわからないならそう言えばいいのに
0321１３２人目の素数さん
2015/11/04(水) 14:04:31.70ID:q8ep1UeBやあ、おっちゃんです。
昨日、Σ_{k=0,1,…,∞}(1/(k!＋1)) は無理数だって確信出来たよ。
まあ、ど～せ証明されているだろうけど。
紙で計算していたら、何か必殺技を編み出すような出来事があった。
スレ主に証明しろっていわれた命題の証明は、少し手間がかかるね。
2、3行では終わらん。
0322１３２人目の素数さん
2015/11/04(水) 19:45:43.57ID:OHTkG94u0323１３２人目の素数さん
2015/11/05(木) 06:50:58.44ID:LIXo9DMH何だい？坊や。以下の証明が引用だというのか？
>>318
空間X、Y≠Φの各位相をO_X、O_Yとする。2つの位相空間(X,O_X)、(Y,O_Y)に対して、Xを定義域とする
一価の写像f:X→Yが連続なることを、任意のYの閉集合U∈O_Yに対してf^{-1}(U)∈O_X がXの閉集合なることと定義する。
この定義の下で、f：X→Yが連続なるための必要十分は、
空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Xの開集合なることを示す。
(必要性)：空間Yの開集合B∈O_Yを任意に取る。すると、Y－B∈O_Y は空間Yの閉集合で、仮定からf：X→Yは連続だから、
連続性の定義から、f^{-1}(Y－B)∈O_X は空間Xの閉集合である。fはXからYへの一価の写像で定義域が Dom(f)＝X なる
関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝X－f^{-1}(B)。よって、X－f^{-1}(B)∈O_X はXの閉集合であり、
f^{-1}(B)∈O_X はXの開集合である。Yの開集合Bは任意だから、BをO_Y上で開集合なるように走らせれば、
空間Yの任意の開集合Bの、fによる逆像f^{-1}(B)は空間Xの開集合である。
(十分性)：空間Yの閉集合B∈O_Yを任意に取る。すると、Y－B∈O_Y は空間Yの開集合だから、仮定から、空間Yの開集合Y－Bの、
f：X→Y による逆像f^{-1}(Y－B)は空間Xの開集合である。つまり、f^{-1}(Y－B)∈O_X はXの開集合である。
仮定から、fはXからYへの一価の写像で定義域が Dom(f)＝X なる関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝X－f^{-1}(B)。
よって、X－f^{-1}(B)∈O_X はXの開集合であり、f^{-1}(B)∈O_X はXの閉集合である。Yの閉集合Bは任意だから、
BをO_Y上で閉集合なるように走らせれば、空間Yの任意の閉集合B∈O_Yに対して f^{-1}(B)∈O_X は空間Xの閉集合である。
よって、f:X→Yは、連続性の定義の条件を満たし、連続である。
0324現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/06(金) 21:13:44.87ID:unwmebU2おっちゃん、どうも。スレ主です。
証明ありがとう
おっちゃんの証明パワーには、いつも圧倒されます！（＾＾；
0325現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/06(金) 21:19:24.84ID:unwmebU2おっちゃん、どうも。スレ主です。
>昨日、Σ_{k=0,1,…,∞}(1/(k!＋1)) は無理数だって確信出来たよ。
超越数じゃないかな？ e^xのべき級数展開でx=1を少しひねった形に見えるから（＾＾；
>スレ主に証明しろっていわれた命題の証明は、少し手間がかかるね。
> 2、3行では終わらん。
おっちゃん！ エレガントな証明が見つかってからで良いよ。無理しないで
あれは、雑魚叩きの問題として良いなと思っているから
でも、エレガントな証明も見たい気がするので、それは可だな（＾＾；
0326現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/06(金) 21:25:28.69ID:unwmebU2どうも。スレ主です。
”わからないならそう言えばいいのに”をそのままお返ししよう！（＾＾；
初学者か？（＾＾；
質問が幼いと思ったから>>315
質問がね、自分がよく分かってないことを質問したんだろうと
”＞連続であるための必要十分条件は, 全ての開集合の逆像が開集合となること スレ主さんは証明できるの？”か・・
微笑ましいね（＾＾
0327現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/06(金) 21:28:51.97ID:unwmebU2ID:ih8jWl9Mくんは、>>323のおっちゃんの証明をどう評価するんだ？
正しいと思うのか、間違っていると思うのかだよ！
いやいや、そもそも、ID:ih8jWl9Mくん、君にこの証明が読めるのかね？
初心者の君に・・・（＾＾；
0328現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/06(金) 23:44:50.09ID:unwmebU2実は、”位相空間論では, 開集合が与えられたところから出発している. ”の後があるのだった
「位相空間論では, 開集合が与えられたところから出発している. そこで, 次のように定義することは自然であろう.
定義4.19. 位相空間(X,Ox), (Y,Oy) に対して, 写像f : X → Y が連続（continuous）
であるとは, 次が成り立つこと: ∀U ∈ Oy , f^-1(U) ∈ Ox.」
つまり、田丸 博士先生（ 広島大）の数学通論 II 位相空間テキストでは、連続は証明ではなく、「定義4.19.」なのだ！
この意味が分かるだろうか？
0329現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/06(金) 23:52:12.81ID:unwmebU2＜関数の極限と連続関数＞
ここでは，区間I ⊂ R で定義された実数値関数f : I → R を考える．
定義 関数f : I → R がa ∈ I で連続であるとは， lim (x→a) f(x) = f(a) が成り立つことである．
すなわち，
任意の正の数εに対して，次の条件をみたす正の数δが存在することである：
|x ? a| < δをみたす任意のx に対して|f(x) ? f(a)| < ε
関数f が定義域I で連続，とはI の各点で連続であることとする．
0330現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/06(金) 23:59:20.60ID:unwmebU2＜連続写像＞
ε-近傍
定義 距離空間(X, d) 上の点p と正の実数ε に対して，
Bp(ε) := {q ∈ X | d(p, q) < ε} ⊂ X
をp の(距離d に関する) ε-近傍という．
定義 距離空間(X, dX) から距離空間(Y, dY ) への写像f が連続であるとは，任意のa ∈ X と任意の正の数ε に対して，ある正の数 が存在して
f(Ba(δ))⊂ e Bf(a)(ε)
が成り立つことである．
ここでBa(δ) は(X, dX) におけるa のδ-近傍， B~p(ε) は(Y, dY ) におけるp のε-近傍である．
0331現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 00:04:19.62ID:ZDIzWQj1定理 距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^?1(U) がX の開集合となることである．
証明： 写像f が連続であるとする．開集合U ⊂ Y に対してp ∈ f^-1(U) とするとf(p) ∈ U であるから，
U が開集合であることより，ある正の数ε が存在してB~f(p)(ε) ⊂ U が成り立つ．
ただしB~q(ε) は(Y, dY ) におけるq のε-近傍である．
このε に対して，f の連続性から，ある正の数δが存在してf(Bp(δ))⊂ B~f(p)(ε) ⊂ U が成り立つ．すなわち
Bp(δ) ⊂ f^-1 (f(Bp(δ)))⊂ f^-1(U)
となる．p はf^-1(U) から任意にとってきたのだからf^-1(U) は開集合である．
逆に，任意の開集合U ⊂ Y に対してf^-1(U) が開集合であったとする．
点p ∈ X を一つ固定し，正の数ε を任意にとると， B~f(p)(ε) はY の開集合であるからV := f^-1( B~f(p)(ε))はX の開集合．
とくにp ∈ V なので，ある正の数δが存在してBp(δ) ⊂ V ．このとき
f(Bp(δ))⊂ f(V ) = f(f^-1( B~f(p)(ε)))⊂ B~f(p)(ε).
したがってf はp で連続．p ∈ X は任意だったからf は連続写像である．
系 距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意の
Y の閉集合V に対してf?1(V ) がX の閉集合となることである．
0332現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 00:09:32.48ID:ZDIzWQj1ここでは、定理 距離空間・・・となっている
で、>>328 の定義4.19.の規定ぶりと異なっていることに気付いてくれたかな？
わかりますか？ この違い
0333現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 00:23:33.63ID:ZDIzWQj1なんで、こんなアスキー限定の板で、まともに数学記号が書けない板で、読みにくい証明書いて、読みにくい証明を読む・・・
そんなばかげたことをする価値があるのかね？
証明証明か・・・。ああ、証明命なんだよね・・・
が、証明を書いたから、分かっている？ ２ちゃんねるに証明書くくらい、既存の定理や有名問題なら造作もないことだよ
証明を書いたから、分かっている？ 証明書くくらい、ID:ih8jWl9Mくん、君にも、ここは試験場じゃない、なんでもありなんだからさ！（＾＾
まともに数学記号が書けない板で、読みにくい証明を書くなら、その証明はここに落ちていますと、示した方がましだろうよ
その方が、よほど、普段読み慣れている記述に近いさ。自分で調べる力ないんだろうね・・・（＾＾；
だが、ID:ih8jWl9Mくん、君が要望するから、わざわざ読みにくく書いてあげたよ。さあ、読みなさいよ。そして、どこが分からないか
それを聞いてみてごらん
そしたら、また、だれか教えてくれるだろうさ
だれも教えてくれる人がなければ、私スレ主が教えてあげるよ！（＾＾； （まあ、思うにδ－εから分からないんだろうが・・・）
0334１３２人目の素数さん
2015/11/07(土) 01:16:48.49ID:diyZTPHE0335１３２人目の素数さん
2015/11/07(土) 01:46:35.11ID:JqFAljx80336現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 06:36:58.22ID:ZDIzWQj1どうも。スレ主です。
つまらん、つっこみで悪いが、数学的能力の低さが表れているんじゃないかねー（＾＾
「嘘つきは土日の始まり」の元は、「嘘つきは泥棒の始まり」。嘘つきと泥棒は、経験的因果関係があるというのが元だろう。対して、嘘つきと土日には必然的な因果関係がない
そもそも、金曜夜から始まっているから、Well-definedではない
よって、数学的能力の低さが表れている QED
0337現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 06:46:32.34ID:ZDIzWQj1「検索バカ」もなー。いまどき、検索をバカにしてどうする？ 「検索できないバカ」の方が正解だろう
例えば、検索すれば分かる既知のことを、１年考えて、自力で考えて、証明が出来たという。聞いてみれば、「そんなこと、検索すれば、すぐ分かったはず」と
岩波数学辞典がある。おれも昔の版は持っている。悪くないだろ？数学辞典で調べることは？
だが、いまどき、「岩波数学辞典を調べて終わり！」じゃねー、おかしいだろ？
もっとマジレスすれば、自分の疑問や検索したいことを咀嚼して、数学的なヒットしやすい検索キーワードの組み合わせを捻出する。それも数学的センスなんだと思うんだ
いまから、プロの数学者あるいは数学をメシの種にしようとする人たちにとって、「検索バカ」より「検索できないバカ」と言ってやる方が、適切じゃないか？ 検索には、数学的センスが必要なんだよ
そして、プロの数学者あるいは数学をメシの種にしようとする人たちにとって、アウトプット＝結果が全てなんだ。学生は、「自分で考えました」「えらい！」（教師）だが、学生卒業したら、”結果が全て”。検索９割＋自分１割で、先に結果を出して、投稿
それが、自力１０割で遅いやつより偉いってこと
0338現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 08:37:16.46ID:ZDIzWQj1「独創は1%のひらめきと99%の既知（含む検索）」（スレ主）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%A8%E3%82%B8%E3%82%BD%E3%83%B3#cite_note-2
名言
エジソンのGenius is one percent inspiration, 99 percent perspiration. という発言がよく知られている。
一般に日本語では「天才は1%のひらめきと99%の汗」 と翻訳され、努力の重要性を物語る発言として広く知られている
エジソンは様々なインタビューにおいて努力こそがひらめきに必要なものであり、努力が最も重要であるという趣旨の発言を多くしている[10]。
また当の発言はエジソンの死後1932年に発表されたものであり、全く同じ発言をしたという明確な証拠はない[11]。現代アメリカでも「天才には努力が必要」の意味で用いられている。
https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Edison
"Genius is one percent inspiration, ninety-nine percent perspiration."
? Thomas Alva Edison, Harper's Monthly (September 1932 edition)
0339現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 09:03:27.42ID:ZDIzWQj1>>312-314に、＜新作問題まとめ＞を書いておいた
1%のひらめきも無いかもしれないが、多少数学的に新しいことを書いたかなと
あるいは、１００年くらい前にだれかが、どこかで思いついて書いているかも知れないほど、素朴な思考。それが、現代数学が進歩して、遠くに忘れ去られたのかも・・
ともかく、 「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」>>313は、「連続濃度の”べきの濃度”＝濃度2^R」という陳述が、あまり見ないので新規かと
まあ、普通は、「非加算」で寸止めして、ここまで踏み込まないんだ（＾＾；
でも、これは前スレで564さん（>>7）が解いてくれたんだがね。超越基底Sを使って鮮やかに解いたので、超越基底Sを使う練習問題としては、意義があるだろうよ
かつ、「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合」を考えることで、群や拡大体を考える練習問題にもなる
ここから派生して、問題>>7に関連して、超越基底Sを考えるはめになった
「実数の超越基底Sの一つの組みとして、任意の実数rの周りでε近傍Uε(r)に全て入る組みを取ることとできる」とか
「実数のどんな超越基底Sの組みも、各点∀s∈Sの周りの半径εのε近傍Uε(s)を考えると、虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させて、全て重ならないように配置することはできない」とか
分かってしまえば、たわいもない話だ
が、0.1%くらいのinspirationは、認めて貰ってもいいかなと（＾＾；
もちろん、これが新規性のある話だとしてだが・・
0340現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 09:41:52.04ID:ZDIzWQj1そこで、教えられたことを使って、既知の問題を解く（たまに新作があるかも知れないが）
優良可かのかABCなのか知らないが、成績がつく。院試なら、合格不合格
”例えば、検索すれば分かる既知のことを、１年考えて、自力で考えて、証明が出来たという。聞いてみれば、「そんなこと、検索すれば、すぐ分かったはず」と”>>337書いた
学生の勉強としてはありだよ。答えを見ずに、自力で考えることで、力を付ける。将棋で言えば、詰め将棋を、自力で解くみたいな（＾＾；
だけど、そういう思考を、このスレに持ち込んで貰ってもよ、スレ主からしてみれば、「おいおい」だ。ここは、教室じゃないよと（＾＾；
「証明かかないから分かってない」>>320と、ぼうや素朴で微笑ましいよね（＾＾；
けどさ、どっかから証明ひろってきて、それを丸写しして、証明を書くことができるし、そうしたところで、「分かっている」という証拠にはならん。ここは試験場じゃないからね
>>329-331に、書いてあげましたよ、証明を。ID:ih8jWl9Mくんが求めるからね
お気づきのように、種本はあるよ。そして、種本を読んだ方が、このスレで読むより遙かに読みやすい。それをわざわざ、ここに写経する意義は薄いと思う
（が、いまは、種本は明かさないよ）
私、スレ主が言いたいことは、それだよ
そこは、おっちゃんとは哲学が違うところだ
（が、おっちゃんのこのスレへの参加は、新作の創出も含めて、多大の恩恵を得ているので、おっちゃんの証明に文句をいうつもりは無いんだ（＾＾； )
0341現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 10:10:42.80ID:ZDIzWQj1おい、おまえのことだ！ ID:ih8jWl9Mくんよ！>>320
>>323のおっちゃんの証明を読んで見ろ！
そして、私が書いた>>329-331を読んで見ろ！
全部理解できたのか？ 分からないなら、どこが分からないか、聞け！
一つこちらからの質問だ、おっちゃんの証明と私スレ主の>>329-331には決定的な違いがある、それが何か分かるかね？ それが分かったら書け！
0342現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 10:21:04.08ID:ZDIzWQj1スレ主さんは証明できるの？」>>315
という陳述がさ、全然本質を理解していないだろ？
元は、「”4.4 連続写像
関数f : R → R の連続性は, まず最初の段階では所謂「δ－ε 論法」を用いて定義されていた.
距離空間から距離空間への写像f : X → Y の連続性も, 実数の場合と同様の考えの下に（ε近傍を用いて）定義された.
これらの定義は一見煩雑なものであったが, 「開集合」という概念を導入することにより, 連続性の概念は一気に簡潔な形になる: 連続で
あるための必要十分条件は, 全ての開集合の逆像が開集合となること. 位相空間論では, 開集合が与えられたところから出発している. ”（下記より引用）」>>311だ
そして、この後、>>328「位相空間論では, 開集合が与えられたところから出発している. そこで, 次のように定義することは自然であろう.
定義4.19. 位相空間(X,Ox), (Y,Oy) に対して, 写像f : X → Y が連続（continuous）であるとは, 次が成り立つこと: ∀U ∈ Oy , f^-1(U) ∈ Ox.」
つまり、田丸 博士先生（ 広島大）の数学通論 II 位相空間テキストでは、連続は証明ではなく、「定義4.19.」なのだ！
ID:ih8jWl9Mくんよ！、おまえなー、全然、田丸 博士先生を読んでないじゃんか！
田丸 博士先生を読めば分かるだろ？ 田丸 博士先生が言っていることは、証明じゃない！ 別のことなんだ！ それが何か分かるか？ 君に・・・
0343現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 10:23:23.04ID:ZDIzWQj1>田丸 博士先生を読めば分かるだろ？ 田丸 博士先生が言っていることは、証明じゃない！ 別のことなんだ！ それが何か分かるか？ 君に・・・
めんどくさいから、おれの理解を書くと、田丸 博士先生が言っていることは、証明じゃない、進化なんだ！
0344１３２人目の素数さん
2015/11/07(土) 10:41:22.76ID:lBRTnVcw証明できるの？
↓
おっちゃんに頼め
↓
おっちゃんが証明
↓
何故かスレ主がドヤ顔で連投（っぷｗ）
0345現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 11:14:07.82ID:ZDIzWQj1おれの理解を書くと
進化！＝“連続”という数学概念の進化！
つまり、田丸 博士先生がここで言いたかったこと
最初の段階では、関数f : R → R の連続性所謂「δ－ε 論法」で定義された
↓
次の段階：距離空間から距離空間への写像f : X → Y の連続性も, 実数の場合と同様の考えの下に（ε近傍を用いて）定義された.
↓
現代位相空間（学部レベル）：「開集合」という概念を導入することにより, 連続性の概念は簡潔な形で定義されるようになった
という進化！。田丸 博士先生は、これを言いたかったんだろうと>>342
これ、証明って話じゃないんだよね！
0346現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 11:18:59.40ID:ZDIzWQj1何が進化なのか？
最初の段階：ユークリッド距離（いわゆるアルキメデス）を使っている
↓
次の段階：ユークリッド距離を離れた距離空間の一般化（いわゆる非アルキメデス 例：p進数の距離）
↓
現代位相空間（学部レベル）：距離の入らない位相空間への一般化
と思うんだ
証明じゃないんだ！と
0347現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 11:36:16.06ID:ZDIzWQj1田丸 博士先生は、現代位相空間（学部レベル）で寸止めしているが、まだ先がある（下記）
繰り返すが、証明じゃない、（定義の）進化だ！ （学部レベルの先は、正直ついていけないけどね（＾＾； ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96
位相空間論
歴史
一般位相の研究はいくつかの流れを取りまとめる形で始まった。主なものは
・実数直線の部分集合についての詳細研究、かつて「点集合に関する位相幾何学」(topology of point sets) と呼ばれていたもの、
・多様体概念の導入、
・距離空間論、特にノルム線型空間の研究（後の函数解析学）
などが挙げられる。分野としての位相空間論は1940年頃には成立しており、それにより例えば連続性に関する直観の殆どを、数学の各分野で応用することができるようなものとして、技術的にふさわしい形で捉えることができるようになった。
・数列の収斂、有向点族（ネット）とフィルター、
・種々の分離公理、
点集合位相幾何学の重要な変形版が非点集合的位相幾何学 (pointless topology, point-free topology) で、これは点集合を基礎とする点集合位相幾何学と異なり、束や特に枠と場所の圏論的研究を通じた位相的概念の構築を行うものである。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
フィルター (数学) 順序理論的な意味でのフィルターの双対概念はイデアルである。
歴史
1936年9月のブルバキ会合ではアンドレ・ヴェイユによる数学原論の「位相」 [1]の草稿に関して議論がなされた。
その草稿でヴェイユは点列の収束を議論する上で空間に第二可算公理の成立を要求していたが （下の#位相幾何学におけるフィルターも参照）、 この制限を除くためにアンリ・カルタンが会合中に見つけた解決の糸口がフィルターである [2]。
フィルターの概念の初出として一般に言及されるのは、 ブルバキの他メンバーの勧めを基にカルタンが翌年に提出した2つの論文 [3] [4]である。
0348１３２人目の素数さん
2015/11/07(土) 11:38:10.92ID:f1VAy803岩波数学事典第四版にはCD-ROMが付属していてPDFで全内容が入ってて簡単に全文検索ができるよ！。
それどころか第三版の内容のPDFまで入っているし。まぁこっちはベタ画像なので全文検索は不可だが。
0349現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 11:40:34.66ID:ZDIzWQj1微笑ましいね
ID:ih8jWl9Mくんか？
「おっちゃんが証明」って、納得してんのか？（＾＾；
ほんと君は、良いタイミングで、外れた発言してくれるね～
0350現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 11:48:49.69ID:ZDIzWQj1どうも。スレ主です。
>岩波数学事典第四版にはCD-ROMが付属していてPDFで全内容が入ってて簡単に全文検索ができるよ！。
>それどころか第三版の内容のPDFまで入っているし。
細かいけど、正式には「辞典」だったね
で、確かに、岩波数学辞典には、独特の楽しさがある
紙面が限られているから、記載がコンパクトで簡素だとか、後ろに公式集があってね
ぱらぱら見ると楽しいよ
が、紙面の制約から、記述が限定されるのと、アップデートでオンラインとハンディがあるし、URLリンクもないし。まあ、併用するのが良いだろうと・・。特に学生さんには・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%BE%9E%E5%85%B8
岩波書店の委託により、日本数学会が辞典の編集に着手し、1954年第1版が発行された。その後、1960年増訂版発行。1968年第2版発行。1985年第3版発行。2007年第4版発行。序文の署名者は、第1版、第1版増訂版、第2版は彌永昌吉、第3版は伊藤清、第4版は服部晶夫である。
また、海外にも翻訳され、"Encyclopedic Dictionary of Mathematics" (Editor : The Mathematical Society of Japan) としてen:MIT Pressから発行された。これの第1版は日本語版の第2版からの翻訳で、1980年発行。第2版は日本語版第3版からの翻訳で、1993年発行。
0351１３２人目の素数さん
2015/11/07(土) 12:22:12.28ID:lBRTnVcw＞このε に対して，f の連続性から，ある正の数δが存在してf(Bp(δ))⊂ B~f(p)(ε) ⊂ U が成り立つ．
Bp(δ)⊂X である保証は？
その保証が無ければ f(Bp(δ)) なるものは何の意味も持たないんだが
0352現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 12:47:39.49ID:ZDIzWQj1>「おっちゃんが証明」って、納得してんのか？（＾＾；
>ほんと君は、良いタイミングで、外れた発言してくれるね～
まあ、君レベルでは、下記に答えられないだろう・・
「一つこちらからの質問だ、おっちゃんの証明と私スレ主の>>329-331には決定的な違いがある、それが何か分かるかね？ それが分かったら書け！」>>341
についてだ！
面倒だから、私の理解を以下に書いておく
１．私が書いた>>329-331は、距離空間という文脈の上で、実数の連続関数のδ－ε論法、一般の距離空間のε-近傍による定義がベース
それらを使って、一般の距離空間で
「定理 距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．」を証明したのだ
だから、キーワードは距離空間で、距離空間に限定されている
２．一方、おっちゃんの証明>>323は、距離空間ではなく、一般の位相空間で、閉集合で連続を定義し、
「この定義の下で、f：X→Yが連続なるための必要十分は、
空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Xの開集合なることを示す。」なのだ
３．まあ、私見では、>>345-347の意味から、上記の１はおっちゃんの２とは違う観点での証明で、異なった意義があるんだと。１が、田丸 博士先生の>>311に沿うだろう
４．そして、距離空間を離れてしまったら、田丸 博士先生のいう「連続であるための必要十分条件は, 全ての開集合の逆像が開集合となること」>>311は、
定義であって、証明の対象とはなり得ない！ むしろ、問題は開集合という位相の取り方に移るのだ！
それが、私スレ主の理解だ！（＾＾；
0353現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 13:00:42.96ID:ZDIzWQj1どうも。スレ主です。
ID:lBRTnVcw さん、レスありがとう（＾＾
君は鋭いね～
本当は、レベル高かったんだ！
この読みにくい証明を、そこまで読み込むかね～。さすがだ！
えーと、ちょっと待ってね
0354現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 13:26:22.17ID:ZDIzWQj1>>>331
>＞このε に対して，f の連続性から，ある正の数δが存在してf(Bp(δ))⊂ B~f(p)(ε) ⊂ U が成り立つ．
>Bp(δ)⊂X である保証は？
>その保証が無ければ f(Bp(δ)) なるものは何の意味も持たないんだが
するどいね～！
この証明は、前にも書いたが種本があってね、>>331は>>330の続きだよ
だから、>>330にε-近傍の定義 Bp(ε) := {q ∈ X | d(p, q) < ε} ⊂ X があって、ここから来ているんだ
Bp(δ)⊂X を定義に従って書き直せば、Bp(δ) := {q ∈ X | d(p, q) < δ} ⊂ X ってことで、定義そのものだよ
文字化けもあるし、２ちゃんねるにコピペして見にくくなった証明を苦労して読んでもらうのは心苦しい。なので、種本をばらしておくよ
>>271で既出の
www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2011/set/lecture.pdf
集合と位相 第一（2011年度）山田光太郎 東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻 東京工業大学理学部2年次対象
>>331は、P32 定理10.17.
>>330は、P28 9.2 ε-近傍 定義9.5と定義9.6
>>299は、P28 9.1 関数の極限と連続関数(復習)、定義9.1
からだ
>>299-301の証明は、一応納得しているし、理解しているつもりだ
あなたのレベルなら読めば分かると思うが、分からないことがあったら質問してね。考えるから（＾＾；
0355１３２人目の素数さん
2015/11/07(土) 14:03:05.34ID:lBRTnVcwBp(δ)⊂X であることは了解。ではスレ主にとっての開集合の定義とは？
＞Bp(δ) ⊂ f^-1 (f(Bp(δ)))⊂ f^-1(U)
だと何故 f^-1(U) が開集合と言えるのか？
0356現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 14:39:30.37ID:ZDIzWQj1蛇足だが、証明証明というけれど、現代数学において、well-difinedということばがある
以前、このスレで話題になり、教えて貰った
http://iky.no-ip.org/dictionary/
「定義」を見たとき、その定義がwell-definedであるかどうかを気にできるようになったらかなりの上級者である。
（引用おわり）
ノルムだ、開集合だ、フィルターだと。well-difinedなこれらの数学的道具たち
証明と一体なんだよね、特に位相では。位相をどう定義するのか？ それによって証明できることが異なることになる
概念の定義があって、それを使って証明がある
が、数学的思考としては、well-difinedと証明は表裏一体かも。特に現代数学では
昔、連続はδ－εを使って証明すべきものだった
いま、連続は、扱う対象に応じて、開集合を適当に決めて、定義するべきもの。”適当に”が、広い意味でのwell-difinedに繋がっていると言えなくもない。そういう視点で位相を学んだ方が、高い視点に立てる気がする。「証明命」よりも
0357現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 14:43:19.99ID:ZDIzWQj1どうも。スレ主です。
君は、なかなかレベル高いね～（＾＾；
そこらは、>>354の山田光太郎先生の開集合の章があるだろ？
そこに何か書いてないかな？
ちょっと待ってね
考えるから
0358現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 14:53:14.66ID:ZDIzWQj1山田光太郎先生の開集合の章 P31
定義10.1. 距離空間(X, d) の部分集合U ⊂ X が開集合open set である，とは，各x ∈ U に対して正の実
数ε でBx(ε) ⊂ U となるものが存在することである．
君は、なかなか鋭いね～
0359現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 14:56:12.79ID:ZDIzWQj1「p はf^-1(U) から任意にとってきたのだからf^-1(U) は開集合である．」
も合わせて読んでね
0360現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 15:01:55.32ID:ZDIzWQj1”山田光太郎先生の開集合の章 P31
定義10.1. 距離空間(X, d) の部分集合U ⊂ X が開集合open set である，とは，各x ∈ U に対して正の実
数ε でBx(ε) ⊂ U となるものが存在することである．”
という規定ぶりは、おそらくε-近傍から、開集合の概念を思いっきり広げていると思うんだ。だから、分かったような分からないような書き方をしている
それは、あとの展開（距離という概念から離れて開集合をもっと一般的に定義すること）を考えてのことだろう
0361１３２人目の素数さん
2015/11/07(土) 15:48:43.01ID:lBRTnVcw＞Bp(ε) := {q ∈ X | d(p, q) < ε} ⊂ X
＞定義10.1. 距離空間(X, d) の部分集合U ⊂ X が開集合open set である，とは，各x ∈ U に対して正の実
＞数ε でBx(ε) ⊂ U となるものが存在することである．
これらの定義によれば、[0,1]=U=X⊂R（Rは実数体）のとき、U=[0,1] は開集合であることになると思うが、異論は無いか？
0362１３２人目の素数さん
2015/11/07(土) 15:51:48.99ID:e1DD8W7u0363現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 18:49:36.06ID:ZDIzWQj1＞Bp(ε) := {q ∈ X | d(p, q) < ε} ⊂ X
＞定義10.1. 距離空間(X, d) の部分集合U ⊂ X が開集合open set である，とは，各x ∈ U に対して正の実
＞数ε でBx(ε) ⊂ U となるものが存在することである．
>これらの定義によれば、[0,1]=U=X⊂R（Rは実数体）のとき、U=[0,1] は開集合であることになると思うが、異論は無いか？
>であることにならないと思うよ
どうも。スレ主です。「であることにならないと思う」に一票！
この話は、”山田光太郎先生の開集合の章 P31
例10.3. ユークリッド空間Rn の1 点からなる集合{p} は開集合でない．
これを示すには，任意の正の数εに対してBp(ε) が{p} の部分集合でないことを示せば良い．
実際，p = (p1, . . . , pn) とするとき，与えられた正の数ε に対してq = (p1 + ε/2 , p2, . . . , pn) とするとd(p, q) = ε/2 なのでq ∈ Bp(ε) であるが，
p ≠ q なのでq ? {p}．”
が、参考になるだろう。
0364現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 19:03:51.47ID:ZDIzWQj1訂正 p ≠ q なのでq ? {p}→p ≠ q なのでq not ∈ {p}
not ∈の記号が文字化けか、不便なものだ
で、
[0,1]＝{0} +(0,1) +{1} と分解できる
1 点からなる集合{0} {1} は開集合でない。実は、閉集合であることは、>>271の命題10.10.にあるとおり
(0,1) は、開区間で開集合
つまり、[0,1]は、二つの境界の閉集合とその間の開区間（開集合）から成る
開集合にならないことは、>>363の例10.3.の証明にならえば、できるだろうよ
0365現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 19:12:27.28ID:ZDIzWQj1「δ－ε 論法」について、補足しておく
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95
イプシロン-デルタ論法
関数値の収束
関数 f(x) に対して、極限の式 lim_{x → a}f(x) = b を ε-δ 論法で書くと
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 s.t. ∀ x ∋ R, 0 < |x-a| < δ → |f(x)-b| < ε となる。
s.t. は such that の略で ∃ の条件を示し、 s.t. 以後の条件を満たすような正の数 δ が存在するということである。すなわち
任意の正の数 ε に対し、ある適当な正の数 δ が存在して、 0 < |x ? a| < δ を満たす全ての実数 xに対し、 |f(x) ? b| < ε が成り立つ
という意味の式である。極限の式の意味は、この ε-δ 論法によって定義される。
この式が成り立っているとすると0< |x ? a| < δ の範囲で実数 x を動かしているうちは、どのように動かしても f(x) と b との差は高々 ε 程度でしかない。
x を a に近付けるという極限操作を行っている最中でもそうである。
ε は任意に選べるので好きなだけ小さくとっておき、それに応じて δ をちゃんと選べば x が0< |x ? a| < δ を満たす限り、 f(x) は b からせいぜい ε しか離れてない範囲に留まり続けなければならないのである。
（つづく）
0366現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 19:13:08.83ID:ZDIzWQj1ε は無限小とは異なり有限の値であるが、好きなだけ小さく選んでよいという条件が極限の概念を捉えることを可能にしているのである。
世界中の人が選んだ ε の中で最も小さい数を ε1 としたとき、ε1 に対応する δ1 を選べば 0 < |x ? a| < δ1 ⇒ |f(x) ? b| < ε1 を成り立たせることができるが、
ε1 よりもさらに小さい ε2 = ε1/10 という数を考えても同様に対応する δ2 が存在し 0 < |x ? a| < δ2 ⇒ |f(x) ? b| < ε2 を成り立たせるようにできるということである。
ここで何故、小さい数ばかり考えているのかと言えば、今のように ε2 < ε1 という大小関係を満たす 2 つの 正の数があったときに、 ε2 に対して δ2 を選んでおけば
0 < |x-a| < δ _2 → |f(x)-b| < ε _2 < ε _1
より、δ2 は ε1 に対する δ としても使えるからである。
小さい ε で δ を与えられるなら、それより大きい ε に対しても δ を与えられる。
逆に 小さい ε で δ が存在しない場合、任意の ε に対して、適当な δ が存在するという条件を満たさないため、他の ε に対してどうであろうと、極限の存在を示すことはできない。
関数の連続性
実関数 f: R → R が
lim_{x → a}f(x) = f(a)
を満たすとき、 f(x) は x = a において連続であるという。この極限の式は ε-δ 論法を用いて関数値の極限として定義される。
開区間 I = (p,q) 上の任意の点 a ∈ I において f(x) が連続であるとき f(x) は I 上で連続であるという。
これを ε-δ 論法で書くと
∀ ε > 0, ∀ a ∈ I, ∃ δ > 0 s.t. ∀ x ∈ I, |x-a| < δ → |f(x)-f(a)| < ε
となる。
（おわり）
0367現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 19:17:30.20ID:ZDIzWQj1https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95
イプシロン-デルタ論法
歴史的背景
ε-δ 論法は1860年代のカール・ワイエルシュトラスの講義によって完成されたもので、これによって無限小や無限大という概念を一切使用せずに収束・連続を議論できるようになった[1]。
数学史において、微積分学を完成させたとする評価もあるコーシーは『解析教程』(Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique) で、ε-δ 論法を用いて関数の連続性の基礎づけを行った。
しかし、この時点でも、連続と一様連続の区別はなかったためにコーシーは自著の中でそのことに起因する誤りをおかしている。
脚注
1^ εは"error"、δは"distance"の頭文字であると理解するのが妥当である。実際、コーシーは彼の著作の中でεを"error"の省略として用いている。
0368現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 19:26:58.58ID:ZDIzWQj1この話、命題10.10.の証明が参考になるかな？
命題10.10.の証明でやっていることは、距離空間(X; d) の1 点p ∈ X から、1 点pを除いた集合が、開集合ということを証明しているんだ
同じように、Rから[0,1]を除いた集合が、開集合ということは、同じ筋で簡単に証明できるだろう
どう？
0369１３２人目の素数さん
2015/11/07(土) 19:58:14.59ID:lBRTnVcw講釈は結構。
距離空間 ([0,1], d) の部分集合 [0,1] ⊂ [0,1] が開集合 open set でない，とは，ある x ∈ [0,1] が存在して、
任意の正の実数 ε に対して Bx(ε) ⊂/ [0,1] を満たすことである．
これに異存は無いか？無ければ、そのような x ∈ [0,1] の存在を示せ。
0370現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 20:22:59.33ID:ZDIzWQj1どうも。スレ主です。
>距離空間 ([0,1], d) の部分集合 [0,1] ⊂ [0,1] が開集合 open set でない，とは，ある x ∈ [0,1] が存在して、
>任意の正の実数 ε に対して Bx(ε) ⊂/ [0,1] を満たすことである．
>これに異存は無いか？無ければ、そのような x ∈ [0,1] の存在を示せ。
依存ありだよ
山田光太郎先生の開集合の章 P31
命題10.5 (開集合の性質). 距離空間(X, d) に対して
(1) ?, X は開集合である．
閉集合の章 P32
命題10.12. 距離空間(X, d) に対して
(1) ?, X は閉集合である．
だから、X=[0,1]なら、全体集合Xは、閉集合でもあり、開集合でもあるよ
命題とあるから、証明できるんだろうね。山田光太郎先生が証明付けてないから、ほとんど自明なだろうが
つまり、全体集合Xと空集合?は、閉集合でもあり、開集合でもあるんだよ。そこを理解していないと、落とし穴にはまるよ（＾＾
0371１３２人目の素数さん
2015/11/07(土) 20:34:29.14ID:JqFAljx8引用して
きょうも一日がおわる
0372現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 20:44:46.51ID:ZDIzWQj1(1) ?, X は開集合である．
↓
(1) φ, X は開集合である．
空集合の記号がばける。
0373現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 20:50:34.40ID:ZDIzWQj1ほほえましいね（＾＾；
学会か？ ここ？（＾＾
引用だぁ？ 新しい数学を書けとでも？（＾＾；
まあ、新作気取りは書いたけど。>>312-313だ
が、そうそう、新作問題は書けないぜ
おっと、>>312の問題をどれか解いてみないか？ 学会きどりくん
0374現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 21:14:36.48ID:ZDIzWQj1関数の連続性
ε-δ 論法で書くと
∀ ε > 0, ∀ a ∈ I, ∃ δ > 0 s.t. ∀ x ∈ I, |x-a| < δ → |f(x)-f(a)| < ε
ここを少し具体例を考えてみた
１）f:x→y y=x(x<1のとき)、y=x+0.5(1=<xのとき)とする。 (つまり、1まではy=xで、x=1に不連続があって、1から大でy=x+0.5)
２）x=1で、0.5のギャップ（不連続）がある関数を考えるんだ
３）x=1で、δ近傍を考えると、|f(1-δ)-f(1)| < 0.5 とはできない。|f(1+δ)-f(1)| < ε なら可能なんだが。
４）だから、ε-δ 論法で、この関数fは、x=1で、不連続
５）これを、直観的に解説すると、写像されるyの方から見ていると考えることができる。yの方から見ると、0.5のギャップが見える。（x側からは見にくい）
６）それを、”∀ ε > 0 →|f(x)-f(a)| < ε”という物差しで、ギャップを調べる。ギャップをdとしてd=0.5だが、dはもっと小さく取れる。が、εをそれ(d)よりもっと小さく取れる。
これが、実数の１変数関数のε-δ 論法の分かり易い直観的な解説かな。おそらく、どこかに同じようなことがあって、読んだかも知れないが・・
0375１３２人目の素数さん
2015/11/07(土) 21:16:51.46ID:lBRTnVcwスレ主のどこが誤りかを指摘してあげるつもりだったが、レス毎に180度翻されては私もお手上げだ。
0376現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 21:17:37.58ID:ZDIzWQj1依存ありだよ
↓
異存ありだよ
0377現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 21:28:24.31ID:ZDIzWQj1>>>363 で開集合でないと言い、>>370 で開集合であると言う。
>スレ主のどこが誤りかを指摘してあげるつもりだったが、レス毎に180度翻されては私もお手上げだ。
おいおい、正気か？
山田光太郎先生のPDFに、何も足さない、何も引かない・・・わけでもないが、PDFからのコピペで崩れるところだけ、最小限手を加えた。ロジックは変えていない
”どこが誤りかを指摘してあげるつもり”？ 誤りがあったら、山田光太郎先生に言ってあげてね、学生さんなら喜ばれるよ、よく勉強しているとね！（＾＾；
が、私が見るところ、山田光太郎先生に誤りはないよ
勘違いしている、[0,1]が実数Rの一部であるとき>>363、[0,1]は閉区間であり当然閉集合さ
が、実数Rの一部でなく[0,1]を全体集合として扱うときは>>370、全体集合は閉集合でもあり開集合でもあるんだよ（位相の常識！）
0378現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/07(土) 22:39:11.09ID:ZDIzWQj1ε-δの練習問題として秀逸だね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
連続 (数学)
不連続関数
・関数 f を、x が無理数の場合は f(x) = 0 と定義し、有理数の場合は x=p/q（p は整数、qは正の整数でこれらは互いに素）と表し、このqを使って f(x) = 1/q と定義すると、f は無理数では連続、有理数では不連続となる。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1127539791
kessyoutouさん 2009/6/22 関数の連続性
f(x)=0 (xが無理数αの時)
f(x)=1/q （xがp/qつまり有理数の時）
とした時、f(x)が無理数の時は連続で、有理数の時は不連続であることを証明せよ。ただし、稠密性(?)は用いてよいこととする。つまり、Rの中にはある有理数について十分に近い無理数が存在しているということである。
ベストアンサーに選ばれた回答 hsmtmk_tさん 2009/6/24
（抜粋）
ε-δの練習問題ですが、この問題は大学一年生が解くには割と難しい部類に入ると思います。
さて、それでは証明です。
連続であることの定義ですが、任意のε>0に対し、あるδ>0が存在して ｜x-a｜<δ ならば｜f(x)-f(a)｜<εが成り立つ時、fはaにおいて連続であるといいます。
（略）
さて、|x-α|＜δ となるようなxについて考えます。
x=p/q（有理数）だとすると、δの作り方より、この範囲に入っている有理数はすべて分母がq_εより大きいはずなので（そうでないとδの最小性に矛盾します）
f(x) ＝ 1/q < 1/q_ε ＜ ε
が成り立ちます。
また、xが無理数ならば、もちろんf(x) ＝ ０です。
よって、以上を合わせると、xが有理数であろうと無理数であろうと、|x-α|＜δならば、|f(x)-f(α)| = |f(x)| < 1/q_ε < εとなります。
ε>0は任意で良かったので、これはfがαにおいて連続であることを示しています。
以上で証明終わりです。
0379現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/08(日) 07:06:20.62ID:tRoEVVUJ>勘違いしている、[0,1]が実数Rの一部であるとき>>363、[0,1]は閉区間であり当然閉集合さ
>が、実数Rの一部でなく[0,1]を全体集合として扱うときは>>370、全体集合は閉集合でもあり開集合でもあるんだよ（位相の常識！）
今回の連続の発端になった>>311で
「数学通論 II 位相空間 2007年度後期 田丸 博士 広島大
プリントは, 数学通論 I で配布したプリントの続きです. プリントの前半部分（距離空間を扱っています）が欲しい方は, 数学通論 I のページ から入手して下さい.」
で、http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/kougi/07tsuron1.html
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~tamaru/files/07tsuron.pdf 数学通論 I 田丸博士 広島大2007
これは、おそらく大学１年か２年前期だろうが、実数から丁寧に位相としての近傍や開集合を説いている。
分かり易いよ。これを参照すれば、良いだろう。開集合は、P3で、命題1.10.辺りからじっくり読んでいけば理解できるだろうよ
0380現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/08(日) 07:27:21.87ID:tRoEVVUJ>だから、X=[0,1]なら、全体集合Xは、閉集合でもあり、開集合でもあるよ
>命題とあるから、証明できるんだろうね。山田光太郎先生が証明付けてないから、ほとんど自明なだろうが
>つまり、全体集合Xと空集合φは、閉集合でもあり、開集合でもあるんだよ。そこを理解していないと、落とし穴にはまるよ（＾＾
今見ると、山田光太郎先生のP33で、問題としているね。問題10-4だ
これを、おれが解いたら学生さんの勉強にならんだろう（＾＾
まあ、ヒントを出すと、全体集合X=[0,1]としたんだろ？
で、山田光太郎先生のP31
＞Bp(ε) := {q ∈ X | d(p, q) < ε} ⊂ X
＞定義10.1. 距離空間(X, d) の部分集合U ⊂ X が開集合open set である，とは，各x ∈ U に対して正の実
＞数ε でBx(ε) ⊂ U となるものが存在することである．
だ。ここで、X=[0,1]をもう一度思い出してみな。蛇足だが、X=[0,1]が全体集合なんだから、x<0と1<xの範囲は、この証明からは除外される
そこを混同して、X=Rのイメージを引きずると、わけわからんぜ（＾＾；
0381現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/08(日) 07:35:31.74ID:tRoEVVUJ>私が見るところ、山田光太郎先生に誤りはないよ
位相は、枯れた技術なんだよね。私の理解は・・
http://www.keyman.or.jp/it-word/61003702/
枯れたとは IT単語帳 【キーマンズネット】
コンピュータの世界では「枯れたシステム」「枯れた機能」「枯れたソフトウェア」などの表現を使う。
これは言い換えると「安定稼働しているシステム」「使い込まれてトラブルも少ない機能」「ほとんどバグ出しが終わっているソフトウェア」という意味になる。
つまり、必ずしも最新ではないが、今まで時間をかけて改善されてきたので、信頼性が高く、品質も安定している状態を指す。
0382現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/08(日) 07:49:41.02ID:tRoEVVUJ山田光太郎先生だって、あのPDFテキストを１から作ったはずもなく、どこか種本があるはず
というか、少なくとも自分が学生時代に勉強したテキストとか
あるいは、海外も含めて名著と言われるものを参考にしているだろうさ
そして、位相（トポロジー）がどれだけの歳月をかけて練り上げられてきたか、詳しくはないが
まあ、遡るとおそらく、ブルバキのテキスト辺りまで行くんだろうよ
そして、位相（トポロジー）の現代数学での広がり（ここも詳しくないけど）を垣間見ると、「枯れた技術」と思って良いだろう
で、>>354で種本が山田光太郎からだと明かしたんだから、その時点で悟れよ、ここは枯れた話だと
自分で検証して、「スレ主のどこが誤りかを指摘してあげるつもりだった」>>375？？ 種本が山田光太郎からだと明かしたのにか？・・、その発想が理解できん（＾＾；
（まあ、本当に位相（トポロジー）に無知だったんだねとしか、理解のしようがないね・・・・）
0383１３２人目の素数さん
2015/11/08(日) 10:36:49.75ID:avzOXqjC命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．
に対する証明または反例を書け
0384現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/08(日) 20:54:35.57ID:tRoEVVUJ>http://choreographlife.jp/
>森田真生公式ウェブサイト - Choreograph Life
>『数学する身体』ついに発売です。
>多くの人にとって、数学と新たに出会うきっかけになればと願っています。ぜひよろしくお願いします。
今朝の読売書評に、『数学する身体』が出ていた
下記アマゾンの5件のカスタマーレビューも好意的だね
http://www.amazon.co.jp/dp/4103396512
数学する身体 単行本 ? 2015/10/19 森田 真生 (著)
0385１３２人目の素数さん
2015/11/08(日) 20:57:48.92ID:M6qlJxyz0386現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/13(金) 20:31:43.77ID:ODyDobQEどうも。スレ主です。
>スレ主さんなら次の問題を解けるよね
問題は解けた
>つまんねー問題ばかり出すな
つまんねー問題と言えなくもないが、
結構考えさせられたよ。「つまんねー問題」というためには、いろいろ考える必要があった
そういう意味では面白かった
なので、すぐには答えを書かないことにするよ
皆様、特に位相学習の初期段階の人には、「考えることに意義がある」と言えるだろうね（＾＾
0387１３２人目の素数さん
2015/11/13(金) 21:20:28.81ID:NZQzH36s＞すぐには答えを書かないことにするよ
いつ書くの？
0388１３２人目の素数さん
2015/11/13(金) 21:21:59.30ID:Wiz3AI8s0389現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/13(金) 21:32:25.91ID:ODyDobQEおっちゃん、どうも。スレ主です。
例の新作問題のなかで
>>312「実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。Sは、零集合か？」
だけは、証明頼む
零集合を言い出したのはおっちゃんだし（＾＾；
0390現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/13(金) 21:33:40.02ID:ODyDobQE他の人が書いてからさ（＾＾；
0391現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/13(金) 21:35:11.26ID:ODyDobQE雪江代数２が、読めないとか難しいとか言っていた人？
そういう、自分のレベルに合わない本にはこだわらない方が良いよ（＾＾
もう少し易しい本を探しなさい！
0392現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/13(金) 21:35:44.31ID:ODyDobQEでは
0393１３２人目の素数さん
2015/11/13(金) 21:39:30.38ID:Wiz3AI8s0394１３２人目の素数さん
2015/11/13(金) 22:12:14.74ID:NZQzH36shttp://www.hyuki.com/girl/galois.html#chapters
0395１３２人目の素数さん
2015/11/13(金) 22:37:39.68ID:i4rL+bTLskypeゼミでやれや
この板にスレもあるしtwitterもあるでよ
0396１３２人目の素数さん
2015/11/13(金) 22:56:56.16ID:Kjphug6D0397１３２人目の素数さん
2015/11/14(土) 08:58:25.99ID:VGfgFTqgわからないならそう言えばいいのに
0398１３２人目の素数さん
2015/11/14(土) 10:40:18.26ID:zLqA8LhMスレ主に代わりお答えします。
「距離空間(X, dX)の部分集合A⊂X」は「距離空間(X, dX)の「或る」部分集合A⊂X」と解釈します。
空間X≠Φの位相をO_Xとする。空間XがXの或る部分空間Aに引き起こす位相をO_Aとする。
空間Y≠Φの位相をO_Yとする。2つの位相空間(X,O_X)、(Y,O_Y)に対して、Xを定義域とする
一価の写像f:X→Yが連続なることを、任意のYの閉集合U∈O_Yに対してf^{-1}(U)∈O_Xが
Xの閉集合なることと定義する。
[第１段](与えられた命題の一般化)：この定義の下で、空間Xの或る部分空間Aが存在して、
f：A→Yが連続なるための必要十分は、空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Xの開集合なることを示す。
(必要性)：(A,O_A)を位相空間(X,O_X)の部分位相空間とする。空間Yの開集合B∈O_Yを任意に取る。すると、
Y－B∈O_Y は空間Yの閉集合で、仮定からf：A→Yは連続だから、連続性の定義から、f^{-1}(Y－B)∈O_A は
Xの部分空間Aの閉集合である。fはAからYへの一価の写像で定義域が Dom(f)＝A なる関数だから、B⊂Y から、
f^{-1}(Y－B)＝A－f^{-1}(B)。よって、A－f^{-1}(B)∈O_AはAの閉集合であり、f^{-1}(B)∈O_A はAの開集合である。
Yの開集合Bは任意だから、BをO_Y上で開集合なるように走らせれば、空間Yの任意の開集合Bの、
fによる逆像f^{-1}(B)はXの部分位相空間A⊂Xの開集合である。
0399１３２人目の素数さん
2015/11/14(土) 10:42:58.36ID:zLqA8LhM(>>398の続き)
(十分性)：空間Yの閉集合B∈O_Yを任意に取る。すると、Y－B∈O_Y は空間Yの開集合だから、
仮定から、空間Yの開集合Y－Bの、f：X→Y による逆像f^{-1}(Y－B)は空間Xの開集合である。
つまり、f^{-1}(Y－B)∈O_X はXの開集合である。仮定から、fはXからYへの一価の写像で
定義域が Dom(f)＝X なる関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝X－f^{-1}(B)。
よって、X－f^{-1}(B)∈O_X はXの開集合であり、f^{-1}(B)∈O_X はXの閉集合である。
Yの閉集合Bは任意だから、BをO_Y上で閉集合なるように走らせれば、空間Yの任意の閉集合B∈O_Y
に対して f^{-1}(B)∈O_X は空間Xの閉集合である。従って、f:X→Yは、連続性の定義の条件を満たし、
連続である。空間XはX自身の部分空間だから、空間Xの或る部分空間Aを A＝X とおけば、
f:A→Yは連続となる。即ち、空間Xの或る部分空間Aが存在して、f：A→Yは連続である。
[第２段]：距離空間(X,dX)、(Y,dY)は両方共に位相空間だから、(X,dX)の或る部分集合A⊂Xから
(Y,dY)への写像f:A→Yが連続であるための必要十分条件は、任意のYの開集合Uに対してf^{-1}(U)が
Xの開集合となることである。
0400１３２人目の素数さん
2015/11/14(土) 11:01:47.99ID:zLqA8LhMやあ、おっちゃんです。超越基底Sが零集合かどうか？
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合だったとする。S⊂Rの濃度はcard(S)＝c。また、
card(R)＝c。従って、Sは非可算な零集合である。実数直線Rは零集合ではないような非可算集合である。
[第１段](Sから構成される非可算集合からRへの全単射の存在性)：選択公理により、超越基底Sの元全体を
直線R上に通常の順序関係を保ちつつ、実数の順序に関して上下両方共に非有界なるように埋め込む。
このような埋め込みの操作によって、各超越数x∈Sが埋め込みの操作後に取る実数値としての直線R上
の点の全体からなる集合をR'とする。すると、Sは非可算集合だったから、R'⊂R は直線R上の非可算集合であり、
card(R')＝card(R)＝c。従って、R'からRへの全単射が存在する。R'、Rは両方共に実数の大小の順序関係に
関して全順序集合だから、或るR'からRへの全単射なる一価の関数fが存在する。
[第２段](R'が非可算な零集合なること)：直線Rの上下に両方共に有界な右半開区間の有限個の和集合として
表すことが出来るRの部分集合の全体をR_(R)で表わす。点x∈R'を任意に取る。すると、R'⊂R であり、
集合{x}はR上の1点xからなる集合だから、任意に ε＞0 を取ると {x}⊂[x-ε,x+ε) と被覆出来る。
ここで、ε→+0 とすれば、{y}＝[y,y) となる。また、外測度の定義から、集合{x}の外測度m({x})は
m({x})＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|各i=1,2,…に対して E_i∈R_(R)、かつ {x}⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}
と表わせて、0≦m({x})≦+∞ を満たす。R'と零集合なる超越基底 S⊂R の各濃度について、
card(R')＝card(S)＝c だから、R'とSの間には全単射が存在する。従って、(+∞)・0＝0 なることに着目すると、
m({x})＝0 を得る。R'の点xは任意だから、xをR'上で走らせると、R'は非可算な零集合である。
0401１３２人目の素数さん
2015/11/14(土) 11:04:29.39ID:zLqA8LhM(>>400の続き)
[第３段](Sが零集合になると矛盾が生じる)：fは、定義域を Dom(f)＝R'とし、値域を Im(f)＝R とする、
全単射なる一価の関数である。従って、fのグラフGは G＝{(x,f(x))∈R^2|x∈R'} と表わせる。点y∈Rを任意に取る。
すると、yに対して或る点x∈R'が一意に存在して、y＝f(x) となり、(x,f(x))∈G。また、一価の関数f：R'→Rは全単射だから、
card(R')＝card(S)＝c から、card(R)＝card(S)＝c であり、RとSの間には全単射が存在する。集合{y}はR上の1点yからなる
集合だから、任意にε＞0を取ると {y}⊂[y-ε,y+ε) と被覆出来て、ε→+0 とすれば、{y}＝[y,y) となる。外測度の定義
から、集合{y}つまり{f(x)}の外測度m({f(x)})は
m({f(x)})＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|各i=1,2,…に対して E_i∈R_(R)、かつ {f(x)}⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}
と表わせて、0≦m({f(x)})≦+∞ を満たす。fの定義域R'は非可算な零集合だから、(+∞)・0＝0 なることに着目すると、
m({f(x)})＝0 を得る。従って、y＝f(x) から m({y})＝0。Rの点yは任意だから、yをR上で走らせると、Rは非可算な
零集合である。しかし、これは直線Rが、完備であって、零集合ではないことに反し、矛盾する。
0402１３２人目の素数さん
2015/11/14(土) 11:13:24.65ID:zLqA8LhM>>400の第２段の
>ここで、ε→+0 とすれば、{y}＝[y,y) となる。
は不要だから省略。あと、>>401の上から5行目の
>任意にε＞0を取ると {y}⊂[y-ε,y+ε) と被覆出来て、ε→+0 とすれば、{y}＝[y,y) となる。
の部分は
>任意にε＞0を取ると {y}⊂[y-ε,y+ε) と被覆出来る。
に訂正。
0403１３２人目の素数さん
2015/11/14(土) 12:57:17.47ID:VGfgFTqg他の人は書いたよ
0404１３２人目の素数さん
2015/11/14(土) 15:57:00.61ID:n42/B/E0X, Yを実数全体とする。
Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する。
fは明らかに連続。ここでYの開集合Bとしてf(A)を真に含むYの開区間、
たとえばB={b|-2<b<2}をとればBの逆像はAとなり、Xの開集合ではない。
0405１３２人目の素数さん
2015/11/14(土) 16:21:48.23ID:n42/B/E0> 空間Yの任意の開集合Bの、fによる逆像f^{-1}(B)は
> Xの部分位相空間A⊂Xの開集合である。
"Yの開集合の逆像がAの開集合"を長々と示しているが、
そんなのは連続の定義そのものだろうが。
示すべきは"Xの開集合"となることなんだよ。
そしてそれは必要条件ではない、というのが上の反例だ。
これが必要条件ではないことくらい直感で分かるだろふつう。
だからつまんねー問題だと言ってるんだよ。
0406１３２人目の素数さん
2015/11/14(土) 16:45:05.47ID:VGfgFTqgスレ主さんが逃げてる間に正解が出ちゃったよ。(>>404)
これでは不本意だろうから挽回のチャンスを上げよう。
問題
>>383の命題を修正して真の命題を作り証明せよ。
但し
・X の部分集合 A についての命題であることは変えてはならない。
・修正が小さいほど（出題者の主観で判断する）良い解答とする。
0407１３２人目の素数さん
2015/11/15(日) 07:10:18.34ID:bkoysFnn>示すべきは"Xの開集合"となることなんだよ。
あ～、そうだったな。>>398で
>空間Xの或る部分空間Aが存在して、f：A→Yが連続なるための必要十分は、
>空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Xの開集合なること
と書いてたな。勢いで書いて間違えたなw
まあ、下らない問題というなら、誤答が相応しいんじゃないですか。
>>407
勢いで解答を書いて間違え申し訳ありませんね。
不甲斐ないので、私に名誉挽回の回答をさせて下さい。
0408１３２人目の素数さん
2015/11/15(日) 07:34:20.03ID:bkoysFnn>>407の後半は、「>>407」ではなく「>>406」宛てです。
例えば、以下の命題なんかはどうです？
空間X≠Φの位相をO_Xとする。空間XがXの或る部分空間Aに引き起こす位相をO_Aとする。
空間Y≠Φの位相をO_Yとする。2つの位相空間(X,O_X)、(Y,O_Y)に対して、Xを定義域とする
一価の写像f:X→Yが連続なることを、任意のYの閉集合U∈O_Yに対してf^{-1}(U)∈O_Xが
Xの閉集合なることと定義する。
[命題]：(X,O_X)、(Y,O_Y)を両方共に位相空間とする。(A,O_A)を空間Xの任意の部分位相空間とする。
fを、A⊂X からYへの一価の写像とする。任意のYの閉集合Uに対してf^-1(U)がXの閉集合となるとする。
このとき、2つの空間 (X,O_X) と (A,O_A) は等しくなる。
[証明]：空間(X,O_X)の部分位相空間(A,O_A)を任意に取る。空間Yの閉集合B∈O_Yを任意に取る。
すると、Y－B∈O_Y は空間Yの開集合である。従って、仮定から、空間Yの開集合Y－Bの、
f：A→Y による逆像 f^{-1}(Y－B)∈O_A はAの開集合である。仮定から、fはAからYへの一価の写像で
定義域が Dom(f)＝A なる関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝A－f^{-1}(B)。
従って、A－f^{-1}(B)∈O_A はAの開集合であり、f^{-1}(B)∈O_A はAの閉集合である。
Yの閉集合Bは任意だから、BをO_Y上で閉集合なるように走らせれば、空間Yの任意の閉集合B∈O_Yに
対してf^{-1}(B)∈O_A は空間Xの部分位相空間Aの閉集合である。従って、A⊂X からYへの
一価の写像fは、連続性の定義の条件を満たし、連続である。ここで、f：A→Y の定義域は、
Dom(f)＝A。また、仮定から、任意のYの閉集合Uに対してf^-1(U)がXの閉集合だから、
連続性の定義から、f：X→Y は連続であり、fは一価の写像である。従って、Dom(f)＝X＝A
であり、(X,O_X) と (A,O_A) は等しくなる。
0410１３２人目の素数さん
2015/11/15(日) 14:02:28.99ID:mBRpszVo証明
Y の閉集合 U を任意に一つ取る。0∈U または 0∈/U のどちらか一方が成り立つ。
0∈U のとき、f^-1(U)=A は X の閉集合
0∈/U のとき、f^-1(U)={} は X の閉集合
ゆえに、任意の Y の閉集合 U に対して f^-1(U) は X の閉集合であるが、X≠A であるから、命題は偽。
0411１３２人目の素数さん
2015/11/15(日) 14:33:41.83ID:bkoysFnn申し訳ない。一価の写像fを f：A→Y と書くと、定義上は Dom(f)＝A になる。
同様に一価の写像 f：X→Y についても、Dom(f)＝X になる。
だから、論理的には一般に X＝A が導ける。恥ずかしくて聞くのもなんだけど、
>>408の証明のどこが間違いか分からないので、間違いの箇所を指摘して頂けます？
0412１３２人目の素数さん
2015/11/15(日) 14:43:07.96ID:wrmMx9Jf「f:R → Y を一価の写像、
同様に f:C → Y を一価の写像」
と記述するだけで、論理的には R=C が導かれるとでもいうんですか？
0413１３２人目の素数さん
2015/11/15(日) 14:51:06.33ID:bkoysFnnあ、具体例(ここでは距離空間)を無視し過ぎた結果、
生じた間違いだったんですね。どうも指摘ありがとうございます。
0414１３２人目の素数さん
2015/11/16(月) 00:12:35.66ID:h519nNxP具体例を一切考えずに抽象的にやったって、
こんな間違いは出てこないだろ。
今まで一体なにを勉強してきたんだ？
やることなすこと全て間違い。名誉挽回どころか、恥の上塗りじゃねーか。
その間違え方にしても、「初学者が陥りがちな、よくある勘違い」ではなく、
極めて質の悪い間違え方で、まるで人工知能が意味を理解せずに
機械的に生成したかのような、ありえない間違え方のオンパレード。
なんで誤答おじさんはいつもこうなんだ？
0415１３２人目の素数さん
2015/11/16(月) 05:52:40.84ID:ndck2vlW>具体例を一切考えずに抽象的にやったって、
>こんな間違いは出てこないだろ。
そういう意味で書いたのではない。>>408を書くにあたり、はじめは、位相空間の連続性の定義のあたりで
一般的で抽象的にいえる何か新しく面白いことを編み出そうと考えたのだが、それが出来ず失敗だったのだ。
>>406
では、取り敢えず、単純にこんなお品書きでどうです？
[命題]：距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
但し、距離関数dはユークリッド距離とする。
証明]：ε＞0を任意に取る。A(ε)＝(-ε/2,ε/2) とおく。以下、A(ε)をAで略記する。すると、
Aは距離空間Rの部分空間である。xを区間A上の変数とする。A⊂Rから(R,d)への写像f_εを
(f_ε)(0)＝0、 (f_ε)(x)＝tan(1/x)・(πε)/4) x∈A－{0} と定義する。
以下、f_εをfで略記する。すると、開区間(-ε/2,0)でfは単調増加な連続関数になる。
ここで、x→-ε/2 とすると、f(x)→-∞ であり、x→-0 とすると、f(x)→-0 である。従って、
f(0)＝0 から、左半開区間(-ε/2,0]でfは連続写像である。同様に、開区間(0,ε/2)で
fは単調増加な連続関数になる。ここで、x→ε/2 とすると、f(x)→+∞ であり、x→+0 とすると、
f(x)→+0 である。従って、f(0)＝0 から、右半開区間[0,ε/2)でfは連続写像である。
従って、fは区間A上で連続写像である。つまり、f_ε：A(ε)→R は連続写像である。
ε＞0は任意だから、εを開区間(0,+∞)上で走らせると、任意の ε＞0 に対して、
A(ε)＝(-ε/2,ε/2) とおき、
(f_ε)(0)＝0, (f_ε)(x)＝tan(1/x)・(πε)/4) x∈A(ε)－{0} と定義した写像
f_ε：A(ε)→R は連続である。相異なるε_1、ε_2＞0を任意に取り、各i＝1,2に対して、
A(ε_i)、f_{ε_i} を、それぞれ上と同様に定義すると、2つの連続写像
f_{ε_1}：A(ε_1)→R、f_{ε_2}：A(ε_2)→Rの各グラフは異なるから、f_{ε_1}≠f_{ε_2}。
従って、距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rは非可算個存在する。
0416１３２人目の素数さん
2015/11/16(月) 06:17:14.68ID:ndck2vlW>>415の2つの
>(f_ε)(x)＝tan(1/x)・(πε)/4)
は「(f_ε)(x)＝tan((1/x)・(πε)/4)」です。「(」が1つ足りませんでした。あと、
>[命題]：距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
は
>[命題]：距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが「、」非可算個存在する。
と句読点「、」を付けて区切ると意味が通じ易くなると思いますね。
命題の文のどこに「、」を付けて区切るかで意味が異なる書き方になったので。
0417１３２人目の素数さん
2015/11/17(火) 20:04:25.62ID:5y06QjV9まずは自分の書いた命題を自分自身で理解しろ。
証明を書いたらまずはその結論を見直せ。
自分はこの証明でいったい何を示したのか。
0418１３２人目の素数さん
2015/11/18(水) 03:32:13.72ID:2R/754aF415について訂正した後の>>416の2つの「(f_ε)(x)＝tan((1/x)・(πε)/4)」は間違っており、
本当は「(f_ε)(x)＝tan(x・(π/ε))」と訂正するのが正しい。そう訂正すれば、概ね415は通用する。
お互い様かも知れんが、もしこの訂正が出来なかったなら
>まずは自分の書いた命題を自分自身で理解しろ。
という読んで眠くなるようなツッコミはいらん。この場合の連続写像 f：A→R は関数にあたり、
415で証明したつもりの命題自体は明らかで非常に下らん。だが、何らかの条件を付け加えると、
面白い命題を証明出来る手法になる筈である。紙に書いておらず、そのあたりの真偽は正確にはまだ分からん。
直観的には「tan(x)」は、高校レベルの関数のグラフの傾きで、415で「tan(1/x)・(πε)/4) x∈A－{0}」と
定義した関数f(x)自体については、f(x)はx→+0のときf(x)→+0で、正負の符号を入れ替ても正しくなるだろうな。
正負の符号が入れ替わる点のx座標は x＝0 だしな。そのあたりについても、真偽判定がもし出来るなら、その判定は不要。
ちなみに、415の論法を使えば、区間[0,1)の濃度が連続体濃度cに等しくなることは示せるな。
0419１３２人目の素数さん
2015/11/18(水) 04:35:26.52ID:pd/NU2mx逆像になるか？
0420１３２人目の素数さん
2015/11/18(水) 20:28:20.04ID:FVRAue9U0421１３２人目の素数さん
2015/11/18(水) 20:49:25.35ID:CbyMgyfgお前本当に反省しないな。
tanの中身がどうのこうの、そんな瑣末なことはどうでもいいんだよ。
0422１３２人目の素数さん
2015/11/19(木) 04:32:04.57ID:SBGHEmO+結論の趣旨にあたる部分は
>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への、全単射であるような単調増加な
>連続関数f：A→Rの全体からなる空間と開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する ことだろ。
お小言いわれる程意識していない訳ないだろ。連続関数は連続写像で、
(0,+∞)は非可算なんだから、これを示したことから直ちにといっていい位に例の
>[命題]：距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが、非可算個存在する。
が従うじゃないか。これに何か文句あんのか。>>406には
>但し
>・X の部分集合 A についての命題であることは変えてはならない。
>・修正が小さいほど（出題者の主観で判断する）良い解答とする。
と書いてあるんだぞ。
0423１３２人目の素数さん
2015/11/19(木) 05:40:00.25ID:SBGHEmO+>>422の
＞結論の趣旨にあたる部分は
＞>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への、全単射であるような単調増加な
＞>連続関数f：A→Rの全体からなる空間と開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する ことだろ。
については
＞結論の趣旨にあたる部分は
＞>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への、全単射であるような単調増加な
＞>連続関数f：A→Rの全体からなるような或る空間Sが存在して、
＞Sと開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する ことだろ。
に訂正な。全単射にするにはそうすべきだ。どこに重点をおいて捉えるかは人により
異なるから、同じ文章でも、人により結論の捉え方も異なるとしかいいようがない。
国語のテストの答えは、必ずしも全員が全員同じ答えになって一致する訳ではないだろ。
0424１３２人目の素数さん
2015/11/19(木) 05:49:21.07ID:SBGHEmO+>>422の
>全単射であるような単調増加な連続関数f：A→Rの全体からなるような或る空間Sが存在して、
の部分は
>全単射となる単調増加な連続関数f：A→Rを点全体に持つような或る空間Sが存在して、
か。これは国語として少しおかしかったな。
0425１３２人目の素数さん
2015/11/19(木) 06:06:29.44ID:SBGHEmO+＞結論の趣旨にあたる部分は
＞>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への、全単射となる
＞>単調増加な連続関数f：A→Rを点全体に持つような或る空間Sが存在して、
＞>Sと開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する こと
はより一般化して単純に
＞結論の趣旨にあたる部分は
＞>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続関数f：A→Rを
＞>点全体に持つような或る空間Sが存在して、
＞>Sと開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する こと
とした方がいいか。こういうことも人により分野により、結論の与え方は
異なるとしかいいようがない。こんなことに正解なんてない。
正解があると思う方が大間違いだ。
0426１３２人目の素数さん
2015/11/19(木) 13:32:52.57ID:l13bSWxv0427１３２人目の素数さん
2015/11/19(木) 15:11:53.69ID:SBGHEmO+空間X≠Φの位相をO_Xとする。空間XがXの或る部分空間Aに引き起こす位相をO_Aとする。
空間Y≠Φの位相をO_Yとする。2つの位相空間(X,O_X)、(Y,O_Y)に対して、Xを定義域とする
一価の写像f:X→Yが連続なることを、任意のYの閉集合U∈O_Yに対してf^{-1}(U)∈O_Xが
Xの閉集合なることと定義する。
この定義の下で、f：X→Yを連続写像とする。
このとき、fの定義域Xとfの値域Im(f)はどちらも形を変えないことを示す。
[第１段](空間Xの或る部分空間Aが存在して、f：A→Yは連続なること)：空間Yの閉集合B∈O_Yを
任意に取る。すると、Y－B∈O_Y は空間Yの開集合だから、仮定から、空間Yの開集合Y－Bの、
f：X→Y による逆像f^{-1}(Y－B)は空間Xの開集合である。つまり、f^{-1}(Y－B)∈O_X は
Xの開集合である。仮定から、fはXからYへの一価の写像で定義域が Dom(f)＝X なる関数だから、
B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝X－f^{-1}(B)。よって、X－f^{-1}(B)∈O_X はXの開集合であり、
f^{-1}(B)∈O_X はXの閉集合である。Yの閉集合Bは任意だから、BをO_Y上で閉集合なるように
走らせれば、空間Yの任意の閉集合B∈O_Yに対して f^{-1}(B)∈O_X は空間Xの閉集合である。
従って、f:X→Yは、連続性の定義の条件を満たし、連続である。空間XはX自身の部分空間だから、
A＝Xとおけば、A⊂Xであり、f:A→Yは連続となる。
0428１３２人目の素数さん
2015/11/19(木) 15:13:05.68ID:SBGHEmO+[第２段](位相空間(X,O_X)の任意の部分位相空間(A,O_A)に対して、
f：A→Yが連続なるとき空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)は空間Aの開集合なること)：
位相空間(X,O_X)の部分位相空間(A,O_A)を任意に取る。空間Yの開集合B∈O_Yを任意に取る。
すると、Y－B∈O_Y は空間Yの閉集合で、仮定からf：A→Yは連続だから、連続性の定義から、
f^{-1}(Y－B)∈O_A はXの部分空間Aの閉集合である。fはAからYへの一価の写像で定義域が
Dom(f)＝A なる関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝A－f^{-1}(B)。よって、
A－f^{-1}(B)∈O_AはAの閉集合であり、f^{-1}(B)∈O_A はAの開集合である。Yの開集合Bは
任意だから、BをO_Y上で開集合なるように走らせれば、空間Yの任意の開集合Bの、fによる
逆像f^{-1}(B)はXの部分位相空間A⊂Xの開集合である。Xの部分位相空間Aは任意だから、
AをXの中で走らせればよい。
[第３段](空間Xの如何なる真部分空間Aに対しても、f：A→Yが連続なることはあり得ないこと)：
或るXの真部分集合Aが存在して、f：A→Yが連続なることがあったとする。すると、f：A→Yが
連続なるための必要十分は空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Aの開集合なること
である。従って、空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)は空間Aの開集合である。同様に、
f：X→Yが連続なるための必要十分は空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Xの
開集合なることである。仮定から、f：X→Yは連続写像だから、確かに空間Yの任意の開集合Bの
逆像f^{-1}(B)は空間Xの開集合となる。従って、空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)は、
空間Xの開集合であって空間Aの開集合でもある。しかし、AはXの真部分集合だから、
これはあり得ず矛盾する。
0429１３２人目の素数さん
2015/11/19(木) 15:16:48.90ID:SBGHEmO+[第４段](fの定義域とfの値域はどちらも形を変えないこと)：Xの如何なる真部分集合Aを
取ろうとも、f：A→Yが連続なることはないから、連続写像f：X→Yが存在するとき、
fはf：X→Yであり、かつf：X→Yに限る。従って、f：X→Yについて、Dom(f)＝X、Im(f) は
どちらも形を変えない。
0430１３２人目の素数さん
2015/11/19(木) 15:24:32.50ID:A0y/VA5V>>Xの如何なる真部分集合Aを取ろうとも、f：A→Yが連続なることはないから
これは正しく無い。
Aが空集合の場合を忘れている。
0431１３２人目の素数さん
2015/11/19(木) 15:54:13.52ID:SBGHEmO+>この定義の下で、f：X→Yを連続写像とする。X≠Φとする。
>このとき、fの定義域Xとfの値域Im(f)はどちらも形を変えないことを示す。
では、>>429の第４段は
>[第４段](fの定義域とfの値域はどちらも形を変えないこと)＝F仮定からX≠Φであり、
>Xの如何なる空でない真部分集合Aを取ろうとも、f：A→Yが連続なることはないから、
>連続写像f：X→Yが存在するとき、fはf：X→Yであり、かつf：X→Yに限る。従って、
>f：X→Yについて、Dom(f)＝X、Im(f) はどちらも形を変えない。
に訂正。
0432１３２人目の素数さん
2015/11/19(木) 15:57:04.82ID:SBGHEmO+「では」、>>429の第４段は→「で」、>>429の第４段は
0433１３２人目の素数さん
2015/11/19(木) 21:49:16.60ID:DL9GgIGV415の証明は1行目からトチ狂ってるんだが。
命題にはお前の好き勝手にAを取っていいと書いてあるのか？
> 距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
その独りよがりな解釈に基づいた証明も冗長かつ迂遠でセンスなし。
ただ証明を読む者に
『どうしてそうなった！？』
『何を考えてるんだお前は！』
と驚きを与える意味で価値はあるｗ
"おじさんの誤答集"として本でも出したらどうだ。
0434１３２人目の素数さん
2015/11/20(金) 03:13:20.86ID:BQQ4a9KQ＞命題にはお前の好き勝手にAを取っていいと書いてあるのか？
＞> 距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
＞その独りよがりな解釈
坊や、そもそも、
>[命題]：距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
はな、はじめの「距離空間(R,d)の部分空間A⊂R」の部分を「距離空間(R,d)の「任意の」部分空間A⊂R」と
して解釈するか、「距離空間(R,d)の「或る」部分空間A⊂R」として解釈するかで異なる命題になる。
従って、そもそもが、2通りの解釈が出来る命題になっているのだ。話は上の命題のことに戻り、
距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rを任意に取ると連続写像f：A→Rは一意に決まる。例え上の命題を
>距離空間(R,d)の「任意の」部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが、非可算個存在する。
として解釈しても、Rの部分空間A≠Φの取り方は、直線R上の(任意の)区間など、非可算個存在する。
だから、連続写像f：A→Rも非可算個存在することになる。これは自明なことである。従って、
上のように解釈すると、わざわざ、ご丁寧に考えるまでもない命題になるのだ。従って、上の命題は、
>距離空間(R,d)の「或る」部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが、非可算個存在する。
として解釈するのが、証明をする上で妥当な解釈になる。このように解釈すると、
具体的に構成する証明法が出来るようになる。当然、好き勝手にAを取れるようになるのだ。
この脳ミソからすると、もしかしたら、スレ主か？
何かお受験の雰囲気が漂う文章の書き方だな。スレ主でないとすると、他に考えられる人物は2人か。
0435１３２人目の素数さん
2015/11/20(金) 04:18:08.74ID:BQQ4a9KQ>>434の
>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rを任意に取ると連続写像f：A→Rは一意に決まる。
は間違いで、正しくは
>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rを任意に取ると、或る連続写像f_A：A→Rを構成出来る。
>任意の部分空間A⊂Rに対して1つ以上の連続写像f_A：A→Rを対応付けるような、
>Rのベキ集合から連続写像f_A：A→R (A⊂R)全体の空間への多価写像が存在する。
な。こういうように、「距離空間(R,d)の任意の部分空間A⊂R」として解釈すると、
命題が成り立つことは、直観ですぐ分かるだろ。
0436１３２人目の素数さん
2015/11/20(金) 04:48:59.40ID:BQQ4a9KQ＞>任意の部分空間A⊂Rに対して1つ以上の連続写像f_A：A→Rを対応付けるような、
はいい過ぎた。AがRの任意のただ1点aからなる空間{a}に等しかったりするとダメだな。
＞>部分空間A⊂Rに対して1つ以上の連続写像f_A：A→Rを対応付けるような、
に訂正。
だけど、「センス」とかいう言葉を使うあたりは、正にお受験数学の感覚なんだよな。
0437１３２人目の素数さん
2015/11/20(金) 05:28:25.69ID:xmQoMmsV0438１３２人目の素数さん
2015/11/20(金) 06:28:56.10ID:BQQ4a9KQ多価「写像」だから「任意の」を付けたままで問題ないわ。従って、>>436は取り消し。
多価「の対応」と多価「写像」とを混同させてしまった。
>>437
今井が何なのか知らんけど、今井って誰？
空間A⊂Rのただ1点x∈Aで一価の写像f：A→Rが連続なとき、
f：A→Rも連続写像になっているから、論理的には正しくても、A＝{x}として、
ただ1点x∈Aで一価の写像f：{x}→Rが連続、とはいわないな。幾何学的には、
こんな写像を考えて連続といっても何の意味もない。1点a∈Rで定義される
関数f：R→Rに対しf(x)が1点 x＝a で連続なることをε-δで証明するのと殆ど同じだ。
1点a∈Rで定義される関数f：R→Rが1点 x＝a で連続とかいうことを意識した記憶はない。
0439１３２人目の素数さん
2015/11/20(金) 06:50:44.87ID:6PzVzY9vおまえは位相が分かっていない
これは現代数学を語る資格が無いことを意味する
0440１３２人目の素数さん
2015/11/20(金) 07:14:36.65ID:BQQ4a9KQただ1点x∈Aで定義された一価の写像f：{x}→Rを、
意味がある連続写像として扱うことってあるのか？
むしろ意味があるのは、R＼{x}を定義域とする連続写像f：R＼{x}→Rの方だろう。
もし、連続写像f：{x}→Rが意味を持つなら、一体いつ意味を持つんだ？
0441１３２人目の素数さん
2015/11/20(金) 07:47:01.56ID:BQQ4a9KQ考えるときに、あ～見えてもただ1点からなる空間を
定義域とする連続写像が意味を持つようになるのか。
0442１３２人目の素数さん
2015/11/20(金) 07:49:36.83ID:BQQ4a9KQ>>440は、自己解決した。
0443１３２人目の素数さん
2015/11/20(金) 13:02:46.78ID:BQQ4a9KQ上のように、位相で間違いをよくしたのも納得出来るでしょう。
後から困るので、そこは自白しておきます ｍ＿ｍ
一応、注意しておく。
絵文字を使っているけど、あ～見えても私はスレ主ではない。
絵文字の書き方は、スレ主の打ち方から学習した。絵文字は、はじめて使った。
0444１３２人目の素数さん
2015/11/20(金) 13:16:05.10ID:BQQ4a9KQm（＿ ＿）m と ｍ＿ｍ は似ているけど、微妙に違うな。
今回の ｍ＿ｍ だと、手は大きく顔が小さく見えるのか。なるほど。
絵文字書きが、少し失敗したかな。どちらがよいかは微妙だ。
0445１３２人目の素数さん
2015/11/20(金) 18:47:27.13ID:F69Hf9Qc0446１３２人目の素数さん
2015/11/20(金) 21:04:03.44ID:PY8lQ5uf『任意の空でない部分空間をAとする。写像fをf(A)=t (tは任意の実数）で定めればよい。』
で終わりかな？間違っていれば指摘してくれ。
Aが空集合のときの写像の扱いは詳しくないので除外させてもらった。
おっさんの証明：
(1) Aを勝手に開区間に取る。
(2) 全単射にこだわってtanを持ち出す。
(3) {A,f:A->R}の"組"が非加算あることを示す。
0447１３２人目の素数さん
2015/11/20(金) 21:21:02.78ID:PY8lQ5ufすまん→非可算
0448現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/20(金) 22:30:24.07ID:fVDQCm9yおっちゃん、ご活躍お疲れです
読みにくい証明をフォローしてくれたメンターさま、お疲れです
0449１３２人目の素数さん
2015/11/20(金) 23:09:30.70ID:WPZ+xjsnhttp://nhk.2ch.net/test/read.cgi/liveetv/1448009976/
0450現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/20(金) 23:29:51.49ID:fVDQCm9yどうも。スレ主です。
[第３段](Sが零集合になると矛盾が生じる)?
「fの定義域R'は非可算な零集合だから、(+∞)・0＝0 なることに着目すると、
m({f(x)})＝0 を得る。従って、y＝f(x) から m({y})＝0。Rの点yは任意だから、yをR上で走らせると、Rは非可算な
零集合である。しかし、これは直線Rが、完備であって、零集合ではないことに反し、矛盾する。」？
これは正しいのか？
「Sは非可算な零集合である」→「Rは非可算な零集合である」→矛盾
と読める。つまり、「非可算な零集合は存在しない」？と読める
なぜなら、超越基底という性質をほとんど使っていないから
0451現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/20(金) 23:31:45.71ID:fVDQCm9yこれ、どうよ？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88
カントール集合
カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である[16]。
0452現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 00:02:02.70ID:hTfxcEIPつーか、なんで証明せなあかんの？
0453現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 00:13:10.46ID:hTfxcEIP>正解が出ちゃったよ。(>>404)
？ これ正解なんかね？
>Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する。
って、これ、部分集合Aを台と考えているんだろうね。が明記されていない
要するに、閉区間[-1, 1]の外で、なおf(x)=xが成り立っていれば、反例にはならないだろう？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%B0_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
数学における、ある函数の台（だい、英: support）とは、その函数の値が 0 とならない点からなる集合、あるいはそのような集合の閉包のことを言う[1]。この概念は、解析学において特に幅広く用いられている。
定義
与えられた集合 X（多くの場合は実数直線 R）に値をとる函数 f が、Y(⊂ X) に台を持つ (supported in) とは、その函数 f が Y の外側 X ? Y で常に消えていることを言う。
0454現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 00:21:13.00ID:hTfxcEIP「命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．」
に、対して >>331で出た定理
”距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．”
を前提とすれば、冒頭の命題は、上の定理を変形して「部分集合 A⊂X 」「写像f : A → Y」としただけにすぎない
ならば、「部分集合 A⊂X 」「写像f : A → Y」の部分がくさいわけであり、おかしいと気付く
0455１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 00:38:51.05ID:hbEJY3K60456１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 00:39:52.61ID:756rylpT定義域の意味分かってる？
> Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する。
このとき、Yの要素2の逆像を答えてみな。
0457現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 00:46:17.37ID:hTfxcEIP私スレ主が考えた反例は、下記床関数
Aとして、半開区間[0, 1)を考える。Aで、連続だが、実数全体では、例えば、0, 1では不連続
だから、>>454の定理を認めれば、例えばx=0で、”任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となる”ようにはできない
∵もし、逆に当初の命題が成り立つなら、下記床関数は、x=0で連続となってしまう。
また、実際にY の開集合U=(-1/2,1/2)という開区間を取れば、x=0では、”f^-1(U) がX の開集合となる”ようにはできない
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%8A%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8%E5%A4%A9%E4%BA%95%E9%96%A2%E6%95%B0
床関数（ゆかかんすう）と天井関数（てんじょうかんすう）は、任意の実数に対し整数を対応付ける関数である。
0458現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 01:00:26.84ID:hTfxcEIPなので、要は、定理
”距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．”
で、中途半端に、部分集合 A⊂X なんてしたからまずいわけ
まあ、普通の関数で考えて、y=f(x)で、ある定義域の区間Aの連続を言いたいなら、その像Bを考えて、定理を定義域Aとその像Bに書き換えれば良いってことだろう
とすると、改良版は
「命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → B⊂Y が連続であるための必要十分条件は，任意のBの開集合U に対してf^-1(U) がA の開集合となることである．」とでもしとけば良いんじゃない？
もっとも、これは、定理の距離空間(X, dX) 、(Y, dY ) を、A、Bに読み変えたにすぎないのだ
で、>>386に戻る
0459１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 01:01:31.74ID:2otWvQ4eこれは酷い
0460１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 01:17:15.74ID:756rylpTその反例は間違っていない。
だが本質はfをどう工夫するかではないんだよ。
AをXの開集合ではないようにとることが肝で、
fはA->Yで連続なら何でも可。定数関数でもよい。
>>453 の書き込みでスレ主の理解度は良く分かった。
>>383 はスレ主さんの理解度を見るための問題だったんだが、
0461１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 01:20:19.00ID:7xkHllqS＞> 距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
＞『任意の空でない部分空間をAとする。写像fをf(A)=t (tは任意の実数）で定めればよい。』
＞で終わりかな？
何も問題はないよ。それを承知の上で、わざと敢えて迂回した。
0462460
2015/11/21(土) 01:23:22.25ID:756rylpT『>>383 はスレ主さんの理解度を見るための問題だったんだが、 』
と書いた383=406はスレ主の理解度が分かって満足しただろう。
と言いたかっただけ。
0463現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 07:22:36.67ID:hTfxcEIP改良版は
「命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X （但しAは開集合）から(Y, dY ) への写像f : A → B⊂Y が連続であるための必要十分条件は，任意のBの開集合U に対してf^-1(U) がA の開集合となることである．」と補正します。
Aが開集合でない場合、境界の点で不連続になったときに、処理がうまく出来ない
要するに、ある点 x0∈Xで連続という判断を、各点で行えば良い
それを、部分集合 A⊂Xで行えば良いだけの話
但し、部分集合 Aが境界を持つ場合、境界上の点については、最初の案では処理がうまく出来ない
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
連続 (数学)
各点連続
連続性は、各点の周りで考えられる概念である。1変数実関数 f(x) がある点 x0 で連続であるとは、x が x0 に限りなく近づくならば、f(x) が f(x0) に限りなく近づくことを言う。
0464１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 07:32:33.41ID:Z8vkGO1/0465１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 07:34:27.47ID:fRAtS4zh0466現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 07:45:38.78ID:hTfxcEIP>[第３段](Sが零集合になると矛盾が生じる)?
１．”Sが零集合”でない、即ちある有限の測度ε＞0を持つとする。逆に、そこから矛盾が導かれないかね？
２．さらに問う。ある有限の測度ε＞0を持つとする。ではそれはいったい、いくらだ？ 具体的数値でなくとも、不等式の評価はできるだろう
３．さらに、実数の超越基底Sの不連続定理が成り立つ。つまり、実数の超越基底Sは、連続する実数の区間を占めることはできない
（証明）超越基底Sが、ある連続する実数の区間[a, b]を占めたとする。しかし、有理数の稠密性から、区間[a, b]内には有理数が存在する。そうすると、その有理数が超越基底になり、超越基底の定義に反する（異なる超越基底S1とS2の間には常に有理数が存在する）
４．だから、実数の超越基底Sは、カントール集合のような、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）の例にならないか？
0467現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 09:11:28.63ID:hTfxcEIP”反例は、下記床関数
Aとして、半開区間[0, 1)を考える。Aで、連続だが、実数全体では、例えば、0, 1では不連続
だから、>>454の定理を認めれば、例えばx=0で、”任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となる”ようにはできない
∵もし、逆に当初の命題が成り立つなら、下記床関数は、x=0で連続となってしまう。”
”∵もし、逆に当初の命題が成り立つなら、下記床関数は、x=0で連続となってしまう。”の部分を、取り消します
説明不足だったし
x=0で、半開区間[0, 1)において、床関数は連続
↓
>>454の命題を認めれば、”任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となる”
↓
”任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となる”ならば、>>454の定理から床関数はx<0も含めて連続になってしまう
と言いたかったんだが・・
床関数は、半連続だが、言葉での的確な説明が難しいから
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E9%80%A3%E7%B6%9A
半連続
与えられた実数xに対し、それ以下の最大の整数を返す床関数f(x)=[ x ]は、全ての(整数)点において上半連続である。
0468１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 09:58:54.24ID:756rylpTもう少し明快に書いてほしい。
スレ主は対偶を示しているわけだな。
命題：あるY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合とならないならば、f：A→Yは連続ではない．
床関数f:X->YはXで不連続なのでf^-1(U)がXの開集合とならないUが存在する。
しかし“fの定義域をAに制限すれば”fは連続なので、上の命題は偽である。
よって元の命題が示せた、というわけだ。
しかし細かいことを言えば、元のf_X:X→Yと定義域を制限したf_A:A→Yは異なる写像だ。
証明の前段と後段で写像をすり替えてしまったので、論理的には証明は不完全かもしれない。
0469468
2015/11/21(土) 10:04:25.83ID:756rylpT> スレ主は対偶を示しているわけだな。
→対偶を考えている
> よって元の命題が示せた、というわけだ。
この文は削除。命題（対偶）を示すんじゃなくて、反例を出しているんだった。すまんね。
0470現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 10:58:44.09ID:hTfxcEIPどうも。スレ主です。
その声は、おっちゃんか～
フォローありがとう
0471現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 11:13:18.13ID:hTfxcEIPここで考えた反例の床関数（ゆかかんすう）と、>>453 「Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する」>>404との差
分かりますか？
床関数（ゆかかんすう）は、ある区間では連続だが、不連続な点を持つ例
一方、f(x)=xは、至るところ（解析接続を考えれば複素平面全体で）連続な例
ところで、ある区間Aを考える。ある区間Aの内点だけを考えた場合では、両者に差はない
が、>>457のように、床関数のA＝半開区間[0, 1)における境界x=0での半連続は、本質的な反例になっているだろうと
0472１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 11:16:06.30ID:756rylpT>>468-469 はおっちゃんではない。
口調と訂正が多いあたり確かにおっちゃんに似ていたかもしれないｗ
0473現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 11:20:56.02ID:hTfxcEIP突然ですが
http://blue.ap.teacup.com/qmss/2638.html
2012/3/3 ε・δ論法と算術化： 大学数学はなぜむつかしく感じるのか？
（抜粋）
大学の数学において、ほぼすべての1回生がドギマギしてしまうのはε・N, ε・δ論法ではないでしょうか。なぜそんなにも難しく感じるのでしょうか。本稿では実際にこの論法を御紹介をしながら、大学1回生におなりになったつもりで学生がとまどう理由を御一緒に考えてみたいと思います。
今回はε・Ｎ論法、次回、ε・δ論法を取り扱います。
http://blue.ap.teacup.com/qmss/2648.html
2012/3/21 ε・δ論法 －関数の極限と連続性－
（抜粋）
さて、今回は、関数の極限と連続性について、ε・δ論法による証明法であります。
（中略）
ε・Ｎ論法とε・δ論法。どちらも大学の数学でどうしても壁となって立ちはだかる部分でございます。
ここの部分を丁寧に理解ができないために、多くの、実に多くの自然科学系の学生の皆様が、受験数学に対する世界でも冠たる実力を有し、そのままの勢いであれば、本当に世界的な研究業績を次々にお上げになってもおかしくはないところなのでございますが、
総崩れとまでは申上げませんが、多くの学生が失速をしてゆく現実はいかんともしがたいところであるようです。
がんばれニッポン、と言う掛け声とともに、がんばれ自然科学系という声援も送ってあげたいところでございます。 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:87f20c3c9ee883ab649a4d7f8b996d63)
0474１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 11:22:32.46ID:756rylpT言いたいことはわかる。スレ主が何を勘違いしているかも分かっている。
写像の定義域の理解が曖昧ということに尽きる。
0475現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 11:22:54.80ID:hTfxcEIPどうも。スレ主です。
それは失礼しました
0476１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 11:36:37.63ID:7xkHllqSかなりムダは省いたつもり。読み易さや分かり易さは保証しない。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の大小の順序
関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合をR'とする。R'⊂R は非可算
故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。
[第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。 X＝{x} (x∈R') とする。
と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、
m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。
R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。従って、m(X)＝m({x})＝0。R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。
[第３段](Sが零集合だと矛盾)：card(R)＝card(S)＝c から、RからSへの全単射がある。R、Sは、実数の大小で全順序故、単調減少関数
g：R→Sがある。f：R'→R は単調増加関数故、関数 f^{-1}：R→R' は単調減少。g＝f^{-1}とおく。g○f＝I_{R'} はI_Sで、R'＝S。
関数 f：R'→R は単調増加故、f：S→R は単調増加。f：S→RのグラフGは、G＝{(x,f(x))∈R^2|x∈S}。Y＝{y} (y∈R) とする。
yに対し或る点x∈Sが一意に存在し、y＝f(x)、(x,y)∈G。a＝(x,y) とする。Y⊂[y-ε,y+ε)(∀ε＞0)。定義から、同様に、
m(Y)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、Y⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(Y)≦+∞。
Dom(f)＝S は非可算零集合故、m(Y)＝m({y})＝m({f(x)})＝0。Rの点yは任意故、Rは零集合。これはRが零集合でないことに反し矛盾。
0477現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 11:43:29.43ID:hTfxcEIP>ε・Ｎ論法とε・δ論法。どちらも大学の数学でどうしても壁となって立ちはだかる部分でございます。
>ここの部分を丁寧に理解ができないために、多くの、実に多くの自然科学系の学生の皆様が、受験数学に対する世界でも冠たる実力を有し、そのままの勢いであれば、本当に世界的な研究業績を次々にお上げになってもおかしくはないところなのでございますが、
>総崩れとまでは申上げませんが、多くの学生が失速をしてゆく現実はいかんともしがたいところであるようです。
>>345に戻る”つまり、田丸 博士先生がここで言いたかったこと
最初の段階では、関数f : R → R の連続性所謂「δ－ε 論法」で定義された
↓
次の段階：距離空間から距離空間への写像f : X → Y の連続性も, 実数の場合と同様の考えの下に（ε近傍を用いて）定義された.
↓
現代位相空間（学部レベル）：「開集合」という概念を導入することにより, 連続性の概念は簡潔な形で定義されるようになった
という進化！。田丸 博士先生は、これを言いたかったんだろうと>>342”
要するに、ε・δ論法 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95
が、厳密な議論に基づいて微分積分学を再構築したと。ワイエルシュトラスの時代（１９世紀）
が、その後さらに、”「開集合」という概念を導入することにより, 連続性の概念は簡潔な形で定義されるようになった”というのが現代（２１世紀）
「開集合」による定義で、連続性の概念は、直感的な理解を少し回復したんだ
現代から見ると、ε・δ論法はユークリッド距離空間で、級数展開や具体的な関数計算で、使い易い形に整備された道具という見方もできるだろう
ε・δ論法で躓いた人は、さらに先に進んで、ε近傍→「開集合」の高みから、ε・δ論法を振り返ってみてはどうだろうかと思う今日この頃
0478１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 11:57:07.58ID:2otWvQ4e0479１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 12:18:49.59ID:37vYGmnISが超越基底であることを全く使っていない。
Sが非可算零集合であればいつでも矛盾が起きることになる。
しかし、非可算零集合は存在する(カントール集合)。
よって、その証明は間違い。
これはスレ主が指摘していたことそのもの。
誤答おじさんはスレ主より遥かに劣っている。
スレ主の方が遥かにマトモ。
誤答おじさんの数学的営みには「意味」の概念が著しく欠如している。
人工知能が意味を全く理解せずに機械的に文章を生成しているのと変わらない。
スレ主の方が遥かに「意味」を理解している。
もう数学やめろ。誤答おじさんに数学は無理。
0480現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 12:21:33.72ID:hTfxcEIPどうも。スレ主です。
おっちゃん、お疲れです
>>451 の
”カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である”も読んでくれた？
で、おっちゃんの証明で、超越基底→カントール集合の置き換えをすると
実数体Rのカントール集合をSとする。Sは零集合とする。すると、card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の大小の順序
関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合をR'とする。R'⊂R は非可算
故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。
[第２段](R'は非可算零集合)：略
[第３段](Sが零集合だと矛盾)：略
Dom(f)＝S は非可算零集合故、m(Y)＝m({y})＝m({f(x)})＝0。Rの点yは任意故、Rは零集合。これはRが零集合でないことに反し矛盾。
これで、カントール集合Sが零集合だとすると、矛盾を導けた。
だから、通説の”カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）”が間違っているか
証明が間違っているかだろう
0482現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 12:40:55.47ID:hTfxcEIP>改良版は
>「命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X （但しAは開集合）から(Y, dY ) への写像f : A → B⊂Y が連続であるための必要十分条件は，任意のBの開集合U に対してf^-1(U) がA の開集合となることである．」と補正します。
>Aが開集合でない場合、境界の点で不連続になったときに、処理がうまく出来ない
>要するに、ある点 x0∈Xで連続という判断を、各点で行えば良い
>それを、部分集合 A⊂Xで行えば良いだけの話
ある部分集合 A⊂X （Aは開集合に限らない）で、連続か不連続かを、知りたいというニーズはあるだろう （y=f(x)が実数全体で定義されているが、不連続でない部分があるとして、ある区間A[a, b]で連続かどうか知りたいとか）
綺麗に使い易く判定できる命題の形が導ければ、それはそれで意味があるだろう
残念ながら、”綺麗に使い易く判定できる命題の形”を思いつくことができなかったので、開集合限定とした（＾＾；
0483１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 13:17:32.98ID:7xkHllqSメシ食いながら気付いたが、第３段に外測度はいらないな。更に簡略化出来るわ。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の
大小の順序関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合を
R'とする。R'⊂R は非可算故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し
全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。
[第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。X＝{x}
(x∈R') とする。と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、
m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。
R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。m(X)＝m({x})＝0 で、R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。
[第３段](Sが零集合だと矛盾)：card(R)＝card(S)＝c から、RからSへの全単射がある。R、Sは、実数の大小で全順序故、
単調増加関数 g：R→S がある。f：R'→R は単調増加関数故、関数 f^{-1}：R→R' は単調増加で全単射。g＝f^{-1}と
おく。g○f＝I_{R'} はI_Sで、R'＝S。関数 g：R→S は単調増加。従って、S＝R で、有理数は超越数で矛盾。
0484１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 13:24:30.18ID:7xkHllqSお～、今度はきれいに書けた。感動モノだ。
単調増加の逆関数は単調増加だったな。
0485１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 13:28:43.56ID:37vYGmnIきれいに書けたじゃねえよバカもんが。
>>479-480と同じ理由により間違い。どこが感動モノなんだ。
もう数学やめろ。誤答おじさんに数学は無理。
誤答おじさんのこの失態にはスレ主も苦笑するしかあるまい。
このように、誤答おじさんは数学的な「意味」を全く理解していないのだ。
ポンコツな人工知能と変わらん。
0486１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 13:35:02.62ID:7xkHllqSSが超越基底であることは
>従って、S＝R で、有理数は超越数で矛盾。
の部分で使っている筈だが。
0487１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 13:37:57.85ID:37vYGmnISをカントール集合としよう。
誤答おじさんのやり方でS＝Rまでは言えてしまう。
カントール集合はRなのか？違うだろ？このバカもんが。
0488１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 13:59:19.29ID:7xkHllqS>>487
>Sは任意の非可算零集合でもよいから、任意の非可算零集合
>のすべての点は超越数からなることになるが、これはあり得ず矛盾。
としなきゃダメなのか。
0489１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 14:11:41.52ID:37vYGmnI何が言いたいんだ？
そんな修正をしたら、非可算零集合は存在しないことになってしまうぞ？
でもカントール集合があるから、証明のどこかが間違っている。
堂々巡り。同じことの繰り返し。いい加減にしろ。
もういいから本当に数学やめろ。誤答おじさんに数学は無理なんだよ。
スレ主よ、これが誤答おじさんだ。
0490現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 14:13:15.50ID:hTfxcEIPどうも。スレ主です。
おっちゃんな～
おれとか、ID:37vYGmnI さんが、言っていることは、証明が根本から間違っているってことと・・・
おれが言いたいのは、立論が間違っているってこと
>>466に根拠は書いたが、証明すべきは「実数の超越基底Sは、カントール集合のような、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）の例になる」ってことだろう
この逆（間違った立論）を無理矢理証明しようとするから、間違った証明になっていると思うよ
0491現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 14:14:20.98ID:hTfxcEIPどうも。スレ主です。
フォローありがとうございます！（＾＾
0492現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 14:27:13.17ID:hTfxcEIPε-δ論法は、私も学生時代には齧り付いたけどね
ノンスタンダードとか演算子法とかを知って、「ε-δ論法なしでも微積はできるじゃん」と思ったし
その後、数学科じゃないから、気楽に流した
けど、数学科はそうは行かないのかも（下記でもご参考に）
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/1400683.html （これ前にも引用したと思う）
ε-δ論法について 質問者：rockman9 質問日時：2005/05/21 11:29
（抜粋）
大学１年です。題名通りですが微分積分学に出てくるこの論法が全く理解できません。教授に聞いても教科書に書いてあることをそのまま説明するしかしないので、その教科書を読んでも理解できないのですから全く意味が無いです。いきなり分けのわからない変数が２つも出てきますし...
どなたか教科書に出てるような抽象的なものよりも理解しやすい説明がありましたら（独自の説明で構いません！）教えてください！お願いします。
また理解しても問題が解けなければならないので、例題として１問だけ載せてみます。説明の際に利用できるようでしたら是非使ってください！
http://kazuschool.blog94.fc2.com/blog-entry-414.html
受験数学かずスクール 京大理学部で数学をやった管理人が中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。
【2010/02/16 03:21】
（抜粋）
極限の定義、ε-δ論法は否定を考えてみるとわかりやすい
今回は極限の定義で大学の専門書とかで使われるε-δ論法について説明したいと思います。
それは高校1年生からのある一通のメールから始まった
「教科書で限りなく近づくが曖昧です。
ε-δ論法がありました。
よろしくお願いします。」
大学生でもε-δ論法わかりにくい言う人多いしな。
簡単にするためまずは数列の極限で説明したいと思います。
0493１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 14:33:39.66ID:7xkHllqS実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の
大小の順序関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合を
R'とする。R'⊂R は非可算故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し
全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。
[第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。X＝{x}
(x∈R') とする。と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、
m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。
R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。m(X)＝m({x})＝0 で、R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。
[第３段](Sが零集合だと矛盾)：card(R)＝card(S)＝c から、RからSへの全単射がある。R、Sは、実数の大小で全順序故、
単調増加関数 g：R→S がある。f：R'→R は単調増加関数故、関数 f^{-1}：R→R' は単調増加で全単射。g＝f^{-1}と
おく。g○f＝I_{R'} はI_Sで、R'＝S。従って、埋め込みの操作後にSは形を変えないことになる。Sは任意の非可算
零集合でよいから、RのQ上の超越基底Sは一意に決まる。しかし、これはあり得ず矛盾。
みたいです。
0494１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 15:07:49.77ID:37vYGmnIS⊂[0,1]をカントール集合とする。Sは非可算零集合である。
このSに対して、第１段までは適用可能であり、そこで作ったR' は非有界である。
このあと、第２段も適用可能である。さらに、第３段も途中までは適用可能であり、
そこでR'＝Sとなる。Sは有界だがR' は非有界だから矛盾する。
よって、カントール集合は存在しない。
よって、誤答おじさんの証明は間違い。
数学やめろ。誤答おじさんに数学は無理。
0495１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 15:27:47.86ID:7xkHllqS信じられんが、私の予想が間違っていたようだ。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sは零集合。
証明]：card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の
大小の順序関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合を
R'とする。R'⊂R は非可算故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し
全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。
[第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。X＝{x}
(x∈R') とする。と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、
m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。
R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。m(X)＝m({x})＝0 で、R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。
[第３段](Sは零集合)：card(R)＝card(S)＝c から、RからSへの全単射がある。R、Sは、実数の大小で全順序故、
単調増加関数 g：R→S がある。f：R'→R は単調増加関数故、関数 f^{-1}：R→R' は単調増加で全単射。g＝f^{-1}と
おく。g○f＝I_{R'} はI_Sで、R'＝S。従って、Sは非可算零集合。
こっちが正しいみたいだ。
0496１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 15:31:23.10ID:7xkHllqSあ、>>495の
>card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
は単純に
>Sは非可算集合。
に訂正。
0497１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 15:32:21.14ID:37vYGmnIどちらにせよ、その証明は間違い。
S⊂[0,1]をカントール集合とする。Sは非可算零集合である。
このSに対して、第１段までは適用可能であり、そこで作ったR' は非有界である。
このあと、第２段も適用可能である。さらに、第３段も途中までは適用可能であり、
そこでR'＝Sとなる。Sは有界だがR' は非有界だから矛盾する。
よって、カントール集合は存在しない。
よって、誤答おじさんの証明は間違い。
数学やめろ。誤答おじさんに数学は無理。
0498１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 15:35:39.06ID:37vYGmnI人工的に散りばめた時点でSの代数的性質も失われるんだし、何のためのSなんだよ。
実際に非有界かつ無意味なR' が得られて、何の矛盾も出ずに証明に行きづまるだけ。
この方針じゃ何も言えない。ゼロ集合であることも言えないし、ゼロ集合でないことも言えない。
ホントに何も言えない。ただの無意味な操作にすぎない。
自分がやっていることの「数学的意味」を考えろよ。やってることが何もかも無意味なんだよ。
人工知能がパズルのソルバーのごとく総当りして、支離滅裂な方法まで試してる感じ。
その、無数にある支離滅裂な方法の1つを、実際に目の当たりにしている感じ。
そのくらい、やってる内容が無意味。ホントに人工知能と変わらない。
誤答おじさんの数学的営みにはホントに「意味」の概念が欠落してる。
マジで数学やめろ。もう気づけ。誤答おじさんに数学は無理なんだ。
0499１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 15:38:55.61ID:37vYGmnI非可算集合に変更するなら、その変更後の証明により、
「非可算集合はすべてゼロ集合」になってしまうぞ。
何がしたいんだこいつ。
0500１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 15:48:34.30ID:7xkHllqSよく考えたら、第３段は単純に以下の通りだ。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の
大小の順序関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合を
R'とする。R'⊂R は非可算故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し
全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。
[第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。X＝{x}
(x∈R') とする。と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、
m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。
R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。m(X)＝m({x})＝0 で、R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。
[第３段](Sが零集合だと矛盾)：非可算零集合R'から零集合でない非可算集合Rへの単調増加関数fは存在せず矛盾
(∵存在したら、その逆関数 f^{-1}：R→R' は単調増加)。
0501１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 15:54:35.01ID:37vYGmnISがカントール集合でも同じ矛盾が出て、カントール集合は存在しないことになる。
よって、その証明は間違い。
>>498に書いたとおり、誤答おじさんのその方針は最初から無意味なので、
どんなに弄り倒しても何も出てこない。
一体なんなんだこいつは。
0502１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 16:02:52.39ID:B11xvmN/連続濃度なことまで言えるんか
0503１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 16:06:50.11ID:7xkHllqS実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。定義から、RはQ(S)上代数拡大体である。
また、Qは可算零集合、Sは非可算零集合である。Q(S)の代数拡大体は可算無限集合だから、
Rは非可算零集合である。しかし、これはRが零集合でないことに反し、矛盾する。
0504１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 16:18:14.39ID:37vYGmnIそれも間違い。
＞Q(S)の代数拡大体は可算無限集合だから、
ここが間違い。どこが可算無限集合なんだよ。
Q(S)の任意の代数拡大体Lに対して、S⊂Q(S)⊂Lが成り立っている。
Sは非可算でS⊂Lだから、Lも非可算。
0505１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 16:20:09.03ID:3tQ50uM3>Q(S)の代数拡大体は可算無限集合だから、
Rは非可算零集合である
Rは可算だからRは非可算？
頭オカシイだろおまえw
0506１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 16:29:58.59ID:7xkHllqSちょっと、「実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合」でないことは、
すぐには証明出来ないですな。単なるR上への埋め込みがダメとなると、
代数的手法と測度論か何かを使うことになるんだろうが、方針が分からない。
しかし、メンター君は、よく正しい証明かどうかすぐ分かりますな。
0507１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 16:32:53.35ID:7xkHllqSここが間違いなことはすぐ分かったよ。>>503については何もしなかっただけ。
0508現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/21(土) 17:08:44.88ID:hTfxcEIPおっちゃん、お疲れさま
>>495 やっと気付いてくれましたか？ 「実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sは零集合」が正だよ
>>506 「実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合」でないことは→であることは
だよね（＾＾；
>すぐには証明出来ないですな。単なるR上への埋め込みがダメとなると、
>代数的手法と測度論か何かを使うことになるんだろうが、方針が分からない。
私が、「自力で終わらせるか・・」と考えたら、一応証明らしきものは浮かんだ（＾＾；
が、雑魚叩きに使えるので、書かずに温存しておくよ（＾＾；
問題再録（>>312に書いてある）
１）実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。Sは、零集合か？
２）・実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。
・ディリクレの関数1Q（有理数で１その他で0を取る関数）*)の類似で、超越基底で１それ以外で０の値を取る関数を1Tとする。
・関数1Tを実数軸そって、-∞から+∞まで積分したとき、値はいくらか？
*) ディリクレの関数1Q説明 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E7%A9%8D%E5%88%86
答えは、１）零集合、２） ゼロ。
では
0509１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 17:17:10.81ID:7xkHllqS結果だけ使えば、次のようになるようだ。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、Sは非可算零集合である。
また、Sの任意の超越数はU数である。定義から、RはQ(S)上代数拡大体である。
リウヴィル数はU数であり、0でない任意の実数は、2つのリウヴィル数の和、及び積で
表せる。従って、R＝Q(S) から、Q(S)上超越的な実数は存在しない。しかし、これは矛盾する。
0510１３２人目の素数さん
2015/11/21(土) 17:29:15.91ID:7xkHllqS>>509の
>Sの任意の超越数はU数である。
は多分間違いだから、>>509は取り下げとく。
0511１３２人目の素数さん
2015/11/22(日) 10:46:43.47ID:G4dpeoO2おっちゃんです。まあ、結果だけ使えば、次のようになるようだ。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、S数全体の
1次元ルベーグ測度は1(Wikiの超越数のサイト参照)だから、Sは
A数、T数、U数の全体からなる集合である。また、リュ―ビル数全体の集合は
非可算集合であり、リウヴィル数はU数である(Wikiのリウビル数のサイト参照)。
従って、Sは非可算零集合である。定義から、RはQ(S)上代数拡大体である。
また、0でない任意の実数は、2つのリウヴィル数の和、及び積で表せる
から(Wikiのリウビル数のサイト参照)、任意の実数はQ(S)上代数的である。
従って、R＝Q(S) から、Q(S)上超越的な実数は存在しない。
しかし、これは矛盾する。
まあ、S数全体の1次元ルベーグ測度は1だから、RがQ(S)上代数拡大体になるには、
実数体Rの有理数体Q上の超越基底SはS数を元に持っていることになる。だから、
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合ということはあり得ない。
0512１３２人目の素数さん
2015/11/22(日) 10:53:24.69ID:G4dpeoO2(>>511の補足)
Q(S)上超越的な実数は、必ず存在する。もし存在しなかったら、
Q(S)上超越的な複素数は存在しなくなる。しかし、RがQ(S)上代数拡大体だから、
複素数体CもQ(S)上代数拡大体である。複素数がQ(S)上代数的独立か代数的従属か
についても同様になる。従って、定義上は、Sは複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sになる。
だから、実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sは複素数体Cの有理数体Q上の超越基底S
でもある。これは、そもそも、Sを考えたときの体の拡大R/Qの扱いに反し矛盾する。
R＝C として実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sを考えていたことになる。
2つの体の拡大R/Q、C/Qを同一視して有理数体Q上の超越基底Sを考えていたことになる。
これは R≠C に反し、矛盾する。そういうことだ。
0513１３２人目の素数さん
2015/11/22(日) 11:32:15.11ID:Sfjos7ec>超越基底Sが零集合とする。すると、S数全体の
>1次元ルベーグ測度は1(Wikiの超越数のサイト参照)だから、Sは
>A数、T数、U数の全体からなる集合である。
どうしてA,T,U数をすべて含むと言えるんだ？
超越基底の性質からそれが言えるというなら説明してくれ。
0514１３２人目の素数さん
2015/11/22(日) 11:46:32.27ID:G4dpeoO2これ、間違い。
どういう基準でルベーグ測度を取ったのかまでは分からない。
>>508
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。定義から、RはQ(S)上代数拡大体である。
従って、任意の実数はQ(S)上代数的である。従って、Q(S)上超越的な実数は存在しない。
しかし、これは、Q(S)上超越的な実数が存在することに反し矛盾。
(もし存在しなかったら、 Q(S)上超越的な複素数は存在しなくなる。
しかし、RがQ(S)上代数拡大体だから、 複素数体CもQ(S)上代数拡大体である。
複素数がQ(S)上代数的独立か代数的従属か についても同様になる。
従って、定義上は、Sは複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sになる。
だから、実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sは複素数体Cの有理数体Q上の超越基底S
でもある。これは、そもそも、Sを考えたときの体の拡大R/Qの扱いに反し矛盾する。
R＝C として実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sを考えていたことになる。
2つの体の拡大R/Q、C/Qを同一視して有理数体Q上の超越基底Sを考えていたことになる。
これは R≠C に反し、矛盾する。)
に訂正。
0515１３２人目の素数さん
2015/11/22(日) 12:17:54.90ID:Sfjos7ec存在しないでしょ。どんな実数？
ゼロ集合はどこで使ってるんだ？
0516１３２人目の素数さん
2015/11/22(日) 12:20:25.02ID:lmw0xI33こういうタイプの人は他にも見たことがある。
0517１３２人目の素数さん
2015/11/22(日) 12:53:29.37ID:G4dpeoO2いや、代数的に考える以上、Q(S)上代数的な数を考えるときは、
せいぜい、可算無限な対象(今回は実数)を考えることになる。
代数で非可算な対象を考えることは出来ない。
実数体Rは非可算。だから、Q(S)上超越的な実数は存在するのではないかと。
そう思った。
0518１３２人目の素数さん
2015/11/22(日) 12:58:53.68ID:G4dpeoO2悪かったな。豪語するなら、
超越基底Sが零集合かの判定をしてみてくれ。
0519１３２人目の素数さん
2015/11/22(日) 13:03:28.97ID:Sfjos7ec> 代数で非可算な対象を考えることは出来ない
言っていることが分からない。
RはQ(S)上代数的で、そうなるように超越基底Sを取ったんでしょ？
Q(S)上超越的な実数なるものが存在したとしても、実数全体がRなんだから、当然Rに含まれるでしょ。
0520１３２人目の素数さん
2015/11/22(日) 13:05:33.03ID:G4dpeoO2「>>518」は、本来「>>517」ではなく、「>>516」宛てな。
豪語するなら、超越基底と零集合をウマく組合せた論証をしてみてくれ。
0521１３２人目の素数さん
2015/11/22(日) 13:07:03.84ID:Sfjos7ecみなさんが楽しんでいるようだが。
少なくともスレ主、>>510 メンター、おっさんの3人がよいと言うまでは黙っておくよ。
0522１３２人目の素数さん
2015/11/22(日) 13:09:10.76ID:IkwVB7jN脳足りんやなあ爺
0523521
2015/11/22(日) 13:09:17.26ID:Sfjos7ec> 超越基底Sが零集合かの判定をしてみてくれ。
ってのは>>516 宛だったのか。失礼した。
0524１３２人目の素数さん
2015/11/22(日) 13:16:46.12ID:G4dpeoO2いや、ちょっと、Q(e)とかQ(π)の点を係数に持つ多項式の根について、
有理係数多項式のときと同様に、ディオファンタス近似の理論を
再構築したことがあるんですわ。Q(S)-係数多項式の根が全部Q(S)上代数的となると、
Q(e))-係数多項式の根に対するディオファンタス近似の理論の類似が無効になるかも知れない。
意味がなくなるかも知れないと。まあ、大雑把にいえばそんな感じです。大雑把過ぎるでしょうけど。
0525１３２人目の素数さん
2015/11/22(日) 13:27:33.18ID:G4dpeoO2>>524の訂正：
「Q(e))-係数多項式」→「Q(e)-係数多項式」
0526521
2015/11/22(日) 13:39:44.66ID:Sfjos7ec> Q(S)-係数多項式の根が全部Q(S)上代数的となると、
ここに記述ミスはない？確認してもらえるでしょうか。
（おっさん、敬語は使わないでくれ。やりづらい・・。）
ある数がQ(S)係数多項式の根となるとき、その数をQ(S)上代数的と呼ぶんだったよね。
だからQ(S)係数多項式の根はすべてQ(S)上代数的だよ（当たり前だが）。
少し混乱していないだろうか。
0527521
2015/11/22(日) 14:38:01.69ID:Sfjos7ecよく見たら>>510 はメンターじゃないな。どうりで変だと思った。
0528１３２人目の素数さん
2015/11/22(日) 16:39:06.05ID:G4dpeoO2論理的には間違いが生じないから、一応は、Q(S)係数多項式の根に対しても、
ディオファンタス近似の理論の類似を再構築出来る仕組みになっているにもかかわらず、
定義に反するから、実際は再構築しようがないのか。
Q(S)係数多項式の根の場合は、数学的には何の意味もないから、再構築してはいけなかったのか。
0529現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/22(日) 17:59:07.98ID:7nuHUSiYどうも。スレ主です。
メンターさんかと思っていたが、別の方ですか？
どうも、フォローありがとうございます。
私の意見としては、おっちゃんが、「超越基底Sが零集合である」ということを納得してもらって、その証明を少しだけ見てみたい気がする
おっちゃんは、「濃度が非加算の零集合が存在する」ということを、カントール集合という例を示されても、心底納得できていないみたいだ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88
だから、「超越基底Sが零集合である」を否定的に解こうとして、脱線している点もある
それと、”超越基底S”を全然理解できていないかな？ ”Q(S)上超越的な実数が存在することに反し矛盾”>>515？ 面白い発想だね（＾＾；
ということで、しばしお待ちを。まず、”Q(S)上超越的な実数が存在しない”を処理して、「超越基底Sが零集合である」を、もし可能なら納得してもらいましょう
そして、一度、おっちゃんの証明を見てからということでお願いできればと思いますｍ（＿ ＿）ｍ
0530現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/22(日) 18:11:03.03ID:7nuHUSiYおっちゃん、どうも。スレ主です。
> Q(S)上超越的な実数が存在することに反し矛盾
まず、”Q(S)上超越的な実数が存在しない”を処理します
証明
１．ご自分で書いた通り、>>514の実数体Rの有理数体Q上の超越基底をSとする。定義から、RはQ(S)上代数拡大体である。従って、任意の実数はQ(S)上代数的である。従って、Q(S)上超越的な実数は存在しない。
２．これ、正解です。もし、Q(S)上超越的な実数s' ∈/Sが存在したとする。Sを拡張して、Ｓ’＝{s'}+Sとすべきであるから。（蛇足だが、取りこぼした超越数があれば、それは本来超越基底をSに取り込まれているべき数だから）
証明おわり
超越基底に加えて、「基底とは何か？」をもう一度考えてください
0531現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/22(日) 18:24:28.11ID:7nuHUSiY>実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると・・・これは矛盾する。
次のブログでも見て下さい。それで、「点集合Aが非加算濃度をもてば、点集合Aは零集合でないといえるか、というと、一見それは正しそうであるが、カントールの零集合という反例がある。」を納得してください。
”実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sは零集合です”。これが、正解ですよ
http://commutative.world.coocan.jp/blog2/2010/11/post-859.html
零集合 あやたろう (2010年11月 8日 01:22)
（抜粋）
零集合というは、ルベーグ積分のところで述べた測度論で定義される集合であって、m(A) = 0である集合である。
例えば、１つだけの点からなる点集合Aを考えると、当然にm(A) = 0である。これは、次のような積分に対応して考えられる。
0でない積分結果をもたらすためには、積分される関数f(x)に対応する点集合Aが、少なくともある区間で、非加算濃度をもたなくてはならない、ということになる。
すなわち、積分される関数f(x)に対応する点集合Aが非加算濃度をもつことは、0でない積分結果を与えるための必要条件であるが、
点集合Aが非加算濃度をもてば、点集合Aは零集合でないといえるか、というと、一見それは正しそうであるが、カントールの零集合という反例がある。
・・・・ （証明があるが省略）
すると、対角線論法が適用できて、除去された結果の点の非加算性が証明される。すなわち、非加算濃度をもつ零集合が存在する。
零集合の隠微な世界を垣間見た次第である。
0532現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/22(日) 18:32:15.80ID:7nuHUSiYおっちゃん、どうも。スレ主です。
おっちゃんが、どういう立場でどういう動機で、上記のような数学科レベルの数学（含む多変数関数論）をやっているのか不明だが
もし、よかったら、せっかく迷い込んできたこのガロアすれ、しばらく遊んで行って下さい。ｍ（＿ ＿）ｍ
>>530-531 にご納得頂ければ、どんな証明をするのか、見てみたい気もあるので
零集合ね。ルベーグなんか、意識して使うことは無かった。面白い集合ですね（＾＾；
0533現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/22(日) 18:36:23.20ID:7nuHUSiY（蛇足だが、取りこぼした超越数があれば、それは本来超越基底をSに取り込まれているべき数だから）
↓
（蛇足だが、取りこぼした超越数があれば、それは本来超越基底Sに取り込まれているべき数だから）
0534現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/23(月) 06:46:12.65ID:ttjQioOzhttp://kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~fuchino/misc/susemi2012-01x.pdf
想定外の数学 不完全性定理以降の数学 (続) 神戸大 渕野昌 2012
(抜粋)
「集合論は矛盾しているかもしれないから無意味だ」とか，「矛盾しているかも
しれない巨大基数の理論を研究するのは無意味だ」というような発言を好んでする
人たちの多くは，この一世紀の間に集合論でいかに深くエキサイティングな数学的
研究がされてきたかについてまったく無知であるように思える．また，多少は知っ
ている場合には，かつて，難しすぎて集合論研究からドロップアウトしたというよ
うな類の経歴と，そのことからくる深いトラウマをかかえている人だったりするの
で，そういった人々に対しては，ここで言ったような「保証」は，馬耳東風と言っ
て失礼なら，馬の耳に念仏でしかないかもしれない．
しかし、Reinhardt 基数の存在公理の，ZFC での矛盾が示されたことで，Rein-
hardt 基数に対してそれまでに行なわれた考察が全く無駄になってしまったわけで
はなかった．Reinhardt 基数の超越性をできるだけ保存し，一方で，矛盾を導くこ
との判明した性質をうまく取りのぞくことによって，超コンパクト基数の概念が見
出され，Reinhardt 基数に対しての基礎的なアイデアは，この基数の存在公理の考
察に再利用できているからである．
その後，超コンパクト基数は，"大きな" 巨大基数のうちで最も重要なものと
なって，この基数に関連する多くの興味深い結果が得られてきている．
この，Reinhardt 基数の存在公理の矛盾の発見から超コンパクト基数の導入と
その理論の発展に到る経緯は，数学が矛盾していることが示されてしまう，という
想定外の状況が万が一にも起こったときの，可能なシナリオを示唆しているように
思える．つまり，そのようなことが万が一に起こった場合でも，Reinhardt 基数の
存在公理のときと同じように，そこで示された矛盾を回避するような修正を数学に
対して行なうことで，これまでに数学の長い歴史の中で積上げてきた数学的結果を
すべて失なってしまう，というような壊滅状態は回避することができるのではない
か，と考えることができる，ということである．
0535現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/23(月) 06:52:04.52ID:ttjQioOz経歴が面白いなと
http://researchmap.jp/read0078210/
研究者氏名 渕野 昌 フチノ サカエ http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino 神戸大学 大学院システム情報学研究科 情報科学専攻 教授 Dr. rer. nat.(ベルリン自由大学)
学歴
1979年4月 - 1984年3月 Freie Universitat Berlin Fachbereich Mathemtatik
1977年4月 - 1979年3月 早稲田大学 理工学部 数学科
1973年4月 - 1977年3月 早稲田大学 理工学部 化学科
0536１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 06:59:08.07ID:cijB5UG8私が以前ここに書いたことをパクッてただろ。書いたこと忘れてた。
確かにスレ主の予想で正しい。
[第１段](Sの任意の点は孤立点で、Sは孤立集合)：Sが孤立集合ではないとする。すると、
或る x∈S は孤立点ではなく集積点だから、定義から、r＞0を適当に1つ選ぶと、
(S-{x})∩(x-r, x+r)≠Φ。I＝(S-{x})∩(x-r, x+r) とおくと、I≠Φ。y≠x なる
1点 y∈I を任意に選ぶ。すると、I⊂R から y∈R。そして、I⊂S から y∈S であって、
RはQ(S)上代数拡大体だから、yは体Q(S)上代数的である。従って、yのR/Q(S)への
最小多項式の次数をnとすれば、何れも或る a_0,a_1,…,a_n∈Q(S) に対して、a_0≠0, a_n≠0 であり、
a_0・y^n＋a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n＝0 …① となる。
しかし、定義から、Sの点yはQ上超越的だから、すべての i＝0,1,…,n に対して a_i がQ上代数的なることは、
あり得ない。従って、或る i＝0,1,…,n が存在して、a_i はQ上超越的となる。つまり、a_i は超越数となる。
そこで、Y＝{a_0,a_1,…,a_n} とおき、X＝{a_i∈Y|a_iは超越数} とする。すると、X≠Φ。
0537１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 07:00:41.50ID:cijB5UG8(>>536の続き)
a_i∈X とする。すると、X⊂Y から a_i∈Y。そして、a_i∈R＼Q であって、同時に a_i∈Q(S)
だから、a_i に対して或る自然数 m(a_i) が定まり、自然数 m(a_i) を m_i で略記すれば、
m_i に対して何れも或る、m_i 変数 z_1, …, z_{m_i} の有理関数 f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i}) と
m_i 個の点 {z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}∈S が存在して a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i})
となる。Xの点 a_i は任意でよいから、各 a_i∈X に対して、a_i を表す、何れも或る、
f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i}) と m_i 個の点 {z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}∈S、及び有理関数の形をした式
a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) が定まる。ここで、仮に、各 a_i∈X に対して定まるような、
a_i を表す有理関数の形をした式 a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) における有理関数 f_{m_i}
のすべてが定数ではないとして、各 a_i∈X に対して定まる a_i を表す有理関数の形をした式
a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) を、同時にすべて①にすべて同時に代入して
両辺を整理すると、有限個のSの点 y , {z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i} , … は体Q上代数的従属なる
ことが分かり、とりわけ y∈S ではなくなり、y∈S に反し矛盾が生じる。従って、或る a_i∈X が存在して、
a_i に対して定まるような、a_i を表す有理関数の形をした式 a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i})
における f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i}) は定数となる。つまり、f_{m_i}∈Q であって、従って a_i∈Q。
しかし、a_i はQ上代数的だから、定義から、a_i は a_i∈S を満たさず、矛盾する。
従って、Sは孤立集合であり、Sの任意の点は孤立点である。
0538１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 07:02:43.49ID:cijB5UG8(>>537の続き)
[第２段](Sは非可算集合)：S、Rの濃度は、card(S)＝card(R)＝c だから、
SからRへの全単射が存在する。従って、Sは非可算集合である。
[第３段](Sは非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合
の全体を、Tとする。S⊂R から、孤立集合SはRのベキ集合の元である。x∈S として、X＝{x} とする。
すると、x∈R であり、任意のε＞0に対して X⊂[x-ε,x+ε)。定義から、{x}の外測度m(X)について、
m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、
また、0≦m(X)≦+∞。xは孤立点だから、m(X)＝m({x})＝0。
Sの点xは任意でよいから、Sは非可算零集合である。
0539現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/23(月) 07:07:55.62ID:ttjQioOz383 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/11/08(日) 10:36:49.75 ID:avzOXqjC
命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．
に対する証明または反例を書け
404 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/11/14(土) 15:57:00.61 ID:n42/B/E0 [1/2]
反例）
X, Yを実数全体とする。
Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する。
fは明らかに連続。ここでYの開集合Bとしてf(A)を真に含むYの開区間、
たとえばB={b|-2<b<2}をとればBの逆像はAとなり、Xの開集合ではない。
406 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/11/14(土) 16:45:05.47 ID:VGfgFTqg [3/3]
スレ主さんが逃げてる間に正解が出ちゃったよ。(>>404)
これでは不本意だろうから挽回のチャンスを上げよう。
問題 >>383の命題を修正して真の命題を作り証明せよ。
但し
・X の部分集合 A についての命題であることは変えてはならない。
・修正が小さいほど（出題者の主観で判断する）良い解答とする。
454 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/11/21(土) 00:21:13.00 ID:hTfxcEIP [3/20]
>>383にもどる
「命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．」
に、対して >>331で出た定理
”距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．”
を前提とすれば、冒頭の命題は、上の定理を変形して「部分集合 A⊂X 」「写像f : A → Y」としただけにすぎない
ならば、「部分集合 A⊂X 」「写像f : A → Y」の部分がくさいわけであり、おかしいと気付く
456 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/11/21(土) 00:39:52.61 ID:756rylpT [1/7]
>>453
定義域の意味分かってる？
0540現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/23(月) 07:15:53.21ID:ttjQioOz１．この問題は、 ID:avzOXqjCさんの自作ではなく、教師が学習用に考えたのかなと思った（はずしてたらごめん）
２．問題文が、ちょっと曖昧だ。わざとかなと。そして、>>406の追加と合わせて、学習効果を上げる意味があるのかもと
３．問題文が、曖昧で、>>456のようにAを定義域と考える場合と、定義域をＸと考える場合で、反例の意味が違ってくるように思う
４．>>482に書いたが、再録すると、下記
482 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/11/21(土) 12:40:55.47 ID:hTfxcEIP [16/20]
>>462 補足
>改良版は
>「命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X （但しAは開集合）から(Y, dY ) への写像f : A → B⊂Y が連続であるための必要十分条件は，任意のBの開集合U に対してf^-1(U) がA の開集合となることである．」と補正します。
>Aが開集合でない場合、境界の点で不連続になったときに、処理がうまく出来ない
>要するに、ある点 x0∈Xで連続という判断を、各点で行えば良い
>それを、部分集合 A⊂Xで行えば良いだけの話
ある部分集合 A⊂X （Aは開集合に限らない）で、連続か不連続かを、知りたいというニーズはあるだろう （y=f(x)が実数全体で定義されているが、不連続でない部分があるとして、ある区間A[a, b]で連続かどうか知りたいとか）
綺麗に使い易く判定できる命題の形が導ければ、それはそれで意味があるだろう
残念ながら、”綺麗に使い易く判定できる命題の形”を思いつくことができなかったので、開集合限定とした（＾＾；
0541１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 07:21:54.02ID:cijB5UG8>それと、”超越基底S”を全然理解できていないかな？ ”
>Q(S)上超越的な実数が存在することに反し矛盾”>>515？ 面白い発想だね（＾＾；
任意の超越数(log(a)、a∈Qとかも含む)を文字Xで表して、超越拡大体Q(X)を考えれば、
任意のf(x)∈Q(X)は、分母分子両方1以上のZ(X)の元で表せるんだから、Q(X)に対して
Qのときと同様にディオファンタス近似の類似を考えることはサルマネレベルで出来るぞ。
Q(X)上代数的か超越的かの判定の不等式の組立ては、論理的には同様な議論が成り立つ。
意味があるかどうかはともかくな。X＝log(a)、a∈Qのときは、こういうのは考えても意味がない。
指数関数e^xに対し、x＝log(a) とおいてもリンデマンの定理の類似は成り立たないから、
やっても余り意味がない。超越基底をSとしたときも、原理的にはQ(S)に対して同様な議論が
サルマネレベルで出来る。このときは、Z(X)がZ(S)になる。
0542現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/23(月) 07:40:09.06ID:ttjQioOz１．簡単に、実数Ｒの関数で考える。
２．定義域、値域という問題と考えれば、距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X、(Y, dY ) への写像f : A → B⊂Y
３． >>331で出た定理 ”距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．”
４．だから、全体集合を取り直して、X→A, Y→Bに置き換えると
定理 ”距離空間(A, dX) から(B, dY ) への写像f : A → B が連続であるための必要十分条件は，任意のB の開集合U に対してf^-1(U) がA の開集合となることである．”
となる。
５．全体集合を取り直して、X→A, Y→Bに置き換えると、開集合の定義が変わる。何が変わるか？ 全体集合A,Bは、開集合になる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%8B%E9%9B%86%E5%90%88
開集合
開集合とは全体集合を形成する基本要素達のようなものであり、位相の特殊な定義の仕方によっては、例えば実数において（普通の意味での）境界上を含む集合が“開集合”と呼ばれることになる場合もある。
極端な例では、すべての部分集合を開集合としたり（離散位相）、開集合は空集合と空間全体だけとしたり（密着位相）することもできる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
定義 空集合 Φ および全体集合 X は τ に属す。
0543現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/23(月) 08:02:08.92ID:ttjQioOz１．「全体集合を取り直して、X→A, Y→Bに置き換えると、開集合の定義が変わる。全体集合A,Bは、開集合になる」という視点からは、
”404 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/11/14(土) 15:57:00.61 ID:n42/B/E0 [1/2]
反例）
X, Yを実数全体とする。
Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する。
fは明らかに連続。ここでYの開集合Bとしてf(A)を真に含むYの開区間、
たとえばB={b|-2<b<2}をとればBの逆像はAとなり、Xの開集合ではない。”
は、あんまり良い例ではないのではないかと
２．つまり、開集合の定義を、X, Yを実数全体したままで反例としている。しかし、上記のように全体集合をA,Bに取り直すと見方が変わる。
３．全体集合A,Bは、開集合だから。
４．私スレ主が書いた>>458や>>463は、全体集合をX,Yとして、開集合の定義も実数全体で定義している立場を崩さずに書いたわけ。
５．もっと言えば、３の立場だと、閉区間[-1, 1]は開集合だ。ならば、半開区間[-1, 0)も、開集合だろう。
６．１の反例は、それはそれで成り立っている。もともとの>>383の記載ぶりがそうだし、>>406の追加が後出しだから。
７．で、”問題文が、ちょっと曖昧だ。わざとかなと。そして、>>406の追加と合わせて、学習効果を上げる意味があるのかもと”>>540
”結構考えさせられたよ。「つまんねー問題」というためには、いろいろ考える必要があった そういう意味では面白かった”>>386と
0544現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/23(月) 08:06:31.64ID:ttjQioOz「>>363 で開集合でないと言い、>>370 で開集合であると言う。
スレ主のどこが誤りかを指摘してあげるつもりだったが、レス毎に180度翻されては私もお手上げだ。」>>375
のID:lBRTnVcwさん、少しは分かって頂けましたか？
0545１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 08:24:52.27ID:J9tPnM+x> 命題：あるY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合とならないならば、f：A→Yは連続ではない．
上の命題に対するスレ主の解答は下記だ。異論があればどうぞ。
> 床関数f:X->YはXで不連続なのでf^-1(U)がXの開集合とならないUが存在する。
> しかし“fの定義域をAに制限すれば”fは連続なので、上の命題は偽である。
上のとおりであれば、下記が私の反論だ。
> しかし細かいことを言えば、元のf_X:X→Yと定義域を制限したf_A:A→Yは異なる写像だ。
> 証明の前段と後段で写像をすり替えてしまったので、論理的には証明は不完全かもしれない。
"かもしれない"と書いたが、間違いなく不完全だ。
定義域を制限/拡張した写像は明確に区別しなければならない。
逆像を問題にしている今のケースでは特にそうだ。
それを伝えるために以下の問題を出したが、スレ主は無視だったな。
> 定義域の意味分かってる？
>
>> Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する。
>
> このとき、Yの要素2の逆像を答えてみな。
そもそも元の命題は
『命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．』
であって、fの定義域はAと明確に書かれているではないか。
Xを定義域とする別の写像のことなど言及されていない。
0546現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/23(月) 08:52:54.37ID:ttjQioOzどうも。スレ主です。
合ってますよ。それならそれで
が、それで終われば、「つまんねー問題ばかり出すな」>>385 に同意だ
写像f : A （定義域）→ Ｂ（値域）⊂Yで、Ａを閉集合として、fはここで連続とし、Ａ以外に値を取らないとする。Ｙの開集合として、Ｂ⊂Ｂ’なるＢ’を取れる。するとf^-1(Ｂ’)＝Ａ。つまり、逆像は閉集合。これ反例なり！
「つまんねー問題ばかり出すな！」だろう？
そこをぼかして書いてあることに、この問題の意義が有ると思うけどね（まあ、教師が考えたとしてだが）
0547１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 08:56:26.93ID:VPUYSl/7ま、バカにされて当然だな。
>>536
一般的に、次の事実が成り立つ。
・ A⊂Rは、Aの任意の点がAの孤立点になっているとする。このとき、Aは高々可算無限集合である。
＞[第１段](Sの任意の点は孤立点で、Sは孤立集合)
Sの任意の点が孤立点ならば、上記の事実により、
Sは高々可算無限集合となってしまい矛盾する。
よって、この[第１段]は自動的に間違いである。
0548現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/23(月) 08:58:35.60ID:ttjQioOz追加で言っておくと、貴方の立場で、
>>406 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/11/14(土) 16:45:05.47 ID:VGfgFTqg [3/3]
問題 >>383の命題を修正して真の命題を作り証明せよ。
但し
・X の部分集合 A についての命題であることは変えてはならない。
・修正が小さいほど（出題者の主観で判断する）良い解答とする。
について、なにか書いてみてくださいな
証明は不要だ。「>>383の命題を修正して真の命題を作り」までで結構だ
0549１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 09:00:43.84ID:cijB5UG8フーン。
0550１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 09:07:41.69ID:J9tPnM+x> そこをぼかして書いてあることに、この問題の意義が有ると思うけどね（まあ、教師が考えたとしてだが）
ぼかしてなんかいないと思うが。しかしもうこの議論は終わりにしよう。
スレ主が理解していることは伝わった。
ちなみに「つまんねー問題ばかり出すな」の>>385は俺だ。
偽であることが明らかで反例も簡単、何の深みもない問題だったからつまんねーと
言ったんだが、おっさんの解答で大いに盛り上がったのは想定外だった・・
0551１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 09:09:03.75ID:VPUYSl/7この論法、昨日からずーっと気になっていたのだが、
お前は測度の使い方が完全に間違っている。
＞また、0≦m(X)≦+∞。xは孤立点だから、m(X)＝m({x})＝0。
＞Sの点xは任意でよいから、Sは非可算零集合である。
昨日からお前は1点集合の測度ばかりを気にしているが、
1点集合 {x} に対してm({x})＝0が成り立つのは当然の話である。
なんならR全体で考えたって、「任意のx∈Rに対してm({x})＝0 」が成り立っている。
だったら、xをR上で走らせることにより、m(R)＝0が成り立つのか？
成り立たないだろ？このバカタレめが。
なぜRの場合はm(R)＝0にならないのかというと、R＝∪[x∈R] {x} であり、
右辺は「 非 可 算 無 限 個 の集合の和」だからだ。一般に、
A＝∪[n∈N] A_n, m(A_n)＝0 (n∈N)
という「 可 算 無 限 個 の集合の和」で表示されているならば、
m(A)＝0が言えるという話に過ぎない。
Sの場合も同様であり、任意のx∈Sに対してm({x})＝0が成り立つからといって、
m(S)＝0が成り立つとは限らない。なぜなら、S＝∪[x∈S] {x} であり、
右辺は「 非 可 算 無 限 個 の集合の和」だからだ。
つまり、昨日のレスにせよ今日のレスにせよ、
お前の論法ではSのルベーグ測度に関して何も証明できない。
0552１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 09:12:12.91ID:J9tPnM+x遅筆で失礼した。真の命題ね。
元の命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．
変更の命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がA の開集合となることである．
XをAに変えただけだが、文句ある？連続の定義そのものだわな。
0553１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 09:17:45.64ID:cijB5UG8可算集合の外測度が0なることは知ってたよ。
バカを演じて迂回した。
0554現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/23(月) 09:33:06.19ID:ttjQioOzどうも。スレ主です。孤立点か・・・、なるほど・・・（＾＾；
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14129919619
rockstarogkさん 2014/5/3
X⊂R^nを孤立点集合としたとき、Xの濃度は高々可算であることを教えて下さい。
ベストアンサーに選ばれた回答 nardzewskiさん 2014/6/10
XはRの相対位相により、第二可算公理を満たす離散空間となる。
第二可算公理を満たす位相空間は、その任意の開被覆に対し可算部分被覆が取れる（リンデレーフ）。
このことからXは高々可算である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%A4%E7%AB%8B%E7%82%B9
孤立点
位相空間論において、位相空間 X の点 x が X の部分集合 S の孤立点であるとは、x が S に属し、かつ、x の近傍であって x 以外の S の点が1つも含まれないようなものが存在することをいう。
特に X がユークリッド空間（あるいはもっと一般の距離空間）の場合に即して言えば、xがSの孤立点であるとは、xを中心とする開球のうちx以外のSの点を含まないものが存在するということを意味する。
別な言葉で言えば、点x ∈ SがSにおいて孤立するための必要十分な条件は、xがSの集積点とはならないことである。
孤立点のみから成る集合を離散集合という。ユークリッド空間における離散部分集合は可算である（これは有理数全体のなす集合Ｑが実数全体のなす集合Ｒにおいて稠密であるという事実に基づけば、
ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に1対1に写すという意味になるためである）。一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合Ｑ）。
孤立点を持たない集合を dense-in-itself という。孤立点を持たない閉集合を完全集合という。
「孤立点の数」というのは位相不変量の一種である。すなわち、位相空間XとYが互いに同相ならば、それらの持つ孤立点の数は必ず等しい。
例 以下に示す位相空間は実数直線の部分位相空間と見なす。
集合S= {0 } ∪ [1,2]において、0は孤立点である
集合S = {0 } ∪ {1, 1/2, 1/3, \dots }において、点1/kは孤立点だが、0以外で0にいくらでも近い点がSの中に存在するため、0は孤立点ではない
自然数の集合Ｎ = {0, 1, 2, ・・・ }は離散集合である
0555現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/23(月) 10:04:19.52ID:ttjQioOzどうも。スレ主です。
レスありがとう。「つまんねー問題ばかり出すな」と書いた方か・・・
ところで、一つ気になるが、>>543で書いたように、開集合の定義を変えないと、まずいだろうと
つまり、”反例）
X, Yを実数全体とする。
Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する。
fは明らかに連続。ここでYの開集合Bとしてf(A)を真に含むYの開区間、
たとえばB={b|-2<b<2}をとればBの逆像はAとなり、Xの開集合ではない。”
で、開区間 Ｂ＝（-2, 0）とする。この逆像f^-1(Ｂ)=[-1,0)。で、これはＸ全体で見ると、半開区間だ。だから、この逆像は開集合とは言えない。しかし、f(x)は連続だ。
だから、>>543に書いた”５．もっと言えば、３の立場だと、閉区間[-1, 1]は開集合だ。ならば、半開区間[-1, 0)も、開集合だろう。”ということです
0556現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/23(月) 10:17:37.32ID:ttjQioOz>>536
>私が以前ここに書いたことをパクッてただろ。書いたこと忘れてた。
おっちゃんらしいね。ところで、どこに何を書いていたんだい？ 「どこ」を教えて貰えれば、何をは分かるが
>>536-538 この証明の(Sの任意の点は孤立点で、Sは孤立集合)というのがダメみたいだね。非加算無限は難しいね（＾＾；
(Sのある点は孤立点とできて、Sの一部は孤立集合にできる)が正解か・・・
>>541 意味が取れない。言いたいことは、”超越基底S”の”基底”に力点があるが、それに対するレスが、超越数についてなのですれ違いかな・・
>>553 おっちゃん、乙です
0557１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 10:22:46.32ID:J9tPnM+x> ところで、一つ気になるが、>>543で書いたように、開集合の定義を変えないと、まずいだろうと
すまんが言っていることが分からない。
> 開区間 Ｂ＝（-2, 0）とする。この逆像f^-1(Ｂ)=[-1,0)。で、これはＸ全体で見ると、半開区間だ。
正しい。
> だから、この逆像は開集合とは言えない。
正しい。もっと正確に言えば"この逆像はXの開集合とは言えない。"だな。
> しかし、f(x)は連続だ。
正しい。f：A→YはAで連続だ。
> だから、>>543に書いた”５．もっと言えば、３の立場だと、閉区間[-1, 1]は開集合だ。ならば、半開区間[-1, 0)も、開集合だろう。”ということです
閉区間[-1, 1]は"Aの開集合"、半開区間[-1, 0)も"Aの開集合"だ。
反例>>404でも真の命題>>552でも、"何の開集合"を考えているかは明確にしているつもりだ。
Aの開集合と言ったら全体集合をAとしたときの開集合をさす。
Xの開集合と言ったら全体集合をXとしたときの開集合をさす。
スレ主が気になるのは>>404、>>552のどの部分？
0558１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 10:23:49.73ID:/16N9oXC0559現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/23(月) 10:24:46.52ID:ttjQioOzID:Sfjos7ecさま、どうも。スレ主です。
>少なくともスレ主、>>510 メンター、おっさんの3人がよいと言うまでは黙っておくよ。
私は、ＯＫです。証明は、かなり改善されたと思うが、正解には遠そうだから。
あとは、>>510 メンターさん、おっちゃんのお二人がどうかだ。
では
0560現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/23(月) 10:26:32.77ID:ttjQioOzどうも。スレ主です。
>ガロア理論の話していい？
良いよ。私は、今日はこれで終わりだが、だれかレスしてくれるだろう（＾＾；
0561現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/23(月) 10:30:09.12ID:ttjQioOzどうも。スレ主です。
レスありがとう
うんうん、だから、そういうことを考えさせる問題かなと・・・（＾＾；
実際、いろいろ考えたわけで。位相上級者から見たら自明でも、位相初心者から見たら、自明でない。そこを考えさせる問題かなと（まあ、教師が考えたとしてだが）
0562１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 10:37:22.34ID:J9tPnM+xそもそもスレ主は証明できるのか？
おれは不勉強だからこの問題へのアプローチは1通りしか知らない。
そのアプローチをぼかして書くと「超越基底が含まれるある集合を考える」というものだ。
これを自力で気づけというのは酷だ。各所でヒントが出ているとはいえな。
スレ主の方針はどういうものだ？書いてくれ。
おれは正直いっておっさんの不屈の精神に感嘆しているよ。
メンターにはお疲れ様としかいえないが、とにかく何言われたって諦めないんだからな。
0563１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 10:40:17.49ID:J9tPnM+xOK、これで議論は終わりだな。
おれが「つまんねー問題」と言ったのは、スレ主が全体集合について既によく理解していると思ったからだ。
0564１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 10:58:29.68ID:cijB5UG8ハメル基底で一般化した方がいいや。
[第１段](0、1に任意に近い元のみからなるハメル基底の存在性)：ハメル基底をBとする。
無理数a∈Bを任意に取る。環Q[a]について、Q⊂Q[a] だから、実数直線R上で、
有理数の稠密性から、0、1に任意に近い有理数なるハメル基底の元は無数に取れる。
また、Q⊂Q[a]⊂R からQ[a]も直線R上で稠密だから、無理数の稠密性から、
0、1に任意に近い無理数で、Q[a]に属するハメル基底の元は無数に取れる。
よって0、1に任意に近い有理数b、無理数cからなるQ上のベクトル空間を張る
基底{b,c}を取ることが出来る。無理数a∈B＼Qは任意だから、aをB＼Q上で走らせれば、
0、1に任意に近い元のみからなるような、ハメル基底B'＝∪{b,c} c∈B＼Q が構成出来る。
ここに、B'⊂(0,1] と仮定しても一般性を失わない。
[第２段](B'は完全集合)：B'は0、1に任意に近い元のみからなるハメル基底だから、
定義から、B'は完全集合である。
[第３段](超越基底Sは完全集合)：実数体Rの有理数体Q上の任意の超越基底は
或るハメル基底に含まれるから、S⊂B' とすれば、Sは完全集合となる。
ここに、S⊂B' としても一般性は失われない。
[第４段](S、B'の濃度は連続体濃度)：S、B'、Rの濃度は、card(S)＝card(B')＝card(R)＝c。
[第５段](S、B'は非可算零集合)：完全集合B'、Sは稠密集合である。従って、
Sの外測度をm(S)、B'の外測度をm(B')とすれば、S⊂B' から、任意のε＞0に対して、
m(S)≦m(B')≦ε。ε→0 とすれば、m(S)＝m(B)＝0。従って、S、B'は非可算零集合である。
0565１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 11:13:41.04ID:cijB5UG8>>564の最後の
「ε→0 とすれば、m(S)＝m(B)＝0。」→「ε→0 とすれば、m(S)＝m(B')＝0。」
に訂正。
0566１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 11:30:19.53ID:VPUYSl/7＞定義から、B'は完全集合である。
推論が意味不明。0,1に任意に近い元だとなぜ完全集合なのか？
＞[第３段](超越基底Sは完全集合)：実数体Rの有理数体Q上の任意の超越基底は
＞或るハメル基底に含まれるから、S⊂B' とすれば、Sは完全集合となる。
推論が意味不明。完全集合の部分集合は常に完全集合なのか？
＞[第５段](S、B'は非可算零集合)：完全集合B'、Sは稠密集合である。従って、
＞Sの外測度をm(S)、B'の外測度をm(B')とすれば、S⊂B' から、任意のε＞0に対して、
＞m(S)≦m(B')≦ε。ε→0 とすれば、m(S)＝m(B)＝0。従って、S、B'は非可算零集合である。
推論が意味不明。これでは「稠密集合はゼロ集合である」と読めるが、
稠密集合は必ずしもゼロ集合ではない。
0567１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 11:36:39.12ID:qxMqJTdx実数直線のルベーグ測度が0になってしまうわい。
ここはキーワード散りばめるだけの論証擬きだらけやなw
0568１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 13:55:57.23ID:cijB5UG8私が終わったら、スレ主に証明してもらう。
[第１段](0、1に任意に近い元のみからなるハメル基底の存在性)：ハメル基底をBとする。
無理数a∈Bを任意に取る。環Q[a]について、Q⊂Q[a] だから、実数直線R上で、
有理数の稠密性から、0、1に任意に近い有理数なるハメル基底の元は無数に取れる。
また、Q⊂Q[a]⊂R からQ[a]も直線R上で稠密だから、無理数の稠密性から、
0、1に任意に近い無理数で、Q[a]に属するハメル基底の元は無数に取れる。
よって0、1に任意に近い有理数b、無理数cからなるQ上のベクトル空間を張る
基底{b,c}を取ることが出来る。無理数a∈B＼Qは任意だから、aをB＼Q上で走らせれば、
0、1に任意に近い元のみからなるような、ハメル基底 B'＝∪{b,c} c∈B＼Q が構成出来る。
ここに、B'⊂(0,1] と仮定しても一般性を失わない。
[第２段](B'は完全集合)：x∈B'を任意に取る。r＞0とする。I＝(B'-{x})∩(x-r,x+r) とする。
すると、B'は0、1に任意に近い元のみからなるハメル基底だから、
ε＞0を任意に取れば、x∈(1-ε,1] または x∈(0,ε)。
(1)、x∈(1-ε,1] のとき。I_1＝(1-ε,1]∩(x-r,x+r) とおく。すると、B'は0、1に
任意に近い元のみからなるハメル基底だから、或るx≠yなるy∈B'が存在して、
y∈I_1。また、y∈B'-{x}。従って、y∈I_1∩(B'-{x}) であり、
I_1∩(B'-{x})⊂I から y∈I。従って、I≠Φ。
(2)、x∈(0,ε) のとき。I_2＝(0,ε)∩(x-r,x+r) とおく。すると、同様に、
或るx≠yなるy∈B'が存在して、y∈I_2。また、y∈B'-{x}。従って、同様に、I≠Φ。
(1)、(2)から、必ず I＝(B'-{x})∩(x-r,x+r)≠Φ。r＞0は任意でよいから、xはB'の集積点である。
B'の点xは任意でよいから、B'はB'自身の導集合である。従って、定義から、B'は完全集合である。 (第２段の議論終了)
0569１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 14:02:56.54ID:cijB5UG8(>>568の続き)
ここに、実数体Rの有理数体Q上の任意の超越基底は或るハメル基底に含まれる
から、S⊂B' としても一般性は失わない。
[第３段](S、B'の濃度は連続体濃度)：S、B'、Rの濃度は、card(S)＝card(B')＝card(R)＝c。
[第４段](S、B'は非可算零集合)：完全集合B'はB'自身の導集合に等しいから、
定義から、距離空間Rにおいて、B'の境界は空集合Φである。空間Rにおいて、
完全集合B'は開集合かつ閉集合である。空間Rにおいて、任意の点x∈B'に対し、
xはB'の触点かつ{x}はB'の閉包である。従って、B'が稠密集合なることに注意すると、
Sの外測度をm(S)、B'の外測度をm(B')とすれば、S⊂B' から、任意のε＞0に対して、
m(S)≦m(B')≦ε。ε→0 とすれば、m(S)＝m(B')＝0。従って、B'は非可算零集合である。
[第５段](超越基底Sは非可算零集合)：実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sについて、
card(S)＝c、m(S)＝0 だから、Sは非可算零集合である。
0570１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 14:31:11.58ID:cijB5UG8まあ、第４段は次のように訂正。
[第４段](S、B'は非可算零集合)：完全集合B'はB'自身の導集合に等しいから、
定義から、距離空間Rにおいて、B'の境界は空集合Φである。空間Rにおいて、
完全集合B'は開集合かつ閉集合である。空間Rにおいて、任意の点x∈B'に対し、
xはB'の触点かつ{x}はB'の閉包である。稠密集合なるハメル基底B'は
0、1に任意に近い元のみからなる。従って、Sの外測度をm(S)、B'の外測度をm(B')とすれば、
S⊂B' から、任意のε＞0に対して、或る ε＞a(ε)＞0 なる a(ε)∈B' が存在して、
m(S)≦m(B')≦a(ε)。ε→0 とすれば、a(ε)→0 となり、m(S)＝m(B')＝0。
従って、B'は非可算零集合である。
0571１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 14:50:13.95ID:VPUYSl/7＞ここに、B'⊂(0,1] と仮定しても一般性を失わない。
＞[第２段](B'は完全集合)：x∈B'を任意に取る。r＞0とする。I＝(B'-{x})∩(x-r,x+r) とする。
＞すると、B'は0、1に任意に近い元のみからなるハメル基底だから、
＞ε＞0を任意に取れば、x∈(1-ε,1] または x∈(0,ε)。
そのような性質を満たす B' は B'＝{1} もしくは B'＝φ しか存在しない。
以下でこのことを示す。
x∈B'を任意に取る。ε＞0を任意に取る。
誤答おじさんの論法によれば、x∈(1-ε,1] または x∈(0,ε) が成り立つらしい(理由は不明)。
そこで、正整数nを任意に取り、ε＝1/n と置く。このεに対して、
やはり x∈(1-ε,1] または x∈(0,ε)が成り立つ。
すなわち、x∈(1-1/n,1] または x∈(0,1/n)が成り立つ。nを動かせば、
「x∈(1-1/n,1] 」が無限回成り立つか、もしくは「x∈(0,1/n)」が無限回成り立つ。
すなわち、「1－1/n＜x≦1」が無限回成り立つか、もしくは「0＜x＜1/n」が無限回成り立つ。
よって、前者の場合はx＝1となるし、後者の場合はx＝0となる。よって、
B'⊂{0, 1} ということになる。B'⊂(0,1] だったから、B'⊂{1} となる。
以上より、このような性質を満たす B' は B'＝{1} もしくは B'＝φ しか存在しない。
お前が言うところの「 0、1に任意に近い元のみからなる 」という概念は完全なる失敗作で、
そんなチャチな論法では B'＝{1} もしくは B'＝φ にしかならず、
ハメル基そのものが まず構成できないってわけ。
0572１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 14:54:23.70ID:cijB5UG8>>568の続きは以下のように訂正。>>569-570は取り下げ。
ここに、実数体Rの有理数体Q上の任意の超越基底は或るハメル基底に含まれる
から、実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sについて、S⊂B' としても一般性は失わない。
[第３段](S、B'の濃度は連続体濃度)：S、B'、Rの濃度は、card(S)＝card(B')＝card(R)＝c。
[第４段](S、B'は零集合)：完全集合B'はB'自身の導集合に等しいから、
定義から、距離空間Rにおいて、B'の境界は空集合Φである。空間Rにおいて、
完全集合B'は開集合かつ閉集合である。空間Rにおいて、任意の点x∈B'に対し、
xはB'の触点かつ{x}はB'の閉包である。稠密集合なるハメル基底B'は
0、1に任意に近い点のみからなる。従って、Sの外測度をm(S)、B'の外測度をm(B')とすれば、
S⊂B' から、任意のε＞0に対して、或る ε＞a(ε)＞0 なる a(ε)∈B' が存在して、
m(S)≦m(B')≦a(ε)。ε＞0は任意でよいから、ε→0 とすれば、a(ε)→0 となり、
m(S)＝m(B')＝0。従って、B'は零集合である。
[第５段](S、B'は非可算零集合)：S、B'について、card(S)＝card(B')＝c、
m(S)＝m(B')＝0 だから、S、B'は非可算零集合である。
0573１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 15:01:43.23ID:cijB5UG8フーン。ここまでいえるのか。
>>556
>>571
スレ主とメンターの相手は明日以降ね。時間の都合上、今日は寝る。
0574１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 15:02:51.02ID:VPUYSl/7[第２段]が既に間違ってるから無意味。ちなみに、その[第４段]も間違ってる。
＞[第４段](S、B'は零集合)：完全集合B'はB'自身の導集合に等しいから、
＞定義から、距離空間Rにおいて、B'の境界は空集合Φである。
完全集合の境界は空集合とは限らない。[0,1]という閉区間は完全集合であるが、
距離空間Rにおいて、[0,1]の境界は空ではない。
＞空間Rにおいて、完全集合B'は開集合かつ閉集合である。
空間Rの開集合かつ閉集合はRとφしかない。
＞稠密集合なるハメル基底B'は0、1に任意に近い点のみからなる。
＞従って、Sの外測度をm(S)、B'の外測度をm(B')とすれば、
＞S⊂B' から、任意のε＞0に対して、或る ε＞a(ε)＞0 なる a(ε)∈B' が存在して、
＞m(S)≦m(B')≦a(ε)。ε＞0は任意でよいから、ε→0 とすれば、a(ε)→0 となり、
＞m(S)＝m(B')＝0。従って、B'は零集合である。
既に示したとおり、お前のやり方では B'＝{1} もしくは B'＝φ にしかならないので、
確かにそのような B' はゼロ集合ではあるものの、しかしSがゼロ集合であることは全く示せていない。
0575１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 15:16:45.63ID:cijB5UG8>空間Rの開集合かつ閉集合はRとφしかない。
あ～、距離空間Rではなく、ハメル基底B'か。
B'において、B'の境界は空集合Φだな。
だけどさ、>>571の操作を無限回するという証明法はありか？
数理論理で考えた場合、記号論理も含めた記号の扱いは、
有限回の操作で終わるのではないか？
0576１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 15:23:25.51ID:cijB5UG8あ～、n→+∞としただけの話か。
0577１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 15:33:03.24ID:cijB5UG8執拗なメンターのため、>>575の訂正：
記号論理→論理記号
0578１３２人目の素数さん
2015/11/23(月) 15:36:32.93ID:cijB5UG8とにかく、私が証明したら、今度はスレ主に証明してもらう。
予想を立てたのはスレ主だしな。
0579１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 10:54:00.12ID:WuoQ5wU/やあ、おっちゃんです。
任意のε＞0に対して定まる開区間(-ε,ε)を、I(ε)＝(-ε,ε) で表わす。
[第１段](任意のε＞0に対して、開区間I(ε)に含まれるような、ハメル基底の存在性)：
ε＞0とする。すると、I(ε)＝(-ε,ε)。ここに、実数直線R上で有理数は稠密なることに
注意する。εに対し、L(ε)を、開区間I(ε)に含まれるような、実数体Rの有理数体Q上の
一次独立な部分集合全体の族とする。以下、L(ε)をLで略記する。すると、有理数の稠密性
から、RのQ上一次独立な部分集合 {√2} に対し、或る a∈Q が存在して、{a√2}∈L となる
から、L≠Φ。Lは集合の包含関係⊂について、半順序集合である。Aを添数集合とする。
{I_α|α∈A} をLの全順序部分集合とする。ここに、各α∈Aに対して I_α は開区間I(ε)では
ない。S＝∪_{α∈A}(I_α) とする。n∈N＼{0} とする。x_1,…,x_n∈S とする。すると、
x_1,…,x_n をすべて含むような或る S_α(α∈A) が存在して、S_α はRのQ上一次独立な
部分集合だから、{x_1,…,x_n} はQ上一次独立である。自然数 n∈N＼{0}、Sの元 x_1,…,x_n は
任意でよいから、任意の α∈A について、SはI_αのすべての点を含むLの元であり、I_α⊂S で
ある。また、SはQ上一次独立な集合である。そして、任意の α∈A に対して、S_α⊂S だから、
Sは {S_α|α∈A} のLにおける上界である。従って、Zornの補題から、LつまりL(ε)には極大元が
1個以上存在する。その極大元を H(ε) とする。H(ε) は開区間 I(ε) に含まれる、
実数体Rの有理数体Q上の一次独立な部分集合全体の族だから、H(ε) はハメル基底の
定義の条件を確かにすべて満たす。従って、H(ε) は開区間 I(ε) に含まれるような、
ハメル基底である。ε＞0は任意でよいから、任意のε＞0に対して、開区間 I(ε) に含まれる、
ハメル基底 H(ε) が存在する。 (第１段終了)
0580１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 10:56:30.24ID:WuoQ5wU/(>>579の続き)
任意のε＞0に対して定まる、ハメル基底 H(ε)⊂I(ε) の族Hを
H＝{H(ε)|ε＞0、H(ε)は開区間 I(ε)＝(-ε,ε) に含まれるハメル基底}
とする。Hは非可算集合であり、HからHへの全単射が存在する。
[第２段](任意のε＞0に対して、card(H(ε))＝c)：ε＞0とする。
すると、ハメル基底 H(ε) は開区間 I(ε)＝(-ε,ε) に含まれるから、実数直線Rの
完備性から、H(ε) に対して、或る有界閉区間 J(ε) が存在して、H(ε)⊂J(ε)⊂I(ε)。
そして、有界閉区間J(ε)には下限 a＝inf(J(ε))、上限 b＝sup(J(ε)) が存在する。
J(ε) は閉集合であり、J(ε)＝[a,b]。ここで、有界閉区間 [a,b] はコンパクトである。
従って、H(ε)⊂[a,b] から、直線Rにおいて、H(ε)はコンパクトである。Heine・Borelの
定理から、H(ε)は有界閉区間である。従って、H(ε)には下限 a＝inf(H(ε))、上限
b＝sup(H(ε)) が存在し、H(ε)＝[a,b]。ここで、a＝b とする。すると、H(ε) は
ただ1点aからなるハメル基底となる。従って、H(ε)∈H は、1点aからなる、体Q上の、
線型空間Rの線型部分空間 V＝{ra∈R|r∈Q} の基底{a}である。Vの次元は1であり、
V≠Φ はRの真部分空間である。従って、任意のR＼Vに属する点は、ハメル基底 H(ε) の
有限個の点と有限個の有理数の一次結合として表せない。従って、H(ε)について、
ハメル基底が満たすべき定義に反し、矛盾が生じる。従って、a＜b である。閉区間[a,b]
の濃度はcだから、H(ε)の濃度は、card(H(ε))＝c。ε＞0は任意でよいから、任意の
Hのハメル基底 H(ε) の濃度は、card(H(ε))＝c。 (第２段終了)
0581１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 10:58:47.41ID:WuoQ5wU/(>>580の続き)
定義から、線型空間R上で、1点0からなる基底{0}により張られる、体Q上の線型部分空間の
次元は0である。従って、集合族Hは有限交差性を持たないとしても一般性は失わない。
[第３段](任意のε＞0に対して、ハメル基底 H(ε)⊂I(ε) は完全集合)：ε＞0 とする。
すると、開区間 I(ε)＝(-ε,ε) に含まれるハメル基底 H(ε) が存在する。x∈H(ε)を
任意に取る。r＞0とする。すると、H(ε)⊂I(ε)＝(-ε,ε)。ε_1＞0 を任意に取る。
すると、開区間 I(ε_1)＝(-ε_1,ε_1) に含まれるハメル基底 H(ε_1) が存在する。
定義から、或る無理数 y_1∈H(ε_1) が存在して、{x,y_1} は有理数体Q上一次独立なる
基底となる。従って、y_1に対して、或る a_1∈Q が存在して、a_1・y_1 は a_1・y_1≠x
なる H(ε) の点となる。同様に、ε_2＞0 を任意に取る。すると、開区間 I(ε_2)＝(-ε_2,ε_2)
に含まれるハメル基底 H(ε_2) が存在する。定義から、或る無理数 y_2∈H(ε_2) が存在して、
{x,y_2} は体Q上一次独立なる基底となる。従って、y_2に対して、或る a_2∈Q が存在して、
a_2・y_2 は a_2・y_2∈(-ε,ε)＝I(ε) なる H(ε) の点となる。ε_1,ε_2＞0 はどちらも
任意でよいから、任意の ε_1,ε_2＞0 に対して、各 i＝1,2 について、或る無理数 y_i∈H(ε_i)、
或る a_i∈Q が存在して、次の 1)、2)、3)、4) が成り立つ：
1)：各 i＝1,2 に対して、y_i∈H(ε_i) は無理数で、a_i∈Q である、
2){x,y_i} は体Q上一次独立な基底である、
3)：a_1・y_1 は a_1・y_1≠x なる H(ε) の点である、
4)：a_2・y_2 は a_2・y_2∈I(ε) なる H(ε) の点である。
0582１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 11:00:50.08ID:WuoQ5wU/(>>581の第３段の続き)
ここに、card(H(ε))＝card(H(ε_1))＝card(H(ε_2))＝c。ここで、(H(ε)-{x})∩(x-r,x+r)＝Φ
とする。すると、開区間 (x-r,x+r) に属する H(ε) の、xとは異なる点は存在しない。従って、
両方共に如何なる ε_1,ε_2＞0 を取ろうとも、各 i＝1,2 に対して、無理数 y_i∈H(ε_i)、
a_i∈Q を両方共に如何に選ぼうとも、a_1・y_1≠a_2・y_2 となる。1つの有理数と1つの無理数から
なる基底はQ上一次独立で、ℵ_0＝card(Q)＜card(R＼Q)＝c である。従って、両方共に或る
ε_1,ε_2＞0 を取ると、上の 1)、2)、3)、4) を満たすような、或る2つの無理数 y_1∈H(ε_1)、
y_2∈H(ε_2) に対して、(y_1)/(y_2) を有理数とすることが出来る。しかし、このような
操作を施すと、2つの正の実数 ε_1,ε_2 に対し、上の 1)、2)、3)、4) を満たすような、
各 i＝1,2 に対して、或る無理数 y_i∈H(ε_i)、或る a_i∈Q が存在して、a_1・y_1≠a_2・y_2、
a_1・y_1＝a_2・y_2 が両立し、矛盾する。従って、(H(ε)-{x})∩(x-r,x+r)≠Φ。r＞0は任意で
よいから、xは H(ε) の集積点である。H(ε) の点xは任意でよいから、H(ε) は完全集合である。
ε＞0は任意でよいから、任意のε＞0に対して、ハメル基底 H(ε)⊂I(ε) は完全集合である。 (第３段終了)
実数体Rの有理数体Q上の超越基底を考える。
[第４段](任意の任意のε＞0に対して、開区間(-ε,ε)に含まれるような、超越基底の存在性)：
任意の実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sは、ハメル基底の部分集合だから、任意のε＞0に対して、
開区間(-ε,ε)に含まれるような、超越基底S(ε)が存在する。
0583１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 11:02:30.82ID:WuoQ5wU/(>>582の続き)
ε＞0に対して定まる、実数体Rの有理数体Q上の超越基底 S(ε)⊂(-ε,ε) の族Sを
S＝{S(ε)|ε＞0、S(ε)は開区間 I(ε)＝(-ε,ε) に含まれる、RのQ上の超越基底}
とする。Sは非可算集合であり、SからSへの全単射が存在する。
[第５段](任意のε＞0に対して、S(ε)⊂H(ε) )：正の実数 ε＞0 を任意に取ると、
確かに S(ε)⊂H(ε)⊂(-ε,ε)＝I(ε) である。
[第６段](任意のε＞0に対して、card(S(ε))＝c)：ε＞0とする。すると、超越基底
S(ε) は開区間 I(ε)＝(-ε,ε) に含まれるから、実数直線Rの完備性から、S(ε) に
対して、或る有界閉区間 J(ε) が存在して、S(ε)⊂J(ε)⊂I(ε)。そして、有界閉区間
J(ε) には下限 a＝inf(J(ε))、上限 b＝sup(J(ε)) が存在する。J(ε) は閉集合であり、
J(ε)＝[a,b]。ここで、有界閉区間 [a,b] はコンパクトである。従って、S(ε)⊂[a,b]
から、直線Rにおいて、S(ε) はコンパクトである。Heine・Borelの定理から、S(ε) は
有界閉区間である。従って、S(ε) には下限 a＝inf(S(ε))、上限 b＝sup(S(ε)) が存在し、
S(ε)＝[a,b]。ここで、a＝b とする。すると、S(ε) はただ1点aからなる実数体Rの
有理数体Q上の超越基底となる。従って、S(ε)∈H は1点aからなるRのQ上の超越基底{a}である。
定義から、{a}はQ上代数的独立だから、aは超越数である。従って、Qにaを添加した体Q(a)は
超越拡大体となる。従って、定義から、RはQ(a)の代数拡大体である。しかし、
card(Q(a))＝ℵ_0＜c＝card(R) から、体Q(a)上超越的な実数は非可算個存在する。
従って、RはQ(a)の代数拡大体とはならず、矛盾が生じる。従って、a＜b。閉区間 [a,b]
の濃度はcだから、card(S(ε))＝c。ε＞0は任意でよいから、任意のSの超越基底 S(ε) の
濃度は、card(S(ε))＝c。 (第６段終了)
0584１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 11:06:41.92ID:WuoQ5wU/(>>583の続き)
以下、実数直線R上、有理数は稠密だから、ハメル基底とRのQ上の超越基底について、
ε＞0を任意に取ったとき、超越基底がS(ε)に等しくなり、ハメル基底がH(ε)に
等しくなると仮定しても一般性は失わない。
[第７段](任意のε＞0に対して、S(ε)、H(ε) は零集合)：ε＞0を任意に取る。すると、
開区間 I(ε)＝(-ε.ε) に含まれる、完全集合なるハメル基底 H(ε) は H(ε) 自身の
導集合に等しいから、定義から、H(ε) は稠密集合である。任意の点 x∈H(ε) に対し、
xは H(ε) の触点かつ{x}は H(ε) の閉包である。開区間 I(ε) に含まれる、超越基底
S(ε)、ハメル基底H(ε)の包含関係は、S(ε)⊂H(ε)。従って、S(ε)の外測度を m(S(ε))、
H(ε)の外測度を m(H(ε)) とすれば、εに対して、或る ε＞a(ε)＞0 なる実数 a(ε) が
存在して、m(S(ε))≦m(H(ε))≦a(ε)。ε＞0は任意でよいから、ε→0 とすれば、a(ε)→0
となり、m(S(ε))＝m(H(ε))＝0。従って、S(ε)、H(ε)は零集合である。正の実数εは
任意でよいから、任意のε＞0に対して、S(ε)、H(ε)≠Φ は零集合である。
[第８段](任意のε＞0に対して、card(S(ε))＝card(H(ε))＝c)：第２段、第６段の結果を組合せればよい。
[第９段](任意のε＞0に対して、S(ε)、H(ε)は非可算零集合)：第７段、第８段の結果を組合せればよい。
[第１０段](超越基底とハメル基底は、非可算零集合)：以上の議論から、確かにそうである。
0585１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 12:32:45.41ID:DdIKV3mC根本的にどうしようもなく間違ってるところがある。
どこが間違いなのかはいちいち指摘しない。
だが根本的にどうしようもなく間違ってるところがある。
0586１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 12:42:16.13ID:WuoQ5wU/>>580の第２段の
>Heine・Borelの定理から、H(ε)は有界閉区間である。
>従って、H(ε)には下限 a＝inf(H(ε))、
>上限 b＝sup(H(ε)) が存在し、H(ε)＝[a,b]。
の部分について、訂正：
「有界閉区間」→「有界閉集合」、 「H(ε)＝[a,b]。」→「H(ε)⊂[a,b]。」。
あと、>>583の第６段の
>Heine・Borelの定理から、S(ε) は
>有界閉区間である。従って、S(ε) には下限 a＝inf(S(ε))、
>上限 b＝sup(S(ε)) が存在し、S(ε)＝[a,b]。
の部分について、訂正：
「有界閉区間」→「有界閉集合」、 「S(ε)＝[a,b]。」→「S(ε)⊂[a,b]。」。
0587１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 12:51:17.90ID:DdIKV3mC無意味な修正。
根本的にどうしようもなく間違ってるところがある。
どこが間違いなのかはいちいち指摘しない。
だが根本的にどうしようもなく間違ってるところがある。
0588１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 13:00:28.00ID:WuoQ5wU/あと、>>580の
>任意のε＞0に対して定まる、ハメル基底 H(ε)⊂I(ε) の族Hを
>H＝{H(ε)|ε＞0、H(ε)は開区間 I(ε)＝(-ε,ε) に含まれるハメル基底}
>とする。
の部分は
>任意のε＞0に対して定まる、ハメル基底 H(ε)⊂I(ε) の族Hを
>H＝{H(ε)|ε＞0は変数、H(ε)は、或るε＞0に対して定まるような、開区間 I(ε)＝(-ε,ε) に含まれるハメル基底}
>とする。
に訂正。>>583の
>ε＞0に対して定まる、実数体Rの有理数体Q上の超越基底 S(ε)⊂(-ε,ε) の族Sを
>S＝{S(ε)|ε＞0、S(ε)は開区間 I(ε)＝(-ε,ε) に含まれる、RのQ上の超越基底}
>とする。
の部分は、
>任意のε＞0に対して定まる、超越基底 S(ε)⊂(-ε,ε) の族Sを
>S＝{S(ε)|ε＞0は変数、S(ε)は、或るε＞0に対して定まるような、開区間 I(ε)＝(-ε,ε) に含まれる超越基底}
>とする。
に訂正。
0589１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 13:11:14.23ID:DdIKV3mCやはり無意味な修正。
根本的にどうしようもなく間違ってるところがある。
どこが間違いなのかはいちいち指摘しない。
だが根本的にどうしようもなく間違ってるところがある。
0590１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 13:25:11.92ID:DdIKV3mC1個ではなく、複数個存在する。ボロボロすぎて話にならない。
0591１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 13:29:07.43ID:WuoQ5wU/>>580の第２段の
>従って、H(ε)⊂[a,b] から、直線Rにおいて、H(ε)はコンパクトである。
の部分と、>>583の第６段の
>従って、S(ε)⊂[a,b] から、直線Rにおいて、S(ε) はコンパクトである。
の部分は、どちらも省略して消しゴムで消す。
0592１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 13:31:35.47ID:DdIKV3mC依然として無意味な修正。
根本的にどうしようもなく間違ってるところが複数個ある。
どこが間違いなのかはいちいち指摘しない。
だが根本的にどうしようもなく間違ってるところが複数個ある。
0593１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 13:34:39.18ID:WuoQ5wU/実際のところは確かにそうだが、以前、背理法は結論を否定して
矛盾が導ければ万々歳、とかいう話をいってなかったか？
意味が云々とかいう問題ではなく。
0594１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 13:55:48.46ID:DdIKV3mCなぜ背理法の話になるのか意味不明。
「根本的にどうしようもなく間違ってるところが複数個ある」と言っている。
ボロボロすぎて話にならない。
＞以前、背理法は結論を否定して矛盾が導ければ万々歳、とかいう話をいってなかったか？
それは背理法のやり方そのもの。それがどうした？何の関係がある？
0595１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 14:07:09.41ID:WuoQ5wU/そもそも、今日の書き込み以前の問題として、>>493-498あたりで、
背理法を用いているにもかかわらず、意味の概念がどうのこうのとか、
訳が分からんことをいい出したことがあるではないか。
>>590は第１段の話だろ。
0596１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 14:12:59.18ID:DdIKV3mC＞背理法を用いているにもかかわらず、意味の概念がどうのこうのとか、
＞訳が分からんことをいい出したことがあるではないか。
意味不明。その背理法の中で使われている数学的道具の運用の仕方が
トンチンカンだから「意味の概念が欠落している」と言ったのだ。
論理学的な真理値(TRUE, FALSE)を把握していることを「意味」と表現しているのでは無い。
＞>>590は第１段の話だろ。
誰も「第１段」などとは言っていない。
「根本的にどうしようもなく間違ってるところが複数個ある」と言っている。
ボロボロすぎて話にならない。
0597１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 14:22:38.34ID:WuoQ5wU/あのな～、私の>>493の背理法を用いた書き込みに対して>>494の反論をすることは、
背理法は結論を否定して矛盾が導ければ万々歳、ということに反しているのだ。
背理法は結論を否定して矛盾が導ければ万々歳なんだから、
その理屈に従えば、本来なら>>493で終わっている筈の話なのだ。
0598１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 14:26:18.43ID:DdIKV3mCワロタｗ
誤答おじさんにとって、>>494は反論として成立していないらしいｗｗ
誤答おじさんは背理法すら分かってないことが判明した。
もう本当に数学やめろよクソ野郎。話にならん。
>>493は間違ってる。反論は>>494で十分。スレ主ですら理解してること。
誤答おじさんだけが分かってない。今日の>>579-584も全然ダメ。
根本的にどうしようもなく間違ってるところが複数個あってボロボロ。
やることなすこと何もかもデタラメ。背理法すら理解してない。
0599１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 14:31:37.20ID:WuoQ5wU/＞>>494は反論として成立していないらしいｗｗ
背理法は結論を否定して矛盾が導ければ万々歳、
の理屈に従えばそうなるだろうが。何いってんだ。
0600１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 14:36:17.58ID:DdIKV3mCどうやらお前は本格的に背理法を理解してないらしい。
しかたがない。>>494で言わんとしていることを、以下で丁寧に書き下してやろう。
そこまで丁寧に書かなければ、お前には伝わらないようだからな。
以下の文章を、落ち着いてよく読んでみなさい↓
カントール集合 S ⊂ [0,1] を取る。card(S)＝c であることが知られている。
特に、Sは非可算零集合である。今の段階では背理法は使っていないことに注意されたい。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の
大小の順序関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合を
R'とする。R'⊂R は非可算故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し
全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。この段では、背理法は使ってないことに注意されたい。
[第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。X＝{x}
(x∈R') とする。と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、
m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。
R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。m(X)＝m({x})＝0 で、R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。
この段では、背理法は使ってないことに注意されたい。
[第３段] card(R)＝card(S)＝c から、RからSへの全単射がある。R、Sは、実数の大小で全順序故、
単調増加関数 g：R→S がある。f：R'→R は単調増加関数故、関数 f^{-1}：R→R' は単調増加で全単射。g＝f^{-1}と
おく。g○f＝I_{R'} はI_Sで、R'＝S。R'は非有界だったから、Sは非有界となる。しかし、S⊂[0,1]であるから、
Sは有界である。よって、ここで矛盾となる。この段では、背理法は使ってないことに注意されたい。
にも関わらず、「Sは有界かつ非有界」という矛盾が出たのである。なぜか？
0601１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 14:44:40.13ID:WuoQ5wU/カントール集合って非有界なのか？
直観的には有界集合に見えるんだけど。
0602１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 14:49:07.63ID:DdIKV3mC第３段で R' ＝ S という等式が導かれていることに注目されたい。
R' は非有界だったから、これと R' ＝ S より、S も非有界となるのだ。
このことはちゃんと
＞R'＝S。R'は非有界だったから、Sは非有界となる。
と明示してあるだろう。「落ち着いてよく読んでみなさい」と言っただろうが。
・・・その一方で、カントール集合は もちろん「有界」である。
つまり、>>600の議論では、有界であるはずのカントール集合が非有界となってしまう。
なぜこのような事態が起こっているのか？
0603１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 14:51:27.79ID:WuoQ5wU/あ、カントール集合の場合が、背理法を使わなくても同様な論法が
成り立って同じ矛盾が得られて、例外があることになるのか。
0604１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 14:57:17.61ID:WuoQ5wU/>>493のような論法を認めたら、カントール集合が存在しない
ことになって矛盾が生じるのか。
0605１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 14:58:12.87ID:DdIKV3mCそのとおり。>>494で言わんとしていたことは、まさにそういうこと。
スレ主ですら理解していたこと。
で、背理法を使ってないのに なぜ矛盾が出たのかというと、
「>>600の論法はどこかが間違っているから」
ということ。結局、>>493はどこかが間違ってるということ。
そして、今日の>>579-584も全然ダメ。
0606１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 15:07:13.92ID:WuoQ5wU/だけど、高校でこんなことまでしてたか？
スレ主が分かっているということは、高校でしていることなのか？
0607１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 15:20:44.34ID:DdIKV3mCそんなことだから「意味」の概念が欠落していると言っているのだ。
だから数学やめろと言っているのだ。
いつどこで何を勉強したかは関係が無い。
論理に対する正しい理解が備わっていれば、自然と身についているはずのシロモノ。
現にスレ主も理解している。スレ主もまた、
「カントール集合のときヤバイんじゃね？」
という趣旨の発言を何度もしている。
そもそも、スレ主はお前より遥かにマトモだ。
で、話を元に戻すと、>>493は間違ってるからダメ。
今日の>>579-584も全然ダメ。
誤答おじさんのやることは全部ダメ。
やることなすこと全部デタラメ。
0608１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 15:29:44.09ID:WuoQ5wU/数学するときは、数学的対象を意識しつつ論理を組立てましょうか。
フーン。論理的真偽の方を優先にしてたからな～。
0609１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 15:55:34.37ID:WuoQ5wU/>閉区間[a,b]の濃度はcだから、H(ε)の濃度は、card(H(ε))＝c。
も間違ってますな。H(ε)⊂[a,b] だからといって、card(H(ε))＝c はいえませんな。
>>583の第６段の
>閉区間 [a,b] の濃度はcだから、card(S(ε))＝c。
も間違ってますな。S(ε)⊂[a,b] だからといって、card(S(ε))＝c はいえませんな。
だけど、card(S(ε))＝card(H(ε))＝c は、本当は示すまでもないことなんだよな。
0610１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 16:06:14.14ID:WuoQ5wU/>以下、実数直線R上、有理数は稠密だから、ハメル基底とRのQ上の超越基底について、
>ε＞0を任意に取ったとき、超越基底がS(ε)に等しくなり、ハメル基底がH(ε)に
>等しくなると仮定しても一般性は失わない。
って、こういう仮定は出来ないのか？ 問題は特に生じないと思うんだけど。
はじめから、ハメル基底と超越基底は固定しなきゃダメなのか？
0611１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 17:17:34.88ID:WuoQ5wU/まあ、ついでに訂正版。
任意のε＞0に対して定まる開区間(-ε,ε)を、I(ε)＝(-ε,ε) で表わす。
[第１段](任意のε＞0に対して、開区間I(ε)に含まれるような、ハメル基底の存在性)：
ε＞0とする。すると、I(ε)＝(-ε,ε)。ここに、実数直線R上で有理数は稠密なることに
注意する。εに対し、L(ε)を、開区間I(ε)に含まれるような、実数体Rの有理数体Q上の
一次独立な部分集合全体の族とする。以下、L(ε)をLで略記する。すると、有理数の稠密性
から、RのQ上一次独立な部分集合 {√2} に対し、或る a∈Q が存在して、{a√2}∈L となる
から、L≠Φ。Lは集合の包含関係⊂について、半順序集合である。Aを添数集合とする。
{I_α|α∈A} をLの全順序部分集合とする。ここに、各α∈Aに対して I_α は開区間I(ε)では
ない。S＝∪_{α∈A}(I_α) とする。n∈N＼{0} とする。x_1,…,x_n∈S とする。すると、
x_1,…,x_n をすべて含むような或る S_α(α∈A) が存在して、S_α はRのQ上一次独立な
部分集合だから、{x_1,…,x_n} はQ上一次独立である。自然数 n∈N＼{0}、Sの元 x_1,…,x_n は
任意でよいから、任意の α∈A について、SはI_αのすべての点を含むLの元であり、I_α⊂S で
ある。また、SはQ上一次独立な集合である。そして、任意の α∈A に対して、S_α⊂S だから、
Sは {S_α|α∈A} のLにおける上界である。従って、Zornの補題から、LつまりL(ε)には極大元が
1個以上存在する。その極大元を H(ε) とする。H(ε) は開区間 I(ε) に含まれる、
実数体Rの有理数体Q上の一次独立な部分集合全体の族だから、H(ε) はハメル基底の
定義の条件を確かにすべて満たす。従って、H(ε) は開区間 I(ε) に含まれるような、
ハメル基底である。ε＞0は任意でよいから、任意のε＞0に対して、開区間 I(ε) に含まれる、
ハメル基底 H(ε) が存在する。 (第１段終了)
0612１３２人目の素数さん
2015/11/25(水) 17:29:19.81ID:WuoQ5wU/何かよく分からんが、>>611の続きを書こうとしたら
NGワード規制にかかって、これ以上は出来ない。まあ、今日は寝る。
今度出来るのは土日あたりかな。
0613１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 04:24:00.11ID:G4eIi6xW意外な方法があったんだな。多分超越基底Sとかハメル基底だけじゃダメだ。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底S、ハメル基底Hをそれぞれ適当に1つ取り、S⊂H としても一般性は失わない。
ここに、定義から、包含関係は、S⊂H⊂Q∪H⊂R。
[第１段](Q∪H≠Φ はRの真部分集合)：0とは異なる有理数a、無理数 b∈H を任意に取る。
すると、或る、体Q上の、線型空間Rの線型部分空間 V＝{ra+sb∈R|r,s∈Q} が存在して、
{a,b} はVの基底である。そして、a、bは体Q上一次独立である。aとは異なるような、
0とは異なる有理数cを任意に取る。すると、a、b-c は体Q上一次独立である。従って、
{a,b-c} は体Q上の、線型空間Rの線型部分空間 W_1＝{ra+s(b-c)∈R|r,s∈Q} の基底となる。
同様に、b、b-c は体Q上一次独立である。従って、{b,b-c} は体Q上の、線型空間Rの
線型部分空間 W_2＝{rb+s(b-c)∈R|r,s∈Q} の基底となる。W_1、W_2 の各次元は両方共に2である。
また、ハメル基底の定義から、Hは体Q上の線型空間Rの基底である。従って、定義から、
b-c∈H なることはあり得ない。b-c は無理数だから、b-c∈Q なることもあり得ない。
従って、b-c∈Q∪H なることもあり得ない。しかし、b-c∈R だから、Q∪H≠Φ はRの真部分集合である。
[第２段](S、H、Q∪H、R の濃度は連続体濃度cに等しい)：S⊂H⊂Q∪H⊂R だから、
card(S)≦card(H)≦card(Q∪H)≦card(R)。また、card(S)＝card(R)＝c。従って、
ベルンシュタインの定理から、card(S)＝card(H)＝card(Q∪H)＝card(R)＝c。
0614１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 04:25:29.30ID:G4eIi6xW(>>613の続き)
[第３段](Q∪Hは完全集合)：x∈Q∪H とする。r＞0 とする。すると、有理数の稠密性から、
開区間 (x,x+r) に属する有理数sが存在する。開区間 (x,x+r) に属する有理数sについて、
(x,x+r)⊂(x-r,x+r) から、s∈(x-r,x+r)。また、x＜s から s≠x であり、s∈Q∪H だから、
s∈Q∪H－{x}。従って、s∈(Q∪H－{x})∩(x-r,x+r) から、(Q∪H－{x})∩(x-r,x+r)≠Φ。
r＞0 は任意でよいから、xは Q∪H の集積点である。x∈Q∪H は任意でよいから、Q∪H の
導集合は Q∪H 自身に等しい。従って、定義から、Q∪H は完全集合である。
[第４段](S、H、Q∪H は零集合)：ε＞0 を任意に取る。すると、定義から、完全集合 Q∪H は
稠密集合である。任意の点 x∈Q∪H に対し、xは Q∪H の触点 かつ {x}は Q∪H の閉包である。
超越基底S、ハメル基底H、Q∪H の包含関係は、S⊂H⊂Q∪H。従って、Sの外測度を m(S)、
Hの外測度を m(H)、Q∪Hの外測度を m(Q∪H) とすれば、ε＞0 に対して、或る ε＞a(ε)＞0 なる
実数 a(ε) が存在して、m(S)≦m(H)≦m(Q∪H)≦a(ε)。ε＞0 は任意でよいから、ε→0 とすれば、
a(ε)→0 となり、m(S)＝m(H)＝m(Q∪H)＝0。従って、S、H、Q∪H は零集合である。
[第５段](S、H、Q∪H は非可算零集合)：零集合 S、H、Q∪H の各濃度は card(S)＝card(H)＝card(Q∪H)＝c で、
何れも非可算濃度だから、S、H、Q∪H は非可算零集合である。
0615１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 05:08:45.68ID:G4eIi6xW>>613の第１段の
>従って、定義から、b-c∈H なることはあり得ない。
の部分の「定義から、」は「b∈H から、」に訂正。
あと、>>614の第４段の
>任意の点 x∈Q∪H に対し、xは Q∪H の触点 かつ {x}は Q∪H の閉包である。
の部分は
>「距離空間Rにおいて」任意の点 x∈Q∪H に対し、xは Q∪H の触点 かつ {x}は Q∪H の閉包である。
と訂正。
0616１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 11:32:07.07ID:G4eIi6xW>>613の
>実数体Rの有理数体Q上の超越基底S、ハメル基底Hをそれぞれ適当に1つ取り、S⊂H としても一般性は失わない。
>ここに、定義から、包含関係は、S⊂H⊂Q∪H⊂R。
の部分は
>定義から、ハメル基底Hに対して、或る、実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが
>存在して、S⊂H であり、S⊂H⊂Q∪H⊂R。
に訂正。あと、>>613の第１段の
>しかし、b-c∈R だから、Q∪H≠Φ はRの真部分集合である。
の部分は
>しかし、b-c∈R だから、b-c は Q∪H≠Φ に属さない実数である。
>従って、Q∪H≠Φ はRの真部分集合である。
に訂正。
0617１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 12:03:10.67ID:UZFNWaYI訂正しても肝心なところが全部デタラメ。間違いだらけ。問題外。
どこが間違いなのかは自分で探せ。
0618１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 12:59:02.77ID:G4eIi6xWさっきメシ食いながら気付いたが、昨日のメンターの教訓によると、>>613-616の論法は間違いだ。
多分、ハメル基底H⊃Sを持ち出してはいけない。というか、私もすぐにはハメル基底
への一般化が出来ない。Hは連続体濃度cを持つ集合で、>>613-616の論法を認めたら、
同じ論法がHを閉区間[0,1]とかに置き換えても成り立って、第４段で崩れるようになっている。
完備な順序体は実数体Rに限ることを用いないとダメだ。そうすれば、問題はない。
>>613-616を訂正して書く。少しお待ちを。
0619１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 14:12:02.94ID:G4eIi6xWSを実数体Rの有理数体Q上の超越基底とする。ここに、定義から、包含関係は、S⊂Q(S)⊂R。
[第１段](Q(S)≠Φ はRの真部分集合)：定義から、RはQ(S)の代数拡大体だから、
Q(S)上代数的なRの点が存在する。従って、或る、Q(S)上代数的なRの点aが存在して、
aはQ(S)には属さないRの点である。従って、Q(S)≠Φ はRの真部分集合である。
[第２段](S、Q(S)、R の濃度は連続体濃度cに等しい)：S⊂Q(S)⊂R だから、
card(S)≦card(Q(S))≦card(R)。また、card(S)＝card(R)＝c。従って、
ベルンシュタインの定理から、card(S)＝card(Q(S))＝card(R)＝c。
[第３段](Q(S)は完全集合)：x∈Q(S) とする。r＞0 とする。任意の完備な順序体はRに同型
である。しかし、Q(S)≠Φ はRの真部分集合だから、Q(S)はRに同型とはなり得ない。従って、
有理数の稠密性と Q⊂Q(S) とから、Q(S)は完備な順序体ではなく稠密集合である。従って、
開区間 (x,x+r) に属する点 s∈Q(S) が存在する。開区間 (x,x+r) に属するQ(S)の点sについて、
(x,x+r)⊂(x-r,x+r) から、s∈(x-r,x+r)。また、x＜s から s≠x だから、s∈Q(S)－{x}。
従って、s∈(Q(S)－{x})∩(x-r,x+r) から、(Q(S)－{x})∩(x-r,x+r)≠Φ。r＞0 は任意
でよいから、xは Q(S) の集積点である。x∈Q(S) は任意でよいから、Q(S) の導集合は
Q(S) 自身に等しい。従って、定義から、Q(S) は完全集合である。
0620１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 14:14:56.67ID:G4eIi6xW(>>619の続き)
[第４段](S、Q(S) は零集合)：ε＞0 を任意に取る。すると、完全集合 Q(S) は稠密集合である。
任意の点 x∈Q(S) に対し、距離空間R上で、xはQ(S)の触点 かつ {x}はQ(S)の閉包 である。
超越基底S、体Q(S) の包含関係は、S⊂Q(S)。従って、Sの外測度を m(S)、Q(S)の外測度を m(Q(S))
とすれば、ε＞0 に対して、或る ε＞a(ε)＞0 なる実数 a(ε) が存在して、m(S)≦m(Q(S))≦a(ε)。
ε＞0 は任意でよいから、ε→0 とすれば、a(ε)→0 となり、m(S)＝m(Q(S))＝0。従って、
S、Q(S) は零集合である。
[第５段](S、Q(S) は非可算零集合)：零集合 S、Q(S) の各濃度は card(S)＝card(Q(S))＝c で、
どちらも非可算濃度だから、S、Q(S) は非可算零集合である。
0621１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 14:29:55.26ID:UZFNWaYIデタラメ。間違いだらけ。問題外。
どこが間違いなのかは自分で探すこと。
いつものごとく些細な修正を開始するのかもしれんが、
そういう問題ではなく、全くダメ。
0622１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 14:33:47.31ID:G4eIi6xWそもそも、方針が根本的に間違っている訳か。
0623１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 14:55:11.36ID:G4eIi6xW>>562が
>そもそもスレ主は証明できるのか？
>おれは不勉強だからこの問題へのアプローチは1通りしか知らない。
という通り、この問題、ハメル基底やQ(S)でSを被覆する方法が無効となると、
私には方針が思い浮かばんわ。何かの知識が必要なんだろ？ はじめに、
スレ主が証明してくれ。知識がなくこれに取り組んでも無意味だ。
そうでなきゃ、ヒント教えてくれ。基本的な知識だけで証明出来る命題なのか？
0624１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 15:10:27.57ID:UZFNWaYIヒントがあってもなくても同じこと。知識がどうこうの前に、
そもそも誤答おじさんは既存の知識すら正しく使えていないから。
以下に誤答おじさんの間違いを記す。
1つ目の間違い。
Qは完全集合(特に閉集合)：背理法を使わず直接的に証明する。
x∈Q とする。r＞0 とする。任意の完備な順序体はRに同型
である。しかし、Q≠Φ はRの真部分集合だから、QはRに同型とはなり得ない。従って、
有理数の稠密性と Q⊂Q とから、Qは完備な順序体ではなく稠密集合である。従って、
開区間 (x,x+r) に属する点 s∈Q が存在する。開区間 (x,x+r) に属するQの点sについて、
(x,x+r)⊂(x-r,x+r) から、s∈(x-r,x+r)。また、x＜s から s≠x だから、s∈Q－{x}。
従って、s∈(Q－{x})∩(x-r,x+r) から、(Q－{x})∩(x-r,x+r)≠Φ。r＞0 は任意
でよいから、xは Q の集積点である。x∈Q は任意でよいから、Q の導集合は
Q 自身に等しい。従って、定義から、Q はRの完全集合である。
特に、QはRの閉集合である。
ところで、QはRの閉集合ではない。ここで矛盾する。
背理法を使ってないのになぜ矛盾が出たのか？
2つ目の間違い。
Rは零集合：Rは完全集合であることに注意する。
ε＞0 を任意に取る。すると、完全集合 R は稠密集合である。
任意の点 x∈R に対し、距離空間R上で、xはRの触点 かつ {x}はRの閉包 である。
従って、Rの外測度を m(R)とすれば、ε＞0 に対して、或る ε＞a(ε)＞0 なる実数 a(ε) が存在して、
m(R)≦a(ε)。ε＞0 は任意でよいから、ε→0 とすれば、a(ε)→0 となり、m(R)＝0。従って、
R は零集合である。
ところで、Rはゼロ集合ではない。ここで矛盾する。
背理法を使ってないのになぜ矛盾が出たのか？
0625１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 15:14:27.95ID:UZFNWaYIまず、RのQ上のハメル基底・超越基底は決してRの解析集合(analytic set)にならないことが知られている。
ここで、完全集合は閉集合であり、閉集合はボレル可測集合であり、ボレル可測集合は解析集合である。
よって、ハメル基底や超越基底が「完全集合」だと証明されている誤答おじさんの証明は自動的に間違いとなる。
常識的に考えても、選択公理が絡んでる集合なのにそう安々と位相的に良い性質を持った集合になるわけが無い。
0626１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 15:18:57.60ID:ZfVs61Ox永遠に起きて来なくても良いよw
0627１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 15:22:51.54ID:G4eIi6xWおなじみの有理数の稠密性が使えなかったのか。
測度以前に、基本的なことなんだけど。あと、m(R)＞0 か。
0628１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 15:28:10.26ID:G4eIi6xW>まず、RのQ上のハメル基底・超越基底は決してRの解析集合(analytic set)にならないことが知られている。
これは知らなかったわ。
0629１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 15:31:09.80ID:UZFNWaYI(1) なにかしらの集合が「完全集合」であることの証明手法がまず間違っている。
(2) なにかしらの集合が「ゼロ集合」であることの証明手法がこれまた間違っている。
(3) 選択公理が絡んでいるハメル基底・超越基底に「良い位相的性質」を期待する安易な方針が既に間違っている。
という、間違いのオンパレード。何一つとして「一人前に」証明できてない。
特に、(2)の間違え方がデタラメすぎて情けない。測度のことを何一つとして理解してない。
>>628
＞これは知らなかったわ。
そういう問題ではない。知っていようが知っていまいが、
選択公理が絡んでいる集合に「良い位相的性質」を期待している時点でアウトなのだ。
仮に示せるとしても相当むずかしいに決まってて、こんな簡単に言えるわけが無いから。
0630１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 15:35:50.81ID:1b5OOJ9J当たり前だろ！
>特に、QはRの閉集合である。
？？？？？？？
無理数に収束する有理数列が有るのにQがRの閉集合なわけないだろ！
0631１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 15:43:51.19ID:G4eIi6xW＞>特に、QはRの閉集合である。
＞？？？？？？？
＞無理数に収束する有理数列が有るのにQがRの閉集合なわけないだろ！
多分私宛てに書いたんだろうけど、これはどこに書いた？
0632１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 15:47:48.63ID:G4eIi6xWあ、>>624で指摘されたように、意識しなかったって意味で
私がその間違いを>>627に書いたようにどこかに書いたって意味で書いたのね。
0633１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 15:49:24.43ID:6QY6fKYtガロア理論、位相？
そんなもん語る状態に無いでしょ爺さん。
0634１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 15:53:18.93ID:G4eIi6xWコンパクトなハメル基底や超越基底の存在性は>>611で証明したろ。
0635１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 16:02:50.03ID:UZFNWaYIいい加減にしろクソ野郎。
Rのコンパクト集合は閉集合である。閉集合はボレル可測集合である。ボレル可測集合は解析集合である。
しかし、RのQ上のハメル基底・超越基底は決してRの解析集合にならない。
よって、コンパクトなハメル基底や超越基底は存在しない。
もし存在性が証明できているならば、その証明は自動的に間違い。
そもそも、>>611には「コンパクト」なんて一言も書いてない。
ただ単に「 (－ε,ε)に含まれるハメル基がある」としか言ってない。
まさか、(－ε,ε)に含まれる集合は何でもかんでもコンパクトになると思ってるのか？
だとしたら位相空間論の知識がボロボロってことだ。誤答おじさんらしいなｗｗｗ
0636１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 16:12:06.21ID:G4eIi6xW別に。ハイネ・ボレルの定理があるからそれはない。直観的にコンパクトだと思っただけ。
>S⊂Q(S)。従って、Sの外測度を m(S)、Q(S)の外測度を m(Q(S)) とすれば、
>ε＞0 に対して、或る ε＞a(ε)＞0 なる実数 a(ε) が存在して、m(S)≦m(Q(S))≦a(ε)。
のようなおなじみの論法が通用しないのね。まあ、「ワロタ」とか、「クソ野郎」と幾度も書く
あたりから見ると、感情的というか性格が何か悪いですな。メンターは多分崩れでしょう。
ここまで性格が悪いと、大学とかではやっていけないでしょう。
ワロタは2チャンネル用語らしいんですわな。
0637１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 16:23:36.32ID:5XCdJCIr余りにも阿呆で傲慢なので、
メンター、メンターと持ち上げていた人からも見放された誤答おじさん。
0638１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 16:28:04.94ID:UZFNWaYI＞直観的にコンパクトだと思っただけ。
意味不明。単にそのように思っただけなのであれば、
「>>611で証明した」と断定することはありえない。
コンパクトであることを証明した気になっていたけど、
実は間違っていることを俺に指摘されてバツが悪くなったから、
「コンパクトだと思っただけだ」と後から言い直したのだろう。
言い訳にもなっていない。
そもそも、なぜ誤答おじさんが>>634を書いたかと言えば、俺の
＞選択公理が絡んでいる集合に「良い位相的性質」を期待している時点でアウトなのだ。
この部分に反論するためである。にも関わらず「直観的にコンパクトだと思った」では会話が成立していない。
俺が言っているのは「そういう安直な考えは捨てろ」なのに、それに対して「安直にそう思った」では会話が成立していないのだ。
それらを考慮した上で改めて>>634を見ると、やはり「>>611で証明した」と断定されている。
確かに、「証明した」のであれば会話が成立している。すなわち、
・ 俺が言っているのは「そういう安直な考えは捨てろ」であり、
・ それに対して「いや、その安直な考えが実際に証明できたぞ」という反論ならば、
・ 確かに会話が成立している
のである。とすると、やはり>>634は「直観的にコンパクトだと思っただけ」という意味ではなく
「コンパクトであることが証明できた」という意味であると考えられる。
そして、そのことが間違っていることを俺に指摘されてバツが悪くなったから
「コンパクトだと思っただけだ」と後から言い直したのだろう。
言い訳にもなっていない。やはりクソ野郎である。
0639１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 16:36:06.34ID:G4eIi6xWむしろ、メンターみたいなタイプには見放された方がいい。
あそこまで感情的起伏が激しいと相手するのに困る。メンターは解析専攻でしょう。
メンターっぽい人が以前、調和解析の話をしているのを見たことがある。
調和解析に妙に詳しいと思ったことはある。
0640１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 16:42:35.90ID:G4eIi6xW>コンパクトであることを証明した気になっていたけど、
>実は間違っていることを俺に指摘されてバツが悪くなったから、
>「コンパクトだと思っただけだ」と後から言い直したのだろう。
まあ、大筋その通りだ。認めよう。
0641１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 16:50:39.17ID:hPBeqGK1嘘つきに数学は無理よ。
自分に対しても嘘を平気で吐くから、
誤りをを認めることが出来ない。
「証明」を手放すことが出来ない誤答おじさん。
嘘で固めて「証明」を証明と言い張る。
0642１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 17:03:59.97ID:G4eIi6xW>>641
なら、>>634では
>任意のε＞0に対して、開区間(-ε,ε)に含まれる
>ハメル基底が存在することを>>611で示した
と書いていれば、満足？
文が長くなって書くのが面倒臭くなるんだけど。
0643１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 17:16:15.04ID:UZFNWaYI＞むしろ、メンターみたいなタイプには見放された方がいい。
＞あそこまで感情的起伏が激しいと相手するのに困る。メンターは解析専攻でしょう。
お前の証明が正しければ誰からのツッコミも来ないという根本的な解決策からは目を背けて
くだらない特定ゴッコに精を出しているあたりが、いかにも「ダメな人」の典型例である。
>>642
その場合、レスの内容は正しくなるが、俺の
＞選択公理が絡んでいるハメル基底・超越基底に「良い位相的性質」を期待する安易な方針が既に間違っている。
への反論にはなってないので、そもそもレスの意味がなくなる。
最初からヘンな反論をせずに黙っていれば良かっただけの話。
そもそも、「見放された方がいい」と言いつつも
今さら俺にレスを返してくる意図が意味不明。
ここのスレ主からも煙たがられてるし、他のスレでも散々迷惑かけてきたみたいだし、
ホントに何がしたいんだこいつ。
0644１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 18:16:53.68ID:g/rZdFgl> あそこまで感情的起伏が激しいと相手するのに困る。
0645１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 22:19:25.06ID:yy5u8zGz改良版の命題は正しいが、証明が無いので不正解。
【準備】
あるε>0に対し、a∈X のε近傍を U(a,ε) と書く。U(a,ε):={x∈X||a-x|<ε} である。
f:A⊂X→Y が a∈A で連続である ⇔ ∀ε>0 に対し、ある δ>0 が存在して、f(U(a,δ)∩A)⊂U(f(a),ε) とする。
【命題】
距離空間 (X,dX) の開集合 A⊂X から (Y,dY) への写像 f:A→Y が連続であるための必要十分条件は、
Y の任意の開集合 U に対して f^(-1)(U) が X の開集合となることである。
【証明】
(1)f は A で連続であると仮定
U は Y の開集合とする。
f^(-1)(U)={} であるなら、主張は正しいので、以下、f^(-1)(U)≠{} とする。
a∈f^(-1)(U) とする。a∈A、f(a)∈U である。
U は Y の開集合であるから、ある ε>0 が存在して、U(f(a),ε)⊂U
仮定より、ある δ1>0 が存在して f(U(a,δ1)∩A)⊂U(f(a),ε)⊂U すなわち U(a,δ1)∩A⊂f^(-1)(U)
A は X の開集合であるから、ある δ2>0 が存在して、U(a,δ2)⊂A
δ=min(δ1,δ2) とおけば、U(a,δ)⊂U(a,δ1) かつ U(a,δ)⊂U(a,δ2)⊂A であるから、U(a,δ)⊂U(a,δ1)∩A⊂f^(-1)(U)
ゆえに、f^(-1)(U) は X の開集合である。
(2)Y の任意の開集合 U に対し、f^(-1)(U) は X の開集合であると仮定
a∈A、ε>0 とする。
U(f(a),ε) は Y の開集合であるから、仮定より、f^(-1)(U(f(a),ε)) は X の開集合である。
よって、ある δ>0 が存在し、U(a,δ)⊂f^(-1)(U(f(a),ε))⊂A すなわち f(U(a,δ)∩A)⊂U(f(a),ε)
ゆえに、f は A で連続である。■
0646１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 22:19:58.73ID:yy5u8zGzA が X の開集合でない場合の命題を提示する。
【命題】
距離空間 (X,dX) の部分集合 A⊂X から (Y,dY) への写像 f:A→Y が連続であるための必要十分条件は、
Y の任意の開集合 U に対して、X のある開集合 V が存在して、f^(-1)(U)=A∩V が成立つことである。
【証明】
A が X の開集合であるなら、前命題より V=f^(-1)(U) とすればよいから、A は X の開集合でないとする。
(1)f は A で連続であると仮定
A は X の開集合でないから、A⊂≠X、よって、X のある開集合 A' が存在し、A⊂≠A'⊂X を満たす。
f':A'→Y を f'|A=f かつ f' は A' で連続 となるように定める。（f'|A は f' の A への制限）
前命題より、Y の任意の開集合 U に対し、f'^(-1)(U):=V は X の開集合である。
a∈f^(-1)(U) ⇒ a∈A かつ f(a)∈U ⇒ f(a)=f'(a)∈U ⇒ a∈f'^(-1)(U) より、f^(-1)(U)⊂f'^(-1)(U)
また定義より、f^(-1)(U)⊂A であるから、f^(-1)(U)⊂A∩V・・・(a)
a∈A かつ a∈f'^(-1)(A) ⇒ f(a)=f'(a)∈U ⇒ a∈f^(-1)(U) より、A∩V⊂f^(-1)(U)・・・(b)
(a),(b)より、f^(-1)(U)=A∩V
ゆえに、Y の任意の開集合 U に対し、X のある開集合 V が存在して、f^(-1)(U)=A∩V
(2)Y の任意の開集合 U に対し、X のある開集合 V が存在して、f^(-1)(U)=A∩V が成り立つと仮定
a∈A、ε>0 とする。
U(f(a),ε) は Y の開集合であるから、仮定より、X のある開集合 V が存在して、f^(-1)(U(f(a),ε))=A∩V
すなわち、f(A∩V)=U(f(a),ε)
これと、f(a)∈U(f(a),ε)より、a∈V
V は X の開集合であるから、ある δ>0 が存在して、U(a,δ)⊂V
よって、f(A∩U(a,δ))⊂f(A∩V)=U(f(a),ε)
ゆえに、f は A で連続である。■
0647１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 22:31:41.22ID:yy5u8zGzうう訂正。。。
＞a∈A かつ a∈f'^(-1)(A) ⇒ f(a)=f'(a)∈U ⇒ a∈f^(-1)(U) より、A∩V⊂f^(-1)(U)・・・(b)
a∈A かつ a∈f'^(-1)(U) ⇒ f(a)=f'(a)∈U ⇒ a∈f^(-1)(U) より、A∩V⊂f^(-1)(U)・・・(b)
0648１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 23:23:54.16ID:PAIa9uKh一撃で分からなアカン
距離空間の場合を確かめるのは悪くないが、
本来一般の位相空間の場合でやるべき演習
0649１３２人目の素数さん
2015/11/26(木) 23:30:22.13ID:yy5u8zGzそこは俺に言われても困る
0650１３２人目の素数さん
2015/11/27(金) 16:04:59.09ID:qRNBmtTR[第１段](任意のε＞0に対して、開区間I(ε)に含まれるような、ハメル基底の存在性)：
ε＞0とする。すると、I(ε)＝(-ε,ε)。ここに、実数直線R上で有理数は稠密なることに
注意する。εに対し、L(ε)を、開区間I(ε)に含まれるような、実数体Rの有理数体Q上の
一次独立な部分集合全体の族とする。以下、L(ε)をLで略記する。すると、有理数の稠密性
から、RのQ上一次独立な部分集合 {√2} に対し、或る a∈Q が存在して、{a√2}∈L となる
から、L≠Φ。Lは集合の包含関係⊂について、半順序集合である。Aを添数集合とする。
{I_α|α∈A} をLの全順序部分集合とする。ここに、各α∈Aに対して I_α は開区間I(ε)では
ない。S＝∪_{α∈A}(I_α) とする。n∈N＼{0} とする。x_1,…,x_n∈S とする。すると、
x_1,…,x_n をすべて含むような或る S_α(α∈A) が存在して、S_α はRのQ上一次独立な
部分集合だから、{x_1,…,x_n} はQ上一次独立である。自然数 n∈N＼{0}、Sの元 x_1,…,x_n は
任意でよいから、任意の α∈A について、SはI_αのすべての点を含むLの元であり、I_α⊂S で
ある。また、SはQ上一次独立な集合である。そして、任意の α∈A に対して、S_α⊂S だから、
Sは {S_α|α∈A} のLにおける上界である。従って、Zornの補題から、LつまりL(ε)には極大元が
1個以上存在する。その極大元を H(ε) とする。H(ε) は開区間 I(ε) に含まれる、
実数体Rの有理数体Q上の一次独立な部分集合全体の族だから、H(ε) はハメル基底の
定義の条件を確かにすべて満たす。従って、H(ε) は開区間 I(ε) に含まれるような、
ハメル基底である。ε＞0は任意でよいから、任意のε＞0に対して、開区間 I(ε) に含まれる、
ハメル基底 H(ε) が存在する。
0651１３２人目の素数さん
2015/11/27(金) 16:06:37.42ID:qRNBmtTR(>>650の続き)
[第２段](上下に有界な体Rの体Q上の超越基底Sの存在性)：定義から、任意のε＞0に対して、
開区間I(ε)に含まれるような、ハメル基底に含まれる、実数体Rの有理数体Q上の超越基底S(ε)は
存在し、上下に有界である。従って、上下に有界な体Rの体Q上の超越基底Sは存在する。
ここに、Sを上下に有界な実数体Rの有理数体Q上の超越基底と仮定しても一般性は失わない。
定義から、包含関係は、S⊂Q(S)⊂R。
[第３段](Q(S)≠Φ はRの真部分集合)：定義から、RはQ(S)の代数拡大体だから、Q(S) 上代数的な
Rの点が存在する。従って、或る、Q(S) 上代数的なRの点aが存在して、aは Q(S) には属さないRの点である。
従って、Q(S)≠Φ はRの真部分集合である。
[第４段](S、Q(S)、R の濃度は連続体濃度cに等しい)：S⊂Q(S)⊂R だから、card(S)≦card(Q(S))≦card(R)。
また、card(S)＝card(R)＝c。従って、ベルンシュタインの定理から、card(S)＝card(Q(S))＝card(R)＝c。
[第５段](Q(S)は完全集合)：体 Q(S) を完全集合ではないとする。すると、Q(S) の或る点 y∈Q(S) が
存在して、yは Q(S) の孤立点となる。また、実数直線R上で、有理直線Qは稠密で、任意の r∈Q について、
rはQの触点でrの閉包は {r} だから、yは有理数ではない。従って、y∈S。Rは Q(S) 上代数拡大体だから、
yは体 Q(S) 上代数的である。従って、yの R/Q(S) への最小多項式の次数をnとすれば、
何れも或る a_0,a_1,…,a_n∈Q(S) に対して、a_0≠0, a_n≠0 であり、
a_0・y^n＋a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n＝0 …① となる。
しかし、定義から、Sの点yはQ上超越的だから、すべての i＝0,1,…,n に対して a_i がQ上代数的なることは、
あり得ない。従って、或る i＝0,1,…,n が存在して、a_i はQ上超越的となる。つまり、a_i は超越数となる。
そこで、Y＝{a_0,a_1,…,a_n} とおき、X＝{a_i∈Y|a_iは超越数} とする。すると、X≠Φ。
0652１３２人目の素数さん
2015/11/27(金) 16:10:28.56ID:qRNBmtTR(>>651の続き)
a_i∈X とする。すると、X⊂Y から a_i∈Y。そして、a_i∈R＼Q であって、同時に a_i∈Q(S) だから、
a_i に対して或る自然数 m(a_i) が定まり、自然数 m(a_i) を m_i で略記すれば、m_i に対して何れも或る、
m_i 変数 z_1, …, z_{m_i} の有理関数 f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i}) と m_i 個の点
{z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}∈S が存在して a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) となる。
Xの点 a_i は任意でよいから、各 a_i∈X に対して、a_i を表す、何れも或る、
f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i}) と m_i 個の点 {z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}∈S、及び有理関数の形をした式
a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) が定まる。ここで、仮に、各 a_i∈X に対して定まるような、
a_i を表す有理関数の形をした式 a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) における有理関数 f_{m_i}
のすべてが定数ではないとして、各 a_i∈X に対して定まる a_i を表す有理関数の形をした式
a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) を、同時にすべて①にすべて同時に代入して両辺を整理すると、
有限個のSの点 y , {z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i} , … は体Q上代数的従属なることが分かり、
とりわけ y∈S ではなくなり、y∈S に反し矛盾が生じる。従って、或る a_i∈X が存在して、
a_i に対して定まるような、a_i を表す有理関数の形をした式 a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i})
における f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i}) は定数となる。つまり、f_{m_i}∈Q であって、従って a_i∈Q。
しかし、a_i はQ上代数的だから、定義から、a_i は a_i∈S を満たさず、矛盾する。
従って、Q(S) は完全集合であり、Q(S) の任意の点は集積点である。 (第５段終了)
0653１３２人目の素数さん
2015/11/27(金) 16:12:15.66ID:qRNBmtTR(>>652の続き)
[第６段](Q(S)は零集合)：Q(S) の外測度を m(Q(S)) とする。m(Q(S))＞0 とする。定義から、実数体Rは
体 Q(S) の代数拡大体である。体 Q(S) 上超越的なRの点は存在しないから、R＼Q(S) は体 Q(S) 上代数的な
実数全体の集合である。ここに、体 Q(S) 上代数的な実数kを適当に取る。K＝(Q(S))(k) とおく。すると、
Kは体の拡大 R/Q(S) の中間体で、Rの真部分集合である。体Kの外測度を m(K)、実数体Rの外測度を m(R) とする。
すると、m(Q(S))＞0 と仮定したから、Q(S)⊂K⊂R から 0＜m(K)≦m(R)＝+∞。実数体Rの有理数体Q上の
超越基底Sは上下に有界と仮定しているから、0＜m(K)＜m(R)＝+∞。Kの内測度を m'(K) とする。
Kは上下に非有界でコンパクトではないから、定義から、m'(K)＝+∞。従って、m(K)＜m'(K)。
Kが可測なための必要十分は m(K)＝m'(K) だから、中間体Kは非可測である。しかし、これはKが可測なことに反し、
矛盾する。従って、m(Q(S))＝0 で、体 Q(S) は零集合である。
[第７段](S、Q(S)は非可算零集合)：超越基底Sの外測度を m(S) とすると、S⊂Q(S) から、m(S)≦m(Q(S))＝0
から、m(S)＝m(Q(S))＝0。また、card(S)＝card(Q(S))＝c。従って、S、Q(S)は非可算零集合である。
Sは上下に有界な実数体Rの有理数体Q上の超越基底としていたから、
元の超越基底S、元の体Q(S)も、どちらも非可算零集合である。
0654１３２人目の素数さん
2015/11/27(金) 17:39:05.66ID:qRNBmtTRあ、>>650の最初に
>任意のε＞0に対して定まる開区間(-ε,ε)を、I(ε)＝(-ε,ε) で表わす。
を書くの忘れた。第１段はその後に続く。
0655１３２人目の素数さん
2015/11/27(金) 22:13:49.57ID:+cGpPCmWなぜm(K)＜m(R)とできるのか説明してもらえますか。
0656現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/27(金) 23:16:14.31ID:Hwv6wXghいつも、力作ありがとう
ところで、>>650の[第１段]って、何を証明しようとしているのか、不明確なんだよね。良い線言っている気もするし、とんちんかんを言っている気もするし
命題の定立がね、不明確。証明読まないと、どういう命題を証明しようとしているのか、何を証明したのか、分からんような書き方はどうだかねー
普通の論文や教科書は
＜命題（or 定理ないし補題）＞xxxxxxxx
＜証明＞xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
というスタイルだろ？ そう書いて貰えないかね？
[第１段]に限らず・・・
0657現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/27(金) 23:26:32.69ID:Hwv6wXghどうも。スレ主です。
揚げ足取りみたいで悪いが
「Q(S)は零集合」って・・・
結論が可笑しくないかね？（＾＾；
そういうおれの直感に反する証明を、平気でするところが、おっちゃんらしいと言えばらしいけど
そこらのセンスは、働かないのかねー？
Sが、実数の超越基底として、Q(S)は超越数全体⊂Rでしょ？ それが、零集合？
0658現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/27(金) 23:31:54.23ID:Hwv6wXghR=Q＋A＋Q（S)
Aは、代数的数の集合で、可算。Qも可算。だから、AとQは、零集合
Q（S）は、超越的数の集合で、非加算
もし、Q(S)は零集合だったら、Rは？ 零集合？
0659現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/27(金) 23:40:40.30ID:Hwv6wXgh>私が終わったら、スレ主に証明してもらう。
ギブアップするなら、いつでも言ってくれ
おれの証明は難しくないよ
ほとんど高校数学で終わりだよ
>>562
>そもそもスレ主は証明できるのか？
証明出来ているつもり
>スレ主の方針はどういうものだ？書いてくれ。
おっちゃんの>>650 [第１段]に近い気がする。もっとも、 [第１段]が何を意味するのか、いまいちすっきりしないがね（＾＾；
0660１３２人目の素数さん
2015/11/28(土) 05:13:04.48ID:9GY4dyn5ある問題（証明問題、計算問題、（あるならば、その他）の問題に関わらず）に解法が存在する事は、実際にその問題を解くことによって示せますが
もし解法が存在しない場合、"解法が存在しない"という事はどのように証明されるのでしょうか。
解法が存在しない⇒解けない、解かれていない なのでしょうが、
"解法が存在しない"事を証明する方法が存在しない」場合、
"（能力などの都合で）解けない、解かれていない"のと"解法が存在しない"の間に明確な区別は無くなり、 解法が存在しない⇔解けない、解かれていない が成り立ってしまうと考えています。
この疑問が数学者諸氏にとって実に馬鹿らしいものであることは僕のちっぽけな頭でもわかります。
解けない問題が沢山ある事の言い訳に書いているだけです。悪しからず。
0661１３２人目の素数さん
2015/11/28(土) 05:17:14.09ID:9GY4dyn5証明問題、計算問題、（あるならば、その他）の問題に関わらず
↓
証明問題、計算問題、（あるならば、その他の問題）に関わらず
0662１３２人目の素数さん
2015/11/28(土) 07:24:13.80ID:V49WFVhA>Sが、実数の超越基底として、Q(S)は超越数全体⊂Rでしょ？
間違い。スレ主はQ(S)を勘違いしている。>>658も勘違いを引きずっている。
0663１３２人目の素数さん
2015/11/28(土) 07:31:45.07ID:V49WFVhAガロア理論を読め。
というかそれを期待してこのスレに迷い込んだのであれば申し訳ない。
ここはガロアのガの字も出ないスレなんだｗ
スレ主に代わって謝っておきます。
0665１３２人目の素数さん
2015/11/28(土) 07:44:41.30ID:gImjm0uw体 K＝(Q(S))(k) (kは Q(S) 上代数的な元) について、m(K)＝+∞ とする。
仮に上下に有界な超越基底Sに含まれる、或る開区間 I＝(-x,x) (∃x＞0) を
完備とすると、I⊂S⊂(-ε,ε) (∃ε＞x) から、或る a＞0 (ε＞a＞x) が存在して、
Iは閉区間 [-a,a] の真部分集合。だから、或る b＞0 が存在して、[-b,b]⊂S から [0,b]⊂S。
体 Q(S) は通常の加減乗除について閉じているから、加減乗除を任意に可算無限回繰り返すと、
[0,b]⊂S から実数体Rが構成出来て、Q(S)＝R。従って、Q(S) は完備な順序体Rになる。
しかし、Q(S) はRの真部分集合でRとは異なるから、Q(S) が完備順序体Rになることはなく、
矛盾が生じる。従って、超越基底Sに含まれるような、如何なる開区間 I＝(-x,x) (∀x＞0) も
完備とはならない。ところが、card(S)＝c で、超越基底Sは完全集合だから、Sは自己稠密集合。
従って、体 Q(S) は自己稠密集合で、Q(S)∩[0,1] も自己稠密な集合。m(K)＝+∞ としたから、
Rに真に含まれる自己稠密な順序体Kに対し、或る完備な区間 I' が存在して、I'⊂K＝(Q(S))(k)。
しかし、体Kの任意の逆元もKの点だから、I' のすべての元に対して何れも或る加減乗除の操作
を有限回施すと、或る ε＞0 に対して、すべての点がSに属するような、完備な
開区間 (-ε,ε)⊂S を構成出来る。従って、上下に有界な超越基底Sは或る完備な
区間を含む。これは、矛盾する。従って、m(K)＞0 から 0＜m(K)＜m(R)＝+∞ となる。
0666１３２人目の素数さん
2015/11/28(土) 07:55:18.15ID:V49WFVhA>超越基底Sは完全集合だから
超越基底Sは完全集合ではないと何回言ったら・・
0667１３２人目の素数さん
2015/11/28(土) 07:59:33.82ID:gImjm0uwそのこと忘れてた。第５段では「(Q(S)は完全集合」を示したんだな。
>>665は取り消し。
0668１３２人目の素数さん
2015/11/28(土) 08:54:42.73ID:gImjm0uw体 K＝(Q(S))(k) (kは Q(S) 上代数的な元) について、m(K)＝+∞ とする。
仮に或る開区間 I＝(-x,x) (∃x＞0) に対して、(Q(S))(k) と (-x,x) の共通部分 K∩I を
完備とすると、体Kは通常の加減乗除について閉じているから、K∩I のすべての元に対して
何れも或る加減乗除の操作を有限回施すと、或る ε＞0 に対して、すべての点がSに属する
ような、完備な閉区間 [-ε,ε]⊂S を構成出来る。従って、加減乗除の操作を任意に
可算無限回施すと、[-ε,ε] から実数体Rが構成出来る。従って、Kの点に対して加減乗除を
任意に可算無限回施すとKからRが構成出来て、K＝R。従って、Kは完備な順序体Rになる。
しかし、KはRの真部分集合でRとは異なるから、Kが完備順序体Rになることはなく、
矛盾が生じる。従って、如何なる開区間 I＝(-x,x) (∀x＞0) に対しても、
(Q(S))(k) と (-x,x) の共通部分 K∩I は完備とはならない。ところが、card(S)＝c で、
体 Q(S) は完全集合だから、Q(S) は自己稠密集合。従って、体 K＝(Q(S))(k) は
自己稠密集合で、K∩[0,1] も自己稠密な集合。m(K)＝+∞ としたから、Rに真に含まれる
自己稠密な順序体Kに対し、或る完備な区間 I' が存在して、I'⊃K＝(Q(S))(k)。
しかし、体Kは直線R上至る所完備ではなく自己稠密で、Kの任意の点xは触点でxの閉包
は{x}。従って、KはR上稠密で、m(K)＝+∞ のときは、m(K)＝0、Q(S)⊂K から m(Q(S))＝0 となる。
これは、はじめに m(Q(S))＞0 と仮定したことに反する。
0669現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/28(土) 09:00:48.34ID:novsUjdaおっちゃん、どうも。スレ主です。
実に面白いね、おっちゃんって（＾＾；
>>Sが、実数の超越基底として、Q(S)は超越数全体⊂Rでしょ？
>間違い。スレ主はQ(S)を勘違いしている。>>658も勘違いを引きずっている。
超越基底の「基底」の意味を考えていない？
というか、なんというか・・・
命題：Sが、実数の超越基底として、Q(S)は超越数全体⊂Rである
証明：超越基底の「基底」の定義そのもの
QED
附言すれば、超越数全体をTとする（当然T⊂Rだが）
もし、ある超越数t∈Tで、tがQ(S)が含まれないとすれば、Sは t を含むように拡張されるべき(例えばそれをS'とする)
この操作を、超越数全体に達するまで繰り返すべし
プログラミング的には、そういうこと
そして、その実現を保証するのが選択公理だろ？
で、これは、「基底」の定義そのもの！
「基底」の意味が分かってないと、証明は暴走するわな（＾＾；
0670662
2015/11/28(土) 09:10:42.97ID:V49WFVhA口ぶりがおっちゃんに似てるようで2度スレ主に間違えられたｗ
まあそれはいいとして。
>>669でスレ主の勘違いが証明された。ハメル基底と超越基底をごっちゃにしてないか？
0671１３２人目の素数さん
2015/11/28(土) 09:10:47.75ID:gImjm0uw＞おっちゃん、どうも。スレ主です。
＞実に面白いね、おっちゃんって（＾＾；
＞
＞>>Sが、実数の超越基底として、Q(S)は超越数全体⊂Rでしょ？
＞>間違い。スレ主はQ(S)を勘違いしている。>>658も勘違いを引きずっている。
＞
＞超越基底の「基底」の意味を考えていない？
＞というか、なんというか・・・
＞
＞命題：Sが、実数の超越基底として、Q(S)は超越数全体⊂Rである
＞証明：超越基底の「基底」の定義そのもの
＞QED
これ、超越拡大体 Q(S) の定義の捉え方が間違っている。
一体、何のために私が恥かいて証明したんだよ。包含関係は Q⊂Q(S) も成り立っているぞ。
すべての有理数も Q(S) は含む。
0672現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/28(土) 09:31:12.83ID:novsUjda>ある問題（証明問題、計算問題、（あるならば、その他の問題）に関わらず）に解法が存在する事は、実際にその問題を解くことによって示せますが
>もし解法が存在しない場合、"解法が存在しない"という事はどのように証明されるのでしょうか。
確かに、ガロア理論はそうだけど
解法＝べき根と四則による解
に限定したときに、「解けない」ということを、示すのがガロア理論
で、解法の範囲を、「べき根と四則による解」を超えて、どうなんだ？と
べき根を取る操作を一種の関数と見たときに、超越関数などを考えたら解けるんじゃないかと考えたのが、エルミートだったかな？
楕円関数だったっけ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
ガロアが楕円モジュラー関数を用いる超越的方法では一般的解法が存在することを予言し、その遺書に書き残している。ガロアの死後、エルミートは、楕円モジュラー関数による五次方程式の解の公式を導いた。
なお、アーベルもモジュラー方程式の研究を行っていたことから、彼にも解の公式のアイディアがあったであろうと考えられている。エルミートから現在まで、5 次より高次の方程式の解の公式は様々に提案されている。
工学的見地からは、これらの解の公式に拠る解法は計算量的な実用性があまりないため、3 次より高次の方程式は数値計算による解法が一般的である。中には、固有値問題へ帰着して行列の固有値計算のアルゴリズムが用いられることもある。
0673662
2015/11/28(土) 09:38:32.25ID:V49WFVhA>超越拡大体 Q(S)
おっちゃんが理解しているのか不安になったので確認させてくれ。
Q(S)は単にQにSを添加した体のことだよな？
QにSを添加した体Q(S)の代数拡大体を同じ記号"Q(S)"で表してしまったわけではないよな？
0674現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/28(土) 09:45:55.61ID:novsUjdaどうも。スレ主です。
ご指摘ありがとう（＾＾；
では修正します
>>669 修正
命題：Sが、実数の超越基底として、Q(S)は｛超越数全体＋Q}⊂Rである
証明：超越基底の「基底」の定義そのもの
（後のプログラミングの話は、修正なしでいいだろう）
>>658 修正
R=A∪Q（S)
Q（S）＝｛超越数全体T＋Q}で、超越数全体Tを含み、非加算
Aは、代数的数の集合で、可算。Qも可算。だから、AとQは、零集合
もし、Q(S)は零集合だったら、Rは？ 零集合？
（修正おわり）
これでどうだい？（＾＾；
ともかく、「Q(S)は零集合」という命題がおかしいだろうと
0675662
2015/11/28(土) 09:54:34.49ID:V49WFVhA>命題：Sが、実数の超越基底として、Q(S)は｛超越数全体＋Q}⊂Rである
それも間違いだよ。Sが超越基底のとき、Q(S)は一般にすべての超越数を含むとは限らない。
Q(S)に含まれないQ(S)上代数的な超越数が存在しうる。Sをハメル基底としたならQ(S)=Rとなり命題は正しいが。
代数拡大がわかってないのか、ハメル基底と超越基底の違いがわかってないのか、どちらかだ。
0676１３２人目の素数さん
2015/11/28(土) 09:57:18.75ID:gImjm0uw>Q(S)は単にQにSを添加した体のことだよな？
そう。Sは非可算集合なる基底でQの超越的な元ではないから、
Q(e)やQ(π)と混同出来ない。Q(e)とかはQ(e)上超越的なRの点があって
代数的独立の概念を考えることが出来るが、体Q(S)では、
Q(S)上超越的なRの点はなく、任意の実数はQ(S)上代数的従属になる。
そのため、体の拡大 R/Q(S) では、代数的独立な実数は存在しない。
0678662
2015/11/28(土) 10:01:00.98ID:V49WFVhA>Sは非可算集合なる基底でQの超越的な元ではないから、
ここは書き間違いだな？Sの元はQ上超越的だからね。
0679現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/28(土) 10:04:47.00ID:novsUjdaで、本来のスレタイの「現代数学の系譜11 ガロア理論を読む」が想定しているのは、ここまで
現代数学から見たときに、「ガロア理論の核心は、”数体の拡大と、その自己同型群との対応だ”」ととらえ直したんだね
これが、デデキント～アルティン流で、いまの学部数学の主流だ
さらに、グロタン先生は、「ガロア理論の圏論化だ～！」と言ったらしい（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
X への作用の推移性を外すことは K の分離拡大体の代わりに K 上のエタール代数を考えることに対応し、こうして K 上のエタール代数のなす圏と GK が連続に作用する離散有限空間のなす圏との間の圏同値が得られる。これを出発点としてアレクサンドル・グロタンディークによるガロア理論の圏論的定式化が得られる。
グロタンディークのガロア理論において古典的なガロア理論は次のように理解される。K上のエタール代数はアフィンスキーム・・・
略
エタール代数も圏論もわかりません（＾＾；
まあ、スレタイの外ですが、それもかまわんよ。ここなんでもありだから（＾＾；
0680１３２人目の素数さん
2015/11/28(土) 10:08:09.95ID:gImjm0uwSは、体Q上の線型空間の、濃度が連続体濃度cに等しい基底だな。
Sは1つの集合で、Q上超越的な実数ではない。
0681１３２人目の素数さん
2015/11/28(土) 10:12:44.68ID:gImjm0uwまあ、「1つの」は余計かな。実数体Rの有理数体Q上の超越基底は複数個する。
だから、Sはその中の1つとして扱うことになる。
0682現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/28(土) 10:19:20.40ID:novsUjda了解！（＾＾；
超越基底が分かってなかったんだ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%AC%A1%E6%95%B0
複素数体 C の部分体で（体として）C と同型であるような真の部分体が（たくさん）存在することを示す。
証明のために、C/Q の超越基底 S をとる。
S は無限（非可算）集合であるので、単射だが全射でないような写像 f: S → S が（たくさん）存在する。
任意のそのような写像は全射でない体準同型 Q(S) → Q(S) に拡張できる。
そのような体準同型はそれぞれ代数的閉包 C に拡張することができ、得られる体準同型 C → C は全射でない。
（引用おわり）
多分、ハメル基底も分かってないかな？（＾＾；
が、>>659の私の証明には影響しないと思う
0683現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/11/28(土) 10:25:59.96ID:novsUjdaあとは、こちらで（このスレはもうすぐ容量オーバーだ）
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/
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