>>58 レスありがとう.
条件を満たす(Xn)n∈Nで単調増加する部分列(Xn(k))k∈Nをとれば,
数列f(Xn(k)))k∈Nは極限を持つ(有界な単調数列の収束性)のですが,
部分列が極限を持ったとしても, もとの数列f(Xn)が極限を持つかが分からないのです.

少し伝わりにくかったと思いますが, ここでは
次の関数の極限と数列の極限に関する定理を用いていたのです.
定理：(a)と(b)は同値である.
(a) f(x) がcにおいて極限を持つ.
(b) Xn→cなる任意の数列(点列) (Xn)n∈Nが極限を持つ.

ここで気になったのが(b)では任意の数列(Xn)についての極限の存在を言う必要があり,
Xn→cなる数列のうちひとつでもXnが極限を持たないものが存在してはいけないということです.
長文失礼しました.