体論使えばもっと確実

x^p-2^qは2^(q/p)を根に持つ

ここで体Q(2^(1/p))についてQ(2^(1/p))∋(2^(1/p))^q=2^(q/p)よりQ(2^(1/p))⊃Q(2^(q/p))

またp,qは互いに素よりpx+qy=1なる整数x,yが存在
(2^(q/p))^y=2^((1-px)/p)=2^(1/p)2^-xより
Q(2^(p/q))∋2^(1/p)からQ(2^(q/p))⊃Q(2^(1/p))

したがってQ(2^(1/p))=Q(2^(q/p))

またx^p-2は2^(1/p)を根に持つがアイゼンシュタイン既約判定法からQ上既約
したがって[Q(2^(q/p)):Q]=[Q(2^(1/p)):Q]=pより
x^p-2^qもQ上既約