x^p-2^q=0が有理数解を持たなければよい
ここで有理数解をもつと仮定して矛盾を示す
有理数解x=n/m(n整数m自然数で互いに素)
として、代入して
(n/ m)^p-2^q=0⇔(n^p)/(m^p)=2^q
この右辺は整数より左辺も整数
互いに素なる仮定より左辺は既約分数なのでm=1
従ってn^p=2^q
右辺は2のみを素因数とするからnも同様
従ってn=2^k(k自然数)とする
代入して2^kp=2^q⇔kp=q
これはp,qが互いに素に矛盾