y=k とy=-2t^3-2t^2 との交点の数
=tの方程式k=-2t^3-2t^2の異なる実数解の数
=点(0,k)から曲線y=f(x)に引くことができる接線上にある、接点のx座標の数(tはそもそも接点のx座標を表すのであったらtの数=x座標の数となるのは当然)

(ここで接点のx座標1つに対して接線は異なるものが対応する なぜなら3次曲線に2度接するような接線はないから)

=点(0,k)から曲線y=f(x)に引くことができる接線の本数(接線と接点が一対一に対応とさっき述べたのだから当然)