(>>149の続き)
mは任意だから、m＝1とすると、1に対応させてε_1＞0を任意に取ることが出来る。
そして、任意のε_1＞0に対して或る自然数N_1が存在して、(2/(a_{N_1})!)√(a_{N_1}/a_{N_1＋1})＜ε_1 となる。
同様に、m＝2とすれば、2に対応させてε_2＞0を任意に取ることが出来る。
そして、任意のε_2＞0に対して或る自然数N_2が存在して、(2/(a_{N_2})!)√(a_{N_2}/a_{N_2＋1})＜ε_2 。
従って、任意のε_1＞ε_2なるε_1,ε_2＞0に対して、それぞれ定まる自然数N_1、N_2に対して、
max(N_1,N_2)をNとおけば、(2/(a_N)!)√(a_N/a_{N＋1})＜ε_1, ε_2 …⑨ となる。
同様に、任意のε_2≧ε_1なるε_1,ε_2＞0に対して、それぞれ定まる自然数N_1、N_2に対して、
max(N_1,N_2)をNとおけば、⑨が成り立つ。ここに、(2/(a_N)!)√(a_N/a_{N＋1})＞0 。
従って、或る0に収束する単調減少な実数列{b_m}、或る{a_n}の部分列{a_{N_m}}が存在して、
任意のm∈Nに対して b_{m+1}＜(2/(a_{N_m})!)√(a_{N_m}/a_{N_m＋1})＜b_m 。
即ち、m＝1とすれば、b_2＜(2/(a_{N_1})!)√(a_{N_1}/a_{N_1＋1})＜b_1 …⑩ 。
(1)、しかし、ε_2≧b_1＞b_2≧ε_1＞0なる任意のε_1, ε_2＞0に対して⑨が成り立つとする。
すると、ε_1＝b_2、ε_2＝b_1 のとき、⑨において ε_1＝b_2、ε_2＝b_1、N＝N_1 とすれば、
(2/(a_N_1)!)√(a_N_1/a_{N_1＋1})＜b_1, b_2 が得られ、これは⑩に反して矛盾が生じる。
(2)、従って、(1)から共に或るε'_2≧b_1＞b_2≧ε'_1＞0なるε'_1, ε'_2＞0が存在して、
⑨は成り立たない。つまり、ε_1＝ε'_2、ε_2＝ε'_1のとき⑨は成り立たない　　((2)終わり)