ややこしくなって来ただろうし、>>133ではまだ意味不明だから最初っから書き直した方がいいか。
高々有限個のn≧2なる正整数nに対して、 n!以上n!+n以下の整数の全体の中に平方数が存在することの証明。

或る、任意のn∈Nに対してa_n≧2なるような、単調増加な整数列{a_n}が存在して、
任意のn∈Nに対して (a_n)!以上 (a_n)!＋a_n以下 の整数の全体の中に平方数が存在したとする。
k∈Nを任意に取る。m_k＝k+1 とおく。以下m_kを簡単にmで表わす。
すると、整数列{a_n}は単調増加だから、m＞k から a_m, a_k∈N について a_m＞a_k。
(a_k)!以上 (a_k)!＋a_k以下 の整数の全体の中、(a_m)!以上 (a_m)!＋a_m以下 の整数の全体の中
の両方に、各々平方数が存在するから、a_m、a_kはa_m, a_k≧4を満たすことになる。
従って、或る b_k＞a_k なる b_k∈Nが存在して、(a_k)!≦(b_k)^2≦(a_k)!＋a_k …①
であって、或る b_m＞a_m なる b_m∈Nが存在して、(a_m)!≦(b_m)^2≦(a_m)!＋a_m …②。a_m＞a_k≧4から、
(a_k)!＋a_k＜(a_m)! …③だから、①、②から、(a_k)!≦(b_k)^2＜(b_m)^2≦(a_m)!＋a_m 。
従って、(b_m)^2－(b_k)^2≦(a_m)!＋a_m－(a_k)! であり、(a_m)!＞(a_k)!＞0 …④から、
((b_m)^2－(b_k)^2)/((a_m)!)≦1＋(1/(a_{m-1})!)－((a_k)!/(a_m)!) …⑤。同様に、①、②、③から、
(b_k)^2≦(a_k)!＋a_k＜(a_m)!≦(b_m)^2 。従って、0＜(a_m)!－((a_k)!＋a_k)≦(b_m)^2－(b_k)^2 であり、
④から、0＜1－((a_k)!＋a_k)/((a_m)!)≦((b_m)^2－(b_k)^2)/((a_m)!) …⑥。⑤、⑥から、
1－((a_k)!＋a_k)/((a_m)!)≦1＋(1/(a_{m-1})!)－((a_k)!/(a_m)!) 。mでk+1を表していたから、
mを元に戻すと、1－((a_k)!＋a_k)/((a_{k+1})!)≦1＋(1/(a_k)!)－((a_k)!/(a_{k+1})!) となり、
従って、1－(1/a_{k+1})－(a_k/((a_{k+1})!))≦1＋(1/(a_k)!)－(1/(a_{k+1})) …⑦。