>>125は意味不明な部分があるから、ついでに丁寧に書き直しておく。

(>>124の続き)
mは任意だから、m＝1とすると、1に対応させて
ε_1＞0を任意に取ることが出来る。そして、任意のε_1＞0に対して或る自然数N_1が存在して、
(2/(a_{N_1})!)√(a_{N_1}/a_{N_1＋1})＜ε_1 となる。同様に、m＝2とすれば、2に対応させて
ε_2＞0を任意に取ることが出来る。そして、任意のε_2＞0に対して或る自然数N_2が存在して、
(2/(a_{N_2})!)√(a_{N_2}/a_{N_2＋1})＜ε_2 。従って、任意のε_1＞ε_2なるε_1,ε_2＞0に対して、
それぞれ定まる自然数N_1、N_2に対して、max(N_1,N_2)をNとおけば、(2/(a_N)!)√(a_N/a_{N＋1})＜ε_1, ε_2 …⑨
となる。同様に、任意のε_2≧ε_1なるε_1,ε_2＞0に対して、それぞれ定まる自然数N_1、N_2に対して、
max(N_1,N_2)をNとおけば、⑨が成り立つ。ここに、(2/(a_N)!)√(a_N/a_{N＋1})＞0 。
従って、或る0に収束する単調減少な実数列{ε_m}、或る{a_n}の部分列{a_{N_m}}が存在して、
任意のm∈Nに対して ε_{m+1}＜(2/(a_{N_m})!)√(a_{N_m}/a_{N_m＋1})＜ε_m 。即ち、m＝1とすれば、
ε_{2}＜(2/(a_{N_1})!)√(a_{N_1}/a_{N_1＋1})＜ε_1 …⑩ 。しかし、ε_2≧ε_1＞0なる
任意のε_1, ε_2＞0に対して⑨が成り立つように出来るようにすると、⑨と⑩とは矛盾する。
従って、任意にε_1, ε_2＞0を選んだとき、ε_1＞ε_2＞0のときに⑨が成り立つことになる。
しかし、確かにε_2≧ε_1＞0、⑨が共に成り立つように予めε_1, ε_2＞0を任意に選ぶことは可能だから、
必ずε_1＞ε_2＞0の下で⑨が成り立つように予めε_1, ε_2＞0を任意に選んでおくことは不可能である。
従って、矛盾が生じ、任意のn∈Nに対してa_n≧2なるような、単調増加な整数列{a_n}が存在して、
任意のn∈Nに対して (a_n)!以上 (a_n)!＋a_n以下 の整数の全体の中に平方数が存在するということはあり得ない。
よって、n!以上 n!＋n以下 の整数の全体の中に平方数が存在するような自然数nは高々有限個存在する。