(>>123の続き)
kは任意だから、任意のk∈Nに対して⑦が成り立つ。単調増加な整数列{a_n}は上に非有界だから、
⑦においてk→+∞とすると、1－(1/a_{k+1})－(a_k/((a_{k+1})!))～1＋(1/(a_k)!)－(1/(a_{k+1})) から
－(1/a_{k+1})－(a_k/((a_{k+1})!))～(1/(a_k)!)－(1/(a_{k+1}))～0　(k→+∞) …⑧。
ここで、m∈Nを任意に取る。mに対応させてε_m＞0を任意に取る。すると、⑧から、
ε_mに対して或る自然数N_mが存在して、n≧N_mのとき
0≦(1/(a_n)!)－(1/(a_{n+1}))＋(1/a_{n+1})＋(a_n/((a_{n+1})!))
　　＝(1/(a_n)!)＋(a_n/((a_{n+1})!))＜ε_m 。
n≧N_mなる自然数nを任意に取る。すると、(1/(a_n)!)＋(a_n/((a_{n+1})!))＜ε_m 。
また、相加・相乗平均の関係から、(1/(a_n)!)＋(a_n/((a_{n+1})!))≧(2/(a_n)!)√(a_n/a_{n+1}) 。
よって、(2/(a_n)!)√(a_n/a_{n+1})＜ε_m 。nは任意だから、
n＝N_mとすれば、(2/(a_{N_m})!)√(a_{N_m}/a_{N_m＋1})＜ε_m 。