現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15 [転載禁止]©5ch.io
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0001現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/15(土) 21:37:29.19ID:BibK/cXUこのスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14
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0002１３２人目の素数さん
2015/08/15(土) 21:42:48.21ID:BibK/cXUhttps://en.wikipedia.org/wiki/Edward_Frenkel
Edward Frenkel
>Jointly with Boris Feigin, Frenkel constructed the free field realizations of affine Kac?Moody algebras (these are also known as Wakimoto modules),
Wakimotoって、脇本実氏だとP215
0003１３２人目の素数さん
2015/08/15(土) 22:00:26.72ID:BibK/cXU脇本 実 - 研究者 - researchmap:
研究者氏名 脇本 実 ワキモト ミノル
所属 旧所属 九州大学 大学院数理学研究院 数学部門
職名 教授
学位 理学博士(広島大学)
経歴
1970年 - 1971年大阪大学 助手
1971年 - 1973年広島大学 助手
1973年 - 1988年広島大学 助教授
1988年 - 1995年三重大学 教授
学歴
- 1969年大阪大学 理学研究科 数学
- 1967年大阪大学 理学部 数学
- 1965年大阪大学 理学部 物理学
0004１３２人目の素数さん
2015/08/15(土) 22:04:06.07ID:BibK/cXU0005１３２人目の素数さん
2015/08/15(土) 22:12:11.17ID:BibK/cXULectures on Wakimoto modules, opers and the center at the critical level
Edward Frenkel
(Submitted on 2 Oct 2002 (v1), last revised 6 Nov 2002 (this version, v2))
Wakimoto modules are representations of affine Kac-Moody algebras in Fock modules over infinite-dimensional Heisenberg algebras.
In these lectures we present the construction of the Wakimoto modules from the point of view of the vertex algebra theory.
We then use Wakimoto modules to identify the center of the completed universal enveloping algebra of an affine Kac-Moody algebra
at the critical level with the algebra of functions on the space of opers for the Langlands dual group on the punctured disc.
These results were originally obtained by B. Feigin and the author.
Introduction
Wakimoto modules are representations of affine Kac-Moody algebras in Fock modules
over infinite-dimensional Heisenberg algebras. They were introduced in 1986 by M.
Wakimoto [W] in the case of bsl2 and in 1988 by B. Feigin and the author [FF1] in the
general case. Wakimoto modules have useful applications in representation theory and
conformal field theory.
[W] M. Wakimoto, Fock representations of affine Lie algebra A(1)1 , Comm. Math. Phys. 104 (1986)605?609.
0006１３２人目の素数さん
2015/08/15(土) 22:23:59.01ID:BibK/cXUは >>3
http://researchmap.jp/read0011999/
脇本 実 - 研究者 - researchmap:
Misc テキストで表示 3にあるね
Fock representations of the affine Lie algebra Tex
Commun. Math. Phys. Vol. 104 pp.605-609 1986年
0007現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/15(土) 23:05:24.63ID:BibK/cXU0008１３２人目の素数さん
2015/08/15(土) 23:22:04.15ID:CRUPVEKQ0009現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/15(土) 23:33:42.53ID:BibK/cXU定義から間違えているのか・・
http://d.hatena.ne.jp/corollary/20121204/p1
corollaryの数学日記
<[代数学] ユークリッド整域の例 | [代数学] ユークリッド整域 ⇒ ...>
12-04-2012 ユークリッド整域
■[代数学] ユークリッド整域 (ユークリッド環)
環Rを整域とする。
R ＼ {0}から{N}への写像φが存在して次を満たすときRはユークリッド整域であるという。
・任意のa ∈ R ＼ {0}に対してφ(a) ≧ 0
・任意のRの元a, b (≠ 0)に対し、次を満たすq,r ∈ Rが存在
○ a = b q + r
○ r ≠ 0またはφ(r) ＜ φ(b)
代数学〈1〉群と環 (大学数学の入門)
作者: 桂利行
出版社/メーカー: 東京大学出版会
発売日: 2004/03
0010現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/15(土) 23:38:16.99ID:BibK/cXUどうも。スレ主です。
じゃ、ここらどうよ？ だれか手元にある人 ユークリッド環の載ってるか確認頼む
https://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1402-6.htm
＜書籍紹介＞ 代数入門（堀田良之 著）: 裳華房
代数入門
―群と加群―
Introduction to Algebra
東北大学名誉教授 理博 堀田良之 著
Ａ５判／226頁／定価3348円（本体3100円＋税8％）／1987年9月
1 代数系の基礎
1.1 演算
1.2 群
1.3 部分群と準同型
1.4 剰余類と剰余群
1.5 準同型定理
1.6 環と体
1.7 環準同型とイデアル
1.8 剰余類と環準同型定理
1.9 可換環のイデアル
0011現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/15(土) 23:50:37.80ID:BibK/cXUhttp://aozoragakuen.さくら.ne.jp/suuron/node50.html （さくらがＮＧなので検索たのむ）
Aozora Gakuen ユークリッド整域
抜粋
(2) {Z}には元a$について大きさ| a | が定義されていて，任意のa(≠0), bについて
b=qa+r 0≦ r<| a |
となる元q, rが一意に存在する．
環Rには，その要素aに対して大きさといわれる0以上の実数が定まり， (1)と(2)の両方が成り立つなら， その環Rをユークリッド整域，あるいはユークリッド環という．
大きさを絶対値とすることで，整数環はユークリッド整域である． 整数環は除法のできる整域である．
0012現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/15(土) 23:55:11.69ID:BibK/cXUhttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%92%B0
ユークリッド環
動機付け
整数全体の成す集合 Z に自然な演算として加法 + と乗法 ? を考える。よく知られた整数に対する長除法は、Z における次の事実に強く依拠したものである：
除法の原理
「整数 a と 0 でない整数 b が与えられたとき、a = q?b + r を満たす整数の対 q および r が存在して、さらにそのようなものの中に r = 0 または |r| < |b| を満たすものが取れる」
a および b が正である場合のみを考えることにすれば、r と b に関する制約条件は、単に「r = 0 または r < b」と表すことができる。
各元に加法単位元 0 からの「距離」を導く（「次数」や「賦値」などとも呼ばれる）ある種のノルム[1] d を備えた環としてのユークリッド環の概念が導かれる。
そうして、制約条件「r = 0 または r < b」を「r = 0 または d(r) < d(b)」で置き換わる。
0013１３２人目の素数さん
2015/08/15(土) 23:57:03.44ID:l5BiiSrC＞R ＼ {0}から{N}への写像φ
なんだから、φ(r) < φ(a) という記述は、r≠0、a≠0 を暗に含んでいる。よって
＞r≠ 0かつφ(r) < φ(a)
などという記述は冗長なだけ。
あと
＞R ＼ {0}から{N}への写像φ
{N} の元は n∈N ではなく N だからこの記述もおかしい。
0014現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/15(土) 23:57:30.91ID:BibK/cXU積の記号が文字化けして、？になったｍ（＿＿）ｍ
0015現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/16(日) 00:06:25.60ID:QEliMhpDどうもです
同意です
>>12を見ると、r≠ 0かつφ(r) < φ(a)→r＝ 0またはφ(r) < φ(a) かな
0016現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/16(日) 00:17:26.46ID:QEliMhpDここらも、引用しておこう
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%92%B0
ユークリッド環
ユークリッド環の裏にある本質的な考え方は、それが環であって「その任意の元 a と任意の非零元 b に対して、b の倍元の中に a に十分近い元が存在する」という性質を持つということである。
もちろん、その環が可除環（あるいは体）であったならば、a?b?1 を倍率として左から b に掛ければ a が得られる。つまり、体や可除環については a に「ちょうど」一致するような b の倍元が存在する。
もちろんこのことは一般の環では成立するとは限らない（例えば整数環 Z では成り立たない）から、制約条件は「b の倍元の中に a に十分近い元が存在する」というだけに緩めるのである。
自然な問いとして「距離（次数）はどのような集合に値を取るのか」という問題が考えられるが、多くの目的で（特にユークリッドの互除法が自由にできるという目的で）、自然数全体の成す集合 N に値をとるものと定めるのが普通である。
自然数全体の成す集合 N の持つ、この文脈で重要になる性質は、それが整列集合を成すことである。
定義に関する注意
ユークリッド函数の定義として任意の整列集合に値を取ることを許して一般化する場合もある[7]。このように条件を弱めても、ユークリッド性の最も重要な部分には何も影響しない。
0017１３２人目の素数さん
2015/08/16(日) 00:32:37.56ID:j7h80a4B正誤表にユークリッド整域って書いてあるじゃないか
あほらし
0018１３２人目の素数さん
2015/08/16(日) 00:38:34.55ID:ibQGXr3J基本的な概念であることを受け入れられないスレ主ｗｗ
0019１３２人目の素数さん
2015/08/16(日) 00:38:55.54ID:8XneK4RI0020１３２人目の素数さん
2015/08/16(日) 00:43:47.03ID:rK2ucRKG笑
>>16
任意の順序集合ってことは、整列定理があるから、任意の空でない集合でいいんだね、本当か？
順序集合を {0} としたとき、常に φ(r)=φ(b)=0 となって破綻してるように見えるが
0021１３２人目の素数さん
2015/08/16(日) 00:45:46.20ID:rK2ucRKG>>16
任意の整列集合ってことは、整列定理があるから、任意の空でない集合でいいんだね、本当か？
整列集合を {0} としたとき、常に φ(r)=φ(b)=0 となって破綻してるように見えるが
0022１３２人目の素数さん
2015/08/16(日) 01:31:46.45ID:+QPM3wJIここで、ユークリッド環の構造が「特定」のユークリッド函数を持つことを要求していないことに注意すべきである。
一般に一つのユークリッド環が複数のユークリッド函数を持ちうるが、そのようなものはどれでも一つあればよいのである。
0023現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/16(日) 05:48:55.58ID:QEliMhpD>>17-20
代数入門予想：ユークリッド環 ∈ ∀「代数入門」
ある人の証明：正誤表にユークリッド整域って書いてあるじゃないか
たまたま検索でヒットした本を反例ではと言っただけだよ。反例じゃないことの主張にはなっても、それは証明になっていない
0024現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/16(日) 05:56:19.29ID:QEliMhpD記憶では、ユークリッド環が載っていない代数入門があったように思うのだが・・
まあ、大きな書店に行く機会があったら、見てみよう
おっと、代数学入門も代数入門に含めて良いよね（排除する理由がないから）
なんか反例がありそうに思うんだ
が、それと２０１５年の現在において、「ユークリッド環が基本的な概念であること」とは区別しようね。そこは別に否定していない
この二つの区別がついていない人がいるみたいだな
0025現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/16(日) 06:13:02.00ID:QEliMhpD>任意の整列集合ってことは、整列定理があるから、任意の空でない集合でいいんだね、本当か？
>整列集合を {0} としたとき、常に φ(r)=φ(b)=0 となって破綻してるように見えるが
その指摘は鋭いと思うが
しかし、あくまで抜粋なんだから、もとＵＲＬ見ろってことだな
そもそも、”ユークリッド函数の定義として任意の整列集合に値を取ることを許して一般化する場合もある[7]。”ってあるだろ。最後の[7]は引用文献だ
[7]^ 例えば (森田 1987, p. 87)だ。おれも読んでないけど、整列集合を {0} とすることはないだろうよ、普通
ここは、上のwikipedia内で記述された定義に対する補足として読むべきなんだ
定義では、”R を整域とする。R 上のユークリッド函数 f: R ? {0} → N ”とあることの補足だよ
0026現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/16(日) 06:26:46.25ID:QEliMhpD538 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/08/13(木) 11:02:53.88 ID:HolOcI9x
>>536(>>531)
Rをユークリッド整域とする。Rの零元を0で表わす。RのI≠(0)なるイデアルIを任意に取る。
Iのa≠0なる元aをδ(a)(RのR∖{0}への制限δは、δ:R∖{0}→N)が最小なるように取る。
b∈Iを任意に固定する。Rはユークリッド整域であり、Nは自然数全体だから、
ユークリッド整域の定義から、両方共に或るq,r∈Rが存在してb＝qa+r、r≠0またはδ(r)＜δ(a)。
しかし、r≠0とするとδ(r)＜δ(a)となり、r＝b-qa∈Iだから、δ(a),a∈I＼{0}が最小と仮定したことに反する。
従って、r＝0であって、δ(r)は定義されず、b＝qa+r＝qa+0＝qaを得る。
aが生成する単項イデアル(a)は両側イデアルで、qa∈(a)だから、b∈(a)。
Iの元bは任意だったから、I⊂(a)。ここで、仮定から、I⊃(a)。従って、I＝(a)。
RのI≠(0)なるイデアルIは任意に取っていたから、Rの任意のイデアルは単項イデアルである。
従って、定義から、ユークリッド整域は単項イデアル整域である。
539 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/08/13(木) 11:46:18.61 ID:YNbcLEHA [4/5]
＞Iのa≠0なる元aをδ(a)(RのR∖{0}への制限δは、δ:R∖{0}→N)が最小なるように取る。
これは、こう仮定しても一般性は失われないってことですよね？
なんでこんなふうに写像をとるのか意味がわからなかったんですが。
自分の本もここまで丁寧に解説してくれると助かるんですけどねぇ・・・
でも、ありがとうございました。なんとなくわかったかもです＾＾
（引用おわり）
イデアル初心者同士としてアドバイスすると、
１．抽象←→良く知っている具体例の行ったり来たり（分からなくなったとき）
２．簡単な場合を考える（この例では可換環を）
だろうね
あと、アドバイスをもとに自分で調べる（例 旧スレの557）
かな
0027現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/16(日) 06:57:22.16ID:QEliMhpD「抽象←→良く知っている具体例の行ったり来たり」で言えば、まずR＝”整数全体の成す集合 Z”で考えてみる
そうすると、引用した旧スレの538の意味がよく分かる
δ(a)(RのR∖{0}への制限δは、δ:R∖{0}→N)の部分は、普通に自然数を考えれば良い
で、ユークリッドの除法の原理
” 「整数 a と 0 でない整数 b が与えられたとき、a = q?b + r を満たす整数の対 q および r が存在して、さらにそのようなものの中に r = 0 または |r| < |b| を満たすものが取れる」
a および b が正である場合のみを考えることにすれば、r と b に関する制約条件は、単に「r = 0 または r < b」と表すことができる。”
イデアルとは？ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB （簡単な場合を考える（この例では可換環を））
定義：可換環 R の部分集合 I が、加法群としての部分群であり、R のどの元をかけても、また I に含まれるとき、I をイデアル (ideal) という。
で、>>26の証明を見ると、イデアルIの絶対値最小のaを取って、（wikipediaとは記号の取り方（特にa）が違うことに注意）
b＝qa+r、r＝0またはr＜a とできると。
r＝b-qa∈Iだから、r＝0でなければならない。これは、具体例Zで考えれば当たり前
そして、一般の環Rの抽象論に戻る
上記を頭に入れていると、>>26に引用した538の証明で、「b＝qa+r、r≠0またはδ(r)＜δ(a)」がなんか変ってことに気付く
あと、旧スレの>>557なんか見ると、証明はここまでで終わっているんじゃないかな
>>26の「aが生成する単項イデアル(a)は両側イデアルで・・」以下は蛇足のように思う（まだ、はっきり理解していないが）
0028１３２人目の素数さん
2015/08/16(日) 07:03:06.35ID:vdtpr1kr随分と盛り上がっているようで、スレ主に告げる。
悪いが前スレの>>538の証明を書いたのおっちゃんだったんだよw
名乗らずピンチヒッターで書いた。ユークリッド整域はかなり基本的な概念だろうな。
例の証明には、代数幾何のための可換環論とかの高級な知識はいらない。
r≠0としたときは、最小な自然数の存在性を暗に仮定して矛盾に導いたのだが、
1(或いは0)が最小な自然数であることは、小学生でも分かるだろうな。
余談だが、前スレ>>493で「海老原円ちゃんが書いてくれると良いのだが」の部分から
海老原円氏を女性と思っている節がある(私は「円」という名前から女性だと思った)が、
海老原円氏は男のようだ。以下のサイトの2ページのところの写真を見ると本人が写っている。
ttp://www.city-saitama.ed.jp/ohmiyakita-h/pdf/risuu/risuukatusin2.pdf
あと、層の一般論は空虚で中身がないと思っておけばいい。
0029現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/16(日) 10:30:49.15ID:QEliMhpDおっちゃんだったのか！ ありがとう
おかげで、ユークリッド整域はしっかり理解できたよ！
ユークリッド整域というネーミングは、ユークリッドの互除法（≒除法原理）から来ていると見た
自分が良く知っている整数に範を取れば良い
それをモデルにして、一般の環論で考える
その抽象から良く知っている具体例の行ったり来たり
それが自由自在に出来るようになるってことが、分かるってことなんだよね
しかし、おっちゃんも物知りだね～！（＾＾；
0030現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/16(日) 10:41:17.04ID:QEliMhpD>>26
>＞Iのa≠0なる元aをδ(a)(RのR∖{0}への制限δは、δ:R∖{0}→N)が最小なるように取る。
>これは、こう仮定しても一般性は失われないってことですよね？
>なんでこんなふうに写像をとるのか意味がわからなかったんですが。
Aozora Gakuen ユークリッド整域>>11などにあるように、一般の環Rでは整数における大小関係が決まっていない
そこで、大小関係をδ(a)(RのR∖{0}への制限δ）で決めようと
それで一般性を失わないかってことは、wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%92%B0 の定義のところに書いてあるよ
>自分の本もここまで丁寧に解説してくれると助かるんですけどねぇ・・・
まあ、wikipedia読めってことだわ（＾＾：
0031現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/16(日) 10:51:01.01ID:QEliMhpDイデアルとは？ >>27
分からなくなったら、整数環Zに戻るとか
あるいは旧スレ理想数>>526-527に戻るべし
イデアルとは？ 一つに見方は、整数環Zの素因数分解をモデルとして、代数的整数でも成り立つようにした数学的概念だと
0032現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/16(日) 10:52:17.79ID:QEliMhpD一つに見方は、
↓
一つの見方は、
0033現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/16(日) 10:58:47.58ID:QEliMhpD>海老原円氏は男のようだ。以下のサイトの2ページのところの写真を見ると本人が写っている。
ああ、そうなんや～
あるんだよね～、昔は生まれるまで性別不明でね。それで、女を期待して名前を考えていたら、男が生まれて・・・、面倒だから名前そのままでいけ！とか
あるいは、男でも女でも通用する名前を容易しておくとか
千春なんてのは、その類いなんかねー
0034現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/16(日) 10:59:52.83ID:QEliMhpD容易しておくとか
↓
用意しておくとか
0035現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/16(日) 11:16:44.14ID:QEliMhpD>あと、層の一般論は空虚で中身がないと思っておけばいい。
例のエドワード・フレンケル（旧549） がいうんだよ
http://www.amazon.co.jp/gp/product/4163902805?redirect=true&;ref_=s9_newr_co_d76_g14_i6
数学の大統一に挑む 単行本 ? 2015/7/13 エドワード・フレンケル (著), 青木 薫 (翻訳)
「実は、関数より層の方が数学的には正統な存在なんだ」と
あたかも、現代数学において、因数よりイデアルが正統な存在であるがごとしと
ハーツホーン(旧>>529)なんかもそういうんだよね
もっとも、リーマンゼータにはまだかなわないかも知れないが
もっとも、例のエドワード・フレンケル（上記）によれば、ラングランズ対応からの何か進展があるかも知れないね
リーマンゼータと量子物理とはなにか関連があるというからね
0036１３２人目の素数さん
2015/08/16(日) 11:31:43.59ID:j7h80a4B妄想乙
0037現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/16(日) 12:14:44.85ID:QEliMhpDID:j7h80a4Bくんか。粘着質ですね～（＾＾；
では、「代数学入門, 石田信, 実教出版」はどうですか？
http://www.jikkyo.co.jp/book/detail/12193
目次
第2章 環、体
2-3 整数環
2-4 整数の剰余類の環
2-5 部分環、部分体
2-6 イデアル
2-7 剰余環
2-14 一意分解整域
2-15 一意分解整域上の多項式環
4-7 ガロア拡大体
4-8 円文体
4-9 有限体
4-10 ガロアの理論
4-11 げき根による拡大体
4-12 方程式のべき根による可解性
4-13 アーベルの定理；ガウスの定理；作図の可能性
（可能性は半々かな）
あと、信州大テキスト「代数入門」では、ユークリッド環あるいはそれに相当する説明はない！
http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/
代数入門 (代数入門演習) 花木章秀
講義テキスト
2015 年度 2014 年度 2013 年度 2012 年度 2011 年度
0038現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/16(日) 12:19:58.95ID:QEliMhpD4-8 円文体
↓
4-8 円分体
やね
0039１３２人目の素数さん
2015/08/16(日) 12:20:43.62ID:hVPLvAJF0040１３２人目の素数さん
2015/08/16(日) 13:11:14.35ID:rK2ucRKG＞しかし、おっちゃんも物知りだね～！（＾＾；
知らないのはスレ主さんだけだよ
0041現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/16(日) 13:42:24.73ID:QEliMhpD>>39 ああ、げき根ね
>>40 ユークリッド環か・・。正直、環論とイデアルは初心者です、はい
0042１３２人目の素数さん
2015/08/16(日) 23:05:15.52ID:j7h80a4B0043現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/21(金) 21:32:32.18ID:1/kj8bYJ>>42 >たったあれだけの書き込みで粘着質扱いかよｗ
いやいや、旧スレからの継続（下記引用）だろうよ、きみ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/542
542 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/08/13(木) 14:59:55.95 ID:xBgmYnaS
>>532
代数入門の必須内容を難しいと思うということは、代数入門をすっ飛ばしていきなりガロア理論やったの？
（引用おわり）
で、これを「ユークリッド環 ⊂ 代数入門 必須予想」と呼ぼう
が、
１）”人生いろいろ、代数入門いろいろ”という予想が成り立つし、
２）代数ってなに？ 入門ってなに？ とも、また
３）著者によっては「ユークリッド環はページの関係で入れないよ」など・・
常識人なら、その予想は反例がありそうと思うはずだろ？
なのに">>8 ユークリッド環の載ってない代数入門の本は見つかったのかなおバカちゃん"という、関西でいうところの「どあ○」がいる
それが、>>42さまではないかというのが、スレ主の言い分さ
で、>>37 「代数学入門, 石田信, 実教出版」の検証はどうなのさ？
0044１３２人目の素数さん
2015/08/21(金) 21:44:34.55ID:JU0mMLFZ0045現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/21(金) 22:33:31.14ID:1/kj8bYJこれ良いわ。面白い
http://waheyhey.com/math/algebraicgeometry.pdf
6 月総会 代数幾何学ガイダンス 早稲田大学基幹理工学部数学科3 年 @waheyhey 2014 年6 月15 日
代数幾何学を専攻していない人に代数幾何学というと，なんだかよく分からないが難しい分野だと言われることが多い．
またスキーム論やそこから派生した圏論の問題が目くらましになって，座標幾何の一般化として研究されていた伝統的な代数幾何学の姿が初学者の目に映りにくくなっている．
何を隠そう筆者もその目くらましにあった一人で，初学の頃と比べてだいぶ代数幾何学への印象が変わったと思う*1．
*1 始めはなんだかとても抽象的な学問だと思い込んでいた．
H26 年度の都内数学科学生集合6 月総会の発表のレジュメに手直しを加えたものである本稿は，代数幾何学を学んだことがない人に向けて出来るだけ多くの古典代数幾何学のtopic を易しく解説しようという目的で書かれた．
張りすぎかもしれないが，初学者が代数幾何を勉強する際のブックガイドも兼ねるようにした．
本稿を読んだ方がいずれ代数幾何学を学ばれる際，抽象的かつ一般的に展開され（ているように一見するとみえ）る理論を実感あるものとして理解するための一助となれば幸いです．
0046現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 06:19:03.27ID:Bz9HH34rこのイデアルの説明が分かり易いんだな
定義7（イデアル） 環R の部分集合a ⊂ R がイデアル(ideal) であるとは，次の条件を満たすことである．
(i) 任意のa, b ∈ a に対し，a ? b ∈ a が成り立つ．
(ii) 任意のa ∈ a とr ∈ R に対し，ra ∈ a が成り立つ．
例10
(a) 有理整数環Z に対し，(n) はイデアルになる．逆に，簡単な計算によりZ のイデアルはこの形のものに限られることを確かめることができる．
このように任意のイデアルが単項イデアルである環を単項イデアル環という．
(b) 複素数体C のイデアルは，(0) およびC の2 つのみである．
(c) 一般に環R に対して(0) とR 自身はイデアルになる．これを指して自明なイデアルという．
体は自明なイデアルしか持たない．
逆に，自明なイデアル以外持たない環は体であることも分かる．
(d) 環準同型f : R → R′ に対して，その核(kernel)，
Ker f := {a ∈ R | f(a) = 0}
はイデアルである．
イデアルの中で重要なものは次の２つである．
定義12（素イデアル） p ⊂ R を，R でないイデアルとする．p は，ab ∈ p ならばa ∈ p またはb ∈ p が成り立つとき，素イデアル(prime ideal) という．
定義13（極大イデアル） イデアルm ⊂ R は，R 自身でないイデアルの中で包含関係について極大であるとき，極大イデアル(maximal ideal) であるという．
注意14 R 自身は素イデアルに含めない．また，Zorn の補題を用いれば任意の環に対し極大イデアルは常に存在することが分かる．
Zorn の補題についての解説は集合位相の教科書に，実際に極大イデアルが存在することの証明は基本的な代数学の教科書に譲ることにする．
例15 (a) 素数p ∈ Z に関して，(p) ⊂ Z は素イデアルになる．また，これは同時に極大イデアルにもなる．
(b) ab = 0 ∈ R ならばa = 0 またはb = 0 が成り立つとき，環R は整域(integral domain) であるという．
定義から，環R が整域であることと(0) が素イデアルであることは同値である．
(c) 既約多項式f ∈ C[X1, . . . ,Xn] から生成される単項イデアル(f) は素イデアルである．
(d) 一般に環が与えられたとき，その素イデアルや極大イデアルを決定することは難しい問題である．
0047現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 06:22:39.17ID:Bz9HH34r>体は自明なイデアルしか持たない．
>逆に，自明なイデアル以外持たない環は体であることも分かる．
腐ってもタイ
環と体とは、イデアルという切り口で見ると、全く違うんだね
0048現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 06:30:43.09ID:Bz9HH34rイデアルが与えられたとき，その剰余環というものを以下のように考えることができる．二項関係および同値関係とそれによる商集合については集合位相の教科書を参照されたい．
定義16（剰余環） R を環，a ⊂ R をイデアルとする．a, b ∈ R が同値a ? b であることを，a ? b ∈ a であることとして定める．
この二項関係? はR 上の同値関係になる．この同値関係による商集合をR/a で表す．
a ∈ R がR/a において属する同値類を[a] で表す．R/a の中に和と積を[a] + [b] := [a + b]，[a][b] := [ab] で自然に定めることができる．
これは各類の代表元の取り方によらない．剰余環にはもとの環から標準的な全射環準同型R R/a が存在する．この準同型の核はもちろんa である．
例17 n を正の整数とする．有理整数環Z のイデアルnZ による剰余環Z/nZ を考える．このとき，Z/nZの各代表元を0, . . . , n ? 1 で取ることができ，
このようにZ/nZ の元を表しておけば，標準的な全射は各整数に対しn で割ったときの剰余をとる写像と考えることができる．
これがイデアルによる商を考えたものが剰余環と呼ばれる所以である．
演習18 環R のイデアルp が素イデアルであるための必要十分条件は，剰余環R/p が整域であることである．
また，イデアルm ⊂ R が極大イデアルであるための必要十分条件は，剰余環R/m が体であることである．特に，極大イデアルは素イデアルである．
0049現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 06:44:06.19ID:Bz9HH34r証明はしないが，次の定理たちは重要である．難しくないので本を読めばすぐに証明付きで理解できるだろう．
定理19（準同型定理） 環準同型f : R → R′ に対し，Im f := {a′ ∈ R′ | あるa ∈ R が存在してa′ = f(a) となる}と定めると，これは自然に環になる．
このとき，f は環同型R/Ker f ? Im fを誘導する．
定理20 剰余環R/a のイデアルは，環R のイデアルでa を含むものと1 対1 に対応する．「イデアル」の部分を「素イデアル」や「極大イデアル」に変えても同じことが成り立つ．
最後に，代数幾何学で重要になる被約イデアル(reduced ideal) について補足しておく．
定義21（根基イデアル） 環R のイデアルa に対して，a の根基イデアル(radical ideal)
√a を√a := {f ∈ R | あるn ∈ Z>0 が存在してf^n ∈ a となる.}で定める．
演習22 根基イデアル√a は実際にR のイデアルになることを示せ．また，a ⊂√a が成り立つことを確認せよ．
定義23（被約イデアル） 環R のイデアルa は，√a = a となるとき被約イデアル(reduced ideal) であるという．
演習24 素イデアル（および極大イデアル）は被約イデアルである．これを確かめよ．
演習25
1 変数多項式環C[X] のイデアル(X^2 ? 1) は被約イデアルであることを確かめよ．また，(X^2) は被約イデアルではないことを確かめよ．
2 変数多項式環C[X, Y] の場合には，被約イデアル，被約でないイデアルにはそれぞれどのようなものがあるか．
以上で環論の本当に基本的な部分の説明を終わりにする．紙数の関係で省略した話題も多いので，より詳しい説明は代数学の初歩的な教科書を参照されたい．
0050１３２人目の素数さん
2015/08/22(土) 06:45:02.12ID:ytJQqycXおっちゃんです。
代数幾何の案内ということで書いたみたいだけど、参考になるかどうか分かんないですな。
同じ代数幾何といっても、可換環論やガロア理論に基づく代数幾何と
複素多様体や微分幾何に基づく複素幾何の要素を帯びた代数幾何に分かれるんですわ。
参考文献に複素代数幾何の決定版のGriffiths, Harrisを何故挙げてないのかが不思議ですわ。
これ、複素幾何的な要素がある代数幾何の参考書で第一に挙げられるんですわ。その中身は知らないけど。
日本ではハーツホーン・ハーツホーンと叫ぶ人が本当に多いみたいですわな。
>>45で挙げたサイトでは、可換環論やガロア理論に基づく代数幾何の案内を書いたみたいですな。
0051現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 06:50:24.55ID:Bz9HH34r分かり易いね
かつ、環とイデアルってすごく重要だということがよくわかるよ
”f は環同型R/Ker f ? Im fを誘導する”は、文字化けしてんだよね
文字化けしない適当な記号が分からない
f は環同型R/Ker f→Im fを誘導する
くらいでお茶を濁しますか
0052現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 06:54:17.77ID:Bz9HH34rどうも。スレ主です。
おっちゃん、ありがとう
>同じ代数幾何といっても、可換環論やガロア理論に基づく代数幾何と
>複素多様体や微分幾何に基づく複素幾何の要素を帯びた代数幾何に分かれるんですわ。
>参考文献に複素代数幾何の決定版のGriffiths, Harrisを何故挙げてないのかが不思議ですわ。
おっちゃん、博学やね～（＾＾；
みなおしたわ
0053現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 07:37:22.45ID:Bz9HH34r>日本ではハーツホーン・ハーツホーンと叫ぶ人が本当に多いみたいですわな。
うん、確かに、内容は理解できないが、眺めた感じでは、コンパクトにまとまっている
日本語（訳のぞく）で、あのクラスのテキストがないのかも
富士登山でいえば、７合目くらいまでバスで連れて行ってくれる感じかな
あとは、論文読んで山頂へと
論文を読むためのテキスト
そんな感じなんでしょうかね？
0054１３２人目の素数さん
2015/08/22(土) 08:05:10.01ID:ytJQqycX>論文を読むためのテキスト
>そんな感じなんでしょうかね？
そんな感じだと思う。
ハーツホーンは可換環論などに基づく代数幾何のテキストの定番
ということになってはいるが、ハーツホーンだけを参考に
代数幾何の新しい結果を出すことは難しい。論文読まないと
上の類の代数幾何の新しい結果は出すことは非常に難しい。
コンパクトにその種の代数幾何の基本がまとまっているテキストとなると、
知る限りではグレブナ基底と代数多様体入門みたいなのはあるわ。
ハーツホーンよりは読むのが簡単。まあ、こっちはアルゴリズムが
出て来る代数幾何みたいなテキストにはなるけど。
ハーツホーン読むなら岩波の現代数学の基礎を代数幾何でも読んだ方がいい。
ハーツホーンをより簡単に読むためのテキストのようだ。
0055１３２人目の素数さん
2015/08/22(土) 08:08:23.31ID:ytJQqycX>>54の「岩波の現代数学の基礎を代数幾何」の部分の「を」は「の」の間違い。
0056１３２人目の素数さん
2015/08/22(土) 08:15:19.68ID:ytJQqycX0057現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 09:37:17.23ID:Bz9HH34rどうも。スレ主です。
おっちゃん！ 意外に博学やね～
旧スレ下記、信頼度５％くらいに思えてきたよ～（＾＾；
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/453
453 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/08/08(土) 11:10:48.14 ID:Hzl+AlI6
おっちゃんです。お久しぶりです。いや～、暑いですね～。ばててます、ばててます。
参ってます、参ってまっす。何かヤバいことが分かりました。
どうやら、任意のn≧2なる自然数nに対してζ(n)は超越数のようです。
0058現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 09:50:53.98ID:Bz9HH34rハーツホーン訳本 代数幾何学３の訳者あとがきでは
岩波 向井茂があがっているね
あと、上野は岩波モジュライ理論３がハーツホーンを終えた後の本として上がっている
また、「最後に、本書に引き続いて是非読んでいただきたい本を二つ・・」とあって
ハーツホーン時代には「ほとんど計算不可能」とされていたことが
計算できるようになったみたいなことが
ハーツホーン導入本→ハーツホーン本（「ほとんど計算不可能」のレベルだが古典）→現代本（計算できる）
ここらを早く回すのが良いのかも（＾＾；
0059現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 10:00:13.60ID:Bz9HH34rつれづれなるままに数学する タクミのロボットブログ 代数幾何memo! 2014/01/16 現在、俺が理解した事をまとめとくYO 注意：乱文なので、読みにくいとです。
仮定:kは代数的閉体(つまり、必ず方程式が解けるっ)
代数幾何とは何？ 直感的イメージ：x^2+y^2-1=0 は 単位円になるYO
多変数の代数方程式の解の作る図形を考察する幾何学！ ※多変数がキーワード！
k[x1,...,xn]∋f1,f2,...fn くどいけど、多変数の多項式 V(f1,f2,...,fn)・・・f1,f2,...,fnの根の集合
Vを代数集合という
ここで、k[x1,...,xn]のイデアルIを考える I＝(f1,f2,...,fn)とする(f1,f2,...,fnによって生成されたイデアル)
なんと、V(f1,f2,...,fn)=V(I)
そこで、多項式環のイデアルを、連立方程式のかわりに使う。・・・(★)
(★)をやって良いことを保障するのが、Hilbertの基底定理 k[x1,...,xn]の全てのイデアルJは、J=(g1,g2,...gn)となる。
ちょっと整理
・連立方程式 ⇔ 多項式f1,f2,..fnを考える ⇔ 実はV(f1,f2,...,fn)=V(I)
結論：イデアルで考えても、幾何学ができる
Hilbertの零点定理 どんなイデアルを考えても、対応する図形が存在する！
ちょっと整理
仮定:kは代数的閉体(つまり、必ず方程式が解けるっ)
①Hilbertの基底定理から、方程式のかわりにイデアルを使って良い
②Hilbertの零点定理から、いつでもイデアルは図形を表現する
まとめ
・Hilbertの基底定理の主張
V(方程式の系)=V(方程式から生成されるイデアル)
・Hilbertの零点定理の主張
V(方程式から生成されるイデアル)はいつも図形(代数多様体？)を表現する！
参考文献 岩波講座 現代数学の基礎 代数幾何1 代数多様体からスキームへ 上野 健爾
0060現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 10:35:02.24ID:Bz9HH34rタクミのロボットブログいいね
上野 健爾先生、こんなことを書いてあるのか・・
0061現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 10:56:21.57ID:Bz9HH34r早稲田大学基幹理工学部数学科3 年 @waheyhey 2014 年6 月15 日
http://waheyhey.com/
ワヘイヘイ概型
http://waheyhey.com/prof/
自己紹介
しがない早稲田大学数学科4年です．略して「わせだヨネン」です．
数学科ですが，数学分かりません．この前，女子高生に数学で殴られました．かなしみ?
代数幾何を専門にしたいなと思いながら，代数幾何を勉強しています．
http://waheyhey.com/link
Link集
メモ的ななにか ... 院試お疲れ様です． http://maleic1618.hatenablog.jp/
0062現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 11:03:06.16ID:Bz9HH34r"単体複体のホモロジーを用いた正多面体の分類"PDF、面白いね
http://maleic1618.hatenablog.jp/
メモ的ななにか
@Maleic1618
2013-12-01
Mathematics Advent Calender1日目！
さてさて．私の記事は"単体複体のホモロジーを用いた正多面体の分類"です．pdfをこちらに置いておきました，https://drive.google.com/file/d/0Bym-aZK9JAFAWXdSc3N1R1Rxam8/edit?usp=sharing
参考文献[1]に上げた，田村一郎さんの『トポロジー』は前提知識が全くなくても読める面白い本なので是非読んでみて下さい．(今回の内容はこれに書いてあります)
最初はPuppe列を用いてCW複体のホモロジーを求める的なことをしようと思っていたのですが，私がちゃんと求められなかったので結局このテーマになりました．つらい．あとTeX書くのもめっちゃつらかった．つらい．
0063現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 11:17:34.66ID:Bz9HH34rhttp://waheyhey.com/link
Link集
都内数学科学生集合2013 … サークルのページです． http://tosuu.web.fc2.com/
ようこそ！
都内数学科学生集合の 2015 年度ウェブページにようこそ！
数学が好きなあなた、私達と一緒に数学しませんか？
都数とは？
数学が好きで好きで仕方がない。三度の飯より数学が好き。そんな都内の大学生達が集うインターカレッジサークルです。ゼミ活動、会員に向けての数学の発表会等を主な活動としています。
さらに詳しく知りたい方は「都数とは？」をご覧下さい。
入会希望の方や都数に興味がある方は画面下部記載のメールアドレスまでお気軽にお問い合わせください。
8月総会
日時：8月30日 (日曜日) 14時から
場所：早稲田大学 西早稲田キャンパス
発表者： K さん (東京大学大学院 修士2年)
Title：「無限次元と有限次元の幾何学」
Abstract：有限次元の空間の上で, その空間の幾何学的なデータに関する非線形な微分方程式を考えます.
その解が存在するか否か, 存在するならどのくらいあるのかという情報は, 舞台となっている有限次元空間の幾何やトポロジーを深く反映しています.
それでは,「非線形な微分方程式の解を数える」ということを, どうすれば定式化できるでしょうか？
上の問いへの考察のポイントは，
・微分方程式の無限次元空間の間の写像としての理解
・無限次元の枠組みから有限次元的な量を抽出する「指数」という概念
・指数を空間で束ねた「族の指数」の非線形化
を考えることです. この道筋を説明することを目標に, 大域解析学と呼ばれる分野の道具立てや考え方についてお話ししようと思います．
0064１３２人目の素数さん
2015/08/22(土) 14:17:18.57ID:ytJQqycX>旧スレ下記、信頼度５％くらいに思えてきたよ～（＾＾；
そのことは確かに書いたが、まあ、余り期待するな。確率論的な話になるが、
任意に実数を1つ選んだとき、それが超越数なのか代数的数かというと、
超越数になる確率は1で代数的数になる確率は0になる。それを基にして予想しただけ。
任意の正の自然数nに対してζ(2n)は超越数になり、πを用いて表されるので、
数学的には任意の正の奇数nに対してζ(n)も超越数になるのが「美しい」とされる。
ζ関数の無限級数はs＞1なる実数sについて単調減少な正項級数なので、
具体的な証明となると、面倒な解析をバンバンすれば無理数は出来る気がしない訳ではない。
数論関係の基準では、下品な解析というヤツだろうな。
0065１３２人目の素数さん
2015/08/22(土) 14:20:26.45ID:ytJQqycX>>64の訂正：「無理数」→「無理性」
0066現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 14:26:49.29ID:Bz9HH34rどうも。スレ主です。
おっちゃん、ありがとう。謙虚やね。信頼度７％に上げとくよ（＾＾：
0067１３２人目の素数さん
2015/08/22(土) 14:35:36.25ID:ytJQqycXちなみに、層を使わない多変数複素解析は参考になるでしょうな。
リンデマンの定理の一般化になるジーゲル・シドロフスキーの理論を展開したジーゲルは、
層を使わないで凄まじい解析をして2つのクザンの問題とかを解いた岡潔に抱き付いたようだ。
層を使わない多変数複素解析は、ジーゲルが絶賛した位凄まじい解析なんですわ。
0068現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 14:36:23.87ID:Bz9HH34rhttp://d.hatena.ne.jp/language_and_engineering/20141107/TranscendentalNumberTheoryPDFLectureNotes
2014-11-07 数学の「超越数論」を独学するための教科書PDF。
「代数的数論」の発展分野で，未解決問題多し
超越数論を勉強するためのテキストPDF
しっかりした教科書を無料で読める。
日本語のPDF：
日大の平田さんのレポート
http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/ha/SS2006/Data/Hokoku/hirata.pdf
?40ページ，日大(公開は理科大)。報告の形式を取っているが，日本語で読める超越数論の教科書PDFとして最良か。
英語で読める教科書PDF：
TRANSCENDENTAL NUMBER THEORY
http://www.plouffe.fr/simon/math/Transcendental%20number%20theory%20-%20Baker%20A..pdf
?１５５ページ，ケンブリッジ大，1975年。
超越数論入門
http://www5.pf-x.net/~tetsuya1/math/transcendental_number_theory.pdf
?８ページの個人的なノート。 Liouvilleの超越数の存在証明 πとeの超越性 Gelfond-Schneiderの定理 無理数と超越数 ? リューヴィル数の値の超越性 ?
http://www.seto.nanzan-u.ac.jp/ise/gr-thesis/ms/2003/miyamoto/00mm088.pdf
?２ページ，南山大のメモ。 超越数の有理数近似 連分数展開による最良近似 リュービル数の超越性
リンデマンの定理 - Wikipedia http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
自然対数の底e（ネイピア数）の，無理数や超越数・極限収束の証明などの公式
http://d.hatena.ne.jp/StudyGuide+Memo/20140319/p2
?超越数である事の証明は，有理数係数の代数方程式を仮定して，その解がeだとして矛盾を導く。
0069１３２人目の素数さん
2015/08/22(土) 14:37:43.91ID:ytJQqycX期待されない方が私も精神的負担が軽くて済む。
0070現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 14:39:54.07ID:Bz9HH34rどうも。スレ主です。
おっちゃん、ありがとう。博識やね～。信頼度８％に上げとくよ（＾＾：
>層を使わないで凄まじい解析をして2つのクザンの問題とかを解いた岡潔に抱き付いたようだ。
>層を使わない多変数複素解析は、ジーゲルが絶賛した位凄まじい解析なんですわ。
伝説の不定域イデアルですな
不定域イデアルが、層理論の深化に役立ったと言われる
0071現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 14:42:25.52ID:Bz9HH34rはい。では、信頼度は１０％に達しない漸近級数とします、はい
0072現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 14:51:09.55ID:Bz9HH34rご存知高瀬先生の登場です
http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo08/08takase.pdf
[PDF]不定域イデアルの理論と多変数代数関数論への道
評伝「岡潔j のための数学ノートI (未定稿) 高瀬正仁
[平成10年(1998年) 8月12日]
本稿は平成9年(1997年)10月26日、津田塾大学で開催された第8回数学
史シンポジウム(10月25～26日)における講演
「岡潔の第7論文に加えられたH.カルタンによる改訂の様式に関する一考察」の記録である。
0073１３２人目の素数さん
2015/08/22(土) 14:53:27.08ID:ytJQqycX変に期待されると、逆にプレッシャーがかかる。
具体的な解析(こと数値関係)は紙に書いて計算しなきゃ出来んのだ。
代数的独立性にはGAGAの手法が応用出来る気がしない訳ではないが。
スレ主も以前GAGAのこと書いていたろ。
0074現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 15:01:27.33ID:Bz9HH34rhttp://d.hatena.ne.jp/language_and_engineering/20140529/ZetaFunctionPDFLectureNotes
2014-05-29 現代数学の最重要な関数，「リーマン・ゼータ関数」の教科書PDF。
素数定理・リーマン予想を勉強するノート
代数学特論-リーマンのゼータ関数と素数分布について http://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/riemannzeta.pdf ?44ページ，上越教育大。
平成17年度後期代数学D・代数学基礎講義Bhttp://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/chap1.pdf ?２２ページ，広島大。1. Riemannゼータ関数とDirichlet L関数
Lectures on zeta functions, L-functions and modular forms with some physical applications（ゼータ関数とL関数およびモジュラ形式とその物理学での応用に関する講義）http://library.msri.org/books/Book57/files/10williams.pdf
?94ページの良質な教科書。バークレイの数理科学研究所。
Lectures on the Riemann Zeta-Function http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr01.pdf ?154ページ。インドのボンベイにあるタタ基礎研究所のチャンドラセカラン氏による。
ゼータ関数について，短くまとまったノート：「無限和１＋２＋３＋…の値とその先に見えるもの」http://www.jst.go.jp/crest/math/ja/caravan/20131117_Okayama/4)Nakasuji.pdf
?上智大，5ページのスライド資料。内容は非常に初歩的で，素数の役割からリーマン予想の紹介まで。
整数と素数のなぞhttp://www.math.kobe-u.ac.jp/~tani/nazo.pdf ?神戸大，12ページ。内容はやさしい。
数の体系の広がり,周期積分,そして整数論－代数と幾何と解析の交わる世界http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/olympic2010.pdf ?大阪大，21ページ。
ゼータ関数http://www1.ocn.ne.jp/~amonphys/amonzt.pdf ?９ページ
量子統計力学で用いるζ(2)とζ(4)の導出http://www.gsim.aoyama.ac.jp/~fukui/BoseEinstein2.pdf ?５ページ。
ζ関数の特殊値についてhttp://www1.tst.ne.jp/ja9nfo/math/zeta.pdf ?７ページ。読みやすい。
（２）素数定理とリーマン予想
以下略
0075現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 15:04:47.15ID:Bz9HH34rどうも。スレ主です。
おっちゃん、ありがとう。博識やね～。信頼度８．５％に上げとくよ（＾＾：
>スレ主も以前GAGAのこと書いていたろ。
はい、どこかで書きました。ネーミングが強烈やなーと。GAGAって芸人を連想します（＾＾：
0076現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 15:06:38.02ID:Bz9HH34rそうそう
プレッシャーは適度なのは、有効なんです
ストレスマネージメント的には
あとは、内在的動機付け理論ですね
0077現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 18:16:55.28ID:Bz9HH34rhttp://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo08/08takase.pdf
[PDF]不定域イデアルの理論と多変数代数関数論への道
抜粋
岡潔の言葉(1 )不定域イデアル
不定域イデアルと層の理論の関係の考察は岡潔の理論を理解するうえで重要なテーマである。
「多変数解析関数について」という標題の講演(この講演が行なわれた日時と場所は不明だが、昭和38～40年ころ、京都大学での講演と推定される。講演記録が残されている)を見ると、同潔自身によるいっそう立ち入った言及がなされている。
しばらく岡潔の言葉を観察したいと思う。
初めに語られるのは、解析関数論にイデアルの理論が導入されるまでの歴史的経緯である。
イデアルといいますとクンマー1)に始まります。それからそれをデデキント2)がアクシオマチック3) にいいなおしました。
それのエレメント4)を数からポリノーム5)に拡げたのがヒルベルト6) 、さらにポリノームをアナリチック・ファンクション7)に変えようと最初にしたのは、後で知ったのですが、リュッケルト4)です。
そしてこの後、これをさらに詳しく見ょうとして、1940年にアンリ・カルタンがマトリス・ホロモルフ9) という論文10)を書いています。
これは前の正則凸状の論文11)とともに非常に重要な論文です。
これだけで後は戦争になって、知らなかったのです。
ところでエレメントをアナリチック・ファンクションにしますと、どうなるかといいますと、ポリノームの場合は数の代わりに個々のエレメントをfと書けばよいのですが、
アナリチック・ファンクシヨンですと、リーマン12)がしました通り、このfがどこで正則かという領域δを添えて、(f，δ)としなければならない。
そのようにペアにして初めて意味をもつんです。
だから私は、領域が変わりますから、不定域イデアルとしたんです。
(下線による強調はぼくが行なった。)
3 )公理的に(英語)。
5 )多項式(仏語)。
9) 仏語。多複素変数の正則関数を要素とする正方行列のこと。
0078現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 18:19:47.69ID:Bz9HH34rイデアルの理論は数のイデアル(クンマ一、デデキント)に始まり、多項式のイデアル(ヒルベルト)へと移り、さらに解析関数のイデアル(リユツケルト、カルタン)へと変遷した。
解析関数のイデアルの場合には、漠然と解析関数の集まりを考えるのは無意味であり、間潔が言うように(岡潔はそれをリーマンにならったと言っている)、解析関数を考えることのできる場所をつねに念頭に置かなければならない。
それが、数のイデアルや多項式のイデアルの場合との本質的な相違点である。
引用おわり
歴史が分かって面白いね
0079現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 19:01:10.55ID:Bz9HH34r間潔が言うように(
↓
岡潔が言うように(
0080現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 19:08:43.39ID:Bz9HH34rさらに抜粋
P101
岡潔が大きな不満を感じたことに疑いをはさむ余地はない。解明すべき論点は不満の理由である。
岡潔の第7報はフランス数学会雑誌78の冒頭に掲載されたが、この巻頭論
文にすぐ続いて、一頁の白紙(28頁目)をはさんで、カルタン自身の論文
「複素変数の解析関数のイデアルとモジューノレJ
(フランス数学会雑誌78、29'"'-'64頁)
が掲載されている。末尾に「このマニユスクリプトは1949年9月15日に受理
されたJという記載が見られるが、岡潔の第7報が受理された日付はi1948
年10月15日」であるから、きっかり11箇月後の出来事である。この問、カル
タンは岡潔の第7報を研究し、適宜書き直しを行ない、しかも同時に一篇の
論文を執筆して、二つの論文を同時に公表したのである。
カルタンの論文のテーマは、岡潔の第7報を層の理論の視点から見て解明
することで、第7報の書き換えも同じ視点から行なわれている。このような
形で紹介された結果、第7報のテーマである不定域イデアルの理論は層の理
論の萌芽として理解されるようになり、有限擬基底をもっ不定域イデアノレは、
解析的連接層として諒解されるようになった。すなわち、不定域イデアルの
理論は、「三十年来の同僚である」カルタンによって高い評価を受け、現代
数学の流れに受容されたとき、まさしくその瞬間にすでに歴史的遺産へと変
容しなければならない運命に置かれたのである。上記の梶原壌二の証言には、
このような趨勢を甘受しようとする岡潔の感慨がよく表われていると思う。
0081現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 19:12:10.14ID:Bz9HH34rさらに抜粋
P107
カルタンは論文「複素変数の解析関数のイデアルとモ
ジュールJの第II節「モジュールの層」の冒頭(第4小節から始まる)で、
層の概念を導入する理由を語っている。
岡潔とともに、モジュールの層の概念を導入しよう。我々は代数的位相
幾何学での「層Jという言葉を借用したいと思う。それは、代数的位相幾
何学で、J.ルレイJ)によってホモロジー論において導入されたものである。
我々がここで同じ言葉を使用するのは、ある類似の概念を記述するためで
ある。また、ここでは代数的位相幾何学におけるのと同様に、f局所的にj
与えられたものから出発して、「大域的なj 諸性質の研究へと移行するこ
とが問題になる。層の概念が導入されるのは、そのような理由があるから
である。
(フランス数学会雑誌7& 33頁参照。ゴシック体の一語fモジュールの層J
は、原文ではイタリック体で書かれて強調されている。)
1)ジャン・ルレイ。フランスの数学者。19偽年。ルレイに関しては、文献とし
て数学週報222、1946年、1366"'1368頁が指示されている。1946年という年数は注目
に値すると思う。なぜならこれによって、代数的位相幾何学でのルレイによる層の
理論の研究は、多変数解析関数論での岡潔による不定域イデ、アルの研究とほぼ同時
期に進行したことが諒解されるからである。
書き出しの一文には脚註が附されていて、層の概念と不定域イデ、アルの概
念は根本的に同一であると明記されている。
0082現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 19:31:29.25ID:Bz9HH34rおっちゃんのいう「2つのクザンの問題とかを解いた岡潔」>>67
についても記載があるね
P117の上空移行の原理かな
ところで、これらの問題の困難は、身を置いている空間を適切な次元に
高めることにより、しばしば緩和される?)様子が私の目には映じている。
この論文では、この一般理念をある特別の場合に対して実現に移すことに
より、私は(この論文の)標題の領域を、言わばいっそう高い次元の柱状
領域に帰着させる原理を示したいと思う。(具体的な形については、第1
節参照。)
このような次第であるから、私はこの論文では、有理関数に関して凸状
な領域9)の内側に身を置く。それは同時に、私にとって不可欠な補助的諸
命題の研究を、課される制限がよりいっそう少なくてすむ状態で実らせる
ためでもある。
(広島大学理科紀要6、245--246頁参照。)
0083現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 19:33:39.13ID:Bz9HH34rしかし、高瀬先生は、よく調べているね～（＾＾；
0084１３２人目の素数さん
2015/08/22(土) 19:39:45.96ID:2gKhrdce指数定理大好きなんだよな俺。
0085現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 20:01:16.44ID:Bz9HH34rどうも。スレ主です。
指数定理か～（＾＾；
0086現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 20:06:36.04ID:Bz9HH34rむかし、リアプノフ指数とか聞いた記憶があるが
あれ、なんか指数定理と呼ばれるものがあるのでしょうかね？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%97%E3%83%8E%E3%83%95%E6%8C%87%E6%95%B0
リアプノフ指数
0087現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 20:24:58.78ID:Bz9HH34rそういえば、@Maleic1618さん>>62 Cousin I問題って、フラ語でクザンの問題か～！（＾＾；
手書き原稿だが、味があるね～！（＾＾；
http://maleic1618.hatenablog.jp/
メモ的ななにか @Maleic1618
2014-03-28 S2Sで発表しました
S2Sで「複素関数論とCousin I問題」と題して発表をしてきました．
発表用に作ったノートをこちらhttps://drive.google.com/file/d/0Bym-aZK9JAFAanFOSlo4S0t2ZEE/edit?usp=sharing に置いておきます．(Google Driveに飛びます)
参考になれば幸いです
参考にした本は次の4冊です．
神保 道夫著『複素関数入門』
野口 潤次郎著『複素解析概論』
若林 功著『数学のかんどころ21 多変数関数論』
野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』
ノートの7ページに"極が孤立するとは限らない"と書いていますが，実際には孤立しないことが分かります．(孤立した点があれば，Hartogs現象と同じように領域を取ってして拡張できるため)
0088現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 20:38:37.28ID:Bz9HH34rついでに
http://maleic1618.hatenablog.jp/
2014-01-12 Sheafification
野口さんの本で層のテンソル積の例を計算していて，前層を層にするのは関数を局所的にみられるようにすることなんだと確信を持った．
計算していたのは次の例．
Rを実数体とし，定数層Z_R*1，イデアル層I<0,1>*2を考える．
S=Z_R/I<0,1>とするとS(R)はZ \oplus Zと同型．
※層S,Tに対して商層S/Tは{S(U)/T(U)}_{U⊂R:open}を層化して得られる層として定義される
実際に計算すると，
stalkについてはS_x = {Z_R}_x/I<0,1>_xだから，
S_xはx=0,1でZ，それ以外で0となってる．
で，f:R→Sとして，f(0)=a, f(1)=b, f(x)=0 (x≠0,1)という関数が連続かどうかを確かめるわけなのだけど，
これは0の近傍では「常にaを取る定数関数」と局所的に一致してるから0で連続
1の近傍でも「常にbを取る定数関数」と局所的に一致してるから1で連続
他の点では「常に0を取る定数関数」と局所的に一致してるから連続
となって，連続関数となっていることが分かります．よってS(R)がZ \oplus Zとなっているというわけです．
定数関数から定義した層なんだから，定数関数だけしか連続にならないんじゃないの？と最初勘違いしてたのですが，層化してるから局所的にみれるので大丈夫なんですね(多分)．
*1:Z上に値を取る定数関数のなす層
*2:x=0およびx=1で0を取る定数関数からなる，Z_Rの部分層
0089現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 20:40:17.09ID:Bz9HH34r野口さんの本って、野口 潤次郎著『複素解析概論』>>87でしょうか？
0090１３２人目の素数さん
2015/08/22(土) 20:45:25.91ID:2gKhrdceリャプーノフ指数は力学系の概念でそれらの指数とは違う。
0091現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 21:01:02.44ID:Bz9HH34r0092現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 21:18:55.44ID:Bz9HH34rどうも。スレ主です。
サーセンｗｗ（＾＾：
指数定理わかりません・・
検索しても、いろいろありすぎ。これでお茶を濁しますか
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/bnalge/index.htm
蟹江幸博
シャファレヴィッチ著の『代数学とは何か』シュプリンガー・フェアラーク東京(2001.7)に関するページです。
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/bnalge/mokuji.htm
『代数学とは何か』目次
§22 K理論
A. 位相的K理論
ベクトル束と関手 ${\cal V}ec(X)$．周期性と $K_n(X)$．$K_1(X)$ と無限次元線形群．楕円型微分作用素のシンボル．指数定理．
0093１３２人目の素数さん
2015/08/22(土) 21:27:40.90ID:CD4JzK8F0094現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 21:31:19.73ID:Bz9HH34rhttp://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/index.htm
TOSM三重の広場
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/index.htm
TOSMグループ 文献
0095現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 21:35:10.96ID:Bz9HH34rところで、蟹江先生の下記、笑えるね～（＾＾；
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/index.htm
リーマン面(数学セミナー1993年1月号26-27ページ)
これでもまだ少し紙数を超えている。一段落位のことだった。なんとかこのまま載せてほしかったが、許して貰えず泣く泣くあっちこっちを削った。気に入っていた締めのフレーズも短くした。校正も編集に任せてしまった。何せ、書き直しで締め切りを過ぎていたのだ。
刷り上がりを見て、さすがにきちんと校正してあると思いながら、最後まで読んできて、愕然とした。
リーマン面で代表されるリーマンの業績には、才能や力強さという彼の魂が篭められているように感じられる。
違いが分かるだろうか。原稿はこのページも挙げてあるように、
リーマン面で代表されるリーマンの業績には、才能や力強さというより彼の魂が篭められているように感じられる。
だったのだ。２文字落ちている。「より」という２文字。
たった２文字で、壊れ物のように繊細なとリーマンの魂を形容した文章が、びくともしない強靱な精神の持ち主としてリーマンを讃えたことになっている。
自分で校正がしたかった。と、痛切に思った。しかし、依頼原稿を書くときは、プロとして振る舞うべきだったのだ。締切りを守れば良かったのだ。 ２度と締切りを押すことはするまいと思った。
それから今日まで、原稿の依頼はない。
上のコメントを書いてから2年半以上のときが流れ，略 数度数学セミナーにも原稿を依頼された．
略
僕としては，上のページをアップしたことで，一応のけじめがついていたのでさっぱりしたものであったが，担当者の方はひどく気にしておられるということを別の編集者から聞いた．
それで，この箇所を削除しようと思って，ファイルを見たのだが，消してしまうのは惜しい気がする． 非常に気の優しい方で，数学の世界のこともよくわかっておられ，個人的には，好意以外のものを持ってはいない．
実は今最終原稿読み直しても，誤植が見つかったので直したのだが，それほどに，原稿には意図せぬ誤りが入り込むものである．
編集者への悪意のために消さないのではなく，自戒をこめて，置くのである．心優しいYさんには，もう少し逞しくなってもらうことにして，容赦していただきたいと思う．
0096現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 21:41:43.44ID:Bz9HH34rどうも。スレ主です。
情報ありがとう
ガウス・ボンネね～。知っているといいた。が、聞いたこと、読んだことはあるが、詳しいことは思い出せない・・
で、検索・・・、ふんふん、思い出してきたよ～
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%8D%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ガウス・ボネの定理
（曲率の意味で）曲面の幾何学と（オイラー標数の意味での）曲面のトポロジーと結びつける重要な定理である。
命名はこの定理に最初に気づいたが出版しなかったカール・フリードリッヒ・ガウス(Carl Friedrich Gauss)と、1848年に特殊な場合について出版したピエール・オシアン・ボネ（英語版）(Pierre Ossian Bonnet)にちなんでいる。
解釈と重要さ
閉曲面の全ガウス曲率は曲面のオイラー標数の 2π 倍に等しいことを意味している。
境界を持たない向き付け可能なコンパクト曲面に対し、g を曲面の種数とするとオイラー標数は 2-2g であることに注意する。境界をもたない向き付け可能なコンパクトな曲面は、トポロジー的には g 個のハンドル体をつけた球面に同相となる。
曲面 M を折り曲げたり変形させたりしても、オイラー標数はトポロジー的には不変なので変わらないが、曲率はある点では変わる。
いくらか驚くかもしれないが、本定理のは、たとえ、どのように変形されようとも、すべての曲率の全積分は変化しないことを言っている。
従って、例えば、球にくぼみを作っても、くぼみの大きさや深さには関係なく、球の全曲率は 4π である（オイラー標数が 2 であるので）。
0097現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 21:44:45.78ID:Bz9HH34rhttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%8D%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
一般化
ガウス・ボネの定理の n-次元リーマン多様体への一般化は、1940年代にカール・アレンドエルファー（英語版）(Carl Allendoerfer)とアンドレ・ヴェイユ(Andre Weil)とチャーン(Shiing-Shen Chern)により発見された。
一般化されたガウス・ボネの定理やチャーン・ヴェイユ準同型を参照。リーマン・ロッホの定理はガウス・ボネの定理の一般化とみなすことができる。
上記の定理の非常に深い一般化はアティヤ・シンガーの指数定理である。
0098現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 21:48:26.40ID:Bz9HH34rアティヤ＝シンガーの指数定理か。名前だけは聞いていたね～（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%A4%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86
アティヤ＝シンガーの指数定理(Atiyah?Singer index theorem)とは、スピンc多様体 の上の複素ベクトル束の間の楕円型微分作用素について、解析的指数と呼ばれる量と位相的指数と呼ばれる量とが等しいという定理である。
解析的指数は与えられた楕円型微分作用素が定める偏微分方程式の解の次元を表す解析的な量であり、一方で位相的指数は微分作用素の主表象をもとにして多様体のコホモロジーを通じて定義される幾何的な量である。
従って指数定理は解析学と幾何学という見かけ上異なった体系の間のつながりを与えているという意味で20世紀の微分幾何学における最も重要な定理ともいわれる。
本稿で述べる形の指数定理はマイケル・アティヤとイサドール・シンガーによって1963年に発表[1]され、1968年に証明[2] [3]が刊行された。
指数定理の特別な場合として、以前から知られていたガウス・ボンネの定理やヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理（ヒルツェブルフ（英語版）のリーマン・ロッホの定理）などが含まれていると理解できる。
さらに、1950年代の終わりに得られていたグロタンディ－ク・リーマン・ロッホの定理（英語版）（グロタンディークのリーマン・ロッホの定理）はこの定理の定式化に大きな影響を与えたとされ、
グロタンディークが代数多様体に対して用いたK理論の構成を微分多様体に対して実行することが指数定理の定式化・証明における重要なステップをなしている。
またアティヤ-シンガーによる枠組みの一般化として群が作用している場合や、楕円型微分作用素を持つ多様体が、ある多様体によってパラメーター付けされた族として与えられている場合、
葉層構造によってパラメーター付けが与えられている場合などに指数定理が一般化されている。
この定理の研究から、アティヤとシンガーは2004年にアーベル賞を受賞した。
0099現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 22:23:44.16ID:Bz9HH34rK-理論も有名で、名前だけは知っているんだが（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/K%E7%90%86%E8%AB%96
数学における K-理論（Kりろん、英: K-theory）は、大まかには、大きな行列の不変量を研究することのひとつであり[1]、位相空間やスキーム上で定義されたベクトル束で生成される環の研究に端を発する。
代数トポロジーにおける K-理論は、位相的 K-理論と呼ばれる一種の超常コホモロジー論（英語版）である。代数学や代数幾何学における K-理論は代数的 K-理論と呼ばれる。また、K-理論は作用素環論においてもいくつかの応用を持つ。
K-理論は、位相空間やスキームから付帯する環への写像である K-函手の族を構成することを意味する。これらの環は、元の空間やスキームの構造のいくつかの側面を反映している。
代数トポロジーにおける群への函手のように、この函手的な写像の利点は、元の空間やスキームからよりも写像された環からのほうが位相的な性質を容易に計算することができることが多いことである。
K-理論のアプローチから得られる結果の例としては、ボットの周期性（英語版）(Bott periodicity)やアティヤ＝シンガーの指数定理やアダムズ作用素（英語版）(Adams operation)がある。
高エネルギー物理学では、K-理論、特にツイストした K-理論（英語版）(twisted K-theory)は、II-型弦理論に現れる。
そこでは、K-理論が、Dブレーンやラモン-ラモン場（英語版）(Ramond?Ramond field)の強さ、一般化された複素多様体上のスピノルを分類すると予想されている。
物性物理学では、K-理論は、トポロジカル絶縁体、超伝導や安定フェルミ面を分類することに使われる。詳細はK-理論 (物理学)（英語版）(K-theory (physics))の項を参照。
0100現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 22:28:46.24ID:Bz9HH34r”名称は「類」を意味するドイツ語 "Klasse" の頭文字をとった[2]”か・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/K%E7%90%86%E8%AB%96
黎明期
この主要な問題は、アレクサンドル・グロタンディークがグロタンディーク-リーマンロッホの定理（英語版）(Grothendieck?Riemann?Roch theorem)を定式化することに、K-理論を用いた Grothendieck (1957) に始まる。
名称は「類」を意味するドイツ語 "Klasse" の頭文字をとった[2]。
グロタンディークは、代数多様体 X 上の連接層をうまく扱う必要とし、層自体を直接扱うのではなく、層の同型類（英語版）(isomorphism class)を群の生成系として、それらの和を備える二つの層の拡大を同一視することによる基本関係で一つの群を定義した。
局所自由層のみを用いて考えると、こうして得られた群は K(X) と書かれ、任意の連接層を用いるときは G(X) と書かれるのだが、いづれもグロタンディーク群と呼ばれる。K(X) はコホモロジー的であり、G(X) はホモロジー的に振る舞う。
X が滑らかな代数多様体のとき、この二つのグロタンディーク群は一致する。X が滑らかなアフィン代数多様体ならば、局所自由層の任意の拡大は分裂するので、別な方法でグロタンディーク群を定義することもできる。
トポロジーでは、ベクトル束に同じ構成を適用することにより、Atiyah & Hirzebruch (1959) は 位相空間 X に対する K(X) を定義し、
ボット周期性定理（英語版）(Bott periodicity theorem)用いてある超常コホモロジー論（英語版）(extraordinary cohomology theory)の基底を与えた。
これは指数定理の別証明 (circa 1962) において重要な役割を果たす。さらにこのアプローチはC*-環に対する非可換 K-理論を導く。
1955年にはすでにジャン＝ピエール・セールは、ベクトル束のアナロジーとして射影加群を用いて「多項式環上の任意の有限生成射影加群が自由加群である」ことを言うセール予想（英語版）(Serre's conjecture)を定式化していたが、
これが肯定的に解かれたのは20年を経た後のことであった（スワンの定理(Swan's theorem)はこのアナロジーのもうひとつの側面である）。
0101現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 22:58:34.87ID:Bz9HH34rhttps://ja.wikipedia.org/wiki/K%E7%90%86%E8%AB%96
理論の展開
代数的 K-理論のもうひとつの歴史的な起源は、ホワイトヘッドらによる業績で、後にホワイトヘッドねじれ（英語版）(Whitehead torsion)として知られていることに関することである。
その後「高次 K-理論函手」の部分的な定義がさまざまに提唱され、最終的にダニエル・キレンによって1969年と1972年にホモトピー論を用いた互いに同値な二つの有力な定義が与えられた。
また、擬イソトピー(pseudo-isotopy)の研究と関連する「空間の代数的 K-理論」を調べるため、K-理論の一変形がフリードヘルム・ヴァルトハウゼンによっても与えられた。より現代的な高次 K-理論の研究は、代数幾何学およびモチーフコホモロジー（英語版）と関連する。
付帯二次形式をもつ対応する構成は、一般にL-理論（英語版）と名付けられ、手術（英語版）(surgery)の主な道具立てとなっている。
弦理論において、ラモン-ラモン場（英語版）(Ramond?Ramond field)の強さや安定 Dブレーンのチャージの K-理論分類が、初めて提唱されたのは1997年のことであった[3]。
[3]^ by Ruben Minasian (http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7), and Gregory Moore (http://www.physics.rutgers.edu/~gmoore) in K-theory and Ramond?Ramond Charge. http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/9710230
^ Atiyah, Michael (2000), K-Theory Past and Present, v1, arXiv:math/0012213 http://arxiv.org/abs/math/0012213
Max Karoubi (2006), "K-theory. An elementary introduction", arXiv:math/0602082 http://arxiv.org/abs/math/0602082
0102現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 23:11:38.01ID:Bz9HH34rそうそう、ソウの説明、下記が分かり易いかも
http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Sheaf_theory
Sheaf theory - Encyclopedia of Mathematics:
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0103現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 23:29:52.83ID:Bz9HH34rhttps://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck's_T%C3%B4hoku_paper
The article Sur quelques points d'algebre homologique by Alexander Grothendieck,[1] now often referred to as the Tohoku paper,[2] was published in 1957 in the Tohoku Mathematical Journal.
It has revolutionised the subject of homological algebra, a purely algebraic aspect of algebraic topology.[3] It removed the need to distinguish the cases of modules over a ring and sheaves of abelian groups over a topological space.[4]
Contents
1 Background
2 Later developments
3 Notes
4 External links
Background
Material in the paper dates from Grothendieck's year at the University of Kansas in 1955?6. Research there allowed him to put homological algebra on an axiomatic basis, by introducing the abelian category concept.[5][6]
A textbook treatment of homological algebra, "Cartan?Eilenberg" after the authors Henri Cartan and Samuel Eilenberg, appeared in 1956. Grothendieck's work was largely independent of it.
His abelian category concept had at least partially been anticipated by others.[7]
David Buchsbaum in his doctoral thesis written under Eilenberg had introduced a notion of "exact category" close to the abelian category concept
(needing only direct sums to be identical); and had formulated the idea of "enough injectives".[8]
The Tohoku paper contains an argument to prove that a Grothendieck category (a particular type of abelian category, the name coming later) has enough injectives; the author indicated that the proof was of a standard type.[9]
In showing by this means that categories of sheaves of abelian groups admitted injective resolutions, Grothendieck went beyond the theory available in Cartan?Eilenberg, to prove the existence of a cohomology theory in generality.[10]
0104現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/22(土) 23:47:27.84ID:Bz9HH34r英訳があるんだ・・（下記）
https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck's_T%C3%B4hoku_paper
Later developments
After the Gabriel?Popescu theorem of 1964, it was known that every Grothendieck category is a quotient category of a module category.[11]
The Tohoku paper also introduced the Grothendieck spectral sequence associated to the composition of derived functors.[12]
In further reconsideration of the foundations of homological algebra, Grothendieck introduced and developed with Jean-Louis Verdier the derived category concept.[13]
The initial motivation, as announced by Grothendieck at the 1958 International Congress of Mathematicians, was to formulate results on coherent duality, now going under the name "Grothendieck duality".[14]
Notes
Grothendieck, A. (1957), "Sur quelques points d’algebre homologique", Tohoku Mathematical Journal, (2) 9: 119?221, doi:10.2748/tmj/1178244839, MR 0102537. English translation. http://www.math.mcgill.ca/barr/papers/gk.pdf
0105現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 00:00:38.21ID:1K90ZkZYなんでトウホク？
グロタン先生は、仏国籍がないので、仏の大学で就職できないので、世界を転々としていた
つぎは、日本と思って、日本の大学トウホクに投稿したと読んだことがある
でも、IHESが出来て、仏へもどったという
https://ja.wikipedia.org/wiki/IHES
IHES
1958年にレオン・モチャーンにより設立された。同年にグロタンディークとデュドネが教授として選任された。
0106現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 07:04:45.10ID:1K90ZkZYaffineの語原
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%B3%E5%86%99%E5%83%8F
幾何学におけるアフィン写像（アフィンしゃぞう、英語: affine map）はベクトル空間（厳密にはアフィン空間）の間で定義される、平行移動を伴う線型写像である。アフィン (affine) はラテン語で「類似・関連」を意味する affinis に由来する。
https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_transformation
In geometry, an affine transformation, affine map[1] or an affinity (from the Latin, affinis, "connected with") is a function between affine spaces which preserves points, straight lines and planes.
0107現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 07:13:55.43ID:1K90ZkZY英文読む方が、K-theory German Klasse, meaning "class"が見えるね（＾＾；
https://en.wikipedia.org/wiki/K-theory
K-theory
Early history
The subject can be said to begin with Alexander Grothendieck (1957), who used it to formulate his Grothendieck?Riemann?Roch theorem.
It takes its name from the German Klasse, meaning "class".[2]
Grothendieck needed to work with coherent sheaves on an algebraic variety X.
Rather than working directly with the sheaves, he defined a group using isomorphism classes of sheaves as generators of the group, subject to a relation that identifies any extension of two sheaves with their sum.
0108現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 07:27:09.69ID:1K90ZkZYシャファレヴィッチ著の『代数学とは何か』>>92は、読んでないが、
"§22 K理論 A. 位相的K理論
ベクトル束と関手 ${\cal V}ec(X)$．周期性と $K_n(X)$．$K_1(X)$ と無限次元線形群．楕円型微分作用素のシンボル．指数定理．"（特に指数定理）
は、思うに
アティヤ＝シンガーの指数定理>>99、あるいはグロタンディーク-リーマンロッホの定理>>100のどちらか（両方）に関係しているんだろうね
そういう意味では、まったく外れではないか・・
0109現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 07:39:56.27ID:1K90ZkZYhttps://en.wikipedia.org/wiki/K-theory_%28physics%29
K-theory (physics)
In string theory, the K-theory classification refers to a conjectured application of K-theory (in abstract algebra and algebraic topology) to superstrings, to classify the allowed Ramond?Ramond field strengths as well as the charges of stable D-branes.
In condensed matter physics K-theory has also found important applications, specially in the topological classification of topological insulators, superconductors and stable Fermi surfaces (Kitaev (2009), Horava (2005)).
History
This conjecture, applied to D-brane charges, was first proposed by Minasian & Moore (1997).
It was popularized by Witten (1998) who demonstrated that in type IIB string theory arises naturally from Ashoke Sen's realization of arbitrary D-brane configurations as stacks of D9 and anti-D9-branes after tachyon condensation.
Such stacks of branes are inconsistent in a non-torsion Neveu?Schwarz (NS) 3-form background, which, as was highlighted by Kapustin (2000), complicates the extension of the K-theory classification to such cases.
Bouwknegt & Varghese (2000) suggested a solution to this problem: D-branes are in general classified by a twisted K-theory, that had earlier been defined by Rosenberg (1989).
Applications
The K-theory classification of D-branes has had numerous applications.
For example, Hanany & Kol (2000) used it to argue that there are eight species of orientifold one-plane. Uranga (2001) applied the K-theory classification to derive new consistency conditions for flux compactifications.
K-theory has also been used to conjecture a formula for the topologies of T-dual manifolds by Bouwknegt, Evslin & Varghese (2004). Recently K-theory has been conjectured to classify the spinors in compactifications on generalized complex manifolds.
つづく
0110現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 08:14:53.65ID:1K90ZkZYOpen problems
Despite these successes, RR fluxes are not quite classified by K-theory.
Diaconescu, Moore & Witten (2003) argued that the K-theory classification is incompatible with S-duality in IIB string theory.
In addition, if one attempts to classify fluxes on a compact ten-dimensional spacetime, then a complication arises due to the self-duality of the RR fluxes.
The duality uses the Hodge star, which depends on the metric and so is continuously valued and in particular is generically irrational.
Thus not all of the RR fluxes, which are interpreted as the Chern characters in K-theory, can be rational.
However Chern characters are always rational, and so the K-theory classification must be replaced.
One needs to choose a half of the fluxes to quantize, or a polarization in the geometric quantization-inspired language of Diaconescu, Moore, and Witten and later of Varghese & Sati (2004).
Alternately one may use the K-theory of a 9-dimensional time slice as has been done by Maldacena, Moore & Seiberg (2001).
つづく
0111現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 09:09:15.34ID:1K90ZkZYK-theory classification of RR fluxes
In the classical limit of type II string theory, which is type II supergravity, the Ramond?Ramond field strengths are differential forms.
In the quantum theory the well-definedness of the partition functions of D-branes implies that the RR field strengths obey Dirac quantization conditions when spacetime is compact,
or when a spatial slice is compact and one considers only the (magnetic) components of the field strength which lie along the spatial directions.
This led twentieth century physicists to classify RR field strengths using cohomology with integral coefficients.
However some authors have argued that the cohomology of spacetime with integral coefficients is too big. For example, in the presence of Neveu?Schwarz H-flux or non-spin cycles some RR fluxes dictate the presence of D-branes.
In the former case this is a consequence of the supergravity equation of motion which states that the product of a RR flux with the NS 3-form is a D-brane charge density.
Thus the set of topologically distinct RR field strengths that can exist in brane-free configurations is only a subset of the cohomology with integral coefficients.
略
The Atiyah?Hirzebruch spectral sequence constructs twisted K-theory, with a twist given by the NS 3-form field strength, as a quotient of a subset of the cohomology with integral coefficients.
In the classical limit, which corresponds to working with rational coefficients, this is precisely the quotient of a subset described above in supergravity.
The quantum corrections come from torsion classes and contain mod 2 torsion corrections due to the Freed-Witten anomaly.
Thus twisted K-theory classifies the subset of RR field strengths that can exist in the absence of D-branes quotiented by large gauge transformations.
Daniel Freed has attempted to extend this classification to include also the RR potentials using differential K-theory.
つづく
0112現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 09:16:18.83ID:1K90ZkZYK-theory classification of D-branes
K-theory classifies D-branes in noncompact spacetimes, intuitively in spacetimes in which we are not concerned about the flux sourced by the brane having nowhere to go.
While the K-theory of a 10d spacetime classifies D-branes as subsets of that spacetime, if the spacetime is the product of time and a fixed 9-manifold then K-theory also classifies the conserved D-brane charges on each 9-dimensional spatial slice.
While we were required to forget about RR potentials to obtain the K-theory classification of RR field strengths, we are required to forget about RR field strengths to obtain the K-theory classification of D-branes.
K-theory charge versus BPS charge
略
K-theory from tachyon condensation
略
Twisted K-theory from MMS instantons
略
MMS[1] refer to this process as an instanton, although really it need not be instantonic.
The conserved charges are thus the nonanomolous subset quotiented by the unstable insertions. This is precisely the Atiyah-Hirzebruch spectral sequence construction of twisted K-theory as a set.
引用おわり
0113現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 09:27:24.73ID:1K90ZkZYNeveu－Schwarz (NS) 3-form
下記リンクなんだけど・・
https://en.wikipedia.org/wiki/Kalb%E2%80%93Ramond_field
Kalb?Ramond field
In theoretical physics in general and string theory in particular, the Kalb?Ramond field, also known as the NS-NS B-field, is a quantum field that transforms as a two-form i.e. an antisymmetric tensor field with two indices.[1][2]
引用おわり
http://www.aei.mpg.de/~theisen/LMT.pdf
String Theory: An Overview Lect. Notes Phys. 721, 289?323 (2007)
P295
The fermions ψμ± on the world-sheet of the closed string can be periodic (Ramond) or anti-periodic (Neveu?Schwarz),
where the periodicity condition can be chosen independently for each chirality.
This leads to four different sectors of the closed string theory.3
Excitations in the (NS,NS) and the (R,R) sectors are space-time bosons while excitations in the two mixed sectors, (R,NS) and (NS,R), are space-time fermions.
引用おわり
0114現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 09:43:26.59ID:1K90ZkZYNS：Neveu－Schwarz, anti-periodic
3-form：３次元-（外）微分形式。 正式には、下記
https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form
For instance, the expression f(x) dx from one-variable calculus is called a 1-form
and similarly the expression: f(x,y,z) dx∧dy + g(x,y,z) dx∧dz + h(x,y,z) dy∧dz is a 2-form that has a surface integral over an oriented surface S:
Likewise, a 3-form f(x, y, z) dx∧dy∧dz represents a volume element that can be integrated over a region of space.
引用おわり
R：periodic (Ramond)
(R,R) ：ラモン-ラモン場（英語版）(Ramond?Ramond field) https://en.wikipedia.org/wiki/Ramond%E2%80%93Ramond_field
0115現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 09:48:25.98ID:1K90ZkZY理論物理屋さんも、K-theory くらいやってないと、常識が無いと言われそうな時代かよ、おい（＾＾；
0116１３２人目の素数さん
2015/08/23(日) 09:59:57.98ID:nupX4GQB0117現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 10:02:19.35ID:1K90ZkZYどうも。スレ主です。
多分読んでない
書店で見かけた
が、興味が湧かなかったので、手に取ってない
0118現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 10:11:46.70ID:1K90ZkZYが、群論はあるよ。大体ガロア理論の本には、導入部分に有限群論が付属しているし（付録にまわっている本も多い）
>>77-78の岡潔の講演を読むと
数のイデアルと
多項式環のイデアルと
解析関数のイデアルと
質が違うんだね。歴史的にも違うんだね
なるほど～（＾＾；
0119１３２人目の素数さん
2015/08/23(日) 11:02:22.21ID:nupX4GQB0120１３２人目の素数さん
2015/08/23(日) 18:04:51.97ID:rhinu+IC0121１３２人目の素数さん
2015/08/23(日) 19:01:23.17ID:pFXtvWCJ大平というのが一番上に出たぞ
0122現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 19:06:42.68ID:1K90ZkZYどうも。スレ主です。
良い質問だと思うのだが・・
君のレベルが分からないんだよね
0123現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 19:08:37.53ID:1K90ZkZYシローの定理ね
自分でも少しは調べているんだろ？ いまの時代、検索かければヒットする情報はあるから
だが、自分の求める情報をヒットさせるのはなかなか難しいのも事実だ
0124現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 19:11:53.76ID:1K90ZkZYシローの定理ね
なにが分からないのか分からないが
まあ、有限群論の基本定理だと。これが一つの切り口だ
こういう大きな定理は、いろんな切り口で考えるのが良いんだよ
0125現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 19:18:16.53ID:1K90ZkZYシローの定理ね
実は、こういう本がある。結構新しいし、コンパクトで分かり易いよ
http://www.amazon.co.jp/dp/4764904780/ref=sr_1_1?s=books&;ie=UTF8&qid=1440324836&sr=1-1&keywords=%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
シローの定理 (大学数学スポットライト・シリーズ) 単行本 ? 2015/4/10
佐藤 隆夫
単行本: 155ページ
出版社: 近代科学社 (2015/4/10)
商品の説明
内容紹介
群論の古典!
本シリーズは,大学教育において扱われる数学の中から特に重要で興味深いと思われるテーマを抽出し,その基礎概念ならびに応用の点について様々な観点から掘り下げた解説を行う。A5判でありながら側注をもうけ、立体的に理解できる。
第1巻は、群論の古典ともいうべき「シローの定理」を取り上げる。群論は、抽象的概念の強い分野だが、その利用例は幅広く、情報科学はもとより、物理、化学などに幅広い分野に応用されている。
本書は、「シローの定理」にスポットをあて、より深い理解を目指して学ぶことができる。章末には、演習問題の詳細な解答をのせ、より具体的に理解出来るよう工夫してある。
授業で学んだが、今ひとつ理解出来かねている読者やより深く理解して研究に使えるようにしたい読者には最適の書である。
著者について
東京理科大学講師
0126現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 19:21:15.17ID:1K90ZkZY一度、書店か図書館で手に取ってみては？
実は、これ手元にある
アマゾンなどで買うのもありだろう。分かり易いよ
0127１３２人目の素数さん
2015/08/23(日) 19:31:23.44ID:ubTUdCwU0128現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 19:36:02.19ID:1K90ZkZYこの本にも書いてあるし、有限群論やった人なら常識なんだが
１．ラグランジュの定理というのがある。（下記）部分群の位数が、元の群の位数の約数だと
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_%28%E7%BE%A4%E8%AB%96%29
群論において、ラグランジュの定理（英語：Lagrange's theorem）とは、次のような定理である。
G を有限群とし、H を G の部分群とする。このとき、H の位数は、G の位数を割り切る。
２．では、この逆問題はどうなるか？ つまり、群Gの位数が分かったときに、その部分群はどこまで決まるのか？ 別の言い方をすれば、群Gの位数が分かったときに、その群の構造はどこまで決まるのか？
３．簡単な場合がある。群Gの位数が、素数pに等しい場合は、位数pの巡回群になるとか
４．一般の場合を考えたのが、シロー先生ってわけ。これが結構早かったんだ。だから、名前が残っている。いずれは、だれかが考えたと思うんだよね、個人的には。何年後な何十年後か分からないが・・
https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow
Peter Ludwig Mejdell Sylow (IPA: [ ?sy?l?v]) (12 December 1832 ? 7 September 1918) was a Norwegian mathematician who proved foundational results in group theory. He was born and died in Christiania (now Oslo).
Sylow was a high school teacher in Halden, Norway, from 1858 to 1898, and a substitute lecturer at Christiania University in 1862, covering Galois theory.
It was then that he posed the question that led to his theorems regarding Sylow subgroups.
Sylow published the Sylow theorems in 1872, and subsequently devoted eight years of his life, with Sophus Lie, to the project of editing the mathematical works of his countryman, Niels Henrik Abel.
He was appointed professor of Christiania University in 1898.
0129現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 19:38:17.05ID:1K90ZkZYあとは、上記の本を読むか、自分で調べてみて
それで、分からなければ、質問してくれ
なお、どこが分からないか具体的にね。それと、君のレベルが分かるように頼むよ
0130現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 19:48:38.20ID:1K90ZkZYどうも。スレ主です。
同意です。そうらしい。（専門的には、深くは知らないので）
あとは、大定理ですよね。トンプソンのodd order theorem
http://www.researchgate.net/publication/265821156_A_new_look_at_the_Feit-Thompson_odd_order_theorem
A new look at the Feit-Thompson odd order theorem
George Glauberman
Matematica Contemporanea 01/1999; 16.
あと、有限群の分類定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4
単純群の完全な分類という目標は達成された。つまり任意の有限群の「組み立て部品」は現在では完全に知られている(任意の有限群は組成列を持つ)。
あと、有限群に限らないが、表現論か
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE
群の表現（ぐんのひょうげん、英: group representation）とは、抽象的な群 G の元に対して具体的な線形空間 V の正則な線形変換としての実現を与える準同型写像 G → GL(V) のことである。
実際には正則な線形変換としてではなく、より具体的な正則行列による実現を与える準同型写像を指すことも多い。
0131現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/23(日) 22:17:28.74ID:1K90ZkZYhttp://mathsoc.jp/publication/tushin/0303/hasegawa3-3.pdf
書評 高木貞治著「近世数学史談・数学雑談」（復刻版・合本）共立出版，1996年
500年分はおおげさすぎと思う
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB
アーベル
1826年 パリ科学アカデミーへ提出した「超越関数の中の非常に拡張されたものの一般的な性質に関する論文」こそ､のちに“青銅よりも永続する記念碑”と謳われ､後代の数学者に500年分の仕事を残してくれたとまで言われた不滅の大論文だった。
http://reuler.blog108.fc2.com/blog-entry-1702.html
2012-04-08-Sun 回想のアーベル 6 加法定理と「パリの論文」 （高瀬）
アーベルの生前には日の目をみなかった「パリの論文」という大論文があります。
驚嘆に値するのはそのテーマなのですが、アーベルが取り上げたのは完全に一般的な代数関数の積分、すなわち今日のアーベル積分であり、「パリの論文」ではアーベル積分の加法定理が既述されました。
楕円関数の等分理論に先立って、アーベルはいきなりアーベル積分の高みに飛翔したことになります。地上から一歩ずつ階段をのぼっていくのではなく、まずはじめに頂上に身を移して世界全体を展望するという離れ業ですが、どうしてそんなことができたのでしょうか。
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1513-6.pdf
数理解析研究所講究録2006 数論と関数論- オイラーからヒルベルトヘー 高瀬正仁
http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo11/11_4takase.pdf
「ヤコヒの逆 問題 」小史 - 津田塾大学 高瀬正仁 平成12年(2000年)10月21日(土)
.この「パリの論文Jは公表されないまま行方不明になったが，後に発見され， 1841年，パリの学術誌「いろいろな学者によって学士院に提出された諸論文」第7巻， 176"'"'264頁に掲載された.
この論文において完全に一般的なアーベル積分を対象にして「アーベルの定理」と加法定理が表明され，アーベルの定理から加法定理が導かれた.アーベルの定理は加法定理の根底にある定理であり，それ自身もまた加法定理という名に相応しい性格を備えている.
0132１３２人目の素数さん
2015/08/24(月) 06:00:30.61ID:0sHbSGFUおっちゃんです。昨日は書かなかったが、>>88の内容からして、
>野口 潤次郎著『複素解析概論』
ではなく
>野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』
を指している。
0133１３２人目の素数さん
2015/08/24(月) 06:36:59.88ID:0sHbSGFU文脈上、アティヤ・ジンガーの指数定理のことだろうな。
偏微分方程式と微分幾何を結び付けたような定理だな。
応用範囲がとても広いんだわ。
0134１３２人目の素数さん
2015/08/24(月) 06:45:57.25ID:0sHbSGFU0135１３２人目の素数さん
2015/08/24(月) 22:06:47.45ID:qvYMk6yb,, ） ）
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0136１３２人目の素数さん
2015/08/25(火) 06:15:42.53ID:mUFO6e9h>>126
>実は、これ手元にある
おっちゃんです。その書籍が手元にあるなら、>>119への回答は
>シローの定理 (大学数学スポットライト・シリーズ) でも読めば。
で終わってる。私はその書籍は知らなかった。確かに>>119の問いは漫然としていて
シローの定理のどこがどう分からないのかが書かれてなく、質問になっていない。
0137１３２人目の素数さん
2015/08/25(火) 14:43:09.81ID:2ALWEdmt結構甘かったりする。
具体的には、
１．その主張そのもの
２．その意味するもの
３．その定理の証明方法
４．その定理の応用（例・問題）
をわかるまで繰り返したあと、いったん忘れるだけの時間をおいて
（たとえば３か月後に）再現してみる過程で、ふと”そういうことだったのか”
と腑に落ちる瞬間がくる。これで初めて理解できたと言える。
もし、数年後に、これらを再現しようとしてできない場合には、
表面的理解だけで、本質を把握していないということ。
0138１３２人目の素数さん
2015/08/26(水) 07:05:59.10ID:o6oQXrkO4つの主張を1つにまとめて「シローの定理」というのが習慣で、
ただ単に「シローの定理をわかりやすく解説してくれませんか？」などという書き方では、
通常の解釈では、シローの定理の4つの主張全体について最初から解説しろという趣旨の文になる。
このような質問に対しては、シローの定理の本を薦めて、最初から学習させるのがよい対策になる。
それなので、>>136では本を挙げたまで。シローの定理の質問は一旦学習してから
するべき。「シローの定理をわかりやすく解説してくれませんか？」という文の書き方だと、
場合によっては、シローの定理の4つの主張全体の中の部分的な個々の主張について尋ねたとも解釈出来る。
そういうことから、それは漫然とした質問となる。代数の場合は、学習を進めていれば、
シローの定理の応用は自然に出て来る。定理だけの再現ではなく、本来は理論の再現が出来るようになるべき。
0139１３２人目の素数さん
2015/08/26(水) 07:32:57.64ID:o6oQXrkOシローの定理 (大学数学スポットライト・シリーズ)
なんていう本が出ているんだな。目次や索引を見る限りでは、
あたかもシローの定理の解説に焦点を当てたかのような本だ。これ読むなら、
岩波 現代数学 群論 上下
とかでも丁寧に読んだ方が(有限)群論を学習するにはいいと思うんだが。
上巻だけでも中身がかなり濃い。下巻の方は有限群論に興味なければ読む必要ない。
0140１３２人目の素数さん
2015/08/26(水) 07:41:46.19ID:o6oQXrkOそれこそ、スレ主が挙げたサイトによると、
「習慣」ではなく「普通」と書くべきなのか。
0141１３２人目の素数さん
2015/08/26(水) 08:22:46.14ID:y9hNxORmに対するアドバイスとして、こんな本あるよ（読んでみれば）、という
のはわかる。
大事なのは、何をどれだけ読んだかではなく、そこに書かれている主張内容
を自分の言葉で（絵・イメージを併せて）再構成できるか、だと思う。
単に暗記している、とは異なる。
シローの定理を勉強する過程で、群論や数学全般のいろんな議論
を咀嚼し、何も見ずにそのまま再現するだけでもいい勉強になる。
何がわかってないか、がわかるきっかけになる。
0142１３２人目の素数さん
2015/08/26(水) 08:47:34.29ID:o6oQXrkOそれこそ、複素平面上の単位円がなす群の有限部分群全体の中で、
素数を約数に持つ位数の有限巡回部分群の部分群の構造に関する定理になるではないか。
0143現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/28(金) 22:14:31.99ID:2/a1AUdYおっちゃん、どうも。スレ主です。
野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』か・・・
おっちゃん、物知りやね～
ほんま、見直したわー（＾＾；
0144現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/28(金) 22:16:06.08ID:2/a1AUdYアティヤ・ジンガーが、うかぶんか！
おっちゃん、ほんま、見かけによらんね～（＾＾；
0145１３２人目の素数さん
2015/08/28(金) 22:20:01.68ID:L6KZRi8B0146現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/28(金) 22:56:03.19ID:2/a1AUdY>野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』か・・・
序文ＰＤＦがある。名著の香りがする・・
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~noguchi/tkk-pref-contents.pdf
PDF]多変数解析関数論
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~noguchi/
野口潤次郎の電網掲示板
(Home Page of Noguchi, Junjiro)
0147現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 06:53:38.17ID:eoE5GmxF>>136
>>シローの定理 (大学数学スポットライト・シリーズ) でも読めば。
>で終わってる。私はその書籍は知らなかった。確かに>>119の問いは漫然としていて
いやはや、そうなんだ。読めばで終わっているんだが、果たして読めるかどうか
かつ、シローの定理の自分なりのイメージを参考に書いてみようと思ったんだ
>>137
>もし、数年後に、これらを再現しようとしてできない場合には、
>表面的理解だけで、本質を把握していないということ。
うんうん。そのときは、また勉強すれば良い。数年後のレベルアップした視点でもう一度見直せば
>>138
>シローの定理の応用は自然に出て来る。定理だけの再現ではなく、本来は理論の再現が出来るようになるべき。
群論の本では頻出ですね。だから行ったり来たりで良いと思う。応用場面とシローさんと
>>139
>シローの定理 (大学数学スポットライト・シリーズ)
>なんていう本が出ているんだな。
シローの定理で悩む人と需要が多いってことなんでしょう
つーか、あるいは教えていて、「おまいらシローの定理もっと勉強しろ！」ということか
>>140
>「習慣」ではなく「普通」と書くべきなのか。
そうそう。シロー p-部分群（あるいは p-シロー部分群）みたく書いて（下記）、あと必要な性質をちょっと引用して、先へ進むというのが普通だね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
0148現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 07:32:54.22ID:eoE5GmxFSylow theoremsに証明があるね
https://en.wikipedia.org/wiki/Sylow_theorems
>>141-142
どうも。スレ主です。
おっちゃん、ほんま勉強家やね～
複素平面上の単位円がなす群というのは、いろんな理論の出発点だよね
ガウス先生、クンマー・・、代数方程式のガロア理論も
べき根というのは結局は、巡回群ですから。べき根で解けるというのは、「結局、代数方程式のガロア群が、巡回群から構成できるか」という問題なんだと、そう見抜いたガロアだった
岩澤という有名な話もある
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%BE%A4%E7%90%86%E8%AB%96
岩澤理論
円分拡大の数論
最初の重要な例は、1 の原始 p 乗根 ζ を添加する拡大 K = Q(ζ) である。
Kn を 1 の原始 pn+1乗根の生成する K の（したがってとくに C 内の）部分体として、体の塔 Kn (n = 1, 2, ...) の和集合（合成体）を L と置く。
このとき、体の拡大 L/K のガロア群は Γ に同型である。これは、拡大 Kn/K のガロア群が Z/pnZ であることによる。
ここから、ガロア群 Γ 上の興味深い加群を取り出すことができる。岩澤は Kn のイデアル類群と、そのシロー p 部分群 In （p-部分）を考えた。このときノルム写像
Im → In
（ここで m > n）を考えれば逆系が得られ、その逆極限を I として Γ を I に作用させることができる。その作用を記述することに意味があるのである。
また、以下のような量的な記述ができる：
p を素数とし、Kn を塔とする K の Zp 拡大 L に対し、Kn のイデアル類群の p-部分 In（これは有限 p-群だから位数は p の冪である）の位数の p の冪指数を en とするとき、適当な正の数 μ, λ と実数 ν および十分大きな n をとれば
e_n=μ p^n+λn+ν
という形に表すことができる。
ここでの動機というのは、K のイデアル類群の p 部分こそがフェルマーの最終定理の直接証明における主要な障害となっている、ということがクンマーによって既に特定されていたということによるものである。岩澤の独自性は、「無限大に飛ばす」という新しい着想にあった。
0149現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 07:52:42.35ID:eoE5GmxF>岩波 現代数学 群論 上下
鈴木道夫だったよね（下記）
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356140649/ 群論は一体何のためにあるのか
68 ：１３２人目の素数さん：2014/04/03(木) 09:22:36.34
>>67 鈴木通夫「群論」上、下（現代数学叢書）岩波
は、それより新しくていい本だが、比べるのはよくないか
いまさら通読するのは苦痛だろうが、何かの話題で困った時相談に乗ってくれる
69 ：１３２人目の素数さん：2014/04/03(木) 09:45:02.01
>>68
上が1977年で下が1978年のやつ？
絶版みたいだけど
75 ：１３２人目の素数さん：2014/04/04(金) 09:49:29.19
鈴木通夫「群論」上、下（現代数学叢書の下巻の内容って有限群の表現論とか有限単純群だろ。
80 ：１３２人目の素数さん：2014/04/05(土) 16:45:45.21
>>77
昔の数学科3年前期の教科書だった浅野・永尾（おそらく阪大では
長く標準だったはず）に比べれば分量が多いが、わかりやすいテキスト。
ただ、こんどうむ()を読み通すのは大変だと思う。
正直、鈴木通夫「群論」上下は有限単純群の専門書過ぎる（むろん、
悪い本では決してない）。普通の学部生は手を出さないほうが良いが
辞書として持っておくなら良いかもしれない。
最近なら、寺田至＆原田耕一郎「群論」があると思ったら、こっちも
品切れか、やっぱり岩波。
今買えるのなら、雪江明彦「代数学1 群論入門」が標準的かな。
0150１３２人目の素数さん
2015/08/29(土) 07:58:47.03ID:86dDTELQおっちゃんです。>>136、>>137-138は私が書いた。
多変数複素解析の名著は西野氏の本、Theory of Stein Spaces、ヘルマンダーの3冊でしょう。
大沢氏の2冊、クランツも手元にあるが、これでもいい。
ただ、クランツだけは読むのに注意が必要なので、最初に読んではダメ。
大沢氏の複素解析幾何学とデイバー方程式は、読んでみると案外読み易くていい。
西野・Theory of Stein Spaces・大沢氏の多変数複素解析・複素解析幾何学とデイバー方程式
の組合せか、ヘルマンダー1本でしょう。その後、クランツかと。
西野氏の本は層やコホモロジーを使わず純解析的に説明しているから、
これを補う役割として、Theory of Stein Spaces、複素解析幾何学とデイバー方程式。
ヘルマンダーは偏微分方程式の楕円型境界値問題が或る程度分かれば読み進められるかと。
ヘルマンダーは複素(解析)幾何にも使える。
本当は一松本がすごい名著のようだから、こっちが復刊してほしかったんだが、
これが今では中々手に入らないのな。
0151現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 08:10:05.23ID:eoE5GmxF記憶では、鈴木道夫は教養としての読み物としては面白かったね。（書棚のスペースが無くなったので処分したが）
有限単純群の分類史。その時代を生きてきた鈴木道夫先生の生の声と視点は貴重だと
が、有限単純群の分類は、普通に勉強する数学とはちょっとズレている気がする
１．結局、コンピュータでやりましたって部分が結構ある
２．本気で全文の証明を書くと、何万ページ。鈴木先生の本も結局「この定理は認めて先へ」という部分が多かった
３．有限単純群の分類に実は大穴が開いてましたという話がある。鈴木先生の本では「分類終わった！」と信じていたんだがね・・（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4
完全な分類は1962年/63年のフェイト・トンプソンの定理（英語版）から始まり、主に1983年まで続いたが,2004年に終了したばかりである、ということが一般的に受け入れられている。
1981年にモンスター群が構成されてからすぐに、群論の研究者たちがすべての有限単純群を分類したという、合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ、1983年にダニエル・ゴレンスタインが勝利を宣言した。
これは時期尚早だった、というのはいくつかのギャップが、特に準薄群（英語版）の分類野中で発見されたからである。
このギャップは2004年に1300ページに及ぶ準薄群の分類によって埋められており、これは現在は完璧であると一般に受け入れられている。
単純群でないことの判定
Sylowの判定法: n を素数でない正の整数とし、 p を n の素因数とする。もし n の約数の中で p を法として1と合同なものが 1のみであれば、位数 n の単純群は存在しない。
証明:
もし n が素数の冪であれば、位数 n bの群は自明でない中心をもつ[12]ので、単純群でない。 n が素数の冪でなければ、シロー部分群はすべて真部分群であり、シローの第三定理より、位数 n の群のシロー p-部分群の個数はpを法として1に合同でありnの約数である。
そのような数は1だけであるので、シロー p-部分群は一意であり、従って正規部分群である。真の、自明でない正規部分群が存在したので、この群は単純群ではない。
Burnsideの判定法: 非可換な有限単純群の位数は少なくとも3種類の相異なる素数で割り切れる。これはBurnside's p-q theoremから従う。
0152１３２人目の素数さん
2015/08/29(土) 08:11:43.45ID:86dDTELQお見通しだったか。
1のベキ根のお話で出て来る(係数体が複素数体の)円周等分多項式の根が
如何に円周上に分布しているかの構造調べにシローの定理は使える。
それなので、意味があるかどうかは分からんが、
正多角形の頂点の分布を調べるのにもシローの定理は使える。
0153１３２人目の素数さん
2015/08/29(土) 08:16:22.24ID:86dDTELQ>>150の「>>137-138」は「>>138-140」の間違い。
ID見れば分かると思うが、>>137は別人。
0154現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 08:19:52.15ID:eoE5GmxFどうも。スレ主です。
おっちゃんって・・
本格的に勉強しているんやね・・
複素解析は。
昔、アルフォースと言われた時代があった。第1回目のフィールズ賞を受賞か・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%82%B9
抜粋
ラース・ヴァレリアン・アールフォルス（Lars Valerian Ahlfors、1907年4月18日-1996年10月11日）はフィンランドの数学者。リーマン面の研究と複素解析の教科書を書いたことで知られる。
1936年、彼はジェス・ダグラスとともに第1回目のフィールズ賞を受賞した。
1953年に出版されたComplex Analysis (邦題：「複素解析」、訳者：笠原乾吉)は古典的な名著で、現在でも世界中の大学で複素解析の授業に用いられている。また1960年にはRiemann surfaces 、1973年にはConformal invariants など、他にも有名な本を書いている。
0155１３２人目の素数さん
2015/08/29(土) 08:24:29.44ID:86dDTELQ>（書棚のスペースが無くなったので処分したが）
何かもったいないことをしたと思うぞ。
下巻の方の有限群論の内容は読む気失せるような内容だが、
上巻の方はマニアックなことまで書いてあって読む価値あると思う。
0156１３２人目の素数さん
2015/08/29(土) 08:35:50.14ID:86dDTELQ岡潔はリーマン面をモデルに多変数複素変数での複素解析を展開しようとしたが、
1変数のときとは異なり、1変数では解析関数の解析接続が全平面まで拡張して
定義出来るが、多変数ではその解析接続による定義が全空間まで拡張して出来る
とは限らないので、1変数のときとはかなり様相が違う。
0157１３２人目の素数さん
2015/08/29(土) 08:41:49.10ID:86dDTELQ>>156の「>>155」は「>>154」の間違い。
ちなみに、アールフォルスのComplex Analysisは1変数複素解析の本。
読んだことはないが、(1変数)楕円関数などまで丁寧に載っているようだ。
0158現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 09:23:46.59ID:eoE5GmxF>>155
おっちゃん、ほんま、見かけによらず勉強家やね～
鈴木まで読んでいるのか
だいぶ記憶が薄れたが、読み物としては下巻の方が面白かったような・・
上巻もそれなりに
でも、代数方程式のガロア理論に限ると、ちょっと過剰なんだよね
それと、別の切り口の本もいずれ出るだろうしと思って（実際にはまだお目に掛からないけど）
>>156
岡潔先生は、大学を退官されてからは、文筆家になられた
多変数複素解析の話は有名ですね
>>157
アールフォルスのComplex Analysisは1変数複素解析の本はそうなんだけど
ＰＣの無い時代は、1変数複素解析の積分計算って、結構重要だったんだわ
ところで、>>151の「結局、コンピュータでやりましたって部分が結構ある」という話は、これからの人は意識しておいたほうが良いだろう
実際、「コンピュータでやりましたって部分」が表に出なくても、結構あるんじゃないかな？ 佐藤幹夫先生も結構やってたよね
0159１３２人目の素数さん
2015/08/29(土) 09:42:11.20ID:86dDTELQいや、鈴木は持ってはいるが、通読してはいない。
これまで通読しようとしたら大変だろう。普段は、せいぜい上巻は調べ物に使っている。
Tisz系とかアパートとか、代数群に関するようなことまでが上巻に載っている。
鈴木の群論の上巻の価値は、そのあたりにあるだろうな。
下巻はグラフだったかな。そういう言葉が出て来たな。
0160１３２人目の素数さん
2015/08/29(土) 09:49:52.40ID:86dDTELQ「>>159」は「>>158」の間違い。
あと、訂正：Tisz系→Tits系
綴り間違えた。
0161現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 10:20:55.07ID:eoE5GmxFどうも。スレ主です。
おっちゃん、どうも。本格的やねー
ちょっと意味が違うが、鈴木が群論のバイブルかねー
もう記憶が薄れているが、鈴木の本は有限群論の分類を主眼に書かれていたような気がするんだ
が、有限単純群の分類が終わったいまでは、もう少し別の視点があっても良いような気がする
例えば、下記を総括するような、かつ群論といろんな分野（物理や計算）との関連を記述するような（売れるかどうかは別として）
https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_group
https://en.wikipedia.org/wiki/Group_of_Lie_type#Chevalley_groups
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_simple_groups
0162現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 10:30:49.26ID:eoE5GmxFStein Spacesか～
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
数学の多変数複素函数論および複素多様体論におけるシュタイン多様体（シュタインたようたい、英: Stein manifold）とは、複素 n 次元ベクトル空間のある複素部分多様体のことを言う。
考案者の Karl Stein (1951) の名にちなむ。
同様の概念にシュタイン空間（Stein space）があるが、こちらは特異性を持つことも許されている。
シュタイン空間は、代数幾何学におけるアフィン多様体、あるいはアフィンスキームと類似の概念である。
目次
1 定義
2 非コンパクトなリーマン面とシュタイン多様体
3 シュタイン多様体の性質と例
4 滑らかな多様体との関係
5 注釈
6 参考文献
このような多様体の更なる特徴付けは多く存在し、特に複素数に値を取る多くの正則函数を持つという性質が挙げられる。
例えば層コホモロジーに関連するカルタンの定理 A, Bを参照されたい。第一の動機は、解析函数の（極大）解析接続の定義域の性質を表現することであった。
類似の概念が多く存在する GAGA において、シュタイン多様体はアフィン多様体に対応する。
シュタイン多様体はある意味において、複素数からそれ自身への「多くの」正則函数を許すような複素解析学における楕円多様体（elliptic manifold）の対となるものである。
シュタイン多様体が楕円型であるための必要十分条件は、それがいわゆる正則ホモトピー論（holomorphic homotopy theory）の意味での fibrant であることであることが知られている。
0163現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 11:04:05.48ID:eoE5GmxFwww.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1026-4.pdf
岩澤理論入門(代数的整数論とその周辺) 東京大学大学院数理科学研究科 中島匠 数理解析研究所講究録 1998年
抜粋
本稿では最新の成果について述べることは避けて, 岩澤理論の原点に帰り,「代数体の円分Zp 拡大」に絞って話をすることとした. また, その中でも代表的な成果である, 岩澤類数公式と岩澤主予想の解説を目標とした.
2 節では我々の扱う状況を設定して, 重要な環A を導入する. 3 節でA 加群の構造について概説した. 4 節で代表的成果である岩澤類数公式を解説し,7 節ではハイライトともいうべき岩澤主予想を扱った.
岩澤理論の進展の背後には, 代数体と代数関数体(代数曲線) との類似, という「動機」があると考えられるし, またその類似を知ることは読者の理解の助けにもなると思われるので, 5 節においてその類似について触れた.
6 節では主予想の片方の主役である$p$ 進$L$ 関数について必要な$$‘とをまとめてある.
A 加群の構造定理は代数体の岩澤理論に限らずその?般化に関しても不可欠の道具だと考えたので, 3 節がすこし長くなってしまった.
岩澤理論とはどんなものでそもそもどんな成果があるのか, ということをまず知りたい読者は, 2 節で状況を理解した後(3 節を飛ばして)4 節を読んで頂きたい.
Introduction の最後に, 文献について触れておきたい. 岩澤理論を本格的に学ぶためには, もちろん岩澤先生の原論文に接するのが最も望ましいであろう. 論文は数多くあるが, [Iw 2], [Iw 3] などを読むのが良いのではないかと思う.
その他に岩澤理論の教科書を挙げるとすれば, Lang の本[La] とWashington の本$1^{\mathrm{W}\mathrm{a}}$] が代表的なものといえよう. 本稿で述べた命題に関し
ては, 極力[Wa] での対応箇所を指摘するようにした. 岩澤理論の教科書といえるものが日本語で出版されていないのが(筆者には) 不満であったが, 最近-, 市村文男氏の講義録[Ichi] が出た.
この本は薄いものであり, 理論のす
べてをカバーしているわけではないが, 類体論の概要から始めて代数体の岩
澤理論のエッセンスがうまくまとめられている.
また, 岩澤理論の発生と進展, 代数体と代数関数体との類似に関する考
え方, について興味を持たれる読者には[Iw 1], [Iw 4] を読むことをお勧めする.
0164現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 11:14:12.55ID:eoE5GmxFhttps://web.math.princeton.edu/~fsprung/
I am a Veblen Research Instructor at the Institute for Advanced Study and Princeton University.
https://web.math.princeton.edu/~fsprung/kinosaki.pdf
楕円曲線の岩澤理論について シュプルング フローリアン(Florian Sprung) 東大数理
抜粋
岩澤理論は遠く離れているはずの（p 進）解析的対象と代数的な数論的対象との間を深く結びつける不思議な理論である。
そして、x3 では古典的な岩澤理論について説明します。
x4 では「御縁のある」楕円曲線という対象について簡単に説明します。
それをもとに，x5 とx6 では「通常」な素数における楕円曲線の岩澤理論、そして「超特異」な素数における
岩澤理論について説明しようと思います。（ある昔話とのたとえはここに含む。）
講演とこの報告集は主に加藤和也先生の2006 年の国際数学者会議での講演をもとにしました。実際，この講演をオンラインで見ました
（http://www.icm2006.org/video/での“eighth session”をクリック）。後、同じ辻教室で研究されてる原さんの
素晴らしい原稿[原]（去年の第五回城崎新人セミナーの講義ノート）やCoates 先生の講義ノート[Coates] 等を
参考にしました。
7 おわりに
楕円曲線の岩澤理論には、不思議な現象がまだ沢山残ってます。Bertolini とDarmon[BD] による非円分岩
澤理論，Coates、深谷、加藤、Sujatha、Venjakob[C 深加SV] による（楕円曲線の）非可換岩澤理論等には触
れませんでした。あと、楕円曲線（言い換えればweight = 2 の保型形式）を越えた(weight > 2 の）保型形
式*15の岩澤理論は通常な素数の場合、定式化されてるが、超特異な場合はまだ未知の世界である。今年の４月
に李（Lei) さんによりap = 0 の場合が発見されました[Lei]。ap 6= 0 の場合について李さんと議論した結果、
かなり困難であれども面白そうなので、いくつかの論文が出来上がるかもしれません。興味／アイデア／手伝い
たいという意志がある方は是非とも連絡をください。
最後に、第六回城崎新人セミナーに参加する機会をいただき誠にありがとうございました。運営委員、つたや
旅館晴嵐亭の皆様、参加者の皆様に感謝します。講演を聴いてくださり，さまざまな突っ込みと質問をされた方
等にも感謝します。
0165現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 11:21:08.46ID:eoE5GmxFhttp://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1229316057
godfalkonさん 2009/8/1118:12:19
大フェルマーの定理を解いた、ワイルズ氏が参考にしたという岩沢理論と谷山予想とはどのようなものですか
ベストアンサーに選ばれた回答 sedrft1さん 2009/8/11 前に私が回答したものを引用します。
抜粋
はじめに岩澤理論について。
やや専門的な言葉を使ってしまい申し訳ないです。
ゼータ関数とイデアル類群との間にはクンマーの判定法をはじめ深い関係が知られていますが、ゼータ関数はp進数のもつ性質があり、p進L関数のようなp進解析的対象と、イデアル類群から得られる代数的対象との関係を明らかにしようというのが岩澤理論です。
http://www.mm.sophia.ac.jp/~shinoda/msj/pdffiles/kato.pdf
岩澤理論はこのような代数的対象と解析的対象が完全に結びつくといった意味で、数論の中でも最も美しい理論の1つに数えられます。類体論もそうですが、日本人による整数論の貢献は大きく、フェルマーの最終定理も日本人が活躍したことはよく知られています。
本格的に数論を勉強したければ、
『数論Ⅰ、Ⅱ』（黒川信重、栗原正人、斎藤毅、加藤和也）岩波書店
がいいと思います。
L.Washington Introduction to cyclotomic fields,Graduate Texts in Math.83, Springer-Verlag
は標準的な教科書です。
加藤先生が東大に来た時に講義したものを載せておきます。
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/index.html
から、「講義・講演会」をクリックしてください。
現在は岩澤理論はもともとの円分体の理論からさらに発展し、楕円曲線やK3曲面への応用がされているようです。
0166現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 12:20:29.12ID:eoE5GmxFhttps://www.math.kyoto-u.ac.jp/insei/index.php?KINOSAKI%20SEMINAR%202009
第6回 城崎新人セミナー
日時 : 2009年2月16日(月)?2月20日(金)
場所 : 兵庫県豊岡市 城崎町大会議館
宿泊場所 : つたや旅館
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/insei/index.php?MenuBar
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https://www.math.kyoto-u.ac.jp/insei/index.php?KINOSAKI%20SEMINAR%202009%2Fproceeding
第6回城崎新人セミナー/報告集 セッション講演者（代数系） シュプルング フローリアン (東京大学 M2)
0167現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 12:42:33.26ID:eoE5GmxFフローリアン(Florian Sprung) 東大数理くん
加藤和也先生の「鶴の恩返し」にかぶれたか（＾＾；
でも理解しているんだね・・
原稿に出てくる、他の原さんの素晴らしい原稿[原]（去年の第五回城崎新人セミナーの講義ノート）や、伊東さんの稿などは、>>166で分かるだろう
0168現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 12:54:06.44ID:eoE5GmxFhttps://www.math.kyoto-u.ac.jp/insei/proceeding/2008/hara.pdf
総実代数体の非可換岩澤理論の展開 原 隆 (Takashi Hara)? 東京大学大学院 数理科学研究科 2008
「岩澤理論とはどのような理論であるか」，「代数的K-理論によって可換な拡大に対する岩澤理論が非可換な拡大の場合に如何に“美しく”昇華するか」
といった，他分野の人でも興味を持てそうな事柄をなるべく重点的にお話しし，整数論のバック・グラウンドを持たな
い方にも非可換岩澤理論の「面白さ」が少しでも伝わるようにと色々工夫してみました．講演後ありがたくも
「何となく岩澤理論のイメージが掴めた」とか「面白かった」などという感想を何件かいただき，このささやか
な目論みはある程度は成功したのではないかと思っています．
しかし，時間の都合上「非可換岩澤主予想をどのようにして可換な場合に帰着するか(“Akashi”の思想)」
という一番重要かつ面白い部分を全くお話しすることが出来なかったことは痛恨の極みでありました．
0169現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 13:11:22.01ID:eoE5GmxF付録C ジョン・コーツ氏の“Akashi” の哲学
抜粋
コーツさんは自身の苦節の日々に，須磨で失意の日々を経て見事返り咲いた源氏の姿を重ね合わせ，
「非可換の理論を可換の理論に帰着する」ような手法や写像を，源氏が人生の再起のきっかけを掴んだ『明石』
の巻に因んで“Akashi” と呼ぶようになった，ということです*42．筆者が知る限りでは，
? バーンズの手法における「張り合わせ」写像(§4 参照)
? 局所化された岩澤代数のK1 群におけるevaluation map (§3 参照)
? 特性元とG-オイラー標数を繋ぐ架け橋となる重要な概念である「明石級数」(Akashi series) ([CFKSV])
等は，まさに「非可換の理論の困難を可換(円分体) の理論に帰着する」と言う“Akashi” の思想を実現した
“Akashi map” に相違ないですが，論文などで公式に用いられているのは残念ながらAkashi series だけのよう
です．ただ，今回の講演では，この“Akashi” という言葉に込められたコーツさんの想いと，日本で生まれた
「岩澤理論」という数学の理論が，コーツ先生の仲介によって今また日本の古典文学と再会を果たしたと言う奇
跡を色々な方に知っていただきたいと思い，「明石写像」という言葉を敢えて使わせていただきました*43．論文
に現れないところでも，コーツ先生の“Akashi” の哲学は至る所に息づいているのです．
*42 ジョン・コーツ教授は，源氏物語を全巻読破するほどの日本通であることで有名です．
*43 因みに，コーツ先生がK1(Λ(G)S) のevaluation map も§4 の写像も“Akashi map” と呼んでいるのは間違いがないようです．
0170現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 13:12:54.81ID:eoE5GmxF0171現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 13:19:59.75ID:eoE5GmxFhttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%84
ジョン・コーツ (John Henry Coates, 1945年1月26日 - ) はイギリスの数学者。ケンブリッジ大学エマニュエルカレッジ教授。専門は数論、数論幾何学、岩澤理論。
オーストラリア国立大学を卒業後はフランスのエコール・ノルマル・シュペリウールに留学。 フランス留学を終えた後にイギリスのケンブリッジ大学でアラン・ベイカーのもとで博士号を取得。 その後ハーバード大学、スタンフォード大学、オーストラリア国立大学等を経て現職。
業績として ベイカーとともに代数的K-理論における貢献。楕円曲線のヴェイユ予想の特別な場合を解決した。
アンドリュー・ワイルズとともに岩澤理論をバーチ・スウィナートン=ダイヤー予想に応用し、虚数乗法を持つ楕円曲線について非常に大きな貢献をした。
岩澤理論とp-進 L関数との関係や、p-進 リー群の岩澤理論、岩澤理論のモチーフや変形理論、岩澤理論のデデキント ゼータ関数への応用、加藤和也とともに非可換岩澤理論の構築。
などなど数論 (特に岩澤理論) への貢献は非常に大きいもの。
岩澤理論と名づけたのはコーツ。 フェルマーの最終定理を証明したアンドリュー・ワイルズはコーツの弟子である。
0172１３２人目の素数さん
2015/08/29(土) 14:05:58.12ID:86dDTELQ鈴木の 群論(上下) が有限群論のバイブルであることにはほぼ間違いないとは思う。
有限群は代数群の例になる。
単純に群論といっても、位相群論、リー群論、有限群論、代数群論、(無限)可換群論
と、これらの表現論などなど幾つにも分かれる。任意の群は位相を入れることで
位相群として扱うことが出来る。なので、総括的な視点となると、
位相群論やリー群、リー代数と、これらの表現論からの視点になる気はする。
これらは物理でも量子力学とかで使われている。位相群論の名著はポントリャーギン。
リー群論の名著はこれとシュヴァレーの1巻目。シュヴァレーの2巻以降は確か代数群の話になる。
強いて他に挙げれば、ワイルの古典群。単に位相群論といっても位相群上での
フーリエ解析による表現論もあったり、同じリー群論や位相群論の表現論といっても、
代数的手法と解析的手法に分かれたりして、位相群論やリー群、リー代数と、
これらの表現論だけでも、かなりの分量になる。
0173現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 17:58:43.14ID:eoE5GmxFどうも。スレ主です。
ほんと、おっちゃん博識やね～
0174現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 18:32:43.02ID:eoE5GmxFhttps://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/15/2/15_2_65/_article/-char/ja/
数学 Vol. 15 (1963-1964) No. 2 P 65-67
代数体と函数体とのある類似について 岩沢 健吉1)
0175現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 19:18:54.96ID:eoE5GmxFhttps://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/45/4/45_4_366/_article/-char/ja/
数学 Vol. 45 (1993) No. 4 P 366-372 岩澤健吉先生のお話しを伺った120分
3月18日の午後2時,編集部の飯高と中島の二人で
目黒の閑静な住宅街にある岩澤先生のお宅をお訪ねし,
先生からいろいろなお話を伺いました.また藤崎源二郎
さんにも同席していただきました.
0176現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 19:23:53.64ID:eoE5GmxFhttp://www.sci.u-toyama.ac.jp/~iwao/SS2003/#hachimori1
2003年度整数論サマースクール 「岩澤理論」
函数体と代数体の類似（60分）八森祥隆（学習院大学）
http://www.sci.u-toyama.ac.jp/~iwao/SS2003/Bin/Reports/rev-ss03rep-hachi1.pdf
函数体と代数体の類似、八森祥隆（学習院大学）
代数体と一変数代数函数体, 特に有限体上の函数体とは多くの類似点がある. 特に, イデアル類群の函数体における類似物は, 次数 0 の因子類群である. しかしながら, 函数体の理論にあって代数体にないものは次の事実であった:
(完全)体 $k$ 上の函数体は, $k$ 上射影非特異な代数曲線の函数体であり, そのヤコビ多様体の$k$-有理点が次数 0 の因子類群と同型になる.
この事実により, 代数幾何的手法によって因子類群の性質を明らかにすることが出来る.
岩澤は, 代数体の $Zp$-拡大体とその上のイデアル類群の構造の理論を建設していく中で, それが, 函数体において, ヤコビ多様体の類似物を考えていることに当たるということに気付いていったようである.
ヤコビ多様体の理論によって因子類群の構造が簡単になるのが,代数閉体上の函数体の場合であることから, 代数体の $Zp$-拡大と函数体の代数閉体への係数拡大が類似していると考えたのである.
さて, 函数体における著しい結果は Weil による次の結果であり, これには (代数体にない) 曲線とヤコビ多様体の理論が必要であった:
"函数体の合同ゼータ関数(の主要部)は行列式表示をもつ"
これの代数体における類似物は何であろうか. 実はそれが岩澤主予想なのである.
本講演では Weilの結果を説明しながら, 岩澤主予想がどのようにその類似と考えられるかを説明する. また, 他の類似についても触れたい.
0177現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 20:25:01.28ID:eoE5GmxFhttp://www.eco.wakayama-u.ac.jp/ritornello/article.php?vol=18&;num=7
和歌山大学生による書評誌 「リトルネロ」数学者の風景 藤永 博（経済学部教員）
フェルマーの最終定理 サイモン・シン（著）青木 薫（訳）新潮文庫 2008年
抜粋
ケンブリッジ大学で博士号を取得後、プリンストン大学に移ったワイルズは、フライが示した谷山?志村予想とフェルマーの最終定理の関係をリベットが証明した後、第 VI 章「秘密の計算」で語られる7年間の隠遁生活にはいる。
ワイルズの「秘密の計算」の最初のステップはガロアの研究の中にあった。
この章では数学と共和主義と恋愛にその身を捧げたガロアの20年余の短い生涯、特にそれによって命を落とすことになる決闘と、5次以上の方程式の解に関する定理などをすべて書き残そうとした悲壮感の漂う決闘前夜の物語にかなりの紙数を割いている。
ガロアのアイディアを応用して突破口を開いたワイルズであったが、次のステップで行きづまる。
岩澤理論を問題解決に資するように発展させることができず無力感を味わう。しかし、コリヴァギン?フラッハ法との出会いが次の大きなステップとなる。
この方法を拡張し、ワイルズは証明を完成させる。そして、1993年の世紀の講演。数学者の間で飛び交う短い電子メールの記録を挿入して、物語をスリリングに展開していく。
第 VII 章「小さな問題点」は講演後の展開で、第 I 章の続きである。ここでも電子メールの記録の挿入が効果的である。
「小さな問題点」を解消できず、ワイルズは苦境に立たされるが、彼を救ったのは、一度はその応用をあきらめた岩澤理論であった。
コリヴァギン?フラッハ法と岩澤理論は相互に補完する形で機能したのである。それまでのワイルズの努力がすべてフェルマーの最終定理の証明に収束することになった。
「小さな問題点」が解決する瞬間の描写は感動を誘う。
ラングランズ・プログラムが夢見る「数学の大統一」は第 V 章や「訳者あとがき」でも触れられているが、単に純粋数学だけではなく、物理学や工学、応用科学の分野にとっても大きな意味をもつ。
「訳者あとがき」で紹介されている「ゼータの統一」（底流にゼータ関数と呼ばれるものが流れる分野の統一）と物理学における「力の統一」の対応関係（『ゼータの世界』梅田亨著 日本評論社）は興味深い。
0178現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 20:27:34.15ID:eoE5GmxF関連しているんだ・・
0179現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 20:31:47.00ID:eoE5GmxFいまとなれば、２１世紀の常識ですが、一応書かせてもらった・・（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0
ラングランズプログラム（英: Langlands program）は、代数的整数論におけるガロワ群の理論を、局所体およびそのアデール上で定義された代数群の表現論および保型形式論に結び付ける非常に広汎かつ有力な予想網である。
同プログラムは Langlands (1967, 1970) により提唱された。
相互律
ラングランズプログラムの出発点は、二次の相互律を一般化したアルティンの相互律であると考えられる。
アルティンの相互律は、ガロワ群が可換であるような代数体のガロワ拡大に適用して、L-函数をガロワ群の一次元表現に対応させ、
さらにそれら L-函数がある種のディリクレ L-級数やヘッケ指標から構成されるより一般の級数（つまり、リーマンゼータ函数のある種の対応物）と同一視できることを主張するものである。
これら種々の異なる L-函数の間の具体的な対応が、アルティンの相互律を構成しているのである。
非可換なガロワ群やその高次元表現に対しても、L-函数は自然な方法で定義することができる（アルティン L-函数）。
ラングランズの考察は、アルティンの主張をより一般の仮定の下で定式化することを許すような、ディリクレ L-函数の真の一般化を求めることであった。
保型形式論
ヘッケ（英語版）は既に、ディリクレ L-函数を保型形式（C の上半平面上で定義される正則函数である種の函数等式を満たすもの）に関連付けていたが、
ラングランズはそれを（有理数体 Q のアデール環 A 上で定義される一般線型群 GL(n, A) の無限次元既約表現の一種である）保型尖点表現に対して一般化した。（Q のアデール環というのは、Q の任意の完備化を一斉に扱ったようなものである）。
ラングランズは、保型 L-函数をその保型表現に対応させ「任意のアルティンのL-函数が、代数体のガロワ群の有限次元表現から生じることと、保型尖点表現から生じることとは等しい」と予想した。
これをラングランズの「相互律予想」という。一口に言えば、相互律予想は簡約代数群の保型表現とラングランズ群から L-群への準同型との間の対応を与えるものである。
つづき
0180現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 20:38:43.52ID:eoE5GmxF幾何学的ラングランズ予想
ドリンフェルトのアイデアに従ってローモンの提唱した、いわゆる幾何学的ラングランズプログラムは、通常のラングランズプログラムを幾何学的に定式化しなおして、単に既約表現だけを考える以上のものを関連付けようとして生じたものである。
単純な場合だと、代数曲線のエタール基本群の l-進表現を、その曲線上のベクトル束のモジュライスタック上で定義された l-進層の導来圏の対象に関連付ける。
現在の状況
・GL(1, K) に対するラングランズ予想は類体論から従う（というよりは本質的には同じものである）。
・ラングランズ自身は、アルキメデス局所体（R および C）に対するラングランズ予想を、既約表現に対するラングランズ分類を与えて肯定的に解決している。
・ ルスティックによる、有限体上のリー型の群の既約表現の分類は、有限体に対するラングランズ予想に相当するものと考えられる。
・ワイルズによる、有理数体上の半安定楕円曲線のモジュラー性の証明は、ラングランズ予想の一部と見做すことができる[なぜ?]が、ワイルズの方法を任意の数体上に拡張することはできない。
・有理数体上の二次一般線型群 GL(2, Q) に対するラングランズ予想は未解決。
・ラフォルグは函数体 K 上の一般線型群 GL(n, K) に対するラングランズ予想を保証するラフォルグの定理（英語版）を示した。これは GL(2, K) の場合を示したウラジーミル・ドリンフェルトの先行研究に続くものである。
局所ラングランズ予想 詳細は「局所ラングランズ予想（英語版）」
Kutzko (1980) は、局所体上の二次一般線型群 GL(2, K) に対する局所ラングランズ予想（英語版）を証明した。
一般次元の場合には、 Laumon, Rapoport, and Stuhler (1993) が、大域理論を含む論法を以って正標数局所体 K 上の一般線型群 GL(n, K) に対する局所ラングランズ予想を証明し、
標数 0 の局所体上の一般線型群 GL(n, K) に対する局所ラングランズ予想は Taylor and Harris (2001) の証明や、あるいは Henniart (2000) の証明などがある（何れも大域的な議論を用いるものである）。
基本補題
2008年にゴ・バオ・チャウは、所謂「基本補題（英語版）」と称される補助的だが非常に難しい主張を示した。基本補題はもともとラングランズ自身によって1983年に述べられたものである。
0181現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 20:45:21.44ID:eoE5GmxFhttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B0%B7%E5%B1%B1%E5%BF%97%E6%9D%91%E4%BA%88%E6%83%B3
谷山志村予想（たにやましむらよそう、Taniyama-Shimura conjecture）は、「すべての有理数体上に定義された楕円曲線はモジュラーであろう」という数学の予想。
証明されて定理となったので、モジュラー性定理またはモジュラリティ定理 (modularity theorem) と呼ばれることもある。
アンドリュー・ワイルズ (Andrew Wiles) は、半安定楕円曲線のモジュラリティ定理＝谷山志村予想を証明し、この証明はフェルマーの最終定理とも深く関連する。
後に、クリストフ・ブロイル（英語版）(Christophe Breuil)、ブライアン・コンラッド（英語版）(Brian Conrad)、フレッド・ダイアモンド（英語版）(Fred Diamond)、リチャード・テイラー(Richard Taylor)は、
ワイルズのテクニックを拡張し、2001年にモジュラリティ定理を完全に証明した。
モジュラリティ定理は、ロバート・ラングランズ(Robert Langlands)によるより一般的な予想の特別な場合である。
ラングランズ・プログラムは、保型形式、あるいは保型表現(automorphic representation)（適切なモジュラ形式の一般化）を、例えば数体上の任意の楕円曲線のような、より一般的な数論幾何の対象へ関連付ける方法を探している。
これらの拡張された予想の場合は、現在のところほぼ証明されていない。
^ 黒川重信・栗原将人・斎藤毅共著『数論Ⅱ：岩澤理論と保型形式』岩波書店、2005年、ISBN 4-00005528-3、pp. 589, 591.
0182現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 20:49:41.36ID:eoE5GmxF”Freitas, Hung & Siksek (2015) proved that elliptic curves defined over real quadratic fields are modular.”だとか
https://en.wikipedia.org/wiki/Modularity_theorem
Modularity theorem
The Langlands program seeks to attach an automorphic form or automorphic representation (a suitable generalization of a modular form) to more general objects of arithmetic algebraic geometry, such as to every elliptic curve over a number field.
Most cases of these extended conjectures have not yet been proved, however, Freitas, Hung & Siksek (2015) proved that elliptic curves defined over real quadratic fields are modular.
0183１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 08:39:46.62ID:pcS0NOonいいえ、決して博識な訳ではございません。
>>174-182の内容は付いていけず、何といえばいいのか分からないが、いえることは、
WeilはSiegelが自分より上だと見ていて、Siegelは自身より岡潔が上だと思っていたようだ。
その岡潔を軸にGrauertやRemmertなどが参戦して多変数関数論は切り拓かれた。
多変数関数論の発展の結果、複素(代数)幾何や(可換環論を用いる)代数幾何が発達し、
数論幾何では後者の代数幾何の結果や手法は使っている。
なので、数論幾何は、多変数関数論のおかげで存在するような分野ということになる。
標数が素数のときの環や体で考えるより、標数が0のときの環や体で考える方が難しい。
標数が素数のときの環や体で考えるような数論幾何は、恐ろしい量の知識とアイディアがなきゃ出来ん。
それに比べて、標数が0のときの環や体で考えることは知識はそれ程要らず、
アイディアがあればいい。知識の量というより発想の問題になる。ただ、解析的なことは必要。
そのよい例が、ワイエルシュトラスがリンデマンの結果を拡張して
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理を証明したことだろう。
これは、いつからかは知らないが、長い間問題になっていた円積問題に否定的解決を与えた。
0184１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 11:08:05.08ID:2xi6miSI0185現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 11:32:42.35ID:kC2go6vWどうも。スレ主です。
おっちゃん、やっぱり博識やで
>>174-182は、自分のメモとして貼ったんよ。このまえ、ラングランズ予想の本読んだからね。あの本が引用文献になっとるよ（英語版も同じ。というか英語版が元か）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0
注釈
^ Frenkel, Edward (2013). Love & Math. ISBN 978-0-465-05074-1. 邦訳『数学の大統一に挑む』青木薫訳、文藝春秋、2015年。ISBN 978-4-16-390280-7.
父はこれまでの話を読んで、「内容を詰め込みすぎだ」と言った。たしかに本章では、ヒッチン・モジュライ空間、ミラー対称性、Aブレーン、Bブレーン、保型層といった概念が登場した。
これらすべての名前を覚えようとするだけでも、頭が痛くなってくるかもしれない。しかし信じてほしいが、ここで話した構成法を隅々まで理解している人は、専門家の中にさえ、まずめったにいないのだ。
^ Frenkel, Edward (2013), Love and Math: The Heart of Hidden Reality, Basic Books, p. 77, ISBN 9780465069958
邦訳『数学の大統一に挑む』青木薫訳、文藝春秋、2015年。ISBN 978-4-16-390280-7.
ラングランズ・プログラムは、今や広大な研究分野となり、数論、調和解析、幾何学、表現論、数理物理学などさまざまな領域で、多くの数学者がこれに取り組んでいる。数学者たちは、相当異質な対象を調べているにもかかわらず、よく似た現象を見る。
https://en.wikipedia.org/wiki/Langlands_program
Frenkel, Edward (2013). Love & Math. ISBN 978-0-465-05074-1. "All this stuff, as my dad put it, is quite heavy: we've got Hitchin moduli spaces, mirror symmetry, A-branes, B-branes, automorphic sheaves...
One can get a headache just trying to keep track of them all. Believe me, even among specialists, very few people know the nuts and bolts of all elements of this construction."
0186現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 11:34:21.57ID:kC2go6vWネーター環か
分からん。有限生成ということくらいしか浮かばん
まあ、私が答えられなくても、だれか答えてくれるよー（＾＾；
0187現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 11:39:30.54ID:kC2go6vW>なので、数論幾何は、多変数関数論のおかげで存在するような分野ということになる。
そう（層）なんや～！ だから、野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』>>146 を読んだ方が良いと思う
教養として。まあ、名著ですね。歴史的補足とか、ところどころに良い解説が入っているよね
0188現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 12:13:48.45ID:kC2go6vW野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』を読んだけど、結局難しいところは分からんかった（＾＾；
”そう（層）なんや～！”と言えるところまでは、行かなかった
けど、Ａ：そう（層）と、Ｂ：層係数コホモロジーとあって、ＡとＢが同時に分からんと、分かった気にならないということだけ分かった（＾＾；
日本の天才岡潔が７年、その論文を受けた仏の天才カルタンが、ルレイのアイデアを参考に読みこなすのに１年かかったという
そんなにすぐ分かるはずもないか～（＾＾；
だけど、例えばP91 注意3.7.7みたく、大事なのは１次コホモロジーが消えるかどうか
するとどうして一見より複雑な高次コホモロジーをまで考えるのかと
そういう気の利いた注意などが、至るところにあるんだよね。読みやすい。が、すぐ内容が頭に入るほどの実力はまだない・・（＾＾；
0189現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 12:37:27.95ID:kC2go6vW標数正の世界ね。あれ、まだ分からん。普通の直感が働かないよね。働くようになったら、分かったってことだろうが
でも、リーマン予想の類似では、標数正の世界では解決したんじゃなかったっけ？
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理か
http://thesaurus.weblio.jp/content/%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%9E%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
Weblioシソーラス
リンデマン＝ワイエルシュトラスの定理
リンデマンの定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
この定理は、円周率やネイピア数などの数が超越数であることを内包する。1885年のカール・ワイエルシュトラスによる寄与を踏まえ、リンデマン=ワイエルシュトラスの定理 (Lindemann?Weierstrass theorem) とも呼ばれる。
歴史
1873年、シャルル・エルミートは e が超越数であることを示した。このことを言い換えるならば、α1, …, αn が相異なる自然数であるとき、eα1, …, eαn は Q 上一次独立である。
リンデマンの定理は、この結果の「自然数」を「代数的数」に、「Q 上」を「Q 上」に 拡張したものである。
リンデマンは、1882年にこの定理を証明し、同時に円周率が超越数であること、円の正方形化が不可能であることを歴史上初めて明らかにした。
1885年、カール・ワイエルシュトラスは、リンデマンの定理の証明を簡単にしたものを公表した。
その後、ヒルベルトらがさらに証明を簡単にした。リンデマンの定理の p-進類似や、一般化であってゲルフォント＝シュナイダーの定理も含むシャヌエルの予想は、2009年現在未解決問題である。
英ではLindemann?Weierstrass theoremか。証明がある、Modular conjectureも
https://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann%E2%80%93Weierstrass_theorem
Modular conjecture
An analogue of the theorem involving the modular function j was conjectured by Daniel Bertrand in 1997,
0190現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 12:44:31.90ID:kC2go6vWEduard ?echさん。?ech cohomologyで有名。1935～37の論文か。層の理論より前だね
https://en.wikipedia.org/wiki/Eduard_%C4%8Cech
Eduard ?ech
From Wikipedia, the free encyclopedia
Eduard ?ech (Czech: [??duart ?t??x]) (29 June 1893 ? 15 March 1960) was a Czech mathematician born in Stra?ov, Bohemia (then Austria-Hungary, now Czech Republic).
His research interests included projective differential geometry and topology. He is especially known for the technique known as Stone??ech compactification (in topology).
He received his doctoral degree in 1920 at Charles University, Prague with Karel Petr as advisor. In 1921?1922 he collaborated with Guido Fubini in Turin, Italy.
He taught at Masaryk University in Brno and at Charles University. Ivo Babu?ka, Vlastimil Dlab, Zden?k Frolik, V?ra Trnkova and Petr Vop?nka have been doctoral students of ?ech. He died in Prague in 1960.
Publications
?ech, E. (1935), "Les groupes de Betti d'un complexe infini", Fundamenta Mathematicae 25 (1): 33?44
?ech, E. (1936), "Multiplications on a complex", Ann. of Math 37: 681?697, doi:10.2307/1968483
?ech, E. (1937), "On bicompact spaces", Ann. of Math, (2)38: 823?844
0191現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 12:46:19.89ID:kC2go6vWCechのＣの上に記号がついているんだけど・・
0192１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 13:23:09.03ID:GBlATZpwコホモロジーの定義ぐらい追えるんなら準同型定理わかってるはずなんだがな。
0193現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 14:58:10.78ID:kC2go6vWそりゃそうだね～（＾＾：
ホモロジーも同じだな
短完全列と長完全列か・・
そのうちやってみるよ
あまり御利益が見えないので、つい後回しだが
最近あちこちで出てくるんだよね～
0194１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 15:30:29.20ID:pcS0NOonそういう層やコホモロジーが分からない人のための多変数複素解析の本が、
>>150のコースになる。西野氏の本では出来る限り岡潔のやり方を踏襲している。
Grauert-RemmertのTheory of Stein Spacesを参考にすることで、やっとこさ層やコホモロジーが出て来る。
大沢氏の多変数複素解析、複素解析幾何学とデイバー方程式を事前に読むといい。
ヘルマンダーの読み方は大体書いた。他に必要な知識といえば、微分形式や関数解析
だが、楕円型境界値問題が分かれば関数解析の方は分かる。
野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』に匹敵する
名著が岡潔に直接ご対面したことがある一松氏が書いた一松本。
方法論は同じで、一松本でも層やコホモロジーを使っているらしい。
聞くところによると、歴史も書いてあるらしい。挙げている長所は似たり寄ったり。
0195現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 15:38:44.36ID:kC2go6vW「代数曲線に触れる補足 松本 眞 広島大 2009」が、めちゃ面白い（＾＾；
この面白さが理解できるようになったのは、野口 潤次郎を読んだお陰やと思う・・
層の気持ちね～（＾＾；
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/hosoku1.pdf
代数曲線に触れる補足 松本 眞 広島大 2009
こちらは付録
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/kyokusen1.pdf
代数曲線に触れる 松本 眞 広島大 2004
0196現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 15:41:53.22ID:kC2go6vWどうも。スレ主です。
おっちゃん、ありがとう
一松信先生ね
結構いろんな本出してたよね。大分記憶が薄れたが・・
0197現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 15:46:08.57ID:kC2go6vW「代数曲線に触れる補足 松本 眞 広島大 2009」さわり抜粋
P10
前半の授業で、「どうしてもわれわれは射影代数多様体を考えた
い」すなわち「射影化の必要性」を見た。しかしながら、アフィンスキー
ムの範疇では射影代数多様体を含むものは構成できない（と思う）。それ
は、たとえば次のような観察による。（ラフな考えなので、厳密ではない。）
定理3.15. コンパクトな複素解析多様体X において、X 全体で定義され
る正則関数（すなわち、X ! C なる正則関数）は定数のみ。
ここでは深入りしない。射影直線P1(C) においては、極を持たない関
数が定数関数しかないことは複素一変数関数論の「最大値の定理」から
従う。
そこでわれわれは、「多様体」などがそうであったように、「アフィン
スキームを部品として、貼りあわしてできたものの全体」を考えて、そ
れを多様体の一般化＝（一般の）スキームとして定義する必要性にせま
られる。
可微分多様体であれば、「位相空間X」であって、局所的には開球と位
相同型が与えられ（座標）、二つの位相同型（座標）は、重なっているとこ
ろでは（座標間の）「可微分同相を与える」、という定義が可能であった。
スキーム論でも、実はほとんど同じ作戦をとることもできるのだが、
ちょっと複雑になる。なぜ複雑になるのかを説明しようと試みたが、僕の
力量ではできない。
結論からいうと、「位相空間上の環の層」で、局所的にアフィンスキー
ムと同型になるもの、としてスキームを定義するのが最も標準的と思わ
れる。
つづく
0198現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 15:51:03.24ID:kC2go6vW「代数曲線に触れる補足 松本 眞 広島大 2009」さわり抜粋
P7
(0) の閉包を考えるとV (0) = X。したがって、(0) を含む閉集合はX
のみ。言い換えると、X の開集合は、空でなければ(0) を含む。この位
相空間はハウスドルフ性をもたない。(0) をX のgeneric point（一般点）
という。generic point は、初学者には躓きの石である。が、なれてくる
と非常に便利で自然な点であることがわかってくる。
標語的にいえば、generic point がなければ、点集合C が「一つの曲線」
であることを保証するものがない。
コメント：なんのこっちゃと思うけど、そういう説明があることが親切やねー（＾＾
つづく
0199１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 15:52:19.86ID:pcS0NOon持っているようなので、ちょっと聞きたいが、
野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』
にベルグマン核のことは書いてあるか？
0200現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 15:58:05.05ID:kC2go6vW「代数曲線に触れる補足 松本 眞 広島大 2009」さわり抜粋
P8
これにより、f は曲線V (f) を「代表
する一般的な点」とみなされ（意味不明かと思うが、いつかわかるかも）
V (f) のgeneric point と呼ばれる。
(0) の閉包はX で、X のgeneric point と呼ばれる。
定義3.6. Aを可換環とする。SpecAの関数環とは、Aのことである。A
の元を、「SpecA 上の正則関数」(regular function) と言うが、定義上は
ちっとも「関数」にはなっていない。
すなわち、スキーム論では、「関数」は通常の「集合から集合への写像」
を意味しない。
定義3.7. 環A と位相空間SpecA を組にして考えたものをアフィンス
キームという。が、記号としてはSpecAであらわす。位相空間SpecAの
ことは、「SpecA の台集合(underlying set)」と呼ぶことが多い。
コメント：（意味不明かと思うが、いつかわかるかも）とか、「SpecA 上の正則関数」(regular function) と言うが、定義上は
ちっとも「関数」にはなっていない・・とか。記号SpecAって意味が変わっているとか。フォローが良いね
つづく
0201現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 16:01:19.04ID:kC2go6vWおっちゃん、どうも。スレ主です。
ベルグマン核ね、無いみたいやね
索引に無いし、さっと読んだだけだが、気付かなかったから
0202１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 16:07:39.51ID:pcS0NOonあ～、野口氏の本と一松本の決定的な違いはここだな。
一松本にはベルグマン核のことも書いてあるらしいんだよ。
0203現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 16:18:03.89ID:kC2go6vWベルグマン核は、初耳だが、思うに偏微分方程式の解法に関係するんじゃないかな？
1933あたりだと、シュワルツの超関数論の前か。いまでは、積分核を使うのは当たり前だが、当時は最先端かねー
野口の本のテーマとはちょっと合わないんじゃないかな？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%82%B0%E3%83%9E%E3%83%B3%E6%A0%B8
多変数複素函数論の研究におけるベルグマン核（ベルグマンかく）とは、領域 D in Cn 上のすべての二乗可積分正則函数のヒルベルト空間の再生核（英語版）(reproducing kernel)である。ステファン・ベルグマン（英語版）(Stefan Bergman)の名前に因む。
https://en.wikipedia.org/wiki/Bergman_kernel
https://en.wikipedia.org/wiki/Stefan_Bergman
Stefan Bergman (5 May 1895 ? 6 June 1977) was a Polish-born American mathematician whose primary work was in complex analysis. He is best known for the kernel function he discovered while at Berlin University in 1922.
This function is known today as the Bergman kernel. Bergman taught for many years at Stanford University, and served as an advisor to several students.[1]
The Bergman Prize
The Stefan Bergman Prize in mathematics was initiated by Bergman's wife in her will, in memory of her husband's work. The American Mathematical Society supports the prize and selects the committee of judges.[4] The prize is awarded for:[4]
1.the theory of the kernel function and its applications in real and complex analysis; or
2.function-theoretic methods in the theory of partial differential equations of elliptic type with a special attention to Bergman's and related operator methods.
Selected publications
Bergmann, Stefan (1933), "Uber die Kernfunktion eines Bereiches und ihr Verhalten am Rande. I", Journal fur die reine und angewandte Mathematik (in German) 169: 1?42, doi:10.1515/crll.1933.169.1, JFM 60.1025.01.
以下略
0204現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 16:30:17.55ID:kC2go6vWおっちゃん、どうも。スレ主です。
一松本の内容を知らないが、野口本の参考文献に上がっている
一松信「多変数解析函数論」培風館 1960
1960は、さすがに内容が古くないか？
まあ、当時の空気を伝えているという意味では、価値があると思うが・・。下記前にも引用した気がするが、まだご存命か・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%9D%BE%E4%BF%A1
一松 信（ひとつまつ しん、1926年3月6日 - ）は、日本の数学者。京都大学名誉教授。
人物
「すでに学生時代に多変数関数論の最高峰をきわめられた」[1]と紹介されるほどの俊才だったようで、その後も、多変数関数論の他、数値解析、計算機科学などでもリーダー的な研究者であった。
著作は多数に上り、良書とされるものが多い。また優れたエッセイ集もある。数学セミナーの「エレガントな解答をもとむ」によく問題を投稿している。
著作は明解かつ詳細な記述が特徴で、構成が緻密であり、練習問題やその解答、索引や参考文献にも気が配ってあるものが多い。
0205現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 16:37:48.18ID:kC2go6vW「代数曲線に触れる補足 松本 眞 広島大 2009」さわり抜粋
P12
定義4.5. (opposite category) カテゴリーC に対し、そのopposite カテ
ゴリーCop をob(Cop) = ob(C)
HomCop(a; b) := HomC(b; a) 合成を
g ±Cop f := f ±C g で定義する。
定義4.6. Cop からD への関手を、C からD への半変関手(contravariant
functor) という。
定義4.7. 前層(presheaf) X を位相空間とし、C(X) をその開集合がなす
カテゴリーとする。Dをカテゴリーとする。関手F : C(X)op ! Dを、D
に値をとる前層という。
例4.8. X を位相空間とする。たとえば複素数の集合とおもってもよい。
X のある開集合上定義された実数関数の全体は、前層となる。D として、
環のカテゴリーをとる。
U 2 ob(X) に対して、F(U) := U 上の実数値関数の全体をとる。U1 ?
U2 のとき、FU2;U1 : F(U2) ! F(U1) は制限写像で与えられる。
同様の例は、X 上のある開集合上定義された実連続関数でもよい。
この例により、R 2 F(U2) に対し、RjU1 2 F(U1) でFU2;U1(R) を表すこ
とが多い。
コメント：前層をカテゴリーで定義するか・・・。（＾＾
つづく
0206現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 16:42:49.12ID:kC2go6vW「代数曲線に触れる補足 松本 眞 広島大 2009」さわり抜粋
P12
定義4.9. Dを集合のカテゴリーの部分カテゴリーとする。前層F : C(X)op !
D が層であるとは、次の二条件を満たすことである。
U = [i2IUi
を、X の開集合U とその開被覆とする。
2 F(U) の元R; ￣ は、RjUi = ￣jUi が全てのi で成立するならばR = ￣.
2 各i についてRi 2 F(Ui) をとり、全てのペアi; j 2 I に対して
RijUi\Uj = Rj jUi\Uj
となったとする。このとき、R 2 F(U) が存在してRjUi = Ri となる
（任意のi で）。
層の条件とは、「局所的に一致していたら、大域的に一致」「局所的に
存在しているものが、共通部分で一致していたら貼りあって大域的に存
在するものになる」という気持ちを公理化したものである。
X 上の実数関数の前層、実連続関数の前層などは層である。
コメント：文字化けがひどいので、引用ではさっぱり分からんやろ。原文見て。”気持ちを公理化したものである”か。松本節炸裂！（＾＾；
つづく
0207現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 16:47:20.01ID:kC2go6vW「代数曲線に触れる補足 松本 眞 広島大 2009」さわり抜粋
P13
前層だが層でないものの例として、X を非連結な位相空間とし、F(U)
をU 上定義された実定数関数として得られる前層がある。
たとえばX = 1; 2:離散位相とする。F(X) = F(1) = F(2) = R とし、
F(;) = f0g とする。制限写像は恒等写像とし、空集合への制限は0 写像
とすると、前層である。しかし、R1 2 F(1), R2 2 F(2) を異なる実数とす
ると、これはX 上の元に貼り合わさらない。
次の注意は、理解するのが困難なので、最後の一行だけ信じればよい。
注意4.10. F がX 上の層であるとすると、F(;) は一元集合となる。とい
うのは、; の開被覆としてI = ; という「０個の集合からなる」被覆がと
れる。このとき、Qi2I F(Ui) は一元集合f;g である(何もとってこない、
という取り方)。これらは貼り合わせの条件を満たす。ので、これらを貼
り合わせてえられる元がF(;) にある。一方、「一意性」の条件から、他
には元はない。
これにより、たとえばF が環のカテゴリーに値をとる層であるならば、
F(;) はただ一元からなる環であり、それは零環= f0g である。
コメント：これも文字化けがひどいので、原文見て。”次の注意は、理解するのが困難なので、最後の一行だけ信じればよい”って、松本先生、ほんまいい人やね～、涙でるわ！（＾＾；
つづく
0208１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 16:49:18.66ID:pcS0NOonいや、書いてあることの内容が発展した時代としては、
一松本も西野氏(Grauert,Remmert)の本も、ヘルマンダーも、大して変わらない。
どれも岡潔やGrauert,Remmertなどが発展させた内容を扱っている。
その後、新しく多変数複素解析が発展した時期があって、Feffermanが
ベルグマン核の核関数の漸近挙動を導いたことで新しく内容を付け加えたことがある。
その結果は、大沢氏の多変数複素解析に書いてある。その証明は載っていない。
長い証明だそうだ。なので、ベルグマン核は多変数複素解析の1つの内容になる。
0209現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 16:55:01.52ID:kC2go6vW松本 眞先生のお陰で、層の気持ちが分かってきた・・
そうなんや、そうなんや、層なんや～！（＾＾；
他の先生は、分からんようにぐしゃぐしゃに書いていたんや～・・・、って自分が分かってなかっただけやけど（＾＾；
グロタンが悪い。あいつ天才すぎ。常人に分かるように書く能力ないんやわきっと、、って自分が分かってなかっただけやけど（＾＾；
次は、層係数コホモロジーか
松本 眞先生のＰＤＦ落ちてないかな・・
0210１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 16:57:53.72ID:pcS0NOon>>208の訂正：「漸近挙動」→「漸近展開」
0211１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 16:59:58.22ID:GBlATZpw0212１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 17:03:57.53ID:GBlATZpw層係数ではないけど。
0213現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 17:06:37.66ID:kC2go6vWおっちゃん、どうも。スレ主です。
いやー、ほんま初耳の話ばかりです
多変数複素解析の知識は、岡先生の話から先は知らないんよ
佐藤超関数なんかも、多変数複素解析の基礎の上に乗っていると思うんだが
検索するとこれか
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%A4%89%E6%95%B0%E8%A4%87%E7%B4%A0%E9%96%A2%E6%95%B0
多変数複素関数
さらに進んで、解析幾何（紛らわしいが、これは解析的関数の零点の幾何に関する名称であり、初中等教育で習うような解析幾何学のことではない）や複数変数の保型形式、偏微分方程式などに応用できる基本的な理論が構築された。
また複素構造の変形理論（英語版）や複素多様体は、小平邦彦やドナルド・スペンサー（英語版）によって一般の形式で表現された。
さらに、ジャン＝ピエール・セールの高名な論文 GAGA において、解析幾何 (geometrie analytique) を代数幾何 (geometrie algebrique) へと橋渡す観点が突き止められた。
数論に対する興味は、特にモジュラー形式の一般化に注がれる。
その古典的な代表例は、ヒルベルトモジュラー形式（英語版）やジーゲルモジュラー形式（英語版）である。
今日においてそれらは、解析的関数から保型表現が生じるようなアーベル群（それぞれ GL(2) の総実代数体（英語版）のヴェイユ制限（英語版）と、シンプレクティック群）と関連付けられている。
その後の発展として、佐藤超関数の理論や楔の刃の定理（英語版）が挙げられるが、それらはいずれも場の量子論から着想が得られているものである。
その他、バナッハ環の理論など、多複素変数を扱う分野は数多く存在する。
0214現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 17:09:39.63ID:kC2go6vWどうも。スレ主です。
コメントありがとう
コホモロジー、勉強します（＾＾；
0215１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 17:40:53.69ID:GBlATZpw「数学の土壌」日本評論社の「層」と「消滅定理」の項目でクザンの問題を使って層係数コホモロジーの解説してるのが
文系にも読みやすいまともな解説だと思う。
0216１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 17:43:01.47ID:GBlATZpw売り切れてるから図書館で借りるしかないけど。
0217現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 18:11:59.16ID:kC2go6vW>大沢氏の多変数複素解析
こんなのがヒットした。読んでも意味わからんが、比較的最近の文献なんで、引用文献なども参考になるだろう
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/140964/1/1661-08.pdf
複素葉層の安定集合の幾何と∂方程式(葉層の微分幾何とベルグマン核) 大沢健夫 数理解析研 ?2009
0218現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 18:23:28.48ID:kC2go6vWども
ありがとう
まあ、文系の読める本が良いよね
図書館はあるけど、町の図書館なので、数学の専門書は少ない。大学の数学系の図書館とは違う
でも、アマゾンで結構古書が上がっているので、良い本なら・・
0219現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 19:38:09.46ID:kC2go6vWこれ面白そうだよ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む10
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/615
615 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2014/12/06(土) 16:20:45.35
＜下記は、検索でヒットした寄り道である＞
http://www.math.chuo-u.ac.jp/
中央大学
http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/
ENCOUNTERwithMATHEMATICS
http://www.math.chuo-u.ac.jp/morita.htm
森田茂之氏による特別講演
http://www.math.chuo-u.ac.jp/lecture_notes_almostwhole.pdf
微分トポロジーの研究と展望等について, 森田茂之氏（東大・名誉教授）に自由に講演していただきます. 全10回程度の講演
テーマ: 「特性類と不変量」
全体への梗概:
向き付けられた閉曲面に対するガウス・ボンネの定理は, ガウス曲率の総和とオイラー数との間の密接な関係を与える美しい定理である.
現代幾何学は, これをさまざまな形に一般化しつつ発展してきた.
その中で中心的な働きをしてきたのは, 特性類と不変量という考え方である.
この講義では, これらの道筋をいくつかのトピックスを取り上げつつ概観する.
そして後半では, 新しい不変量をいかにして作るかについて, 現在研究中の一つの方法を述べる.
コンピュータによる実験的な計算なども例示する予定である.
0220現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 20:00:25.48ID:kC2go6vWhttp://takehikoyasuda-jp.jimdo.com/app/download/6472296367/CompAG3.pdf
Macaulay2による計算代数幾何
2012年10月8?12日に首都大学東京で行ったの集中講義の講義ノート。誤植、間違いなど多々あると思います。見つけた方は、連絡頂けると嬉しいです。
http://takehikoyasuda-jp.jimdo.com/%E6%9B%B8%E3%81%8D%E7%89%A9/
プロフィール 安田 健彦 （ヤスダ タケヒコ）大阪大学 大学院理学研究科 数学専攻准教授
自己紹介：福岡県北九州市と千葉県市原市で育つ。数学者。専門は代数幾何。ゲームEuler Gettterを考案。趣味はテニス。
研究について：代数幾何、特に特異点を研究しています。モチーフ積分、新しいブローアップの構成、非可換環など、新しい手法を特異点の研究に利用するのが好きです。
学生の頃は抽象理論にあこがれましたが、ポスドク時代に数値実験によりいくつかの発見をしてからは、実験の重要性を認識するようになりました。
最近は特異点、フロベニス写像、非可換環、整数論などの間の不思議な関連を調べています。また私の研究の多くはマッケイ対応というものと関連しています。
研究というか分かりませんが、数学的なボードゲーム"Euler Getter"を開発しました。実射影平面上でオイラー標数を取り合うゲームです。良かったら遊んでみて下さい。
0221現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 20:11:19.01ID:kC2go6vW・私自身はMacaulay2 を体系的に勉強したことはなく、見よう見まねでやっているうちに少しずつ覚えて、今では研究でもよく使うようになった。
・1.2 実験のススメ 数学研究における、コンピューターの使用は少しずつ増えてきているが、まだまだ「数学は紙と鉛筆でひたすら証明を積み上げる」というイメージが強いと思う。しかし、私はコンピューターを使った数値実験を大いにお勧めしたい。
・今後は、数学も通常科学に近づき、理論と実験が2 本の柱になるだろう。
・第8 章 射影多様体と層のコホモロジー
・8.2 連接層のコホモロジー いくつかの標準的な連接層は簡単に射影多様体から作ることができる。まず、（捻れ）構造層。
・任意の連接層を捻りたければ、例えばTX(3) などとすれば良い。（接層とOX(3) のテンソル積。）
・演習30 Serre の双対定理と消滅定理、小平の消滅定理を好きな例で確認せよ。
・8.3 加群から連接層を作る
コメント：要するに、コホモロジーは計算機に乗るよと
0222現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 20:17:21.35ID:kC2go6vWhttp://fe.math.kobe-u.ac.jp/MathLibre-doc/
KNOPPIX/Math/2011 質問と答え集 KNOPPIX/Math 開発チーム
http://fe.math.kobe-u.ac.jp/MathLibre-doc/ponpoko/Macaulay2.pdf
Macaulay2の紹介 横田博史 著
0223現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 20:25:25.83ID:kC2go6vW検索でヒットしたので、貼っておく
http://www.mathsoc.jp/section/algebra/
日本数学会 代数学分科会 ホームページ
http://www.mathsoc.jp/section/algebra/algsympo.html
代数学シンポジウム関連情報
http://www.mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp14.html
第59回代数学シンポジウム（報告集）日程： 2014年9月8日（月）-- 9月11日（木）
http://www.mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp14_files/abe.pdf
阿部知行（東大カブリ数物） 数論的D加群と関数体のラングランズ対応(pdf file)
0224現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 20:27:10.99ID:kC2go6vWおーい、おっちゃん！
Macaulay2 使ってみて～！（＾＾；
0225１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 20:45:59.62ID:AGkdFtPDおっちゃんではありませんが、
Macaulay2は面白そうですね。後で調べてみます。
0226１３２人目の素数さん
2015/09/01(火) 15:41:41.24ID:MF8hzrYgおっちゃんです。
悪いけど、普段パソコンで計算するようなことはしていません。
むしろ、数値解析の理論や応用数学の理論の方に興味がある。
数値解析や応用数学の定理とか読むと、しっかり証明されていたりして案外面白い部分はある。
>>217を読んだけど、前提知識が多くなっているぞw
特性類、葉層構造、複素多様体(ケーラー多様体)、多変数複素解析全般、デイバー方程式、表現論(等質空間)、
調和写像、Siuの強剛性定理だったか、非線形の熱方程式、フィンスラー多様体、レヴィ形式。
この位か。
まあ、多変数複素解析とか他の分野してたら自然に或る超越性の証明が出来た。
ただ、どうしても出来ないことがまだあるので、今度は逆問題も必要になるかもな。
0227現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/04(金) 21:23:38.52ID:s9oRX8Kuどうも。スレ主です。
Macaulay2、よろしく
どうも、Ｌｉｎｕｘみたいな環境が必要らしい（windowsそのままでは乗らない）
0228現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/04(金) 21:26:32.35ID:s9oRX8Kuどうも。スレ主です。
おっちゃん、レスありがとう
大沢健夫先生も難しいことを書いたんやね～
もっとも、専門の論文やからしかたないか
超越性の証明ね
おっちゃん、博識やからなー
0229１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 00:11:56.33ID:7l3YOBh10230現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 06:45:38.50ID:LkHxIaypMacaulay2 ではないが、マイヤー・ヴィートリス完全系列
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%A4%E3%83%A4%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AA%E3%82%B9%E5%AE%8C%E5%85%A8%E7%B3%BB%E5%88%97
数学の特に代数的位相幾何学およびホモロジー論におけるマイヤー・ヴィートリス完全系列（マイヤーヴィートリスかんぜんけいれつ、英: Mayer?Vietoris sequence）は、
位相空間が持つホモロジー群やコホモロジー群といった代数的位相不変量を計算するのに便利な道具の一つで、オーストリアの数学者ヴォルター・マイヤーとレオポルト・ヴィートリスによって示された。
これは、位相空間を（コ）ホモロジーの計算がより容易にできるような部分空間の小片に分解するとき、得られる部分空間の（コ）ホモロジーの列ともとの空間のそれとの関係を述べたもので、それによりもとの空間のそれらを計算するという方法論を与える。
マイヤー・ヴィートリス完全系列と呼ばれる完全系列は、全体空間の（コ）ホモロジー群、部分空間の（コ）ホモロジー群の直和、部分空間の交わりの（コ）ホモロジー群の三者から構成される自然な長完全列である。
位相幾何学に現れるような空間の多くは非常に簡単な小片の貼り合わせとして構成されるが、
そういったものの中で、空間を被覆する二つの部分空間（およびそれらの交わり）がもとの空間より単純な（コ）ホモロジーを持つものを注意深く選べば、マイヤー・ヴィートリス完全系列によりもとの空間の（コ）ホモロジーが完全に演繹できるというのである。
この観点で言えば、マイヤー・ヴィートリス完全系列は、基本群に対するザイフェルト-ファン・カンペンの定理（英語版）の類似であり、実際一次元ホモロジーに対しては明確な関係がある。
0231現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 06:48:15.73ID:LkHxIayp分かり難く書いてある
というか、意味分からんかった
が、例えば、どうも図形を２つに分けて、それぞれを計算して合成するみたいな話らしい
0232現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 07:02:13.20ID:LkHxIayp引用しないが、球面とかクラインの壷のホモロジー群の計算はこうやるのか・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%A4%E3%83%A4%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AA%E3%82%B9%E5%AE%8C%E5%85%A8%E7%B3%BB%E5%88%97
3 簡単な応用例
3.1 超球面
3.2 クラインの壷
3.3 一点和
3.4 懸垂空間
0233現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 07:28:33.93ID:LkHxIayp英語版
https://en.wikipedia.org/wiki/Mayer%E2%80%93Vietoris_sequence
超球面
k-sphere
このように球面のホモロジー群は完全にわかっており、今のところ知られている球面のホモトピー群の場合（特に n > k の場合には殆ど知られていない）とは対照的である[15]。
Such a complete understanding of the homology groups for spheres is in stark contrast with current knowledge of homotopy groups of spheres, especially for the case n > k about which little is known.[15]
0234１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 07:37:59.28ID:m1S6Yidm>超越性の証明ね
>おっちゃん、博識やからなー
いえいえ、そんなことはございません。
私(おっちゃん)なんぞはちっぽけな存在であります。
恥ずかしくて情けない限りでございます。
0235現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 07:56:54.65ID:LkHxIayp球面のホモトピー群は下記
https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_groups_of_spheres
In the mathematical field of algebraic topology, the homotopy groups of spheres describe how spheres of various dimensions can wrap around each other.
They are examples of topological invariants, which reflect, in algebraic terms, the structure of spheres viewed as topological spaces, forgetting about their precise geometry.
Unlike homology groups, which are also topological invariants, the homotopy groups are surprisingly complex and difficult to compute.
The n-dimensional unit sphere ? called the n-sphere for brevity, and denoted as Sn ? generalizes the familiar circle (S1) and the ordinary sphere (S2).
The n-sphere may be defined geometrically as the set of points in a Euclidean space of dimension n + 1 located at a unit distance from the origin.
The i-th homotopy group πi(Sn) summarizes the different ways in which the i-dimensional sphere Si can be mapped continuously into the n-dimensional sphere Sn.
This summary does not distinguish between two mappings if one can be continuously deformed to the other; thus, only equivalence classes of mappings are summarized.
An "addition" operation defined on these equivalence classes makes the set of equivalence classes into an abelian group.
つづく
0236現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 08:01:37.52ID:LkHxIaypThe problem of determining πi(Sn) falls into three regimes, depending on whether i is less than, equal to, or greater than n. For 0 < i < n, any mapping from Si to Sn is homotopic
(i.e., continuously deformable) to a constant mapping, i.e., a mapping that maps all of Si to a single point of Sn. When i = n, every map from Sn to itself has a degree that measures how many times the sphere is wrapped around itself.
This degree identifies πn(Sn) with the group of integers under addition.
For example, every point on a circle can be mapped continuously onto a point of another circle; as the first point is moved around the first circle, the second point may cycle several times around the second circle, depending on the particular mapping.
However, the most interesting and surprising results occur when i > n.
The first such surprise was the discovery of a mapping called the Hopf fibration, which wraps the 3-sphere S3 around the usual sphere S2 in a non-trivial fashion, and so is not equivalent to a one-point mapping.
The question of computing the homotopy group πn+k(Sn) for positive k turned out to be a central question in algebraic topology that has contributed to development of many of its fundamental techniques and has served as a stimulating focus of research.
つづく
0237現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 08:05:07.65ID:LkHxIaypどうも。スレ主です。
おっちゃん、朝早くありがとう
超越数はむつかしいよね
多変数複素函数論とどう結びつくのか、想像できませんでした（＾＾
0238現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 08:07:29.49ID:LkHxIaypきれいな労作の表が作ってあってね。一見の価値ありです
https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_groups_of_spheres
Contents
1 Background
1.1 n-sphere
1.2 Homotopy group
2 Low-dimensional examples
2.1 π1(S1) = Z
2.2 π2(S2) = Z
2.3 π1(S2) = 0
2.4 π2(S1) = 0
2.5 π3(S2) = Z
3 History
4 General theory
4.1 Table
4.2 Stable and unstable groups
4.3 Hopf fibrations
4.4 Framed cobordism
4.5 Finiteness and torsion
4.6 The J-homomorphism
4.7 Ring structure
5 Computational methods
6 Applications
7 Table of homotopy groups
8 Table of stable homotopy groups
9 References
9.1 General algebraic topology references
9.2 Historical papers
10 External links
0239１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 08:36:53.76ID:m1S6Yidm基本的に代数的数とかの数学的対象全体がなす集合が可算な場合は、その対象は代数で扱える。
が、超越数とか対象全体がなす集合が非可算な場合、その対象には、空間や直線の完備性故に、
代数で扱える範囲には限度がある。例えば、無作為かつランダムに実数xを選んだとき、
xの超越性を示すときは、如何にして思い付くのかがサッパリ理解不能だが、大抵解析的手法で
何らかの積分を構成して2つの相反する大小関係から矛盾に導いて示すことになる。
事前にxが超越数と予め判明していないと、有理数体Qにxを添加した超越拡大体Q(x)とかを
構成して超越数について議論することは不可能になる。
解析にハマり出したのは、そういうことを悟ったあたりからだよ。
0240１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 09:07:23.69ID:m1S6Yidmまあ、他にはディオファンタス近似とか無限級数の手法とかもある。
何れにしろ、無作為かつランダムに実数xを選んだとき、xの超越性を示すときは、
大抵解析的手法になる。超越性を既に認識していれば、超越拡大体とかの手法により
代数的議論が可能になる。このようなとき構成した超越拡大体は可算になる。
超越性をまだ認識していない無作為かつランダムな実数を選んで議論するときは、
大抵代数的手法は通用せず解析的手法とか他の手法になる。
0241１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 09:11:33.31ID:w2f+XEjfランダム実数って基礎論の概念じゃないの？。昔数セミに竹内外史が記事書いてた。
0242１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 09:40:30.87ID:m1S6Yidm普通より突っ込んだ基礎論は余り知らず、
ランダム実数が基礎論の概念かどうかまでは詳しく知らない。
0243現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 09:45:25.29ID:LkHxIaypおっちゃん、どうも。スレ主です。
>何らかの積分を構成して2つの相反する大小関係から矛盾に導いて示すことになる。
ああ、いまちらっと見た下記がそうだったね。この板では、積分記号が扱えないから、引用しないけど
https://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number
Sketch of a proof that e is transcendental
The first proof that the base of the natural logarithms, e, is transcendental dates from 1873. We will now follow the strategy of David Hilbert (1862?1943) who gave a simplification of the original proof of Charles Hermite. The idea is the following:
Assume, for purpose of finding a contradiction, that e is algebraic. Then there exists a finite set of integer coefficients c0, c1, ..., cn satisfying the equation:
おっちゃん、本格的やね！（＾＾；
0244１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 09:55:10.47ID:tj0iRPLO私は自分の能力のなさに絶望してもう数学やりたくなくなりました
0245現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 10:01:19.67ID:LkHxIayp解析的整数論
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E8%AB%96
解析的整数論
微積分や複素関数論等の解析学的手法を用いて問題に取り組む。この分野は初めて解析的な手法を系統的に数論に応用したディリクレに始まるとされる。
その弟子であるベルンハルト・リーマンによってすでにこの分野の（ひいては数論）の最大の未解決問題であるリーマン予想（1859年）が提示されたのは興味深い。
素数定理の証明（1896年）はこの分野の一里塚である。ゼータ関数、保型関数を研究するのもこの分野であって、超越数論とも関係が深い。
19世紀末から20世紀初頭
この時代には、アクサル・トゥエがディオファントス方程式の研究に重要な貢献をした。また、ダフィット・ヒルベルトは代数的整数論で貢献し、ウェアリングの問題の証明も行った。
ヘルマン・ミンコフスキーは幾何学的数論を創始した。他にも、アドルフ・フルヴィッツ、ヴァツワフ・シェルピニスキといった数学者が数論の発展に貢献している。
20世紀
20世紀の数論研究の有名人としては、略
20世紀の数論における大きな出来事として次のようなことが挙げられる。
1920年代には、高木貞治、エミール・アルティン（ドイツ語版、英語版）、フィリップ・フルトヴェングラーらが類体論を創始し、1930年代にヘルムート・ハッセやクロード・シュヴァレーが発展させた。
1940年代にアンドレ・ヴェイユがヴェイユ予想を発表し、バーナード・ドゥワーク、アレクサンドル・グロタンディーク、ピエール・ルネ・ドリーニュらがその証明に取り組んだ。
1961年の M. B. Barban の成果に基づき、1965年にエンリコ・ボンビエリらが「ボンビエリ＝ヴィノグラドフの定理 (en)」を定式化した。
1960年代後半にロバート・ラングランズがラングランズ・プログラムを提唱し、そこから他の数学者により様々な発展が得られた。
陳景潤の定理が1966年に発表され、1973年に証明された。
アンドリュー・ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明（1994年）。また、これと密接に関連する谷山・志村の定理は1999年、クリストフ・ブレイユ、ブライアン・コンラッド、フレッド・ダイアモンド、リチャード・テイラーによって証明された。
0246現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 10:07:03.97ID:LkHxIaypどうも。スレ主です。
>スレ主さんは数学に飽きたり数学がイヤになったりしませんか？
>私は自分の能力のなさに絶望してもう数学やりたくなくなりました
それもありなんじゃないかな？
0247現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 10:09:17.71ID:LkHxIayp>スレ主さんは数学に飽きたり数学がイヤになったりしませんか？
>私は自分の能力のなさに絶望してもう数学やりたくなくなりました
自分の於かれている立場によるけど
一つは、現代数学は、範囲が広がりすぎて、一人の人間が簡単に理解できる範囲を超えてしまったようなところがあるよね
0248現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 10:12:11.16ID:LkHxIaypその中で、いわゆるグロタンとかＷｉｔｔｅｎ先生とか
一瞬で全てを理解し見通す能力を持ったように見える、いわゆる天才と呼ばれる人たち
0249１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 10:12:47.23ID:tj0iRPLO自分の脳には線形代数より難しいものは理解できないみたいで
0250現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 10:16:22.64ID:LkHxIaypでも、よく考えてみると、世の中天才だけで成り立っているわけではないんだよね。当たり前だけど
世の中天才と、その一方で、天才を讃える多数の人たち、その両方が存在する必要がある
あなたに見えるのは、光を発している天才たちだろうが、実は世の中を成り立たせているのはその他大勢の天才を讃える多数の人たちなんだ
まず、この基本原理を理解するところから始めたらどうかな？
0251現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 10:26:26.40ID:LkHxIaypどうも。スレ主です。
”普通の代数学（群・環・体）の時点”か
ということは、数学科か
それはあるかも知れない
普通の代数学（群・環・体）というけれど、いまの（現代）テキストは、先を見て抽象化した難しい素材を盛り込んでいる場合が多い
昔のテキストは、もう少し素朴でね。代数方程式のガロア理論くらいが射程だったような
あんまり合わないと思ったら、別の選択肢もあるだろう。有名な小島先生がそうだったと言っている
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F%E5%B3%B6%E5%AF%9B%E4%B9%8B
小島寛之
東京都生まれ。東京大学理学部数学科卒業。中学生のときから数学者になることを夢見ていたが、東京大学院理学系研究科数学専攻(現数理科学研究科)大学院入試に3度落第し挫折[1]。
0252現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 10:32:26.01ID:LkHxIayp気休めかも知れないが、こんなのがある
http://sohsa.hatenablog.com/entry/2014/06/22/205722
『数学でつまずくのはなぜか』 小島寛之 ブックレビュー 20140622
数学って、学生時代からちょっと苦手…っていう人、多いのではないでしょうか。
特に私みたいに根っからの文系人間って、たいがい高校時代に数学や物理に挫折して、文系に進んだというパターンでは？（えっ、やっぱり私だけですか、そんな意気地なしの人生を歩んできたのは…。）
そんな数学に対する挫折が、いったいどこから始まったのか、ターニングポイントはどこだったのか。この本で、そんな過去の自分をちょっと振り返ってみました。
数学でつまずくのはなぜか (講談社現代新書)
作者: 小島寛之
出版社/メーカー: 講談社
発売日: 2008/01/18
メディア: 新書
いやあ、なるほど。そこで道に迷ったのか。
そんなことをこの本はちゃんと教えてくれました。そして、道に迷わない方法も、わかりやすく丁寧に。
しかし、そこは数学の本。だんだん後半に進むに従って少しずつ内容は難しくはなっていきますが、それでも筋道が明らかだから、読み手としては何となく「なるほど」と腑に落ちる感があります。
0253現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 10:38:26.32ID:LkHxIayp>あなたに見えるのは、光を発している天才たちだろうが、実は世の中を成り立たせているのはその他大勢の天才を讃える多数の人たちなんだ
>まず、この基本原理を理解するところから始めたらどうかな？
現代文明
それを支える現代数学という構図だが
現代文明というのは、細分化・専門家されてしまった
おそらく、現代数学もそうで、いまヒルベルトのように、数学全体を見ることのできる人は居ないかも知れない。だから、多少分からないことがあっても、自分なりに折り合いをつけて先に進まないといけない場面が出てくる
0254１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 10:47:34.29ID:w2f+XEjf0255現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 10:55:49.05ID:LkHxIaypこれもなにかのご参考に
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%BA%E3%83%9E%E7%89%A9%E7%90%86
水野幸雄『プラズマ物理学』共立出版、1984年。
http://homepage1.nifty.com/myki/yukio.htm
水野幸雄 のホームページ
http://homepage1.nifty.com/myki/yukio/youth/math.htm
以下はこのほど印刷した「一高昭和２５年卒業理甲１組 文集（2007年10月25日）」に掲載した文章である。 ただし、あとで１箇所 加筆してある。
「数学が解る」ということ
一高での数学の記憶と言えばやはり例の「事件」であろう。 それはメンゲこと田中正夫先生がレポート問題として出した、「円環を平面で斜めに上手に切ると切り口が２つの相交わる円になることを示せ」という問題である。
私はそれを「真面目に」計算して、それでも一工夫を加えて、田中先生のご著書「立体解析幾何学」によるものよりはかなり短い証明を得て満足していた。
ところが中村得之君はそれをベクトルを使って解き、数行ですむ簡潔な解を示して、『これでいいんだよ』と言った。 僕は論理的には解っても情緒的にはあまり解った気がしなかった。
そこで私は自分には数学の才能がないことを悟って数学科を諦め、才能がなくてもつぶしがききそうな物理学科を選んだ。 もっとも、数学科へ進んだ中村君は後で『数学科で君と一緒でライバルになるのは困るなと思っていた』と言ってくれた。
つづく
0256現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 10:58:06.05ID:LkHxIayp私は「数学が解る」というのは論理の問題ではなく、感覚ないし情緒の問題であると思っている。 私は一高同期生の文集「嗚呼向陵」で「だらしのない私」として書いたごとく、周りにまったく学問の気配のない家庭環境の中で育った。
小学校（国民学校）では算数の成績はよかったが、それは数学とはあまり関係なかろう。 ただ小学生の時分に読んでいた雑誌は誠文堂新光社の「子供の科学」であったから、その頃から理科に関心をもっていたことは確かであろう。
そしてそれを決定づけたのは中学１年の時、若い数学教師が授業時間をつぶして読んでくれたガモフの「不思議の国のトムキンス」の最初の章である。
それで相対論とか量子論とかをまともに理解したくなり、神田の本屋での立ち読みによればそれには偏微分方程式が解らなければならないらしいことを知り、微分積分を勉強したくなった。
そこで「初等数学で解る微分積分学」という本を買い込んでこつこつ読み始め、極限の求め方なども練習問題を解きながら勉強してみたがなかなか微分の所まで進まず、解ったような気がしなかった。
その頃、まだ勤労動員で工場へ行く前であるから中学２年の夏頃だと思うが、級友の一人から『微分積分をするならこれが解り易いぞ』と教わったのが、考え方社の藤森良夫「微分学学び方考え方と解き方」である。
さっそく買い込んで読み始めた。 それは極限の求め方などの議論は飛ばしていきなり微分計算を始め、すらすら読めて楽しかった。 ここで私は数学は論理ではなく感覚ないしはイメージであることを最初に感じた。
そのほかに中学の頃に私に強い影響を与えたのは高木貞治の「近世数学史談」である。
最近では私は数学は論理ではなく感覚だとの感をますます深めている。 数学の天才とは結果は最初から解っていて、ただそれを人に説明するのに苦労する人間であると思っている。
以下略
0257現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 11:02:52.62ID:LkHxIaypどうも。スレ主です。
シャファレヴィッチね、>>92>>108で引用したが
名著の香りがする。持ってないけどね
0258現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 11:12:11.79ID:LkHxIayp以前にも紹介したわんこら式
あなたには勧めない方が良いかもしれないが
（ちょっと休んだ方が良いかもしれない）
http://wankora.blog31.fc2.com/blog-entry-1295.html
わんこら日記 甘くて切ない日記。数学の勉強法の記事が人気です。
わんこら式数学の勉強法(受験生、小学生から中学生、高校生、大学生、社会人まで通用)【2010/04/18 03:57】
今からわんこらの数学の勉強法を聞いてもらいます。うへ～。
１、定義、定理、解き方を覚える
２、無理やりページを進める
３、解き方をノートに写す
４、高速で繰り返す
５、適当にやれば次へ！
６、出来ることをやる
○、覚醒モードに入る
○追記
この勉強法はオレは大学の数学を理論物理の勉強もしながら一年半の勉強で東京大学、京都大学の数学の大学院そして世界ランク3位以内言われている数理解析研究所に全て筆記試験に合格した時の経験が大きいです。
結局全部面接とかで何故か落とされましたが。
その時に毎日大量にわけわからない数式が押し寄せてくる大学での数学を命がけで対処しようとしてわかってきた勉強法と、受験時代に東大模試で数学を2位とった時の勉強法をあわせて書いていて、受験生の話では絶大な効果があるようです。
(注、現在のわんこら式はあらゆる学生の意見や報告データにより細かい表現の修正や項目の追加がされています。)
詳しくは→数学の勉強法が生み出された経緯
0259現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 11:21:11.26ID:LkHxIaypご参考
http://wankora.blog31.fc2.com/blog-entry-1989.html
わんこら式数学の勉強法をやってみた人の声 【2009/10/23】
抜粋
○志望大学は、東京大学理科三類です。でも、数学が苦手で、困っていましたが、
どうしても医者になりたいので、どうしたら、数学が得意になるか、いろんな人に相談しましたが、これといった効果がなく、そんなとき、かずゆきさんの数学勉強法を実践したら、成績評価が学年で一番になりました。本当にありがとうございます。
かずゆきさんのやり方が私の学校で取り入れる動きが出てています。
理由は、N高校の生徒もかずゆきさんのやり方をしてる人がたくさんいることがわかったからです。
かずゆきさんは、やっぱりすごいですね！
私の成績がかなり上がってるのと、東○の模試で一番になったのが広がってしまって、自分ではどれくらいの感じを知りたかったから受けたんですけど、
自分では、かずゆきさんが紹介してくれた大学用の数学と物理の教材が理解できるし、英語も今は、医学書読めるレベルになったので、楽勝だと思ったのですが。
○私は高校二年で、来年東大受験しようと思っています。ブログを読んで、数学の勉強方法をやってみると、ものすごく成績が上がりました。ありがとうございます。
○阪大志望者の中で数学1位でした。県内ではまだ4位とかですが。わんこら式でただ青チャートと1対1をやってたただけなのに(^0^)
今まで数学全然上がらんかったんですが、わんこら式にやり方にやり方を変えたら伸びる一方でした。
偏差値は70は1ヶ月やそこらですぐ越えれました。
またかずさんに出会ったばかりの頃は50やったのに…
0260現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 11:25:20.15ID:LkHxIayp>>256[私は「数学が解る」というのは論理の問題ではなく、感覚ないし情緒の問題であると思っている。]と、[わんこら式]は、真逆に見えて、通じるところがあるのかも
”さっそく買い込んで読み始めた。 それは極限の求め方などの議論は飛ばしていきなり微分計算を始め、すらすら読めて楽しかった。 ここで私は数学は論理ではなく感覚ないしはイメージであることを最初に感じた。”>>256みたいなところ
0261現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 12:27:06.03ID:LkHxIayp>あなたに見えるのは、光を発している天才たちだろうが、実は世の中を成り立たせているのはその他大勢の天才を讃える多数の人たちなんだ
>まず、この基本原理を理解するところから始めたらどうかな？
うまく言えないけど、数学○○賞
受賞する天才数学者さん
が、賞を出す人たちがいて成り立つ話だと
多くの人は、賞を出す側で、現代社会は実はその多くの人が居て成り立っている
かつ、天才は数学を作り出すとして
作り出された数学を使う大勢の人たちもいる
その大勢の人たちがいて、現代社会は成り立っている
その基本原理をよく理解しておかないとね
そうすれば、自分の立ち位置が見えてくる
自分は数学を作りだそうというのか
数学を利用するのか
でも、数学を利用する人たちが、必要にせまられて、新しい数学を作るときがあるんだよね。ヘビサイドとかね
0262現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 12:56:21.37ID:LkHxIaypイデアルとコホモロジーの計算の具体例がある。まだ理解していないが
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/64418/1/1171-10.pdf
常微分作用素環におけるイデアルの共通部分 : グレブナ基底を用いた計算法とその利用例 (D-加群のアルゴリズム) 田島, 慎一 数理解析研究所講究録 (2000)
さて、ここで多変数多項式環のイデアルの共通部分の計算法に関する結果を思いだそう.
いま, $I_{1},$ $l_{2}$ を多変数多項式環$K[x_{1}, x_{2}, \ldots, X_{n}]$ のイデアルとする. 不定元$t$ を新たに導入
し, 多項式環$K[x_{1}, x_{2}, \ldots, X_{n}, t]$ のイデアル$t\text{右}+(1-t)l_{2}$ を考える. この時, 次が成立する.
定理(cf. Cox. Little and $0$ ‘Shea [4], $\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}_{\mathrm{P}^{4}}$ , Th. 11)
$I_{1}\cap I_{2}=(tI_{1}+(1-t)I_{2})\cap K[x_{1}, x_{2}, \ldots, X_{n}]$.
この定理の証明をみれば, 偏微分作用素心でもまったく同じ主張が成り立つことが容易
に分かる. その事から偏微分作用素環の場合にも、イデアルの共通部分を計算するアルゴリ
ズムを導くことができる(私自身は数年前にはじめてこの事に気がついたが, 専門家には常
識に属することらしい).
3. 計算例
この節では具体例をふたつ取り上げ、それぞれの場合にイデアルの共通部分のグレブナ
基底を求めてみる. 最初の例(例3) では$\text{「}2$ つの有理関数の満たす微分方程式系」の計算
を行い, 次の例(例4) では「それらの有理関数の極における主要部が定める代数的局所コホモロジー類の満たす微分方程式系」
の計算を行う. さらに, これら2 つの計算結果を比較
し検討を加える.
0263１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 13:26:21.36ID:m1S6Yidmヘビサイトの演算子法って線形常微分方程式を代数的に解く方法で、ラプラス変換の
ブロムウィッチ積分によって代数的に微分方程式を解けることが保証された方法だろう。
その後、より代数的な手法になるけど、ミクシンスキーの演算子法も開発されたんだよな。
ミクシンスキーのイロハは線型代数でやった。
0264現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 19:38:03.60ID:LkHxIaypおっちゃん、どうも。スレ主です。
ラプラス変換ね
ブロムウィッチ積分 (Bromwich integral) という名前は教わらなかったなー
変換と逆変換の表があってね。最初教わったときは、手品を見ているようだった
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B
ラプラス変換
逆ラプラス変換 (inverse Laplace transform)
右辺の積分はブロムウィッチ積分 (Bromwich integral) と呼ばれる。これは複素平面から時間領域への写像である。
これは複素積分となっている。定義通りの積分経路では計算が難しくなるが、閉曲線となるように積分経路を変更して留数を計算することにより簡単に逆ラプラス変換を求める事が可能となる。 結果を言えば複素平面上の全ての特異点の留数の総和となる。
英語版は、かなり内容が違うね。英語版では、システム制御の記述に使えることを強調している。確かに、昔ＰＩＤ制御全盛期は、ラプラス変換が必須だった
https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
Laplace transform
Inverse Laplace transform
The inverse Laplace transform is given by the following complex integral, which is known by various names (the Bromwich integral, the Fourier?Mellin integral, and Mellin's inverse formula):
0265現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 20:00:55.14ID:LkHxIaypミクシンスキーね。訳本があったよね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90%E6%B3%95
演算子法（えんざんしほう）とは、解析学の問題、特に微分方程式を、代数的問題（普通は多項式方程式）に変換して解く方法。
オリヴァー・ヘヴィサイドの貢献が特に大きいので「ヘヴィサイドの演算子法」とも呼ばれるが、厳密な理論化はその後の数学者たちにより行われた。
https://en.wikipedia.org/wiki/Operational_calculus
Operational calculus
A rigorous mathematical justification of Heaviside's operational methods came only after the work of Bromwich that related operational calculus with Laplace transformation methods
(see the books by Jeffreys, by Carslaw or by MacLachlan for a detailed exposition).
Other ways of justifying the operational methods of Heaviside were introduced in the mid-1920s using integral equation techniques (as done by Carson) or Fourier transformation (as done by Norbert Wiener).
A different approach to operational calculus was developed in the 1930s by Polish mathematician Jan Mikusi?ski, using algebraic reasoning.
Norbert Wiener laid the foundations for operator theory in his review of the existential status of the operational calculus in 1926:[6]
https://en.wikipedia.org/wiki/Operator_theory
Operator theory
In mathematics, operator theory is the study of linear operators on function spaces, beginning with differential operators and integral operators.
The operators may be presented abstractly by their characteristics, such as bounded linear operators or closed operators, and consideration may be given to nonlinear operators.
The study, which depends heavily on the topology of function spaces, is a branch of functional analysis.
If a collection of operators forms an algebra over a field, then it is an operator algebra. The description of operator algebras is part of operator theory.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0%E8%AB%96
作用素論
0266現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 20:06:55.37ID:LkHxIaypミクシンスキーは面白かった
ラプラス変換を使わないでも良いんだ！と
積分とか不要でね。代数的計算だけで良いんだと
目から鱗というか、コロンブスの卵というか・・・、発想がね・・
0267現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 20:12:41.54ID:LkHxIayp>現代数学までいかなくても、普通の代数学（群・環・体）の時点でもう投げ出したいんですよ
>自分の脳には線形代数より難しいものは理解できないみたいで
お疲れと見た。少し休んだ方がいいだろう。早めに、カウンセリングか、精神科に相談するもの手だ
ところで、次の話を知っているか？
http://jma2-jp.org/wiki/index.php?%E3%83%AA%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B0
リフレーミング Last-modified: 2015-07-27 (月)
マーケティングにおけるリフレーミングの有名な例として、アフリカのとある新興国での靴市場調査の逸話がある。
シューズメーカーのセールスマン2人が会社から命じられて、アフリカのとある新興国に市場調査に行った。現地では、靴を履く文化風習が無く、全ての人が裸足で歩いていた。
それを見た1人のセールスマンは「ここでは靴は売れない。なぜなら人々は皆裸足で歩いているから」と、靴を履く習慣が無い人々に靴の需要は無いと考えた。
しかし、もう1人のセールスマンは「この国は可能性のある市場だ。なぜなら人々は皆裸足で歩いているから」と、靴を履いていない人々に靴を履く習慣を根付かせることができれば、大きな市場になると考えた。
このように、認知の枠組みの違いによって、全く同じ事象に対峙したにもかかわらず、判断は全く違ったものになってしまうことがわかる。
リフレーミングは、常識・固定観念・判断基準といった個人の偏った認知の枠組みを修正し、新たな物事の見方・適応的な価値観・ポジティブな視点といった、問題解決へのアプローチを可能にする。
0268現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 20:19:55.21ID:LkHxIayp１．
「ここでは靴は売れない。なぜなら人々は皆裸足で歩いているから」 VS 「この国は可能性のある市場だ。なぜなら人々は皆裸足で歩いているから」
「自分の脳には線形代数より難しいものは理解できない」 VS 「自分の脳は線形代数のような難しいものが理解できた」
２．
実社会は、数学だけで成り立っているわけではない。数学以外にも道はある
３．
数学業界では、数学ができる人が頭が良いという迷信がある。が、迷信にすぎない。できる人が頭が悪いとは言えないが、常識的判断が出来ない人も多い。かつ、数学業界以外にも頭のいい人はたくさん
まあ、そういうことなんだ
0269１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 20:31:47.48ID:j2lkl7iQ0270現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 20:35:25.64ID:LkHxIaypブロムウィッチ (Bromwich )
https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_John_I'Anson_Bromwich
Thomas John I'Anson Bromwich
Thomas John I'Anson Bromwich (1875?1929) was an English mathematician, and a Fellow of the Royal Society.[1][2]
Work
Bromwich worked in both algebra and analysis. G. H. Hardy called him "The best pure mathematician among the applied mathematicians at Cambridge, and the best applied mathematician among the pure mathematicians".[1]
Today, Bromwich is perhaps best known for justifying Oliver Heaviside's operator calculus.[4]
Part of this involved using a contour integral to do an inverse Laplace transform. This particular contour integral is now often called the Bromwich integral, although it is also called by other names.
[4] Jeffreys, Harold (1929). "Bromwich's Work on Operational Methods". Journal of the London Mathematical Society 3: 220?223. doi:10.1112/jlms/s1-5.3.220.
0271現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 20:38:24.10ID:LkHxIaypどうも。スレ主です。レスありがとう
代数方程式ガロア理論は、Ｃｏｘをお薦めします。和英とも手元にあります
0272現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 23:12:33.35ID:LkHxIaypMacaulay2は、グレブナー基底を使っているという
http://www.jst.go.jp/kisoken/crest/research/s-houkoku/JST_1111053_08062580_EE.pdf
戦略的創造研究推進事業CREST
研究領域「数学と諸分野の協働によるブレークスルーの探索」
研究課題「現代の産業社会とグレブナー基底の調和」研究終了報告書
研究期間 平成２０年１０月～平成２６年３月 研究代表者 日比 孝之 （大阪大学大学院情報科学研究科、教授）
JST CREST日比チーム（編）のテキスト『グレブナー道場』は、2011年9月、共立出版から出版された。出版からわずか5ヶ月で初刷が完売し、
目下、第３刷が販売されている。価格が5,000円を越えるにもかかわらず、好調に販売されていることは、本プロジェクト研究の反響の大きさの客観的指標となるだろう。
0273現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 07:38:35.41ID:+jlmffBh松本節さくれつ
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/hosoku1.pdf
代数曲線に触れる補足 松本 眞 広島大 2009
3 近代的代数幾何（空間概念とスキーム論）
連立方程式系f1・・・・ ・ fn ∈ K[x1・・・・ ・XN]に対し、その零点集合をV (f1・・・・ ・ fn)であらわし、アファイン代数的集合と言った。
これには、
・x^2 +y^2 +1 = 0 のように、たとえば実数上では空集合になってしまうおそれがあった。
・上の問題はK が代数閉体であることを仮定すると避けられないこともない。が、f = g^2 のときなどは集合として一致(V (f) = V (g))してしまう。
・K = Q, K = Fp などでは「解の集合」の位相構造をどのように扱えばよいか。
といった問題点があった。
歴史的には、体は複素数体であり、代数関数は複素解析的な（極を持ちうる）有理関数の一種として定義されて取り扱われたので、これらの問題は生じなかった。
しかし、我々は、有限体や整数をより精密に調べたいという要求がある。
２０世紀に入って発展した、有限体や整数を「幾何的対象」としてとらえ研究をする「数論幾何」（arithmetic geometry) は大きく発展した。
フェルマー予想・志村谷山予想・セール予想といった多くの未解決問題が陥落している。
また、計算機分野のアルゴリズムでも、数論幾何に基づく暗号や符号が広く用いられている。デジタル計算機は、有限集合に対して有限の操作（演算）を行う機械である。
したがって、有限体やそれらを係数とする多項式に対しては正確な演算をなしうるのであるが、実数や複素数に対しては常に「有限の精度（誤差つき）」の計算しかなしえない。
したがって、数論幾何はデジタル計算機と相性がいいのである。
以下、意味不明なコメントを重ねる。
１９世紀的な幾何においては、多様体は「局所的に、標準的なものと同一視される位相空間」であった。
すなわち、「集合に、付加的な情報が追加されたもの」を部品として組み立てられたもの、なのである。
それに対し、Grothendieck や米田信夫らの発想は、「関係こそが実在（関数環や準同型がものの存在の実態）」というあらたな哲学を切り開いたと言える。
0274１３２人目の素数さん
2015/09/06(日) 09:08:10.05ID:bm6tb0EK>現代数学までいかなくても、普通の代数学（群・環・体）の時点でもう投げ出したいんですよ
>自分の脳には線形代数より難しいものは理解できないみたいで
おっちゃんだけど、今では多分可能性は低いだろうけど、或る意味謙遜して書いたと受け取れる場合もある
と思うぞ。少なくとも、岩波講座基礎数学 の線型代数シリーズを読んでいた場合はそうなる。
その線型代数シリーズのレベルは高い。群、環、体の基本は必ず必要になる。
一変数複素解析も必要になることがある。その程度は知らないと読めない部分がある。
途中で確か代数的閉体とか、例を取り交ぜながら体論の内容に特化した話も出て来る。
で、内容は行列の指数関数や対数関数、リー環、テンソル積、一般線型群の表現論
とか、今でいうリー群論や(線型)代数群の表現論の話も出て来る。かといって、
今でいう、詳細な群論、環論やガロア理論とか、高度な代数のすべては必要ない。
しかも、環論やガロア理論のトピックになると、どっちも500、600ページ
の分厚さになって最初から丁寧に通読するのが失せる長さと内容の量になる。
線型代数していると、ビュンビュン飛ばし読みが出来るようになる部分が出て来る。
あたかもリー群や代数群のシリーズであるかのようだよ。
0275現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 09:31:09.70ID:+jlmffBhああ、数学科出身じゃないんだ・・・。だからか・・・。本当に分かっている雰囲気がある・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%BE%E6%9C%AC%E7%9C%9E
松本 眞（まつもと まこと、1965年 - ）は日本の数学者。広島大学大学院理学研究科教授。専門は疑似乱数、数論幾何、組合せ数学、位相幾何学。優れた疑似乱数生成法であるメルセンヌ・ツイスタを考案したことで知られる。
略歴
麻布高等学校卒[1]（1983年）。東京大学理学部理学部情報科学科卒（1987年）。東京大学大学院理学系研究科修士課程（情報科学専攻）（1989年）。
東京大学大学院理学系研究科第一種博士課程（数学専攻）進学。1990年同中途退学。1990年京都大学数理解析研究所助手。1995年 慶応大学理工学部専任講師。 1998年慶応大学理工学部助教授
。1999年九州大学大学院数理学研究科助教授。2000年3月 東京大学 博士（工学）。
論文の題は「Random number generators by M-sequences with high-dimensional equidistribution property,and their dynamic creation (M系列を用いた高次元均等分布性を持つ乱数の発生法とその動的生成)」[2]。
2000年京都大学総合人間学部助教授。2003年広島大学大学院理学研究科教授。2010年から2013年3月まで東京大学大学院数理科学研究科教授。
人物
予備校教師の安田亨とは知り合いで、『なっとくの高校数学 - 図形編』（日本評論社出版）を共著で書いている。数学者の辻雄は麻布高校の後輩であり、同僚である。
受賞歴
1998年 - Kirkman Medal受賞[3]
1998年 - 日本数学会建部賢弘賞受賞
1998年 - 慶応大学義塾賞受賞
1999年 - 日本IBM科学賞受賞
2005年 - 第４回船井情報科学振興賞受賞
2006年 - 文部科学大臣表彰科学技術受賞
2008年 - 日本学術振興会賞受賞
2008年 - 広島大学学長賞受賞
0276現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 09:33:38.39ID:+jlmffBhおっちゃん、どうも。スレ主です。
やっぱ、おっちゃん博識やね～
0277現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 09:36:15.46ID:+jlmffBh岩波講座基礎数学 の線型代数シリーズ？ 普通の書店にはないでしょ
神田の岩波か、大学図書館か、ほんとに大きな書店で岩波を扱う店とか
0278１３２人目の素数さん
2015/09/06(日) 09:43:02.63ID:bm6tb0EK残念ながら、現在、普通の書店では売られていない。
大きな図書館に行くか何かしないと読めない。
まあ、いい線型代数のテキストであることには間違いない。
0279現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 09:52:46.70ID:+jlmffBh岩波講座 基礎数学、えらく有名なんやねー・・・、と題名見ていたら、思い出してきた。ありましたね。表題は見たことがある・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E8%AC%9B%E5%BA%A7_%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E6%95%B0%E5%AD%A6
岩波講座 基礎数学 曖昧さ回避 東京大学出版会の「基礎数学」シリーズおよび裳華房の「基礎数学選書」シリーズとは異なります。
監修は小平邦彦。各巻は5つの分野に分類されている。それらは、線型代数(岩堀長慶編集)、代数学(河田敬義編集)、解析学I、解析学II(藤田宏、小松彦三郎編集)、幾何学(田村一郎、服部晶夫、飯高茂編集)である。
題 全冊数 著者 分類 発行年月[脚注 2] 基礎数学選書での題、ページ数、価格[脚注 3][1](空欄は該当なし)
線型空間 I 2 伊原信一郎 線型代数 i 1976年7月 「線型空間・アフィン幾何」
線型空間 II 2 伊原信一郎 線型代数 i 1976年10月 「線型空間・アフィン幾何」
Jordan標準形と単因子論 I 2 杉浦光夫 線型代数 ii 1976年12月 「ジョルダン標準形・テンソル代数」512頁、4000円
Jordan標準形と単因子論 II 2 杉浦光夫 線型代数 ii 1977年5月 「ジョルダン標準形・テンソル代数」
2次形式 I 2 田坂隆士 線型代数 iii 1976年8月 「2次形式」272頁、2400円
2次形式 II 2 田坂隆士 線型代数 iii 1976年11月 「2次形式」
テンソル空間と外積代数 1 横沼健雄 線型代数 iv 1977年3月 「ジョルダン標準形・テンソル代数」
アフィン幾何・射影幾何 1 河田敬義 線型代数 v 1976年5月 「線型空間・アフィン幾何」440頁、3600円
対称群と一般線型群の表現論 1 岩堀長慶 線型代数 vi 1978年2月
線型不等式とその応用 1 岩堀長慶 線型代数 vii 1977年1月
元岩波書店編集部の荒井秀男によれば、計画は1973年頃。
計画時に小平邦彦は、戦前の岩波書店の数学書のシリーズである「岩波講座 数学」は分冊で勉強しやすかった、と語った。出版の計画が中止となる巻はなく、刊行は完結した[2]。
0280現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 10:21:06.54ID:+jlmffBh>おっちゃんだけど、今では多分可能性は低いだろうけど、或る意味謙遜して書いたと受け取れる場合もある
>と思うぞ。少なくとも、岩波講座基礎数学 の線型代数シリーズを読んでいた場合はそうなる。
>その線型代数シリーズのレベルは高い。群、環、体の基本は必ず必要になる。
はあ。”自分の脳には線形代数より難しいものは理解できないみたいで”は、普通に線形代数＝ベクトル＋行列の大学版（高校は２次元か３次元）と思った
そもそも、「岩波は線型代数」やんかと、つまらん突っ込みを入れてみました
線型空間 I 2 伊原信一郎 線型代数 i 1976年7月 「線型空間・アフィン幾何」
線型空間 II 2 伊原信一郎 線型代数 i 1976年10月 「線型空間・アフィン幾何」
これ説明すると（ってwikiに書いてある通りだが）、「線型空間・アフィン幾何」（合本されて）で、あらためて出版されたってことで
アフィン幾何って？、内容を想像すると、たまたま書いた>>273 松本 眞「3 近代的代数幾何（空間概念とスキーム論）」？
いやいや、きっと射影幾何の話かな？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%B3%E7%A9%BA%E9%96%93
アフィン空間
射影空間との関係
任意のアフィン空間は、ある射影空間の部分アフィン空間である。たとえば、アフィン平面は任意の射影平面から一つの直線（とその直線上のすべての点）を取り除くことで得られ、
逆にアフィン平面に「無限遠直線」（無限遠直線上の点は直線の（平行移動による）同値類に対応する）を加えた閉包として射影平面を構築することができる。
さらに、射影空間における（無限遠点の全体を集合として保つ）射影変換はアフィン空間におけるアフィン変換を引き起こし、逆に任意のアフィン変換は射影変換に一意的に拡張することができる。
つまり、アフィン変換の全体は射影変換全体の成す集合の部分集合となっている。
このような変換でよく知られたもとして、（射影直線あるいはリーマン球面上の射影変換である）メビウス変換が（複素平面上の変換として）アフィン変換を引き起こすのは、それが無限遠点を動かさないときであり、かつそのときに限る。
0281現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 10:30:15.60ID:+jlmffBhおっちゃん、どうも。スレ主です。
>残念ながら、現在、普通の書店では売られていない。
岩波は長年買い取り制を維持していたからねー
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97
岩波書店
販売店での扱い
岩波書店は他の出版社の用いる返品制を採用しておらず、全て書店の買い切りという責任販売制の形をとっている。
また、比較的高正味（＝出版社側の取り分が多い）であるため値下げもできず、不良在庫となっても処分が難しい面も持ち合わせている（なお、値下げができないという点などについては日本に出版物再販制度があるため、日本国内の同業他社においてもその部分は同じと言える）。
そのため書店の岩波新書の多くは隅のコーナーでありながら日焼けしていたり、小さな書店ではほとんど取り扱っていない事が多い。
（引用おわり）
>まあ、いい線型代数のテキストであることには間違いない。
２１世紀のあまりにも抽象化されたテキストを読むときのサイドリーダーとして、具体例をイメージするために読むと良いような気がする
0282現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 10:39:18.01ID:+jlmffBhおっちゃん、どうも。スレ主です。
>で、内容は行列の指数関数や対数関数、リー環、テンソル積、一般線型群の表現論
>とか、今でいうリー群論や(線型)代数群の表現論の話も出て来る。かといって、
>今でいう、詳細な群論、環論やガロア理論とか、高度な代数のすべては必要ない。
>しかも、環論やガロア理論のトピックになると、どっちも500、600ページ
それは>>279の下記やね。射影幾何は、こっちにあるか。そうすると、>>280は射影に入る前段までか
岩堀長慶先生ね、昔先生の本を持っていたが、置き場がないから処分した
テンソル空間と外積代数 1 横沼健雄 線型代数 iv 1977年3月 「ジョルダン標準形・テンソル代数」
アフィン幾何・射影幾何 1 河田敬義 線型代数 v 1976年5月 「線型空間・アフィン幾何」440頁、3600円
対称群と一般線型群の表現論 1 岩堀長慶 線型代数 vi 1978年2月
0283現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 10:44:49.19ID:+jlmffBhおっちゃん、どうも。スレ主です。
>線型代数していると、ビュンビュン飛ばし読みが出来るようになる部分が出て来る。
おっちゃん！ みかけによらず勉強家やね～。見直したわ！（＾＾；
0284１３２人目の素数さん
2015/09/06(日) 10:50:44.79ID:bm6tb0EK>そもそも、「岩波は線型代数」やんかと、つまらん突っ込みを入れてみました
岩波講座基礎数学の線型代数シリーズはよい線型代数のテキストである(と私が書いた)。
だからといって、(正確な意味は分かりかねるが)「岩波といえば線型代数」という論理は成り立たないぞ。
岩波の本の一部だけから岩波の本の全体のことを論理的に演繹しようとしている点が間違い。
アフィン幾何・射影幾何ではアフィン幾何や射影幾何もだが、他に平行線の公理の問題から派生し
クラインが提唱した変換群論に基づいて展開され得る幾何(エルランゲン・プログラム)のことが書かれている。
アフィン幾何って平面を例にして簡単にいえば、直交する座標系と斜交する座標系とを同じ座標系として見なす
ような幾何で、従って長さや角度の概念は消える。高次元のアフィン幾何だともはや代数幾何の話になる。
0285現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 10:51:58.07ID:+jlmffBh>岩堀長慶先生ね、昔先生の本を持っていたが、置き場がないから処分した
たしかこれだわ。但し、1996じゃなく、その前の版
http://www.amazon.co.jp/dp/4785313021/ref=sr_1_3?s=books&;ie=UTF8&qid=1441503943&sr=1-3
ベクトル解析―力学の理解のために (数学選書 (2)) 単行本 ? 1996/11
岩堀 長慶 (著)
0286１３２人目の素数さん
2015/09/06(日) 10:54:04.37ID:bm6tb0EKいや、>>284の
>高次元のアフィン幾何だともはや代数幾何の話になる。
の部分は取り消し。
0287現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 10:59:46.72ID:+jlmffBhおっちゃん、どうも。スレ主です。
いや、文科省のご指導で、昔線型いま線形
用語が、変わった
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1138146441
kupa_9824さん2010/3/17
「線形代数」と「線型代数」の違いを教えてください。
内容は同じですか？
なぜ二通りの漢字があるのでしょうか。
ベストアンサーに選ばれた回答
k_i_n_o08さん 2010/3/17
昔は「線型」が主流でしたが，岩波の数学辞典の影響とかで，「線形」にほぼ統一されてしまったようです。
公的機関がそういう用語を定めたんだっけかな？JISかなんかで。
今ではこだわりのある人は「線型」を好んで使います。
（関数を函数と書く人ようなこだわりのある人はたいていそう。）
しかし，新しく出る，一般受けを狙った，とくにこだわりのない人の書いた教科書では必ず「線形」になっています。
0289現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 11:26:28.38ID:+jlmffBh>>現代数学までいかなくても、普通の代数学（群・環・体）の時点でもう投げ出したいんですよ
>自分の脳には線形代数より難しいものは理解できないみたいで
こんなところで横レスするのもなんだが
普通の代数学（群・環・体）というけれど、これ３ついっぺんにやったらつらいよ
私などは、自慢じゃ無いが環は最近までやってなかった
（「おまえが標準にはならん」というつっこみは別として）
代数方程式のガロア理論には、環論はなくても良いから
ともかく、「現代数学は用語が大杉。まあ、外国語と同じだと思った方が良い」
だから、一番簡単な群やって、その後に環や体を（どちらが先か好みだろう）
抽象代数学（用語が古いがご容赦）の常套手段は、
１．群みたいな演算で閉じた集合を考える（定義する）
２．部分集合を考える（部分群）。部分を組み合わせて、新しい集合（群）を作ることを考える。そうして体系化する
３．その過程で、商集合（商群＝同値類別）とその演算を定義する（その過程でWell-definedをうるさく言われる）
４．特別な役割をする部分集合の概念が登場する。群なら正規、環ならイデアル、体なら閉体とか
５．教科書なら、その合間に、具体例が挿入されている場合が多い。演習問題なども
そんな流れをイメージしながら、本を通読してみたらいかが？
「一歩ずつ、理解しながら」「理解しないと先にすすまない」という読み方は、君には向いていない、と思う
それより、まず通読して、本のストーリーというか流れ（ストリーム）を頭に入れる
そうすると、ここに出てくる話が、後のここと関係しているんだ！とか見えてくる
そうなってから、細かい穴（理解不十分なところ）を潰す。分からなければ、人に聞くと
わんこら>>258と似ているかも知れないが・・
0290１３２人目の素数さん
2015/09/06(日) 12:14:45.00ID:VbTDJeX7＞私などは、自慢じゃ無いが環は最近までやってなかった
群はちゃんと勉強していたと言いたいのかも知れんが、スレ主の群の理解は惨憺たるものだった。
勝手に自己流に解釈して、わかったわかったと、どんどん進んで行った結果だろう。
だからスレ主のアドバイスなんて右から左に聞き流した方が良いよ（良心の声）
0291現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 12:47:19.24ID:+jlmffBhhttp://www.jsps.go.jp/j-center/data/h24/03mathematical.pdf
数物系科学専門調査班 平成24年度学術動向等に関する調査研究報告
寺尾 宏明（北海道大学大学院理学研究院・教授）
１．調査研究活動の概要等 ○圏論と諸科学 ひとつの例から学ぶ
圏と関手(categories and functors)の理論は1950年代に S. MacLane、A. Grothendieckらにより創始され、ホモロジー代数、あるいは、代数幾何学をその起源にもつ。
また、圏論で重要な役割を果たす米田の補題の米田信夫氏や森田同値で知られる森田紀一氏などの日本の数学者の寄与も大きい。
圏と関手の概念は、数学の広い研究対象に共通の枠組みを与えるものであり、定義が抽象的である分、豊かな普遍性(universality)と応用性(applicability)を有する。
一時は、abstract nonsense(抽象的無意味)と揶揄される向きもあったが、現在では、数学の多くの分野に浸透していて、その有用性はすでに実証されている。
ある意味、集合と写像の考え方のもう一段の抽象化とも言い得るが、集合と写像が、各要素に着目するのに対し、より大づかみに構造そのものを記述する、という考えに立脚している。特に、自然変換(natural transformation)の概念が重要である。
このような、数学の有効な新概念は、当然、数学の外の分野でも有効な概念になることが予測される。そして、実際に有効であることが、近年、情報科学、特に、プログラムの研究に於いてはっきりと認められるようになってきた。
実際、24年度の情報関連の日本学術振興会賞候補の業績の中には、圏と関手の枠組が用いられている業績が複数存在していた。また、最近は、圏論の生物学・医学への応用という言葉さえ聞く。
ただし、圏論のアイディアそれ自身は1950年代に遡るだけに、概念創始から応用までの期間がやや長いようにも感じる。
その原因は色々とあろうが、ひとつは、異分野の研究者間のネットワークが広がりに乏しいことにあるのではないだろうか。ネットワークがなければ、情報の拡散に時間がかかるのは当然である。
異分野研究者間のネットワーク形成促進の仕組みが、もし、科研費の中の一部の仕組みに埋め込むことができれば、将来の新しい学術研究を推進する人的なネットワークの創出に繋がるのではないか、という感想を持った。
0292現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 12:56:55.86ID:+jlmffBhどうも。スレ主です。
正しいアドバイスだろう（＾＾
ただ、>>249の救いにはなってない気がする
まあ、ID:tj0iRPLO さんも、投げ出すのも一局、もう少し頑張るのも一局だろう
結局自分の人生だから、自分でやってみるしかない
0293現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 13:27:12.36ID:+jlmffBhID:tj0iRPLO さん >>249みたいな思いは、数学科に進んだ多くの人が多少なりと持っているのではないだろうか
もちろん、成績上位の１割は除く。特に成績下位には当てはまるのでは・・
小島などは、数学の本が分かやすく書かれていないという。以前も引用したが下記
http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20080327
hiroyukikojimaの日記:
2008-03-27 ガロアの定理をわかりたいならば
数学書の読みやすさとは、人によって違うと思う。それは、「わかるツボ」というのが人によって違うからだ。
幾何的なイメージなしには進むことができない人もいれば、むしろ逆に、非常に形式化されてがちがちに論理的な進み方をしないとわかったような気がしない、という人もいると思う。
だから、何か数学的な知識の必要があった場合、何冊にもチャレンジして自分に合った教科書を探すのがベストだと思う。
ただ、最大多数にわかりやすい数学書となると、数は限られてくる。数学の本を書くのを生業としているぼくでさえ、「よくわかる」本と出会えることは滅多にない。
そんな中、最近になって出会って、すばらしいと思っているのは草場公邦先生の本である。以下の三冊を読んだ。
0294現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 13:33:06.33ID:+jlmffBhまあ、昔から議論はある（下記）。わんこらほど極端じゃないかも知れないが>>258-259
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9A%97%E8%A8%98%E6%95%B0%E5%AD%A6
抜粋
暗記数学
暗記数学(あんきすうがく)とは、実際の入試問題を解くにあたってまず必要な解法パターンを理解・暗記し、既知の解法を組み合わせることによって問題を解く、数学の勉強法のことである。この暗記数学に関しては教育関係者を巻き込んで賛否両論が起こった。
概要
「暗記数学」を提唱したのは、受験アドバイザー和田秀樹である。 和田によれば、暗記数学は「自力で問題を解かず、模範解答を見て解法を覚えるやり方」と述べている[1]。
ただし年号や英単語の暗記（和田曰く「理解抜きの丸暗記」）とは異なり、数学の暗記は「理解型暗記」、すなわち解法を理解して覚えることだとしている。したがって何故そのような解法をするのかが理解出来なければ、解法暗記は成り立たない。
和田の勉強法では、各個人の数学的能力の差を持っている解法パターンの量として捉える。したがって、まず学習者が取り組むべきはその解法パターンを理解・暗記し増やすこと(解法暗記)であるといえる。
背景
難関校の灘中学校・高等学校へ進学した和田であったが、在学中自身の不勉強により落ちこぼれてしまい、同級生の優等生集団からは大きく水をあけられてしまった。
そんな状況下で優等生集団に追いつき、膨大な範囲に及ぶ定期テストをこなすため、試験範囲をまとめたノートのコピーを丸暗記することで飛躍的に点数を伸ばすことができた。以後、試行錯誤の結果編み出された数学の勉強法が「暗記数学」である。
批判
和田の数学学習法について、ピーター・フランクル、大島利雄、森毅ら著名な数学者は反対している[3]。一方、藤原正彦ら賛成する者もいる。
脚注
^ 『和田式要領勉強術数学は暗記だ!』2006年、p22
^ 『和田式要領勉強術数学は暗記だ!』2006年、p35-p37
^ 『週刊朝日』（朝日新聞社）1991年7月5日増大号
0295現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 13:41:51.82ID:+jlmffBh暗記数学は、最初は糸川英夫先生が言い出したと思う。初代スレで下記を書いたけど
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/450
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 初代スレ
450 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/03/04(日) 14:28:31.48
>>449
補足
昔、糸川英夫先生が「数学は暗記科目」みたいなことを言ったが、それに似ているかも
（因みに、小惑星が「イトカワ」（日本の探査機はやぶさは、この関連）の名前の由来。また、”はやぶさ”も、彼の設計した戦闘機にちなんだものかも）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B3%B8%E5%B7%9D%E8%8B%B1%E5%A4%AB
しかし、両方要ると思うんだよね
じっくり理解するところと、暗記してでも覚えることを優先するところと
0296現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 13:48:40.57ID:+jlmffBhそうそう、いま検索するとこれ、「糸川英夫の入試突破作戦」
http://www.amazon.co.jp/dp/4167325012
糸川英夫の入試突破作戦 (文春文庫 (325‐1)) 文庫 ? 1983/12 糸川 英夫 (著)/Amazon.co.jp： 糸川英夫の入試突破作戦 (1977年):
14 人中、14人の方が、｢このレビューが参考になった｣と投票しています。
この本のおかげで、医者になれました。
投稿者 ドクター・アマゾン 投稿日 2006/6/1
形式: 文庫
この本のおかげで、医学部に合格し、医者になれました。
医者になり、１０年以上経ちましたが、この本を読んだ高校一年生の頃の事をはっきりと覚えています。
高校入試に失敗し、Ｋ大医学部など開校以来だれも合格した事がない一流とは言えない私立男子校に進学し、大学入試への不安と女子高生などとは全く縁のない殺伐とした日々を送っていた時にこの本に出会い、救われました。
無事、Ｋ大医学部に合格し、現在は、外科医として仕事をしています。
糸川先生の勉強法が、現在の入試状況に当てはまるかどうか、わかりませんが、予備校の先生方や、いま流行の精神科医の和田先生が書かれている入試勉強法に比べて、かなり異色のものであると思います。
私にとっては、人生を変えた一冊です。
0297現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 13:59:43.42ID:+jlmffBh「糸川英夫の入試突破作戦」は手元にないので、ネットから引用
http://www.rinku.zaq.ne.jp/bkdit405/
http://www.rinku.zaq.ne.jp/bkdit405/haru/haru297m.pdf
春夏秋冬 第２９７ ２０１３年１月１日発行樽井文化センター
抜粋 引用
「東大理III にも受かる7 つの法則」
森田敏弘著 小学館101 新書
そもそも科学というものは，こうした先人の知恵の積み重ねの上に成り立っています。
元東京大学工学部教授で「日本の宇宙開発・ロケット開発の父」と呼ばれている，故・糸川英夫先生の「糸川英夫の入試突破作戦」という本に，
日本の教科書を痛烈に批判した一節がありますので，紹介します。
「科学の歩んでいる途は，何万，何十万という先人たちがやった仕事，実験，法則を，習い，覚え, そしてある日，その上にたった一つの新しい発見，
新しい創造を載せることである」と述べ，さらに，教科書の悪い点は「夏の日に太陽がどう動くのか調べて見よう，という問いかけだけがあり，
答えがないことだ』と，書いています。
糸川先生は，「教科書に本来必要なのは，『太陽は東から出て，西に沈む』という，先人が発見した『事実』『法則』を生徒に教え，覚えさせることである。
そして，その次に教えることは，この法則を発見したコペルニクスやガリレオの人生の記録である」といっています。
糸川氏は，ロケット開発の父と呼ばれ，私の世代の人間にとって英雄であり，東大生産技術研究所退官後も「組織工学」などの多くの分野で，多くの人に影響を与えました。
「はやぶさ」が世界初の小惑星のサンプルリターンを行った小惑星「イトカワ」は彼の名前にちなんで命名されたものです。
つづく
0298現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 14:00:11.26ID:+jlmffBhこの小学校の教科書を見ていると，子供に「ものを考えて自分で原理を研究する習慣をつけさせたい」という執念みたいなものが，各ページに火花を散らしている。
しかし，考えるということ，創造的活動というものは，本来，既成事実の間に新しい「組み合わせ」を研究することだと思う。
それは有名な，ポアンカレの「科学と方法」という名著をひも解くまでもなく，多くの科学者が歩んだ道であり，多くの作曲者が歩んだ道でもある。
科学者の歩んでいる道は，何万，何十万という先人たちがやった仕事，実験，法則を，習い，おぼえ，そしてある日，その上に，たった一つの新しい発見，新しい創造を載せることである。
その一つがとりわけ飛躍的であればノーベル賞がもらえる。
・・・ テキストは疑問だけで，その答えが「学校で教師の手で与えられる」としたら，学校と教師の役割はスーパーマンのように強力でなければならない。
そして，もしこれに成功すれば，子供に対して，学校と先生に対する絶対的なディペンデンス(依頼心) を作り上げ，子供は生涯にわたって，それから逃れられぬのではなかろうか。
と書いておられます。
（引用おわり）
0299現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 14:31:04.73ID:+jlmffBh「糸川英夫の入試突破作戦」では、確か数学も考えすぎず、答えを見て先へすすめみたいなことだった
１．先生の主張は、「科学の歩んでいる途は，何万，何十万という先人たちがやった仕事，実験，法則」それを自分が一から再発見していては、寿命が足りないぞと
２．先生は、「科学の最先端で、さらに一歩を進めれば発見発明だ」と。しかし、大変な努力で、画期的な発見発明をしても、それが先人の再発見再発明では、科学的価値はないという
３．だから、科学の最先端に行く前に、（考えすぎて）時間を使いすぎないようにと
こんなことだったように思う（記憶が不正確だと思うが）
そして、自称東大数学科おちこぼれの小島先生が書いているように、”数学書の読みやすさとは、人によって違うと思う。それは、「わかるツボ」というのが人によって違うからだ。”ということ
だから、まっとうな答えは、「一つの本で分からなければ、別の本を探すべし」だと
が、”現代数学までいかなくても、普通の代数学（群・環・体）の時点でもう投げ出したいんですよ”という話だと、まっとうな答えでは間に合わないと思った次第だ
0300１３２人目の素数さん
2015/09/06(日) 15:01:57.67ID:bm6tb0EK>>296
1980年あたりって大学入試とか入試全般が過度に激しくなっていた時代じゃないか？
入試が激しくそれを乗り切る必要性に迫られたら、そりゃ解法暗記とかいい出す人も出て来るよ。
本来は入試に限らず問題というのは自分で考えて解くんだよ。それでないと、
解法暗記で済む問題の原型となった問題が最初に出題されたときに、
その問題を解こうとしていた人のこととかが説明出来ないだろ。
0301現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 15:03:01.35ID:+jlmffBhhttp://repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/dspace/handle/2261/27888?mode=full
http://repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/dspace/bitstream/2261/27888/1/rgn21_4_5.pdf
米田信夫先生を送る 米澤明憲 東京大学理学部廣報 UTokyo Repository 1990
抜粋
近年、プログラミング言語研究の基礎的部分で、カテゴリー理論を用いて理論を展開することが盛んに行われるようになりましたが、米田先生を信奉するこの分野の内外の研究者の多さに敬服するばかりです。
中でも印象深いのは、1978年の夏、京都で開催された計算機科学の国際シンポジウムでの出来事です。
シンポジウムの途中で、参加者各自が自己紹介をする機会あり、米田先生が
"My neme is Yoneda. Once I was a categorist. "と言われた途端、
招待参加者の１人 Joseph Goguen (現 Oxford 大学計算機科学科教授)が、"Oh, That Yoneda "と叫んで、一瞬床に片膝をついて、手を合わせたのです。
「米田の補題」は先生がプリンストンの高等研究所におられた時代のお仕事とうかがって居ります。
そのお仕事の結果について、パリを発とうとしているS.Mac Laue教授に、北駅のベンチでの短い面接時間に話され、それによって同教授の教科書にYoneda's Lemmmaとして登場したそうです。
プリンストンから戻られた米田先生は、弥永昌吉先生に、「君は、これから計算機をやってはどうか」と示唆され、以後、日本の計算機科学の研究者に深い影響を与えてこられました。
0302現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 15:15:28.24ID:+jlmffBhおっちゃん、どうも。スレ主です。
おっちゃんの批判は、伝統的なもので、正統です（＾＾；
でもね、数学って、どこまで教えて、どこを練習問題にするか？
それは、テキストによると思う
あと、自分のいま持っている力
おっちゃんとか、おれ（スレ主）とか試験関係ない立場やんか
だから、勉強法も適当で良い。穴がある？ それがどうした？ ゼミなんか知ったことかってね・・（＾＾；
けど、高校数学が得意だったからと、大数知らずに数学科に入って、あまりの落差に目を白黒させているのが、ID:tj0iRPLO さん>>249じゃないかなと
そして、そういう思いは、いま数学科で何人もいるんだろうなと思ったしだい。だから、書いた。結局、自分でいろいろやってみるしか無いんだけれどね。その参考に
0303現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 15:26:38.09ID:+jlmffBhいまふと思うと
原文 S.Mac Laue→ S.Mac Lane かな？ 同教授の教科書とは例のあれか
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%9E%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B3
ソーンダース・マックレーン（Saunders Mac Lane, 1909年8月4日 - 2005年4月14日）はアメリカの数学者。
コネチカット州タフトヴィル生まれ。ゲッティンゲン大学にてパウル・ベルナイスに師事し、1934年に博士号を取得。1947年シカゴ大学教授に就任し、1982年同大学名誉教授。
また、アメリカ数学協会会長（1951年-1952年）、アメリカ数学会会長（1973年-1974年）を歴任した。2005年、サンフランシスコにて没。
サミュエル・アイレンベルグと共に圏論を創設したことで知られる。自ら著した“Categories for the Working Mathematician”（日本語訳タイトル『圏論の基礎』）は圏論に関する基礎的なテキストとなっている。
0304現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 15:46:16.91ID:+jlmffBhhttps://en.wikipedia.org/wiki/Saunders_Mac_Lane
Saunders Mac Lane (4 August 1909 ? 14 April 2005) was an American mathematician who co-founded category theory with Samuel Eilenberg.
Contributions
After a thesis in mathematical logic, his early work was in field theory and valuation theory. He wrote on valuation rings and Witt vectors, and separability in infinite field extensions.
He started writing on group extensions in 1942, and in 1943 began his research on what are now called Eilenberg?MacLane spaces K(G,n), having a single non-trivial homotopy group G in dimension n.
This work opened the way to group cohomology in general.
After introducing, via the Eilenberg?Steenrod axioms, the abstract approach to homology theory, he and Eilenberg originated category theory in 1945. He is especially known for his work on coherence theorems.
A recurring feature of category theory, abstract algebra, and of some other mathematics as well, is the use of diagrams, consisting of arrows (morphisms) linking objects, such as products and coproducts.
According to McLarty (2005), this diagrammatic approach to contemporary mathematics largely stems from Mac Lane (1948).
Mac Lane also coined the term Yoneda lemma for a lemma which is an essential background to many central concepts of category theory and which was discovered by Nobuo Yoneda.[7]
つづく
0305現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 15:49:43.21ID:+jlmffBh[7]Kinoshita, Yoshiki (23 April 1996). "Prof. Nobuo Yoneda passed away". Retrieved 21 December 2013.
http://www.mta.ca/~cat-dist/catlist/1999/yoneda
Date: Tue, 23 Apr 1996 08:20:08 -0300 (ADT)
Subject: Prof. Nobuo Yoneda passed away
Date: Tue, 23 Apr 96 12:18:58 JST
From: KINOSHITA Yoshiki
抜粋
When he arrived in Princeton, Eilenberg had moved (sabbatical?) to
France (or maybe, Eilenberg left US just after Yoneda's arrival). So,
Yoneda went to France a year later. At that time, Saunders Mac Lane
was visiting category theorists, apparently to obtain information to
write his book (or former survey), and he met the young Yoneda, among
others. The interview started in a Caf\'{e} at Gare du Nord, and went
on and on, and was continued even in Yoneda's train until its
departure. The contents of this talk was later named by Mac Lane as
Yoneda lemma. So, the famous Yoneda lemma was born in Gare du Nord.
This must have been a good memory for Yoneda; I heard him tell this
story many times. I do not know whether Mac Lane managed to leave the
train before departure!
0306現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 16:10:02.51ID:+jlmffBh・そのお仕事の結果について、パリを発とうとしているS.Mac Lane教授に、北駅のベンチでの短い面接時間に話され、それによって同教授の教科書にYoneda's Lemmmaとして登場したそうです。
・Mac Lane also coined the term Yoneda lemma for a lemma which is an essential background to many central concepts of category theory and which was discovered by Nobuo Yoneda.[7]
・The contents of this talk was later named by Mac Lane as Yoneda lemma. So, the famous Yoneda lemma was born in Gare du Nord.
まあ,要するに、糸川先生の主張の例だ
「科学の最先端で、さらに一歩を進めれば発見発明だ」と>>299
米田信夫先生に答えを教えて貰った、S.Mac Lane
教えて貰ったことを、もとに”an essential background to many central concepts”として、category theoryを書いたS.Mac Lane
米田信夫先生にしても、S.Mac Laneにしても、それで良かった
S.Mac Laneは、なにも自分でYoneda lemmaを考えてそれを自分で証明する必要は無かった。米田信夫先生も教えてやって良かった
0307現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 16:18:14.33ID:+jlmffBhCaf\'{e} at Gare du Nord
google翻訳にかけると
北駅でカフェ\ '{E}
だから、北駅のベンチ>>301は少し違うのかも
0308現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 16:38:47.08ID:+jlmffBhhttp://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1364681707/613-614
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む8
抜粋
613 ：１３２人目の素数さん：2014/07/05
http://www.alainconnes.org/docs/imufinal.pdf
NONCOMMUTATIVE GEOMETRY AND THE RIEMANN ZETA FUNCTION Alain ConnesのP12 ”The C algebra closure of HC is Morita equivalent (cf. M. Laca) to the crossed product C algebra,”
Morita？ 検索すると下記。あまり知られていないが、森田紀一さんすごいね
http://en.wikipedia.org/wiki/Morita_equivalence
In abstract algebra, Morita equivalence is a relationship defined between rings that preserves many ring-theoretic properties. It is named after Japanese mathematician Kiiti Morita who defined equivalence and a similar notion of duality in 1958.
http://en.wikipedia.org/wiki/Kiiti_Morita
http://www.ams.org/notices/199706/morita.pdf
Arhangelskii, A.V.; Goodearl, K.R.; Huisgen-Zimmermann, B. (June?July 1997), "Kiiti Morita 1915-1995" (PDF), Notices of the American Mathematical Society (Providence, RI: American Mathematical Society) 44 (6): 680?684
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A3%AE%E7%94%B0%E7%B4%80%E4%B8%80 森田紀一
http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/Morita_equivalence.html Morita equivalence
元 々 は , 森 田 紀 一 氏 によ っ て [ Mor58 ] で 導入 された 環 の 間 の 同 値 関 係 であるが , 今 や operad や groupoid など 他 の 代 数 的 構 造 や 圏 論 的 構 造 にも Morita 同 値 の 概 念 が 拡 張 さ れ , 盛 んに 使 われている 。
614 ：１３２人目の素数さん：2014/07/05
過去に書いた記憶があるなと思って検索すると、下記などがヒット。２年前か
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1342356874/177 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む6
177 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2012/08/04
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1342356874/179 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む6
179 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2012/08/04
0309現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 16:48:35.03ID:+jlmffBh”Morita was largely self-taught. ”とあるから、数学科でないのかも・・
http://www.ams.org/notices/199706/morita.pdf
Arhangelskii, A.V.; Goodearl, K.R.; Huisgen-Zimmermann, B. (June?July 1997),
"Kiiti Morita 1915-1995" (PDF), Notices of the American Mathematical Society (Providence, RI: American Mathematical Society) 44 (6): 680?684
Born in Hamamatsu, Japan, on February 11,1915, Morita received his Ph.D. degree from the University of Osaka in 1950 for a doctoral thesis in topology.
His basic university education had been focused on algebra?as a topologist,
Morita was largely self-taught.
In 1939 he was appointed assistant at the Tokyo University of Science and Literature, and after an interlude as lecturer/professor at Tokyo Higher Normal
School he was appointed professor at the former university in 1951,
0310現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 19:09:57.49ID:+jlmffBh試験関係ない立場でやる数学
「学問、楽しくなくちゃ」
http://www.amazon.co.jp/dp/440605281X
学問、楽しくなくちゃ 単行本 ? 2009/10 益川 敏英 (著)
About this Title
「このことをもう少し考えると、それは科学の意味につながってくると思います。
自然科学だけでなくて、社会科学、人文科学も含めて、科学を前に進めるということは、人間が求める自由の範囲を拡大してくれることになります。
自然にせよ社会にせよ、いろいろな「こうしたらこうなる」という必然性を科学は解明してきたし、これからもそうしていく、そういう営みです。
それは人間に対し、選択の自由度を拡大してくれるのです。そういう意味で、皆さんが学問する、学ぶということは、皆さんが自由を獲得していく過程でもあると思います。」
(「憧れること、学ぶこと」より)
（引用おわり）
試験があっても、「学問、楽しくなくちゃ」だと思うよ
でないと、伸びないように思う。楽しくなる工夫を自分ですべき
0311現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 21:17:51.37ID:+jlmffBh伝統的な日本の数学勉強法
数学は論理の積み重ねだと
アルティン ガロア本礼賛
一歩ずつ進めと
だが、以前にも引用したが>>293
http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20080327
hiroyukikojimaの日記:
2008-03-27 ガロアの定理をわかりたいならば
ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。
おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。
ところが、最近になってこの『ガロワと方程式』を読んで、急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。
草場先生の本に出会うまでは、何冊読んでも急所がわからなかったし、そこに行き着くまでに息も絶え絶えとなってしまうものだった。このブログ読んでる人の中にも、そういう人が何人かいるんじゃないか、と思う。
(引用おわり)
まあ、要するに、「論理の積み重ね」「一歩ずつ」としても、全体像がつかめてないってことだろ？
だったら、早く全体像をつかめってこと
0312１３２人目の素数さん
2015/09/06(日) 21:46:22.68ID:FNVA2wSB0313現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 21:58:45.74ID:+jlmffBhそうそう
常套手段で、写像を落としていた
（自己）同型、準同型
これ、現代数学のキモだよ
”Grothendieck や米田信夫らの発想は、「関係こそが実在（関数環や準同型がものの存在の実態）」というあらたな哲学を切り開いた”>>272
それから、同型を、全射と単射に分けるんだ。これもポイントだ
分けることで証明が容易になる。まあ常套手段
（等号の証明を、わざわざ不等号≦と≧とに分けて証明するがごとし）
そういう常套テクニックも、ひとつづつ覚えて行くことだ
0314現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 22:02:42.65ID:+jlmffBhどうも。スレ主です。
意味わからんけど、数学科じゃないってことを言いたいのか？
”線形代数と微積しか”という意味が不明。理系なのか？
0315現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 22:04:20.22ID:+jlmffBhどうも。スレ主です。
ところでよ、あんたはどうなのさ？
外野からご高説を宣うキミ
迷える子羊ID:tj0iRPLO >>249さんへ
なにか一言、どうよ
0316現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/06(日) 22:06:05.58ID:+jlmffBh0317１３２人目の素数さん
2015/09/06(日) 22:32:07.57ID:FNVA2wSB数学科に入るときに知識で遅れをとるのが心配です。
数学科の学生さんは今の時期どうしてるのかと疑問に思いまして
0318１３２人目の素数さん
2015/09/07(月) 09:28:38.48ID:vymyyZ082年なら、あとベクトル解析と複素関数を勉強しとけば充分じゃないかな。
できれば集合と位相もやっておいた方がいい。
0319現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/11(金) 21:24:07.96ID:xLwuiiUQどうも。スレ主です。
>数学科に編入を控えてる工学部の学生です。
それは、大学によると思うので、具体的にネット検索か
あるいは、直接大学事務局にいくか
ベストは、友達の繋がりないし、教員直撃インタビュー（＾＾；
0320現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/11(金) 21:50:56.71ID:xLwuiiUQいや、答えなくても良いけど
私、スレ主も工学部出身なんでね
仲間がいるのは嬉しいよ
何学科？
私は材料系だったんだが
0321１３２人目の素数さん
2015/09/11(金) 21:52:53.80ID:YSywml0s0322現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/11(金) 21:56:54.50ID:xLwuiiUQまあ、工学部もどの学科かで、いろいろだけど
一般企業へは就職しやすいよね
もっとも、出身学科と会社での仕事の内容が一致しない人も多いけどね（＾＾
0323現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/11(金) 22:10:05.16ID:xLwuiiUQ筑波・・・、東工大もか
私立では、早稲田慶応、上智、立教、明治・・・か
カリキュラムは、大学によって違うだろう
0324現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/11(金) 22:18:10.55ID:xLwuiiUQhttp://www.ms.u-tokyo.ac.jp/kyoumu/math_curriculum.html
カリキュラムの説明全体について
最初に、各学年の対象科目の概略を述べ,その後に講義全体やセミナーについて説明する。
１．各学年での科目名とその内容
まず、第４学期以降の授業について、各学期別に記述する。
主として全ての３年生をを対象とする第６学期まで必修の講義と違い、第６学期の選択科目や４年生などを対象とする第７学期の講義の一部と第８学期の諸講義は、同じ名称であっても年度により内容が大きく異なることがある。
第４学期（２年生の冬学期）
必修科目「代数と幾何」、「同演習」
内容：線型代数学のより進んだ理論、例えばジョルダン標準形、多重線型代数など）
必修科目「集合と位相」、「同演習」
内容：集合論と位相空間論の基礎的な諸概念と基礎的な諸結果
必修科目「複素解析学 I ]、「同演習」
内容：一変数複素関数論の入門的な部分、コーシーの諸定理など。
各科目の「演習」は、講義の理解を深めることと、補足するために行う。
これらの４学期の講義の内容は、３年生以降の講義・演習・セミナーについていくために不可欠である。
単に単位を取得する以上の内容の理解が求められる。
第５学期（３年生の夏学期）
必修科目「代数学 I 」、「代数学特別演習 I 」
内容：群論と環論の入門
必修科目「幾何学 I 」、「幾何学特別演習 I 」
内容:多様体論の入門
必修科目「解析学 IV 」、「解析学特別演習 I 」
内容：ルベーグ測度と積分
必修科目「複素解析学 II 」、「複素解析学特別演習」
内容：第４学期の「I」に引き続きより進んだ内容を扱う
選択必修科目「計算数理I」、「同演習」
内容：数値計算の基礎
「計算数学I」
内容：計算情報環境の構築に関する演習 以下略
0325現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/11(金) 22:29:36.45ID:xLwuiiUQhttp://www.math.titech.ac.jp/~jimu/Syllabus/syllabus.html
１年
微分積分学第一
微分積分学第二Ａ
微分積分学第二Ｂ
線形代数学第一
線形代数学第二Ａ
線形代数学第二Ｂ
微分積分学演習第一
線形代数学演習第一
微分積分学演習第二
線形代数学演習第二
２年
★第３学期★
◎集合と位相第一
○代数学概論第一
◎解析概論第一
○線形空間論
○集合と位相演習
○解析学演習Ａ第一
★第４学期★
◎集合と位相第二
○代数学概論第二
○幾何学概論
◎解析概論第二
○応用解析序論
○代数学演習Ａ第二
○幾何学演習Ａ
○解析学演習Ａ第二
0326現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/11(金) 22:37:34.27ID:xLwuiiUQ駒場と本郷と
0327現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/11(金) 22:39:44.50ID:xLwuiiUQ0328１３２人目の素数さん
2015/09/11(金) 22:41:19.03ID:xBU3bW5P院から数学科を考えてましたが、早く数学科に入りたかったので編入試験を受けました。
0329１３２人目の素数さん
2015/09/11(金) 23:02:56.46ID:qnI0skQq0330１３２人目の素数さん
2015/09/11(金) 23:06:59.18ID:xBU3bW5P0331１３２人目の素数さん
2015/09/11(金) 23:34:38.98ID:qnI0skQq勉強したいなら勉強すればいい
どちらでもご自由に
0332現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 06:18:28.81ID:e6d2DWnohttp://www.gakkou.net/daigaku/src/?gkm=03004&;srcmode=gkm
ナレッジステーション 日本の大学 学問分野系統別全国大学一覧 理学 情報科学
検索結果55件該当しました
東京大学
国立
理学部 情報科学科
理学部 生物情報科学科
京都大学
国立
工学部 情報学科
大阪大学
国立
基礎工学部 情報科学科
0333現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 06:30:35.36ID:e6d2DWnohttp://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/mathematics04.html
カリキュラム | 大阪大学大学院理学研究科数学専攻・理学部数学科:
理学部教育プログラム
皆さんが、基礎や専門の知識を身につけ、柔軟な発想や的確な判断ができ、さらには社会に貢献できる人材に育つことを、理学部教育プログラムは目標としています。
理学部教育プログラムに含まれる授業科目は「全学共通教育科目」と「専門教育科目」の２つに大別されます。 そして、全学共通教育科目のうち、特に理学部の皆さんに用意されているのが「理学部コア科目」です。
理学部を構成する数学科、物理学科、化学科、生物科学科のどの学科に所属していても、全学科共通の科目として理学部コア科目を受講し、それによって広い視野に立った理学の基礎を学びます。
より専門的な数学を学ぶために主として２年次から始まる専門教育科目は、理学部コア科目からスムーズに接続されるように構成されています。
「理学部コア科目」と「専門教育科目」は具体的には以下の通りです。各科目の講義内容についてはシラバスのページを参照して下さい。
いくつかの科目にはシラバスへのリンクが張られていますが、リンクが張られていない科目（複数のクラスで開講されている科目など）についても 大阪大学理学部シラバス検索システム から開講科目名で検索すれば、講義内容を調べることができます。
理学部コア科目（専門基礎教育科目）
線形代数学 1, 2
基礎解析学 1, 2
物理学 1A, 1B, 2A, 2B / 物理学序論 1, 2
現代物理学入門
確率・統計
基礎化学 1, 2, 3
生物科学コア A, B
宇宙地球科学 1, 2
自然科学実験 1, 2
数学科の専門教育科目
安全実験法
専門への基礎数学
基礎解析続論 , 同演義
線形代数続論1 , 同演義 , 線型代数続論2 , 同演義
幾何学基礎1 , 同演義 , 幾何学基礎2 , 同演義
複素関数論 , 同演義
基礎考究 1 , 基礎考究 2
数学への道程と私たち 以下略
0334現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 07:22:42.78ID:e6d2DWnohttp://www.ut-life.net/study/zenki/navi/required/s.php
東大 前期課程と後期課程
東大の大きな特徴として、4年あるいは6年の修業年限が2つに分けられていることが挙げられます。東大では、初めの2年間を前期課程、後の2年あるいは4年間を後期課程と呼び、区別しています。
前期課程では全ての学生が教養学部に在籍し、ほとんどの講義を駒場キャンパスで受けます。後期課程に進むと、学生はそれぞれ法学部・経済学部・文学部・教育学部・理学部・工学部・農学部・薬学部・医学部・教養学部のいずれかの学部に分かれて学ぶことになります。
ちなみに、前期課程から後期課程へ進むことを東大では「進学」と呼ぶことが一般的です。別によその大学に移るわけでもないので単に「進級」と言ってもよさそうなものですが、なぜか進学と言います。
このことは、東大において前期課程と後期課程が区別されていることがいかに大きな意味を持っているかを表しているのかもしれません。
後期課程で進学する学部は進学振り分け（通称、進振り）というシステムによって決定されます。詳しくは後で述べます。
進振りについて
東京大学には「進学振分け」という独特の制度があります。ここではその概要について説明します。
東京大学では1、2年生を前期課程とし、3、4年生を後期課程としています。
入学時には後期課程で進学して専門的な勉強をする学部は決まっておらず、教養学部文科一類、理科二類など科類という大枠に分かれて前期課程を過ごし、後期課程の学部に進学します。
後期課程でそれぞれの科類の大半の人が進学する学部は科類ごとに決まっていますが、どの科類で入学しても条件を満たせば、基本的な対応関係以外の学部に進学することができます。
基本的な対応関係については、下の表をご参照ください。
前期課程では、特定の専門分野にとらわれない幅広い分野の授業を受けつつ、後期課程の専門的な勉強の基礎となる知識も学びます。その中で高校生のときには思いもよらなかった分野に興味を持ったり、新しい視点を得たりすることがあるでしょう。
そのように前期課程でさまざまな学問分野に触れた上で、2年生の中間点で、3年次に進学する後期課程の学部学科を決定します。これが「進学振分け」です。進学先の決定は学生の志望と大学でのそれまでの成績によって行われます。
0335現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 07:33:16.23ID:e6d2DWno京大の可能性はある
京大だと（京大以外でも）、>>325で、集合と位相はやっといた方が良いだろう。同じ大学だから、テキストの情報は入手できるだろう
１年は、線形代数学と微積
２年で、集合と位相と代数学概論、その他
代数学概論で、当然軍艦隊だろう・・
群環体？
おそらく、京大以外でも同様だろうね
なので、代数学概論
0336現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 07:36:27.35ID:e6d2DWnoなま情報の入手が先決
工学系は、現場現物という
抽象論を離れて、まず現実を見る
そうして、具体的現実的に問題の所在と解決手段を考える
そうすると、おそらく集合と位相と代数学概論という結論になるように思う
0337現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 08:37:20.18ID:e6d2DWno就職先とか進学先とか
修士だって、別の大学に進学する道もある
自分がなにをしたいのか
大学２年なら、浪人でなければ、１９か２０才か
伸びしろはあるだろう
勉強とからだを動かすことと
あたまに良いことをすれば
0338１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 08:53:58.15ID:QGmqQsns＞>数学科に編入を控えてる工学部の学生です。
＞それは、大学によると思うので、具体的にネット検索か
＞あるいは、直接大学事務局にいくか
おっちゃんです。数学科出身ではないが、どこの大学もしている内容は大体同じ。スレ主に代わり、答えさせて頂きます。
今の数学科は、昔に比べ教えている内容のレベルは低いです。また、大学で教える内容には限界があります。
これらは、残念ながら、否定しようがない事実です。今まで独学で学習出来たなら、限界はあるモノの、院まではこれからも独学で学習
出来ると思われます。方法をお教え致します。最終的に次の本が読めるレベルになっておけばよいと思います。昔のテキストは、大体
代数：現代数学概説Ⅰ、幾何：松島多様体入門、解析：解析学の基礎、函数解析と微分方程式、現代数学概説Ⅱ といった感じです。
他には、分厚いけど寺寛2冊、シュヴァレー・リー群論、ガロアの夢、リッカチのひ・み・つ、ワイルの古典群位で十分かと思います。
ただ、上に挙げた解析の最初の2冊はいきなり読むには少し難しいだろうから、参考文献を参考にしながら学習しましょう。
Doverなどで入手し易くなっている文献が幾つかあります。WeylのThe Concept of a Riemann Surface なんかはその1例。
幾何はまだ弱い面があるので、微分形式の幾何学で補いましょう。(普通の)ガロア理論は全くダメなので、他の本で補いましょう。
その他には、リー群と表現論を読むことを取り敢えずの目標にすればよいかと。ハーツホーンとかは、
読んでも読まなくてもどっちでもいいです。講義は単位が取れる程度にテキトーにウマくやればよいかと。
それでも、寺寛2冊を読めば、工学部でする数学の大半だけでなく物理的なことも少しは学習出来るようになっております。
但し、読むときは必ず考えながら読むこと。そして、最初から理論構築を出来るようにすること。
これらの重要性は、上に挙げた解析の最初の2冊が教えてくれます。
0339１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 08:55:35.48ID:QGmqQsns(>>338の続き)
そうでなければ、上に挙げたような本の内容を、他の古めの本を丁寧に読むことで学習しましょう。
そうすれば、今の数学の大抵の院は、余程のことがない限り、ラクラク受かるかと思います。
むしろ問題は、如何に推薦者を得るかや如何にして研究法を身に付けるか、
などの方にあるのではないかと。そちらの方が重要で深刻な問題です。
0340１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 09:15:08.96ID:QGmqQsnsまあ、読む順番は、大体
寺寛2冊のうち1冊目から並行して→現代数学概説Ⅰ(ほぼはじめから)→Ⅱ(のうち位相のから測度論)、
ガロアの夢(並行してシュヴァレー・リー群論と松島多様体入門)→微分形式の幾何学→リッカチのひ・み・つ
解析学の基礎→函数解析と微分方程式 といった感じかな。ワイルの古典群は、線型代数の知識は必要だ。
ガロアの夢が、見てくれは一番取っつき易い。ポントリャーギンの連続群論上下
と一緒に読む感じで書かれているから、ポントリャーギン2冊はウマく入手して。
現在売られていないから上では挙げなかったけど、いい本には間違いない。
0341現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 10:45:18.67ID:e6d2DWnohttp://wwwa.pikara.ne.jp/yoshifumi/
伊東 由文のホームページ
http://wwwa.pikara.ne.jp/yoshifumi/homepageindex%281%29/rireki.html
氏名・称号 伊東由文 (いとう よしふみ)
徳島大学名誉教授・理学博士
（（雅号）知足庵（Chisokuan））
生年月日 1940年8月生(大分県杵築市)
学 歴 1963年3月 京都大学理学部数学科卒
1966年3月 京都大学大学院理学研究科
修士課程修了
学 位 1966年3月 理学修士(京都大学)
1986年3月 理学博士(京都大学)
職 歴 1966年4月 徳島大学教養部助手
1967年2月 同講師
1970年8月 同助教授
1978年4月 同教授
1993年4月 同大学総合科学部教授
2006年3月 定年退職
2006年4月 徳島大学名誉教授
学会・社 日本数学会
会活動
専門分野 (主専門) 函数解析学, (関連分野) 函数方程式論,函数論,実函数論
研究課題 超函数の理論,
数理物理学（自然統計物理学
(新量子論改題)と相対論）,
線形微分方程式, 測度論・積分論,
フーリエ解析, 数学の基礎
0342現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 10:49:40.20ID:e6d2DWnoおっちゃん、どうも。スレ主です。
>今の数学科は、昔に比べ教えている内容のレベルは低いです。また、大学で教える内容には限界があります。
>これらは、残念ながら、否定しようがない事実です。
確かに。それは、東大京大のカリキュラム見てて思った
ゆとり教育か？
0343現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 11:03:28.36ID:e6d2DWno三元連立も無かったかな？
子供は、文系私立へ行ったので、高校数学のレベルが良く分からないが
押して知るべしか
0344１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 11:30:08.07ID:QGmqQsnsまあ、海外の多くの国は大学前はゆとりカリキュラムになっていて、
その状態から院卒時には沢山の人が日本より上のレベルになる。
そういうこともあり、単純にゆとりのせいには出来ない。
むしろ、海外の多くの国では創造性があれば、ゆとり状態でも大歓迎しょう。
海外の大学や院での教育は厳しいようだけどさ。
ただ、知る限りでは、日本の場合は、記憶が正しければ昔から時が経つにつれて
教える内容のレベルは徐々に下がっているらしく、教える内容のレベルが
劇的に上がったという話は聞いたことがない。みんな教える側は殆どが
時間的には嘆き節の連続のようで、褒めたという話は余り聞かない。
0345現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 11:53:35.60ID:e6d2DWnohttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6_%28%E6%95%99%E7%A7%91%29
数学 (教科)
教科「数学」（すうがく、英: mathematics, math）は、中等教育の課程（中学校の課程、高等学校の課程、中等教育学校の課程など）における教科の一つである。
目次
1 概要
2 学習内容
2.1 前期中等教育（中学校、中等教育学校の前期課程など）
2.2 後期中等教育（高等学校、中等教育学校の後期課程など）
2.2.1 普通教科「数学」における学習内容
2.2.2 専門教科「理数」における学習内容
3 入試などへの影響
3.1 大学入試における数学
3.2 備考
4 参考文献･URL
5 注釈・引用
6 関連項目
「数学III」（関数・微分積分学）
関数と極限
いろいろな関数 - 分数関数と無理関数、合成関数と逆関数
数列の極限 - 数列の極限、無限等比級数の和
関数の極限 - 関数値の極限
微分法
導関数 - 関数の和・差・積・商の導関数、合成関数の導関数、三角関数・指数関数・対数関数の導関数、高次導関数
導関数の応用 - 接線・法線、関数値の増減、第二次導関数の応用（グラフの凹凸）、速度、加速度
積分法
不定積分と定積分 - 積分とその基本的な性質、簡単な置換積分法・部分積分法、いろいろな関数の積分
積分の応用 - 面積、体積（前課程では曲線の長さも扱っていた。これは次課程で復活）
0346現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 12:14:30.29ID:e6d2DWnoおっちゃん、どうも。スレ主です。
「まあ、海外の多くの国は大学前はゆとりカリキュラムになっていて、
その状態から院卒時には沢山の人が日本より上のレベルになる。」
は、昔から言われていたね
それで言われていたのが、日本の大学は入試は厳しいが、卒業は全卒で、あそぶやつは遊ぶというか遊園地だと
勉強するやつは勉強するけど、院の平均レベルが低いし・・・
0347現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 12:25:36.40ID:e6d2DWno>みんな教える側は殆どが
>時間的には嘆き節の連続のようで、褒めたという話は余り聞かない。
まあ、そうかな
米国の大学では、入学希望者は広く受け入れて、レベル低い人は、退学を勧告されて、レベルダウンの大学へ行けと
米国の大学では、卒業生のレベル維持みたいな話がある
日本は、東大京大などハイレベル大学は別として、大学であそぶ伝統だけ残ってたり（＾＾；
あと、いま電卓やエクセルなど普通だけど
無かったころは、日本の九九とソロバンというは圧倒的でね
米国人は、おつりの計算が出来ない人が多いみたいな、半分ばかにした話があった
その日本の優位性は、いま消滅だよね
だから、日本流の教育内容をもう一度根本から考えることが必要だろう
0348１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 12:30:22.22ID:LGciUlzW根本から違う
0349１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 13:05:48.94ID:QGmqQsns>卒業は全卒で、あそぶやつは遊ぶというか遊園地
中途半端な教育をしているなら、それでよく、単位は甘くするというのは何もおかしくない。
教える内容や教え方がいい加減なら、全員卒業にするのが方針として理に適っているだろう。
中途半端な教育で単位を厳しくされたら、迷惑だろう。というか、行える教育には限界があると書いた。
実際に、何次だかの具体的な大きな正方行列をマトモに扱っている数学書もある。
こういう正方行列をマジメに大学で取り上げたら、黒板に書き切れないだろ。
時間的制約からしても、必ずどこかで端折らざるを得なくなる。
以前、杉浦センセが、東大の教養で解析入門の内容に殆ど沿って、
殆ど毎回のように最初っから厳密に微分積分を速くビュンビュン書きまくって理論展開して
講義したが、それでも結局解析入門の微分積分の部分すべてを講義で出来たかは不明とのこと。
当然、ノートに写す側の状態もどうだったかは容易に想像が付くだろう。
欠席とかで、すべてを写し切れなかった人も当然出ただろうな。
0350現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 13:18:34.20ID:e6d2DWnoそうか。飛び級を発展させたみたいな・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AE%E3%83%95%E3%83%86%E3%83%83%E3%83%89%E6%95%99%E8%82%B2
ギフテッド教育
この項目では、ギフテッドと呼ばれる英才児の教育について説明しています。努力（先取り学習）で高い学力を身に着ける英才児教育については「早期教育」をご覧ください。
ギフテッド教育（ギフテッドきょういく英: Gifted education）とは、ギフテッドやタレンテッドと判明した子供の教育に用いられる教育手法、理論、特別手段を指す。本項ではアメリカ合衆国を中心としたギフテッド教育について述べる。
0351現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 13:33:39.48ID:e6d2DWnoおっちゃん、どうも。スレ主です。
>中途半端な教育をしているなら、それでよく、単位は甘くするというのは何もおかしくない。
>教える内容や教え方がいい加減なら、全員卒業にするのが方針として理に適っているだろう。
>中途半端な教育で単位を厳しくされたら、迷惑だろう。というか、行える教育には限界があると書いた。
つーか、我々の時代の日本社会（企業）は、大学にへんな専門性を要求していなかった（医者とか弁護士とか資格の必要なものは別として）
まあ、それなりには要求するけどね。ただし、社会もどんどん変化するから、必要な専門知識も変化する。だから、会社では「専門外でもやってくれ」みたいな話はざら
以前は、労働市場が硬直化していたし、一度やとったら簡単に解雇しないとか、簡単に専門職を雇えないとか
派遣も企業秘密が漏れるとか
でも、いま日本企業も少し変化している
けど、専門知識の陳腐化のスピードも速くなっている
だから、新しい知識を学ぶ基礎みたいな視点も必要だよね
そういう意味では、東大の教養課程は意味あるかも （ただ東大だからできるのかも。専門課程がすごく詰め込みになる気がする）
0352現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 13:47:16.13ID:e6d2DWno>だから、会社では「専門外でもやってくれ」みたいな話はざら
典型例が、私スレ主が尊敬する嶋正利氏（下記）。東北大学理学部化学第二学科。だが、世界初の商用マイクロプロセッサ「Intel 4004」の設計開発者の一人である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B6%8B%E6%AD%A3%E5%88%A9
嶋正利
概要
世界初の商用マイクロプロセッサ「Intel 4004」の設計開発者の一人である。
現在に至るまで使われているx86シリーズの直接の祖先を設計した。Intel 4004のほかにも、「Intel 8080」、「Z80」、「Z8000」などのプロセッサの開発に携わっており、世界のコンピュータ産業に多大な影響を与えた。
1943年、静岡県静岡市に生まれた。静岡県立静岡高等学校を卒業後、東北大学理学部化学第二学科に進学した。
化学を専攻していたが、同じ研究室の先輩から「嶋、世の中には、電子で動く、電子計算機があるんだ。いろんな物質の構造式を見つけ出すソフトもある」といった話を聞いていた[1]。
1967年、日本計算機販売(株)（後のビジコン。以下ではビジコンと書く）に入社した[注 1]。
入社後、事務ソフト部門に配属された。そういったアプリケーションの開発には興味がわかず、上司に開発部門に異動させるよう直訴し、1967年の秋に日本計算機製造(株)茨木工場に出向となり、待望の電卓開発の仕事につくことになった[2]
その後、相次いで開発されるICに対応するため、担当した電卓の開発チームが渡米してしまい、他の事情もあり嶋は一旦ビジコンを離れる[3]。静岡県警察に転職し科学鑑識課に勤めるも、3ヶ月後に開発の仕事ということで電卓の世界に復帰した[注 2]。
そして1970年、「Intel 4004」を開発することとなる[4]。
4004は、ビジコンの、プログラム制御方式の高級電卓のために必要なチップとしてインテルと共同開発したものであり、嶋はビジコンの社員として開発に関わった。
インテル社史では当初、4004の設計開発者はフェデリコ・ファジン、マーシャン・ホフ（テッド・ホフ）、スタンレー・メイザーであるとされ、顧客会社の出張社員である嶋の名はなかったが、1984年に設計を行った一人であると追認された。
0353１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 13:48:38.31ID:/3PCVJFH分野により差はあれど、これはホントにそう思う
0354１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 13:55:02.86ID:QGmqQsns>日本は、東大京大などハイレベル大学は別として、大学であそぶ伝統だけ残ってたり（＾＾；
入学の難易度いわゆる偏差値や学歴による大学の区別はやめた方がいい。
小林昭七氏は東大から海外に行って微分幾何のスペシャリストになった。
そういう東大出身の人は他にもいる。同じ微分幾何でも、野水氏は東大でも京大でもなく、
同様に海外に行って微分幾何のスペシャリストになった。日本の微分幾何の基になった人は、
大体海外に行っって微分幾何のスペシャリストになった。和製の微分幾何のスペシャリストの候補は、
佐々木多様体で有名な佐々木重夫氏位しか思い浮かばんしよく知らんが、佐々木氏は東北大の方だったかな。
佐々木氏がいた東北大が微分幾何の牙城とされていた。今はどうなんでしょう。
それこそ、こういう時こそスレ主の出番だ。よく分からんから、佐々木重夫氏の出身についてよろしく。
0355１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 14:03:44.57ID:QGmqQsns>>354の下から4行目の「大体海外に行っって」は「大体海外に行って」の打ち間違い。
0356１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 14:38:18.26ID:QGmqQsns解決出来た。佐々木重夫氏はやはり東北大出身だった。
まあ、昔々のその昔、日本の微分幾何の礎を築いた人の多くは、
東大或いは京大の中だけでスペシャリストになった訳ではないということ。
0357現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 14:42:32.20ID:e6d2DWnoどうも。スレ主です。全くそうですね
>>354
佐々木重夫先生か
ヒットしたのか下記（この中に出てくる）
http://mathsoc.jp/publication/tushin/index10-3.html
「数学通信」第１０巻第３号目次
http://mathsoc.jp/publication/tushin/1003/kobayashi.pdf
チャーン先生を偲んで 小林 昭七
0358１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 14:50:30.37ID:QGmqQsns東北大の他には、村上信吾氏や竹内勝氏とかが率いた
阪大で育まれた微分幾何の流れとかもあるかな。
必ずしも東大京大だけではないと。そういうこと。
0359現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 14:54:49.29ID:e6d2DWnoなかなかうまくヒットしませんね
”東北大学数学教室の歴史 佐々木重夫 著 東北大学数学教室同窓会 1984.10”なので、東北大出身なのでしょう
東北大って、結構独創的なんだよね。上記の嶋正利など（＾＾
http://webcatplus.nii.ac.jp/webcatplus/details/creator/67322.html
佐々木 重夫 - Webcat Plus: (1912-1987)
本の一覧
タイトル 著作者等 出版元 刊行年月
微分幾何学 : 曲面論 佐々木重夫 著 岩波書店 1991.4
幾何学 加藤 十吉;佐々木 重夫【著】 岩波書店 1988.6.3
東北大学数学教室の歴史 佐々木重夫 著 東北大学数学教室同窓会 1984.10
霞網猟の実際 佐々木重夫著 佐々木重夫 1980
幾何入門 佐々木重夫 著 岩波書店 1979.10
共形接続幾何学 佐々木重夫著 生産技術センター新社 1977.8
代数学と幾何学 : 大学教養 佐々木重夫 著 養賢堂 1966
初等微分幾何学 佐々木重夫 著 広川書店 1965
微分積分学 佐々木重夫, 和田秀三, 寺田文行共著 廣川書店 1965.1
0360現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 15:02:55.82ID:e6d2DWnoおっちゃん、どうも。スレ主です。
おっちゃん、微分幾何くわしいね
チャーン先生を偲んでの中に矢野健太郎が出てくるけど
矢野健太郎先生は、相対性理論のテンソル計算とかしてましたね。アインシュタインの統一理論の本を読んだことがある
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A2%E9%87%8E%E5%81%A5%E5%A4%AA%E9%83%8E_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85%29
矢野 健太郎（やの けんたろう、1912年（明治45年）3月1日 - 1993年（平成5年）12月25日）は、日本の数学者。東京工業大学名誉教授。専門は微分幾何学。従三位勲二等瑞宝章。数学教育、一般への啓蒙についても精力的に活動し、この方面に関する著作も多い。
高校生のときから相対性理論に興味を持っていたこともあり、統一場理論に関する論文も発表している。以後精力的に論文を発表していく。
第二次大戦の影響で研究はややその速度を緩めるが、終戦後は堰を切ったようにますます論文の数は増えていった。プリンストン高等研究所ではサロモン・ボホナー (en:Salomon Bochner) のもとで大域微分幾何学の研究を主に行い、ボホナーとの共著も出版されている。
当時同じくプリンストン高等研究所にいたアインシュタインと親交を深める。矢野の夫人とアインシュタインが腕を組んでいる写真は矢野家の家宝とのことである。その当時のことを記した『アインシュタイン伝』[4]は代表作である。
0361現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 15:15:02.57ID:e6d2DWnohttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%B1%E5%8C%97%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E3%81%AE%E4%BA%BA%E7%89%A9%E4%B8%80%E8%A6%A7
東北大学の人物一覧
著名出身者
角谷静夫（数学者、角谷の不動点定理）
金田康正（学者、πの計算機計算世界記録、東京大学教授）
茅誠司（材料工学者、東京大学元総長）
菊池誠（大阪大学教授）
嶋正利（半導体工学者、会津大学元教授、世界初のマイクロプロセッサ「Intel 4004」を開発）
田中耕一（化学者・島津製作所フェロー、ノーベル化学賞受賞者）
西澤潤一（半導体工学者、東北大学元総長・岩手県立大学初代学長・首都大学東京初代学長）
舛岡富士雄（フラッシュメモリ発明者。東北大学工学部卒、大学院工学研究科博士課程了。）
宇沢弘文（経済学者、東京大学名誉教授）
豊田章一郎（トヨタ自動車名誉会長、経済団体連合会第8代会長、院卒）
0362現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 15:18:41.34ID:e6d2DWnoPDFテキストがあるよ
http://wwwa.pikara.ne.jp/yoshifumi/
伊東 由文のホームページ
集合と位相
線形代数学の基礎
解析学序説
微分積分学I
微分積分学II
統計学
数理統計学(改訂版)
ベクトル解析(改訂版)
ルベーグ積分論
RS積分とLS積分
線積分と面積分
フーリエ解析
微分方程式論
関数空間論と超函数論
超函数の理論I
超函数の理論I
超函数の理論III
0363１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 15:46:04.11ID:QGmqQsns矢野健太郎氏が留学先のフランスで学んだ人がエリー・カルタンで、
エリー・カルタンによって展開された微分形式やリー群の理論を
シュヴァレーが書いた本がシュヴァレー・リー群論になる。
エリー・カルタンはブルバキのメンバー全員が崇拝していたような人。
代数方程式による複素多様体、いわゆる今でいう複素代数幾何の原型の話
やコンパクトリー群の有限次元既約表現とかが書いてある。
淡中の双対定理という、基本的な位相群の双対定理も書いてある。
なので、シュヴァレー・リー群論を上に挙げた。これと並ぶ本がワイルの古典群。
ポントリャーギンの連続群論上下が出たのはその後。シュヴァレーと
ポントリャーギンの大きな違いは、前者は複素代数幾何の原型の話が書いてある。
後者はその代わりに、ポントリャーギンの双対定理やコンパクトリー群の構造論を扱っている。
リー群と表現論は、この2冊を軸に書かれた、連続群論入門も合わせて、これら3冊を
パワーアップさせたような感じ。内容はフーリエ解析の要素が比較的強く、現代的になっている。
0364現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 18:56:26.54ID:e6d2DWnoおっちゃん、どうも。スレ主です。
おっちゃん、やっぱ博識やねー
すごいね
0365１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 19:16:43.85ID:rAOm8xZh0366１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 19:45:48.65ID:rM0gMSGZスレぬしさんと博識な方本当にありがとうございます。
御二方ともいつかお会いしたいです
0367１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 20:04:31.45ID:rAOm8xZhもっとも準同型定理も分かってないで計算機ぶん回しても基礎知識基礎理解不足過ぎるが
0368現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 21:31:51.07ID:e6d2DWno>いまや幾何は物理学と並行して勉強するほうが理に適ってる
どうも。スレ主です。
コメントありがとう
そうなんすか。確かにそんな空気あるよね
素粒子理論の最先端と、数学の幾何の最先端とは、相互作用をしている観ありか
0369現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 21:42:21.31ID:e6d2DWnoどうも。スレ主です。
編入後の健闘を祈る・・というか、数学を楽しく勉強できるよう祈る
なお、博識な方は、このスレでは”おっちゃん”という方だよ
おっちゃんが、>>358などで”必ずしも東大京大だけではない”に関連して、>>354"大体海外に行っって微分幾何のスペシャリストになった"と言っている
私は留学していないが、入社同期で留学経験や海外経験がある人は、能力伸ばしているし、会社や社会が尊重しているね。それは意識した方がいい
まあ、編入前でも編入後でも良いから、１ヶ月に１回くらい勉強したことを、このスレで書いてくれ（強制でないので、気が向いたら。このスレで時間を潰しすぎない程度に）
0370現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 21:45:02.21ID:e6d2DWnoどうも。スレ主です。
賛成です。グレブナー基底や数理物理学方面から参入するほうが理に適ってる
そこから入れば、準同型定理も実例ベースで理解が早いかも
２１世紀はそういう時代なのかも
0371現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 21:50:39.88ID:e6d2DWno編入希望さんへ
伊東由文先生の位相結構分かり易い感じだよ。読んでみたら？
http://wwwa.pikara.ne.jp/yoshifumi/homepageindex%282%29/SetTop.html
集合と位相 伊東由文 徳島大学名誉教授・理学博士
第 II 部 位 相
第 ５ 章 位相の定義
第 ６ 章 位相と収束
第 ７ 章 被覆とコンパクト空間
第 ８ 章 一様位相
第 ９ 章 連続写像
第 １０ 章 距離空間の位相
第 １１ 章 \bit{R}^dの位相
参考文献
0372現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 22:05:16.40ID:e6d2DWnoちなみに、ボホナーさん、聞いたことがあるなと検索すると下記ヒット
ボホナー積分 - Wikipedia
ボホナー可測関数 - Wikipedia
ボホナー空間 - Wikipedia
ボホナーの定理 https://kotobank.jp/word/%E3%83%9C%E3%83%9B%E3%83%8A%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86-1416748
あと、https://en.wikipedia.org/wiki/Salomon_Bochner で
See also
Bochner?Kodaira?Nakano identity https://en.wikipedia.org/wiki/Bochner%E2%80%93Kodaira%E2%80%93Nakano_identity
Bochner?Yano theorem https://en.wikipedia.org/wiki/Bochner%E2%80%93Yano_theorem
0373現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 22:10:19.34ID:e6d2DWnoIn differential geometry, the Bochner?Yano theorem states that the isometry group of a compact Riemannian manifold with negative Ricci curvature is finite. It is named after its publication by Salomon Bochner and Kentaro Yano (1953).
References
Bochner, S.; Yano, K. (1953), Curvature and Betti numbers, Annals of Mathematics Studies 32, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09583-7, MR 0062505
https://en.wikipedia.org/wiki/Bochner%E2%80%93Kodaira%E2%80%93Nakano_identity
In mathematics, the Bochner?Kodaira?Nakano identity is an analogue of the Weitzenbock identity for hermitian manifolds,
giving an expression for the antiholomorphic Laplacian of a vector bundle over a hermitian manifold in terms of its complex conjugate and the curvature of the bundle and the torsion of the metric of the manifold.
It is named after Salomon Bochner, Kunihiko Kodaira, and Hidegoro Nakano.
References
Demailly, Jean-Pierre (1986), "Sur l'identite de Bochner-Kodaira-Nakano en geometrie hermitienne", Seminaire d'analyse P. Lelong-P. Dolbeault-H. Skoda, annees 1983/1984,
Lecture Notes in Math. 1198, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 88?97, doi:10.1007/BFb0077045, MR 874763
Demailly, Jean-Pierre (2012), Complex Analytic and Differential Geometry (PDF)
Kodaira, Kunihiko (1953), "On a differential-geometric method in the theory of analytic stacks",
Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 39: 1268?1273, doi:10.1073/pnas.39.12.1268, ISSN 0027-8424, MR 0066693
0374１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 22:44:44.51ID:FsqPXj7G普通に代数幾何やるよりも
数理物理から代数幾何に入っていくほうがハードル高くないですか？
0375１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 22:51:46.61ID:rAOm8xZh0376現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 22:52:16.73ID:e6d2DWnohttp://www.researchgate.net/publication/265873104_Hidegoro_Nakano_%281909-1974%29__on_the_centenary_of_his_birth
Proceedings of the International Symposium on Banach and Function Spaces III (Kitakyushu, Japan, 2009), pp. 99?171, 2011
Hidegoro Nakano (1909?1974) ? on the centenary of his birth Lech Maligranda
Abstract.
The life and work of the Japanese mathematician
Hidegoro Nakano (1909?1974) is presented. He graduated from the
Department of Mathematics, Faculty of Science, Imperial University
of Tokyo in 1933 and from 1935 he was a professor at National
First High School. In 1936 he got his doctor degree of science and
in 1942 he became an assistant professor at the Imperial University
of Tokyo. From 1952 he continued to be a professor in Hokkaido
University. From 1960 he was a guest professor at the Queen’s
University and from 1961 to 1974 he worked at Wayne University
in Detroit, USA. He passed away there in 1974. This biography
includes his personal data, scientific achievements, a list of books
and the list of published papers. He is mostly remembered in
mathematics for Nakano spaces and modular spaces but also several
of his results are known in the theory of vector lattices (Riesz
spaces) and the operator theory in Hilbert spaces. He was the first
one who introduced the notion of a modular.
0377現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/12(土) 22:54:07.95ID:e6d2DWnoどうも。スレ主です。
ID:rAOm8xZh さんに賛成だが
いろいろやってみたら
自分に合う方法が見つかるだろう
0378１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 23:00:49.44ID:ScMn0ae3でも代数学で最も基本的な準同型定理もわかってないスレ主はそんなレベルではない。
0379１３２人目の素数さん
2015/09/12(土) 23:02:49.57ID:ScMn0ae3http://www.amazon.co.jp/dp/4535786135/
今はこんな本もある
0380現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/13(日) 09:06:45.42ID:8lVD4F4Lhttp://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/452
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14
452 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/08/08(土) 11:02:52.21 ID:JPtSuWhm
>>440-441
最近また、天狗さまが、出没するようになった・・
天狗さま、このガロアスレで以前から問題になっている下記があります
どうか、一言ご教示ください（笑い）HaHaHa
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/532
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13
532 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/05/29(金) 23:30:47.86 ID:Cd6YJUHF [3/4]
えらそうにのたまう雑魚つぶし
おっちゃんの出題を少しひねった問題を私スレ主が考えたんだ
それが>>33だ
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
複素数の成す乗法群なんて、なんの予備知識もいらない
数学的思考力のみで問題が解けるだろうさ
上から目線で物をいうあなた
ど う ぞ（笑い）HaHaHa
0381現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/13(日) 09:22:38.75ID:8lVD4F4Lどうも。スレ主です。
面白そうだよね
http://www.amazon.co.jp/dp/4535786135/
Amazon.co.jp： 数え上げ幾何と弦理論: S・カッツ, 清水勇二:
準同型定理は、私スレ主でも分かったよ。だから、ID:FsqPXj7G >>374さんもすぐ理解できるさ
が、チャーン類の計算はできないスキームの定義はちんぷんかんぷんだけど、これもID:FsqPXj7G >>374さんなら、きっと理解できるだろう
準同型定理の話は、過去スレ”現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12”で扱った
問題を出してくれた人がいて、それを私スレ主が解いた
分かっていなかったのは、共役の方でね。その話も過去スレにあって、これもみなさんから親切に教えて貰ったので解決済み。よって、学部レベルの有限群論では無敵状態です（＾＾；
無限群は、難しくてね。位相がいまいち頭に入っていないんだが、無謀にも>>380にはチャレンジした。一応の答えは得た
0382現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/13(日) 09:39:19.74ID:8lVD4F4L>切り口というか、有限群で万能な定理ってこれくらいしかないんだよね
有限群論で思い出したんだが、中心化群というキーワードを思い出した。鈴木の有限群論 岩波にあった
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%8C%96%E7%BE%A4%E3%81%A8%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%8C%96%E7%BE%A4
中心化群と正規化群
数学、とくに群論において、群 G の部分集合 S の中心化群 (英: centralizer) とは、S の各元と可換な G の元全体からなる集合であり、S の正規化群 (normalizer) とは、「全体で」S と可換な G の元全体からなる集合である。
S の中心化群と正規化群は G の部分群であり、G の構造について知る手掛かりを得られる。
http://hooktail.sub.jp/algebra/CenteredGroup/
中心化群 [物理のかぎしっぽ]
http://www.comp.tmu.ac.jp/yosihiro/teaching/ 首都大学東京理工学研究科数学専攻 澤野嘉宏のホームページ
http://www.comp.tmu.ac.jp/yosihiro/teaching/daisuu/sylow-subgroup.pdf
シロー部分群 澤野嘉宏 学習院大学
Abstract.
有限群G の構造について考える．有限群G が可換であるなら，
G ? Z=(a1) × Z=(a2) × ・ ・ ・ × Z=(ar); a1; a2; ・ ・ ・ ; ar ? 2
なる同型が存在するのは既知の事実として認める．これは有限生成PID 加群の構造定理をZ に対
して適用しただけだからである．ここでは，非可換群の構造を考察する．
www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/100gun.html
ときわ台学/代数学入門/中心と中心化群
0383現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/13(日) 09:59:37.87ID:8lVD4F4L鈴木先生の話は、トンプソンの有限単純群の定理（有限単純群は偶数位数であるか、さもなくば素数位数の巡回群である）から https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4
有限単純群について、位数２の元を取り、位数２の元による中心化群を考えることで、有限単純群の分類を進めることができると
下記は、以前にも引用したが、ご参考まで
http://homepage3.nifty.com/gomiken/math/cfsg.htm
別冊数理科学「群とその応用（サイエンス社，１９９１年１０月）」 有限単純群の分類 五味健作
抜粋
結局次のような，位数２の元の中心化群についての非常に一般的な定理が得られた．
均衡群定理(Gorenstein-Walter) 有限群Gの交換可能な位数２の元について均衡条件が成り立ち，GのSylow 2-部分群が十分大きければ，Gの任意の位数２の元の中心化群Cに対してO(C)⊂O(G)が成り立つ．
単純群を位数２の元の中心化群の構造によって分類することがBrauerにより提唱され，１９７０年にはすでに夥しい研究成果が積み上げられていた． とくに広く研究されていたのは，次のような「位数２の元の中心化群による特徴づけ問題」であった．
「G*を（たとえばPSL(n,q)のような）知られている単純群とし，H*をG*の位数２の元の中心化群とする． 単純群Gの位数２の元の中心化群HがH*と同形であるとき，GはG*と同形であることを証明せよ．」
このような研究が盛んに行なわれた結果，単純群の位数２の元の中心化群の構造を一般的に決めることができれば，単純群の分類が確かにできそうだということが明らかになってきた．
0384１３２人目の素数さん
2015/09/13(日) 11:00:14.77ID:3Lf+Bjdfおっちゃんだけど、ここでこういう文を挙げるのは文脈としてどう見ても変だ。
というか、スレそのモノ自体まで晒すなw 文脈として>>380を書いたことに意味があったとしよう。
そうすると、文脈上は、>>375(昨日のID:rAOm8xZh)か>>388-389(昨日のID:ScMn0ae3)に対していったことになると思われる。
だが、昨日のID:rAOm8xZhに対して書いたと考えられる可能性は、>>377によって否定されると見られる。
なので、>>381(昨日のID:ScMn0ae3)に対して書いたと考えられる可能性が高い。
しかし、>>381を読む限りでは必ずしも意味がないと断定するにはまだはやい。
群の準同型定理の理解には正規部分群の理解が必要。群の準同型定理が分かったというから、
正規部分群は分かったということでよろしいな？ スレ主は正規部分群を理解していない
と見られるから、>>381は群の準同型定理が分からない云々と書いたと思うぞ。
というか、スレ主は 鈴木の有限群論 岩波 を捨てたといってなかったか？
0385１３２人目の素数さん
2015/09/13(日) 11:32:49.76ID:3Lf+Bjdf>>384の番号がチンプンカンプンだったから、書き直し。「」で括った部分が訂正箇所。
ちなみに、最後の方に、少し新しい文章が加わった。
おっちゃんだけど、ここでこういう文を挙げるのは文脈としてどう見ても変だ。
というか、スレそのモノ自体まで晒すなw 文脈として>>380を書いたことに意味があったとしよう。
そうすると、文脈上は、>>375(昨日のID:rAOm8xZh)か「>>378-379(昨日のID:ScMn0ae3)」に対していったことになると思われる。
だが、昨日のID:rAOm8xZhに対して書いたと考えられる可能性は、>>377によって否定されると見られる。
なので、「>>378-379(昨日のID:ScMn0ae3)」に対して書いたと考えられる可能性が高い。
しかし、>>381を読む限りでは必ずしも意味がないと断定するにはまだはやい。
群の準同型定理の理解には正規部分群の理解が必要。群の準同型定理が分かったというから、
正規部分群は分かったということでよろしいな？ スレ主は正規部分群を理解していない
と見られるから、「>>378」は群の準同型定理が分からない云々と書いたと思うぞ。
というか、スレ主は 鈴木の有限群論 岩波 を捨てたといってなかったか？
というより、鈴木の有限群論 岩波 に限らず、大抵の群論のテキストに、
中心化群と正規化群 位は載っていると思う。
いわゆる、書いて当たる可能性が高いような文章ということ。
0386１３２人目の素数さん
2015/09/13(日) 11:44:29.94ID:3Lf+Bjdf一応、>>385の一番下でいう「書いて当たる可能性が高いような文章」とは>>382の
>有限群論で思い出したんだが、中心化群というキーワードを思い出した。鈴木の有限群論 岩波にあった
のこと。
0387374
2015/09/13(日) 11:47:24.48ID:5aosNMy+準同型定理は分かりますよ。
でもそれは代数幾何というよりも代数の基礎の話ではないでしょうか。
0388１３２人目の素数さん
2015/09/13(日) 12:16:19.81ID:OT+MwC970389１３２人目の素数さん
2015/09/13(日) 13:29:28.01ID:1TWOTmTB0390１３２人目の素数さん
2015/09/13(日) 13:55:55.81ID:1TWOTmTB0391１３２人目の素数さん
2015/09/13(日) 14:09:48.54ID:ig4YKlPnじゃあ群論は知ってるのかといえば、正規部分群すら理解してないことが露呈。
ガロア理論を語る前に、代数を基礎から勉強した方がいいと思う。
0392１３２人目の素数さん
2015/09/13(日) 16:02:07.63ID:B6Cg4RVlというより簡潔さを求めた本だからそう感じるのかな？
0393現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/13(日) 18:57:53.07ID:8lVD4F4Lおっちゃん、どうも。スレ主です。
>>380はな、最近また天狗さまが出没するようになったんでね
大口叩くなら、あんたのレベル見せてみなってこと （ID:ScMn0ae3 、ID:1TWOTmTB さんよ）
たんなる知識じゃない、数学的センス>>380をって
リンクの番号は面倒だから原文ままにしただけさ
0394１３２人目の素数さん
2015/09/13(日) 19:03:59.61ID:y097ljgu0395現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/13(日) 19:07:00.95ID:8lVD4F4Lおっちゃん、どうも。スレ主です。
まあ、”切り口というか、有限群で万能な定理ってこれくらいしかないんだよね”>>128 に対して
シローの定理＝有限群で万能な定理ってこれくらいしかないんだよねという意味なんだが
位数２の元による中心化群が、有限群の分類で万能な定理にあたる重要な役割を果たしたよと
まあ、そういうことを書いたんだ
ここは初学者も来るからね
0396現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/13(日) 19:26:49.42ID:8lVD4F4L逃げ口上は良いんだ
別に証明は求めていない
どう考えるかと問うているだけ
（問題の分析と方針を）
その答えで数学的センスが分かるさ
0397現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/13(日) 19:40:52.16ID:8lVD4F4L鈴木の有限群論 岩波 を捨てたのは、当然別の本があるから
それと、新しい本の場所を空けるためさ
えーと、手元にあるのが下記（除くガロア本。正規部分群ならガロア本にもある）
http://www.amazon.co.jp/dp/432001555X
線形代数と群 (共立講座 21世紀の数学) 単行本 ? 1998/9 赤尾 和男 (著)
http://www.amazon.co.jp/dp/4785313102/ref=sr_1_1?s=books&;ie=UTF8&qid=1442140363&sr=1-1&keywords=%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE
有限群の表現 (数学選書) 単行本 ? 1987/8 永尾 汎 (著), 津島 行男 (著)
http://www.amazon.co.jp/dp/4785311282/ref=sr_1_1?s=books&;ie=UTF8&qid=1442140560&sr=1-1&keywords=%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E7%BE%A4
有限置換群 (基礎数学選書 (26)) 単行本 ? 1981/1 大山 豪 (著)
数学本とは言えないかも知れないが
http://www.amazon.co.jp/dp/4563021539/ref=sr_1_2?s=books&;ie=UTF8&qid=1442140677&sr=1-2&keywords=%E7%BE%A4%E8%AB%96%E5%85%A5%E9%96%80+%E7%89%A9%E6%80%A7%E7%89%A9%E7%90%86
物性物理学のための 群論入門 単行本 ? 1983/1 G.バーンズ (著), 中村 輝太郎 沢田昭勝
0398現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/13(日) 19:48:26.04ID:8lVD4F4Lどうも。スレ主です。
小島の定理>>293
1.数学書の読みやすさとは、人によって違うと思う。それは、「わかるツボ」というのが人によって違うからだ。
2.数学の本を書くのを生業としているぼくでさえ、「よくわかる」本と出会えることは滅多にない。
http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20080327
hiroyukikojimaの日記:
2008-03-27 ガロアの定理をわかりたいならば
数学書の読みやすさとは、人によって違うと思う。それは、「わかるツボ」というのが人によって違うからだ。
幾何的なイメージなしには進むことができない人もいれば、むしろ逆に、非常に形式化されてがちがちに論理的な進み方をしないとわかったような気がしない、という人もいると思う。
だから、何か数学的な知識の必要があった場合、何冊にもチャレンジして自分に合った教科書を探すのがベストだと思う。
ただ、最大多数にわかりやすい数学書となると、数は限られてくる。数学の本を書くのを生業としているぼくでさえ、「よくわかる」本と出会えることは滅多にない。
0399現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/13(日) 19:50:17.56ID:8lVD4F4L小島の定理から導かれる結論は・・・
松坂と雪江の２冊買えってこと
0400１３２人目の素数さん
2015/09/13(日) 20:09:56.59ID:OT+MwC970401現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/13(日) 20:39:39.49ID:8lVD4F4Lおお、400ゲット！ おめ（＾＾；
で、松坂が易しすぎると？
0402現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/13(日) 20:46:44.99ID:8lVD4F4L代数学3は手元にあるよ
確かに難しいね
が、代数学1 群論入門と代数学2 環と体とガロア理論とは、それほど難しいか？
松坂が易しいというなら、雪江の１と２は読めるんじゃないかい？
http://www.amazon.co.jp/
代数学1 群論入門 (代数学シリーズ)2010/11/17
雪江明彦
代数学2 環と体とガロア理論2010/12/7
雪江 明彦
代数学3 代数学のひろがり2011/3/16
雪江 明彦
0403１３２人目の素数さん
2015/09/13(日) 21:17:43.15ID:edESH1zv0404１３２人目の素数さん
2015/09/13(日) 22:27:28.60ID:ig4YKlPn0405１３２人目の素数さん
2015/09/13(日) 22:30:01.24ID:oO2kVw+P0406現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/13(日) 23:07:31.40ID:8lVD4F4L>>403
"文献調べれば問題なし"はそだけど、学部レベル卒業なんだろう
「あれでも自習用」＝読めば分かるように書いてあるという言い方なんだろうが、まあハイレベル
>>404
群論入門は、>>397に書いたようにもう十分あるし
環と体とガロア理論は、環はあまり興味がなかったし、”体とガロア理論”はガロア本で間に合っているし。環やりたくなったら、まあネットのPDFで間に合う
なので、書店で見て、知らないことが書いてあったのが３だっただけさ
>>405
そうロマンだよね。つーか、あのときは確か無限次元の拡大の話が３にあったから、足立本と対比するためだった
0407現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/13(日) 23:17:25.69ID:8lVD4F4L「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
だから証明は求めていない
１．Yes か No か
２．理由
理由には、当然数学的な考察が必要で、これで君のレベルが分かるってこと
おっちゃん、良い問題をつくってくれたよ（＾＾
0408現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/13(日) 23:21:32.76ID:8lVD4F4Lだからさ、人の基礎うんぬんは結構だから、君のレベルを見せてくれ（笑い）HaHaHa
なんにも言えないレベルって認定でいいのか？（笑い）HaHaHa
0409１３２人目の素数さん
2015/09/14(月) 10:12:59.46ID:zp+EK+LQ>>387
おっちゃんです。スレ主が答えるかと思ったが、一向に答えないようなので、スレ主に代わりお答えします。
準同型定理程度は代数幾何に限らず、代数を使うのであれば、大抵何をするにも必要なので、代数の基本。
物理していて代数幾何をしたいようだが、それなら、数理物理から代数幾何に入る手は確かにある。
モジュライ理論や代数解析をすれば、代数幾何をしつつ自然に数理物理のようなことをすることがある。
代数解析の元祖のお方は物理してた人です。発展させた多くのお方も物理していた。
単純にハーツホーンのような代数幾何に行くと、どこかで詰む可能性が高い。
そういう人が現におりますので。日本だとそれ位、可換環論を使う代数幾何好きな人口が多い。
物理をしていて代数幾何をしたいなら、むしろ代数解析をした方がよいのではないかと。
>>395
おっちゃんです。有限単純群を研究していた人達が途中から組合せ論とかに
流れ込んで来たことからも窺えるように、有限群の手法は場合分けだよ。
まあ、>>397の事情は分かった。昔、中だけチラ見だけしたことはあるが、いっておくけど、
>有限群の表現 (数学選書) 単行本 ? 1987/8 永尾 汎 (著), 津島 行男 (著)
の内容は、はっきりいって 鈴木 有限群論 上下 岩波 よりパワーアップして難しいぞ。
有限群論特論みたいな感じの内容だよ。私は持ってはいないけど。
0410１３２人目の素数さん
2015/09/14(月) 10:50:45.42ID:zp+EK+LQ>>409で書いた本の名前間違えた：
「鈴木 有限群論 上下 岩波」→「鈴木 群論 上下 岩波」
0411１３２人目の素数さん
2015/09/14(月) 11:06:13.56ID:zp+EK+LQ>>有限群の表現 (数学選書) 単行本 ? 1987/8 永尾 汎 (著), 津島 行男 (著)
は昔は松島多様体入門や永田可換体論が含まれるシリーズの中の1つだった。
昔チラ見した限りでは、読みこなすには、かなりのレベルの有限群論や環、加群の知識
がいると思われる。記憶では、結構な数の演習問題が章ごとにあったような覚えがある。
フニャコフニャオのレベルの本でないことは確か。
0412１３２人目の素数さん
2015/09/14(月) 13:16:23.88ID:FEkSygYm0413１３２人目の素数さん
2015/09/14(月) 17:06:12.99ID:iKsg0Rhz0414374
2015/09/14(月) 21:09:35.38ID:SVh2NH1cいえ、私はハーツホーンから代数幾何に入ったクチですよ。
数理物理から代数幾何に入るというのがあまり想像できなかったので
374で質問しました。
数理物理と関わる代数幾何の問題ってどれくらいあるんですか？
0415１３２人目の素数さん
2015/09/14(月) 21:23:28.79ID:2ioGbF9u0416１３２人目の素数さん
2015/09/14(月) 21:25:10.74ID:2ioGbF9u0417１３２人目の素数さん
2015/09/15(火) 04:59:52.21ID:qWuvtOBEおっちゃんです。これは私の暗い過去にかかわることでして、余り答えたくありませんが、
今回は特別お答えします。就職氷河期などの言葉や今のご時世の社会状勢から、空気で察して下さい。
儲かりはしませんが、もはや数学が仕事になっているような感じです。正確には分かりかねますが、
無意識に、2チャンに未解決問題の発展に関わり、論文になり得るような内容を書いてしまった
ことがあるかも知れません。本当に論文になってしまうのかは未定です。
ただ、あなたには1つだけいっておきます。伝説は苦境から生まれます。
伝説になった人は苦境の中にいたことが少なからずあります。
単純に仕事をしていない人はニートであると判断するような考え方は捨てましょう。
例えニートであっても、自身の業績を他人が認めるか否かは分かりませんが、
自己研鑽や数学の研究をしていれば、もはやニートとはいえなくなります。
昔の数学者にはそんな感じで研究していた人が多くいます。
それを知っていて、私に聞くのは半ばイジメになります。
このスレの名前にガロアという人の名前が付いていることからも容易に分かるように、
このスレに来ているにもかかわらず、もしそのことを知らなければチョットあなたのオツムはアレかと。
0418１３２人目の素数さん
2015/09/15(火) 05:55:35.27ID:qWuvtOBEおっちゃんです。あなたとは楽しく行きましょう。>>417は気になさらぬように。
数理物理と関わる代数幾何の問題 ですか。解かれているかどうかは分からない、
ということを前提で行きましょう。まあ、複素代数幾何なら
倉西族などを用いる共形場の理論など がある。代数解析でも複素代数幾何は使うことがあり、
D加群の理論を展開するときは、普通の線形偏微分方程式論でいう特性多様体を代数的に定義するので、
線型偏微分方程式による物理とかかわることがある。この辺りに問題が生じ得るのではないかと。
他にはソリトンや上の共形場の理論など。シンプレクティック多様体も必要になるので、
ミラー対称性も自然に問題になるでしょうね。まあ、可換環論によるハーツホーンの方の
代数幾何で数理物理をしようとしたら、かなりの可換環論による代数幾何は必要になる。
勿論、ハーツホーンの内容からして、それだけではダメでしょう。
0419１３２人目の素数さん
2015/09/15(火) 06:36:45.43ID:qWuvtOBE>>413みたいな変なヤツに絡まれちゃったよw
スレの流れや文脈からしてもチョット聞くことが唐突な内容だろ。
他人の仕事内容を聞くとは、あたかもアンケートを取るかのようではないか。
こんな変なヤツにこそ絡まれたくないよ。
>>413はスレ主の自演じゃないか(そう思った根拠は>>417の後半に書いた)？
スレ主よ、次回書くときは、そのあたりをはっきりさせるようよろしく。
スレタイに出て来るガロアの生き様を知っていながら
>>413を書くのは、その内容からして何か違和感を覚えるのだ。
0420１３２人目の素数さん
2015/09/15(火) 13:55:44.00ID:k+htx6Uqそして誰もニートが悪いなど言ってない。
なにより数学で生きてるならそれだけの実力もあるのだろうし。ちなみにすれ主ではない
0421１３２人目の素数さん
2015/09/15(火) 14:34:19.66ID:qWuvtOBE>ガロアが仕事につかなかったのと、あなたが働かないことは関係あるのかな？
直接は関係ない。しかし、ここはガロア理論のスレである。ガロアと来たら、セットでアーベルを連想する筈である。
アーベルは就職出来ずに夭折した数学者である。ガロアとアーベルの人生は、数学する人に限らず、
一般人にも広く知られていると思われる。そのようなことから、アーベルが就職出来ずに夭折したことが分かっていれば、
少し最後の部分が説明不足ではあったが、>>417の趣旨は摑める筈である。数学の内容が続いたにもかかわらず、
途中で遮るかのように>>413を書くことは、文脈としても流れとしても唐突な内容を書くことをしているのである。
数学をしているにもかかわらず、>>413を書くことは、余程オツムがアレでなければ出来ないと思われる。
0422１３２人目の素数さん
2015/09/15(火) 14:50:25.77ID:qWuvtOBEホントに変なヤツに絡まれてたw
0423１３２人目の素数さん
2015/09/15(火) 14:52:27.60ID:qWuvtOBE>ホントに変なヤツに絡まれたw
でした。すみませんね。
0424１３２人目の素数さん
2015/09/16(水) 13:33:12.12ID:IgazPuj1ガロア理論を理解したいと思い、試行錯誤した結果、アルティンによる
とされている線形代数を基礎としたガロア理論をまず理解してから
守屋さんの翻訳による本を読んでいった。
個人的には、足立さんの本が好みにあっていた。
群論、環論（と加群）、体論という順番で記述されてる代数学の本
で挫折放置して十年ぐらいたって、これではいかんと思い直し勉強した。
これでやっと代数学全般が見えてきた。
0425374
2015/09/16(水) 16:17:16.22ID:qcMHodKEなるほど。色々あるんですね。
0426現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/18(金) 22:23:04.98ID:ALESBMrSお久しぶり
>>409-411
スレ主の代返ありがとう。当方の追加は無しです
有限群の表現 (数学選書) は、あることを調べるために買った。それだけだが、悪い本ではないよ
鈴木 有限群論とは、おもむきが違いことは承知の上
0427現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/18(金) 22:25:39.67ID:ALESBMrSどうも。スレ主です。
私は、普段は材料系の仕事なんだ
数学は、特別には使わないが
数学を知っていることは、役に立つよ
どんな文献でも、数学の知識で困ることがない
0428１３２人目の素数さん
2015/09/18(金) 22:30:42.14ID:5Dmm7oPM0429現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/18(金) 22:34:11.14ID:ALESBMrSどうも。スレ主です。
ID:2ioGbF9uさんの書かれている通りだと思う
ハーツホーンは、1977初版か
ヴェイユ予想の解決まで射程（ここまでが綺麗に書かれている）
が、その後の発展が、ID:2ioGbF9uさんの書かれていることなんだが
>>379の方が、ゴールとなる対象がヴェイユ予想より把握しやすいし（数え上げ幾何だっけ）、書き方も明解だと感じたね
0430現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/18(金) 22:39:20.87ID:ALESBMrSおっちゃん、どうも。スレ主です。
わたしゃ、月朝から金の昼間は、仕事でアクセスできない場所にいますよ・・
だから、アリバイありで、真犯人は別にいる・・、と推理小説ならそういう主張になる
0431１３２人目の素数さん
2015/09/18(金) 22:44:29.64ID:CtqQag//＞「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」
これは「ゼロをのぞく複素数全体の成す乗法群C＾*の
部分群全体の成す集合は実数体のベキ集合の濃度を持つ」
という意味でいいの？
0432現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/18(金) 22:49:51.04ID:ALESBMrSおっちゃん、どうも。スレ主です。
まあ、同じような経過ですな
アルティン、何度も読んだが、読みにくい本だったね。あの本を礼賛するやつは、すでにガロアが分かっている人だろうといま思うよ
訳と解説は、守屋より彌永の方が良いね。分かり易い
守屋は本当に、ガロアの原論文を理解していたのかね？ 守屋の解説は、上から目線というか、原論文から離れて、守屋時代の数学から原論文の意図はこうなんだよと（原論文は数学的にきちんと表現できてないがと）
その点、彌永や英文だがEdwardsの方が、きちんとガロアの意図をくんだ解説になっていると
0433現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/18(金) 22:59:40.12ID:ALESBMrSどうも。スレ主です。
私の出題の意図は
１．ゼロを除く複素数の集合から、任意の複素数の組みを選ぶ
２．上記により、乗法群Gを構成する
３．このようにして構成されたGの集合を考える。それをUとする
４．集合Uは、連続濃度の”べきの濃度”を持つ
例
１．数２を選ぶ
２．乗法群Gは、２の整数べきを要素とする集合になる
0434１３２人目の素数さん
2015/09/18(金) 23:12:48.41ID:CtqQag//いえ、出題意図を聞いているのではなくて
>>407の「」内の文の正確な意味は>>431で書いた通りで合っているかを
聞いています。
0435１３２人目の素数さん
2015/09/19(土) 00:12:58.86ID:xio+r/svアホ丸出し
0436１３２人目の素数さん
2015/09/19(土) 03:55:57.81ID:Ie1aD7b3このスレでいう正真正銘のおっちゃん(>>409-411)ですけど、
>>424はおっちゃんではないです。別人です。混同しないでくれよ。
>>424は他のスレで高木貞治の解析概論を薦めていた人だよ。
そして、他のスレでもレスを上げて書いている。しかし、私は殆どといっていい程レスを上げはしない。
尚かつ、解析概論を取り上げたこともない。その代わりに、基本的に小平解析入門などを取り上げた。
>>424がいう本は全く読んでいない。>>424の「守屋さんの翻訳による本」を見たとき、
スレ主がいうガロアが直に書いた「現代数学の系譜」の翻訳を思い出した位だ。
1番の違いは、このあたりだろうな。
0437現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/19(土) 06:12:29.81ID:OawBC5lOどうも。スレ主です。
会話になってないな
出題は、>>433で全て
わざわざ言い換える意図が良く分からない
そして、C＾*という定義されていない記号を出す意図は？
そして「」の日本語の形容詞の係りが多義だ。英語に翻訳して、関係代名詞を使って係を明確にしてくれ。そうすれば正確に意味が取れるだろう
そして、現時点では意味が取れないし、Noの判断だ
繰り返す。１）C＾*の正確な定義は？ ２）英語に翻訳して、関係代名詞を使って係を明確にしてくれ
また、わざわざ言い換える意図が良く分からない
0438現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/19(土) 06:14:01.50ID:OawBC5lO問題にすらなってない=問題が解けません
と解釈します（＾＾；
0439現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/19(土) 06:37:55.59ID:OawBC5lOおっちゃん、どうも。スレ主です。
「>>424はおっちゃんではないです。別人です」か
それは、失礼しましたｍ（＿ ＿）ｍ
0440現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/19(土) 06:40:41.74ID:OawBC5lOそうそう、ちょっとハーツホーンの読後感想を
１．どんな感じの本ですか
２．すんなり読めましたか
３．予備知識が必要と思うが、どの程度
４．１年くらい掛かりましたか
0441現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/19(土) 07:08:02.94ID:OawBC5lO１．過去スレより
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/
293 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/07/20(月) 20:09:22.49 ID:HDH1hG65
これ検索ヒットしたので、メモしておく
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~nakamura/moduli050518.pdf
物理学から幾何学へ 中村郁 北大 数理科学 2005
２．「物理学から幾何学へ 中村郁 北大 数理科学 2005」中に、>>379と関連する内容が書かれている。だから、>>379と併読すれば良いだろう。
３．「物理学から幾何学へ 中村郁 北大 数理科学 2005」は、数理科学 2005 8月号 特集モジュライの広がり の巻頭論文だ。他にも、>>379と関連する記事があるみたいだね
以上なにかのご参考まで
0442１３２人目の素数さん
2015/09/19(土) 07:45:04.14ID:Ie1aD7b3>>45-58でハーツホーンを話題にしたことはあるが、
どこにも「ハーツホーンを読んだ」とは書いていないぞ。見た目の感想に過ぎないが、
1：「岩波の現代数学の基礎の代数幾何」に酷似している。ハーツホーンよりは読み易い。
2：可換環論による代数幾何の内容を予め知っていない限り、読める筈がない。
3：楕円型境界値問題と多変数函数論、そして複素幾何(Hodge理論の背景をつかむのに必要)、
岩波講座基礎数学 環と加群(可換環の部分は不可欠で、他に松村か永田の可換環論のどちらか)、
ホモロジー代数、体とGalois理論(スキームのときに必要だろう)、
程度を理解出来る知識。勿論、可微分多様体とかの多様体の知識は必要。
4：読んでいないから、答える必要ないな。
ハーツホーンを読むなら、何れにしろ、主に複素幾何とかした方がいい。ハーツホーンよりは応用範囲が広く、
可換環論による代数幾何をするなら、代数解析でもした方がいい。代数解析には決して簡単な訳ではないが、
解析では余り使わない層の説明から始まる丁寧なテキストがある。ハーツホーンを読むために必要な代数の知識を得るのに、
どの位時間がかかると思っているんだよ。読んだはいいけど、ハーツホーン程度の知識では研究はまだ出来ない。
読んだ割には余り報われない。余程可換環論による代数幾何や数論幾何に特攻する覚悟がなきゃ、
暇でもない限り、読まない方がいい。そういう本だ。何より、
ハーツホーンの前提知識を得るときは、永田や松村の可換環論がクセモノだ。
0443１３２人目の素数さん
2015/09/19(土) 08:03:08.65ID:Ie1aD7b3ちなみに、「C＾*」は代数では複素数体Cの乗法群C＼{0}を表す
標準的な記号だ。「C＾*」に限らず「C＾{×}」でもいいけど。
任意の体Kに対して、「K＾*」や「K＾{×}」は、体Kの乗法群K＼{0}を表す標準的な記号だ。
0444１３２人目の素数さん
2015/09/19(土) 08:15:49.13ID:Ie1aD7b3>>442について、見た目の感想の部分の
>ホモロジー代数、体とGalois理論(スキームのときに必要だろう)、
は
>ホモロジー代数(スキームのときに必要だろう)、体とGalois理論
と訂正。
0445１３２人目の素数さん
2015/09/19(土) 08:42:43.00ID:Ebrk5hdPでは英語で書きます。
>>407の「」内の文章は
「The cardinality of the set of all subgroups of the multiplicative group of
all non-zero complex numbers is equal to the cardinality of
the power set of the real number field.」
という意味で合っていますか？
0446１３２人目の素数さん
2015/09/19(土) 09:24:45.03ID:xio+r/sv自分の書いた文章に、人がどんな（多様に異なる）解釈を持つかを想像できない馬鹿乙
0447１３２人目の素数さん
2015/09/19(土) 15:54:52.01ID:GAf13+kh0448１３２人目の素数さん
2015/09/19(土) 15:58:57.56ID:55KoON/X0449１３２人目の素数さん
2015/09/19(土) 19:27:03.64ID:kVPLfsmk0450１３２人目の素数さん
2015/09/20(日) 06:58:03.51ID:Exi0QtShボク、コミュりょくがあるらしいけど、しょうがくなんねんせい？
0451１３２人目の素数さん
2015/09/20(日) 07:06:55.48ID:Exi0QtShボク、>>450では コミュりょくがあるらしい じゃなく コミュずきらしい といったほうがよいかな？
0452１３２人目の素数さん
2015/09/20(日) 11:40:04.77ID:FSntTALX反応するから馬鹿にされるんだよ。スルーが基本
0453１３２人目の素数さん
2015/09/20(日) 11:44:29.09ID:1ooT3aGj0454１３２人目の素数さん
2015/09/20(日) 11:55:54.62ID:Exi0QtShこのスレの文脈では一見おかしいように見えるが、その裏にはやや個人的な感想が含まれるが、
れっきとした根拠があって、昨日のID:GAf13+khの書き込みの多くを見て思ったことを書いたんだよ。
0455１３２人目の素数さん
2015/09/20(日) 12:03:32.12ID:Exi0QtSh>>454の文章はダラダラしていて分かりにくいから、その文章を書き直そう。
このスレの文脈では一見おかしいように見える。
しかし、その裏にはやや個人的な感想が含まれるが、れっきとした根拠がある。
昨日のID:GAf13+khの書き込みの多くを見て思ったことを書いたんだよ。
簡単にいえば、昨日のID:GAf13+khの書き込みの多くを見て、
私見として感じたことを書いたんだよ。
0456１３２人目の素数さん
2015/09/20(日) 12:55:31.12ID:FSntTALX0457１３２人目の素数さん
2015/09/20(日) 13:22:33.74ID:Exi0QtShどう見ても>>447が煽りとは思えんが、煽りにはスルーで対処ということな。
0458１３２人目の素数さん
2015/09/20(日) 13:41:44.16ID:Exi0QtSh個人個人の一芸として肯定して認める国もあるんだよな。
数学出来ることを個人の一芸として認めないことは、日本社会の特徴だわな。
0459現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/22(火) 20:05:20.73ID:qfvFgNRX暫く留守にしていました。失礼しました。ｍ（＿ ＿）ｍ
0460現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/22(火) 20:14:31.19ID:qfvFgNRXおっちゃん、どうも。スレ主です。
>数学出来ることを個人の一芸として認めないことは、日本社会の特徴だわな。
"数学出来ること"の定量評価が難しいのと
数学業界が狭いし
日本は、文系理系分離社会だし
かつ、文系優位（高文試験優位＝東大法学部君臨）とういう社会構造だからね～
で、それを覆そうと、漢字検定にならって数学検定を考えたり・・（＾＾；
http://www.shikakude.com/minsikakupaje/suken.html
0461１３２人目の素数さん
2015/09/22(火) 20:32:15.06ID:IFSitZ9p0462現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/22(火) 20:57:53.87ID:qfvFgNRX>自分の書いた文章に、人がどんな（多様に異なる）解釈を持つかを想像できない馬鹿乙
どうも。スレ主です。
自分の書いた文章に、人がどんな（多様に異なる）解釈を持つかを想像できない。それが普通だろ？
だが、問題を解くという視点から見ると問題も含んでいる
「いつまでも司法試験に受からないあまたの良すぎる東大生」がいる
１．言葉の定義を自分で作ってしまう、あまたの良すぎる東大生
２．問題を自分で作り替えてしまう、あまたの良すぎる東大生
これではいつまで経っても合格しない。おそらく数学で院試などでも同じだろう
数学の研究なら別だが
人がどんな（多様に異なる）解釈を持つかは、別にかまわん。院試じゃないし、採点基準があるわけじゃない
こう解釈して、こう解いた。それで結構だ
0463現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/22(火) 21:05:55.04ID:qfvFgNRXどうも。スレ主です。
正しいと思います。
おっちゃん、原出題者だから聞くけど
これで合っているよね（＾＾
0464現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/22(火) 21:19:13.15ID:qfvFgNRXおっちゃん、どうも。スレ主です。
１．記号＾は、エクセルからの流用で、べきの記号だ。が、下記wikipediaではべきの記号を使っていないし
２．C*-環または、C*-代数であって、群とは呼ばないのが普通では？
https://ja.wikipedia.org/wiki/C*-%E7%92%B0
C*-環
数学におけるC*-環（しーすたーかん、英: C*-algebra）とは複素数体上の完備なノルム環で複素共役に類似の作用をもつものであり、フォン・ノイマン環と並ぶ作用素環論の主要な研究対象である。
C*-代数（シースターだいすう）とも呼ばれる。1943年のGel'fand-Naimark[1]と1946年のRickart[2]の研究によって公理系が与えられた。'C*-algebra' という用語は1947年にSegal[3]によって導入された。
（引用おわり）
追伸
そもそも、記号＾はべきで、上付きの表現に流用するのは経済的ではあるが、一言断るべきだろうと思う
（記号＾がエクセルからの流用とすれば、*はエクセルでは積だし）
C*-環は、量子力学の専門書を読めば普通に出てくるので、そうだろうと思ったが、問題との繋がりが不明なので、つっこませてもらった（＾＾
0465現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/22(火) 21:26:46.26ID:qfvFgNRXおっちゃん、ごめん
リンク間違えてた
書き直すよ
>>414
そうそう、ちょっとハーツホーンの読後感想を
１．どんな感じの本ですか
２．すんなり読めましたか
３．予備知識が必要と思うが、どの程度
４．１年くらい掛かりましたか
0466現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/22(火) 21:36:34.11ID:qfvFgNRXおっちゃん、どうも。スレ主です。
リンク番号間違えていたけど
おっちゃん、ほんま博識やね～
だから、結局は、なんのためのハーツホーンっていう話と
どこまで突っ込むのという話と
まあ、自分に合う合わないを知るために読むとか・・
人生いろいろ、ハーツホーンの読み方いろいろ
ってことじゃないかな
0467１３２人目の素数さん
2015/09/23(水) 01:04:00.49ID:8N6Yr7Bxおじいちゃん大丈夫ですか？
シルバーウィークで浮かれているのかもしれないがスター代数を持ち出してくるのはちょっとひどすぎやしませんか
以下の表現を比較してみよ
>>431の
> ゼロをのぞく複素数全体の成す乗法群C＾*
http://www.hanbommoon.net/wp-content/uploads/2014/01/Homework_Solution_2.pdf
の問題5, (d)
> 3-2i in C^*, the group of nonzero complex numbers under multiplication
https://suu.edu/faculty/markmeilstrup/algebra/Math4220Solutions7a.pdf
の問題14
> Let C^* be the group of nonzero complex numbers under multiplication
0468１３２人目の素数さん
2015/09/23(水) 01:11:37.31ID:vTuPKkpb0469現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/23(水) 06:29:17.68ID:RMqJgv5pどうも。スレ主です。
情報ありがとう
https://suu.edu/faculty/markmeilstrup/algebra/algebra.html
Mark Meilstrup Southern Utah University
https://suu.edu/faculty/markmeilstrup/algebra/syllabus-4220-1-Fall2013.pdf
Math 4220: Abstract Algebra I Fall 2013
か
https://suu.edu/faculty/markmeilstrup/algebra/X1studyguide.pdf
を見ると、C*のみならず、R*, Q*もあるんだ～
で、米国流かな
思うに、*を積の意味で使うのは、エクセルの影響だろう
和書（和文）では、見ない気がするがどうよ？
0470現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/23(水) 06:55:30.41ID:RMqJgv5phttps://suu.edu/faculty/markmeilstrup/algebra/algebra.html
Math 4220: Abstract Algebra I Fall 2013
を見ると、週２～３回講義があって、毎日宿題が出る。その宿題の回答要提出で、採点される
高校の時間割とやり方に近いかな
0471現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/23(水) 08:30:20.23ID:RMqJgv5p最初の問題5, (d)は、韓国人のHan-Bom Moon氏の米国での講義の問題か（下記URL）
これも、５０分講義で週２回。宿題は毎日で提出要だね
テキストは、Contemporary Abstract Algebra 8th Edition by Joseph Gallian (Author) (July 9, 2012)
このテキスト内で、C*が使われているかどうか確認できなかったが、おそらくYesなんだろう
8th Edition だが、初版からなんだろうね
http://www.hanbommoon.net/past-teaching/math-3005-2/
Han-Bom Moon Department of Mathematics, Fordham University
Fall 2014 ? Math 3005, Abstract Algebra I
Class meetings: Tuesday, Wednesday and Friday 11:30 ? 12:20, JMH 406
Text: Contemporary Abstract Algebra, 8th ed., J. Gallian, ISBN 978-1133599708
http://www.amazon.com/dp/1133599702
Contemporary Abstract Algebra 8th Edition by Joseph Gallian (Author) Publisher: Cengage Learning; 8 edition (July 9, 2012)
http://www.hanbommoon.net/
About me
I am a Peter M. Curran visiting assistant professor in the Department of Mathematics at the Fordham University.
I earned my Ph. D. in Mathematics in 2011 from Seoul National University, under the supervision of Young-Hoon Kiem.
After that, I spent two years at University of Georgia as a postdoc, working with Angela Gibney.
Before I went to graduate school, I studied Mathematics Education in Seoul National University.
0472現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/23(水) 09:03:00.99ID:RMqJgv5pContemporary Abstract Algebra (College S) (Unsttated First Edition) by Joseph A. Gallianが1985か
とすると、Microsoft Excelの影響は考えられない
1985版では、C*が使われていない可能性大
とすると、先の推定”このテキスト内で、C*が使われているかどうか確認できなかったが、おそらくYesなんだろう”は否定される
だから、Bom Moon先生が流行を取り入れて、C*を使うようになったのか？
http://www.gettextbooks.com/isbn/9780669093254
Contemporary Abstract Algebra (College S) (Unsttated First Edition)
by Joseph A. Gallian
Unknown, 496 Pages, Published 1985
https://ja.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel#.E6.AD.B4.E5.8F.B2
Microsoft Excel
後に1984年にLotusがMacintosh向け統合ソフト Jazz を開発していることが分かると、プラットフォームをMacintoshに移して改めて開発が進められ、1985年9月にMacintosh版が発売された。
この時点で将来のWindows対応を考慮に入れていた。同製品は、GUI環境に特化した優れた操作性と高い性能を有しベストセラーとなった。
0473現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/23(水) 09:30:34.39ID:RMqJgv5p> the multiplicative group of all non-zero complex numbers
↓
C*：the group of nonzero complex numbers under multiplication by >>467
が、standardな表現か
さらに言えば、>>467に引用されている二つの問題とも、C^*に対して定義を与えているだろ？
この定義を与えるってことが（仮に自分の周りでは普通に使われている記号だとしても）、大人の態度だと思うけどどうよ
・・・と、>>431はいま読むと定義を与えていたのか？ まあ、そう読めなくも無いね。が、>>467の英文の書きぶりと比べてみて！
まあ、それはさておき、C*がいま流行の表現だとすると、>>431 ID:CtqQag// くんは、かなり勉強しているという推定がはたらく
とすると、なにか回答が期待できそうかな？ (＾＾；
0474現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/23(水) 10:05:44.18ID:RMqJgv5phttp://www.amazon.co.jp/dp/4535787204
圏論の歩き方 単行本 ? 2015/9/9
注意を2つだけ:
(1)決して最初から一つ一つ完全に理解して行こうとしないでください。
(2)最初はともかく、本の最後まで流し読んでみてください。
この本はいわば、十数人のアクティブな若手研究者が「圏論」をテーマにわいわ
いやっている様子の実況中継です。読者の方の学習の助けになったり、ちょっと
した暇つぶしになったり、しばらく考えてみるヒントになったり、何か少しでも
貢献ができれば何よりのよろこびです。ぜひ楽しんでください!
『圏論の歩き方』編著者一同
0475現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/23(水) 10:15:39.04ID:RMqJgv5p>(1)決して最初から一つ一つ完全に理解して行こうとしないでください。
>(2)最初はともかく、本の最後まで流し読んでみてください。
これ、第一章の座談会や第１７章の”圏論のつまづき方”にも書いてあるけど
多くの日本流「最初から一つ一つ完全に理解して行こう」が通用しないってこと（多分一部の天才を除く）
英語のスピードラーニングという怪しい言葉があるけれど
まあ、英ネイティブスピーカーは、英文法も英語の辞書も使わずに喋るようになったんだわ（＾＾；
ということは、言葉の定義なんか適当なんだよ、最初は
大人になって、辞書読んで「ああ、こういう定義だったのか！」と
非ネイティブは、英文法と辞書は大きな助けだが
英文法と辞書だけでは、英語はしゃべれるようにはならないのもまた、事実
それが、上記の（１）と（２）の注意だと
ガロア理論に同じ
0476現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/23(水) 10:22:26.61ID:RMqJgv5p以前は、良く分からなかったが
「圏論の歩き方」を読んだので、ちょっとだけ分かる（ああ、あの話がここと関係しているんだと）
http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20060821/1156120185
檜山正幸のキマイラ飼育記 2006-08-21 (月)
はじめての圏論
全体目次：
第1歩：しりとりの圏 （このエントリー）
第2歩：行列の圏
第3歩：極端な圏達
第4歩：部分圏
第5歩：変換キューの圏
第6歩：有限変換キューと半圏
第7歩：アミダの圏
第8歩：順序集合の埋め込み表現
第9歩：基本に戻って、圏論感覚を養うハナシとか
付録／番外など：
中間付録A：絵を描いてみた
番外：同期／非同期の結合
中間付録B：アミダとブレイド
番外：米田の補題に向けてのオシャベリ
0477現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/23(水) 10:41:46.64ID:RMqJgv5pMicrosoft Excelの前に、表計算の元祖VisiCalcがあったけど・・・
それを、数学表現で取り入れるほどじゃなかったろう
https://ja.wikipedia.org/wiki/VisiCalc
VisiCalcは、世界初のパーソナルコンピュータ向け表計算ソフトである。それまでホビー用と考えられていたマイクロコンピュータをビジネスツールとして定着させるきっかけとなったソフトウェアである[1]。6年間で70万本を売り上げた[2]。
起源
1979年、Personal Software 社（後のビジコープ）が Apple II 向けに発売した VisiCalc は、ダン・ブリックリン考案、ボブ・フランクストン設計、彼らの Software Arts 社開発によるものであった[1]。
これにより Apple II はホビースト向けの玩具から便利なビジネスツールへと変貌した[3]。IBM PC が登場する2年前のことである。
VisiCalcの一部は、メインフレームなどによるタイムシェアリングシステムで広く使われていた表計算プログラムに着想を得ている。
例えば、International Timesharing Corporation (ITS) の Business Planning Language (BPL)、Foresight Systems の Foresight などがよく使われていた。
ブリックリンは「VisiClacを作り始めたころ、我々は様々な表計算プログラムに精通していた。
実際、ボブは1960年代から Interactive Data Corporation で働いており、そこで表計算ソフトを使っていたし、私もハーバード・ビジネス・スクールで触れたことがある」と記している。
しかし、それら初期の表計算プログラムは完全な対話型ではなく、パーソナルコンピュータ上で動作しなかった。
0478現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/23(水) 10:48:59.39ID:RMqJgv5pそういえば、*(アスタリスクを積の意味で使い出したのは、FORTRANだったかね（下記）。それが、表計算に入ったんだ
下記だと、伝統的数学では、”z* は複素数 z の複素共役。”、”演算子としての*は乗算ではなく畳み込みを表す。”か・・・。そんな気もしてきたね（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%82%AF
アスタリスク
コンピュータ
演算子
コンピュータではかけ算や乗数の記号(×の代用)に使われることが多い。FORTRANが設計された際に、IBM 721 系のカードパンチ機に×のキーが存在しなかったため、*で代用した名残といわれる。
** は、いくつかのプログラム言語では冪乗を示す。
任意
正規表現において、直前の表現の0回以上任意回のくりかえしを示す（クリーネ閉包）。
ファイル名の指定において文字数不定の任意の文字列にマッチするワイルドカード文字。
数学
A* は集合 A のクリーネ閉包。
z* は複素数 z の複素共役。
演算子としての*は乗算ではなく畳み込みを表す。
0479現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/23(水) 10:51:45.75ID:RMqJgv5p*(アスタリスクを積の意味で使い出したのは
↓
*(アスタリスク）を積の意味で使い出したのは
説明：後ろの括弧が消えていた
0480現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/23(水) 10:55:24.30ID:RMqJgv5p複素共役
複素共役をあらわすのには上線がよく使われる。 上付きのアスタリスク(z*)なども使われるが、行列での随伴行列などとの混乱を避けるためにあまり使われない。
（引用おわり）
か、なるほど・・・
0481現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/23(水) 11:00:41.88ID:RMqJgv5p畳み込み（たたみこみ、英: convolution）とは関数 f を平行移動しながら関数 g を重ね足し合わせる二項演算である。畳み込み積分、合成積、重畳積分、あるいは英語に倣いコンボリューションとも呼ばれる。
定義
関数 f, g の畳み込みは f?*?g と書き、以下のように定義される：
以下略
（引用おわり）
だから、数学で、f?*?gを積の意味で使うのは避けるんじゃないかな？・・・
0482１３２人目の素数さん
2015/09/23(水) 11:19:30.35ID:vNb8zPmY431です。>>431では
「ゼロをのぞく複素数全体の成す乗法群C＾*」
こういう風に書いたときには「C^*」を「ゼロをのぞく複素数全体の成す乗法群」として定義するという意味に
解釈するのが普通だと思います。
C^*という記号が一般的かどうかは無関係です。
なんなら「C^*」という部分を削除して
「ゼロをのぞく複素数全体の成す乗法群の 部分群全体の成す集合は実数体のベキ集合の濃度を持つ」
と書き換えても意味は通ります。
0483１３２人目の素数さん
2015/09/23(水) 13:12:37.88ID:pD2cR+0bおっちゃんです。C*-環または、C*-代数は、定義上は複素数体C上の線型空間になる。
線型空間は加法群の構造は持つが、乗法群の構造は持たない。
「C*」を測度論の集合関数の記号として使ったというような解釈は、文脈からあり得ない。
そんなことからして、>>443のように、普通は「C*」は複素数体Cの乗法群としか捉えようがない。
同じ代数でも、説明なしで単純に「Q(e)」と書かれたなら、少なくとも
1：有理数体Qに文字eを添加した体Q(e)、 2：有理数体Qに超越数eを添加した体Q(e)
の2通りの解釈が出来、解釈に疑いの余地は十分ある。1と2の両者はどちらもQの
超越拡大体になって、もし1と2の両者を同時に扱うときははっきり区別しないと、話がややこしくなる。
だが、今回の「C*」の場合は、通常は文脈からしてそのような余地がどこにもない。
疑いが生じるとすれば、通常は昔の文献の話になるだろうよ。
よく分からんので余り話したくはないが、文脈から「C*」に他の意味が生じるとすれば、
超準解析の話になるとは思う。「R*」の場合は、ときには超実数体としての「R*」を指す
こともあり、超準解析の話なら、そのような疑いの余地はまだ十分あるかも知れない。
0484現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/23(水) 13:53:43.47ID:RMqJgv5pどうも。スレ主です。
全部YES
それでいいだろ
だから、そろそろ回答をお願いしますよ
因みに、元は、おっちゃんの出題（下記）だった。それを記号の部分を普通文にして、正規部分群は省いて、非可算無限個存在する→連続濃度の”べきの濃度”を持つ としたんだ（因みに元の問題に対する私の回答は、旧スレ11の508だ）
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/498
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
498 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/02/01(日) 15:26:49.86 ID:f3suQEjt
>>497
次の問題はどう？ スレ主でも解けるでしょう。
複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。
0485現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/23(水) 14:00:31.18ID:RMqJgv5pおっちゃん、どうも。スレ主です。
超準解析か
なつかしいね
一時ほど言われなくなったね
思うに、シュワルツの超関数なり、佐藤の代数解析なり
無限大を扱う技術が発達したってことだろうか？（超準解析とは別に）
0486１３２人目の素数さん
2015/09/23(水) 14:37:40.84ID:pD2cR+0bシュワルツの分布は、元はδ関数とか、微分出来ない関数を扱う必要に迫られて、
偏微分方程式を解くために開発された。その後、偉大なお方は、シュワルツの分布の定義に
違和感を覚え、独自に、最初から代数的な超関数の理論を組み立てた。関数解析というより、
複素解析的要素が強い。なので、代数解析の元の1番の目的も、偏微分方程式への応用になるとは思う。
シュワルツの超関数の「超関数」の英訳は「distribution」だから、本来はシュワルツの分布と
いうのが正しいらしい。尚、その偉大なお方は、昔多変数関数論の論文も書いたことがある。
無限を扱う技術というより、主に線形偏微分方程式を扱う技術ですな。
0487１３２人目の素数さん
2015/09/23(水) 16:35:37.42ID:8N6Yr7Bx>>469
> *を積の意味で使うのは、エクセルの影響だろう
C^*の場合の*は単に0を除くと言う意味の印なので積の意味では使っていない
演算を強調するなら例えば
https://people.maths.ox.ac.uk/flynn/genus2/preliminaryreading.pdf
p.6の最下段のような書き方をすれば良い
> Similarly, let G=C^*, ×, the group of nonzero complex numbers
スレ主はエクセルに触れているが{記号}_{下付き添字}^{上付き添字}は(La)Tex由来の書き方
http://mathworld.wolfram.com/C-Star.html でも見られる書き方
>>433の出題意図をふまえて少し問題を変形する
Uを実数の集合Rから任意の実数を選んで構成した集合とする
U={0, 1, 2, 3}, U=N={1, 2, 3, 4, ...}, U=R
上の3つのUは集合としてどれも正しいがその濃度は？
0488現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/23(水) 19:31:25.35ID:RMqJgv5pどうも。スレ主です。
情報ありがとう
>C^*の場合の*は単に0を除くと言う意味の印なので積の意味では使っていない
それは、あなたの心の中でしょ？ それを定義として表に出すのはかまわんが。定義なしで、人に分かれというのが無理
>> Similarly, let G=C^*, ×, the group of nonzero complex numbers
ELLIPTIC CURVES. HT 2008/09. E.V. FLYNNさんね。読んだよ
*(アスタリスク）を主には、P1
Denition 0.1. A group is a set G with a binary operation *、 Closure: If f; g ∈ G then f * g ∈ G. などと演算子（a binary operation）として表現しているだろ？ その流れでのC*。なおｘは普通の数の積の意味で*と使い分けているね
なお、mathworld.wolfram.com/C-Starは見たけど、”The notation C^* is also used to denote the punctured plane C-{0}. ”は、そういう表記があるのは分かったが
C^*は、プログラミングとして解説しているんじゃないか？ 普通の論文や本の書き方の解説ではなく・・ （mathworld.wolfram.comの見出しと本文がアンマッチだから）
>U={0, 1, 2, 3}, U=N={1, 2, 3, 4, ...}, U=R
>上の3つのUは集合としてどれも正しいがその濃度は？
濃度は、左から、４、可算無限、非加算無限だろ
”集合として正しい”の意味が取れなかったが
0489現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/23(水) 20:20:46.58ID:RMqJgv5pおっちゃん、どうも
いつもコメントありがとう
無限大、無限小は、微分積分を扱うために、そのテクニックを開発する必要があった
時代は進んで、微分方程式が出てきた
ヘビサイドが、演算子法と階段函数Yを考えた。階段函数Yを微分するとδ函数になる
微積から、微分方程式、偏微分方程式を解くための、手法開発
それは、人類が無限大無限小を飼い慣らす歴史でもあった
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function
Dirac delta function
History
At the end of the 19th century, Oliver Heaviside used formal Fourier series to manipulate the unit impulse.[16]
The Dirac delta function as such was introduced as a "convenient notation" by Paul Dirac in his influential 1930 book The Principles of Quantum Mechanics.[17]
He called it the "delta function" since he used it as a continuous analogue of the discrete Kronecker delta.
0490１３２人目の素数さん
2015/09/23(水) 22:20:32.50ID:8N6Yr7Bx> 定義なしで、人に分かれというのが無理
> 演算子（a binary operation）として表現しているだろ？ その流れでのC*
>>487のPDFでは演算子はコンマ区切りして書いている
> general group G, *
> Z, +
C^*, ×の*が演算子だとは一切書いてなくてコンマの後ろが演算子だから×が演算子
この表記法で仮にC^*, *と書いたらコンマの後ろの*のみが演算子
スレ主は演算子でないものを演算子だと勝手に思い込んでいる
> C^*は、プログラミングとして解説しているんじゃないか？ 普通の論文や本の書き方の解説ではなく
plain text形式において^で上付き添字, _で下付き添字を表すというのはプログラミングは関係ないよ
> ”集合として正しい”の意味が取れなかったが
>>433の
> 例
> １．数２を選ぶ
> ２．乗法群Gは、２の整数べきを要素とする集合になる
の乗法群GをG(2)と書くことにする
U={G(2)}, U={G(2), G(3), G(5), ...}などを考えた場合でも>>433のUの構成法に矛盾しない
この場合の集合Uの濃度は？
0491１３２人目の素数さん
2015/09/23(水) 22:43:07.95ID:G+W3S700（ ･∀･)∩ ウンコビ━━━━━━━━━━━━━━━━━ム >εε=ヽ( `Д´)ﾉ ｳﾜｧｧｧｧﾝ
⊃ ＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＶＮ／
0492１３２人目の素数さん
2015/09/24(木) 01:29:25.77ID:xJeJ36wV0493現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/24(木) 22:17:12.23ID:TfzSNeGkどうも。スレ主です。シルバーウィークで変則です。さて
>スレ主は演算子でないものを演算子だと勝手に思い込んでいる
別にそうは言っていない。C^*>>431という記号が多義だと言っているんだ
１．そもそも、記号「^」(circumflex)を、どういうつもりで使っているのか？ 右上添え字のつもりだろうが、一意ではない
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%82%AB%E3%83%A0%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
それ自体が文字幅を持ち他の文字の上につくものではないサーカムフレックス「^」は、現行のASCII文字コードに含まれ、キーボード入力も容易であることから、とくにコンピューター言語などの分野において、多様な用途を生じている。
用法 冪乗の指数を表現する際に ^ を用いて表現することがある。
２．”和書（和文）では、見ない気がするがどうよ？”>>と書いた。英文例しか出てこない。和書（和文）では無いという理解でいいのか？
３．上記を認めるとして、C^*>>431は、日本語で書いたろ？ で、英語で書いてくれと要求>>437したら、>>445が出た。ところが、英文ではC^*は使っていない。このちぐはぐさは何だ？ もともとの和文でもC^*は不要だったということだろ？
４．”plain text形式において”というが、数学の専門書や論文でなぜplain text形式なんだ？ そういう主張なら、C^*（サーカムフレックス使用）の数学の専門書や論文を例示してくれ！
５．あんたが引用したmathworld.wolfram.comのサイト、wolframと言えば、Mathematicaの関連サイトである。だから、Wolfram_Alphaなどのための解説じゃないのかと言った
https://ja.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Alpha
概要
ユーザはテキストフィールドに質問や計算リクエストを入力して送信する。Wolfram Alphaは知識ベースの精選された構造化データから答えと関連する視覚的情報を計算する。
Wolfram Alphaはコンピュータ代数、記号および数値計算、可視化、統計などの機能を網羅するウルフラムのフラッグシップ製品Mathematicaの上に構築されている。答えは通常読みやすい形の解で示される。
・例：「lim(x->0) x/sin x」は正しい結果1に加え、ロピタルの定理を使った微分、プロット、そして級数展開を返す。
0494現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/24(木) 22:40:37.89ID:TfzSNeGk”和書（和文）では、見ない気がするがどうよ？”>>と書いた。
↓
”和書（和文）では、見ない気がするがどうよ？”>>469と書いた。
>>493 つづき
>> 例
>> １．数２を選ぶ
>> ２．乗法群Gは、２の整数べきを要素とする集合になる
>の乗法群GをG(2)と書くことにする
>U={G(2)}, U={G(2), G(3), G(5), ...}などを考えた場合でも>>433のUの構成法に矛盾しない
>この場合の集合Uの濃度は？
さっぱり、数学的でない記述に思えるのがだ？？？
１．上記は、あくまで一例
２．G(4)をなぜ省く？？
３．「任意の複素数の組みを選ぶ」>>433と書いたろ？ G（3,5）とか二つの素数の組み合わせや、任意の組み合わせで可だよ
４．だから、”G(5), ...}”の”, ..”のところを規定しないと、濃度は決まらないよ
５．さては、答えを教えて欲しいのか？ だが、教えてはやらん！（＾＾
0495１３２人目の素数さん
2015/09/25(金) 09:53:00.54ID:B3GkcDtp>微積から、微分方程式、偏微分方程式を解くための、手法開発
>それは、人類が無限大無限小を飼い慣らす歴史でもあった
それをいうなら、「微積から、…」ではなく「フーリエ級数から、…」な。
フーリエが熱現象を研究する前のオイラー等の無限の扱いの中には、今から見たら
トンデモ級になっている部分もある。フーリエ級数に関する定義の方法や収束性などの問題から
リーマン積分や集合論などが現れた。ちなみに、記号「C^*」の書き方を言葉で説明すると、
「2の右上に小さく5を書くことで2の5乗を表すときの感覚と同じような感覚で、
複素数体Cの乗法群を、記号でCの右上に小さく*を書くことで、表す。」となるな。
「C~*」を紙に書いたら、見てすぐ目に映る「C*」の「*」が「C」の右上に付く。
このような紙媒体上での記号を書くために、2チャンでは「C^*」と書く。
文脈上は、紙媒体上に2チャンで書くと「C~*」になる記号の意味は、一意に決まる。
日本でも複素数体Cの乗法群を「C^*」で表している本はある。
例えば、岩波講座基礎数学 環と加群 なんかがその1つですな。
まあ、あとはこの「C^*」という記号の話は、元の人とやって下さいな。
0496１３２人目の素数さん
2015/09/25(金) 10:52:45.49ID:B3GkcDtpあ～、>>495の「C^*」の紙媒体に書くときの解説の付け足し。
より正確には、複素数体の記号「C」を紙媒体に書くときは、ボールド体で、
「C」の左側の部分は縦に黒く塗りつぶして書くようにする。
記憶が正しければ、小平が書いたのが最初だったと思うが、
このような書き方は面倒だということで、現在のように、
紙にその記号「C」を書いたとき、「C」の左側の部分というか中央あたりに
縦線を1本引いて強調するように書くような形で表す記号になった。
以上、おっちゃんの解説でした。明日、明後日は書かないんで、
シルバーウィークということでお話ししたいなら、今のうちにどうぞ。
そういうコンピュータに書いたとき異なる云々という面では、
個人的には、論文もノート等の紙媒体に書いた方が書き易い。パソコンだと、
ハードディスクや容量の他、契約期間などの現実的な問題も生じる。
0497１３２人目の素数さん
2015/09/25(金) 21:28:42.88ID:Y0AVB9wzplain text形式が要求されることはある
http://www.cc4cm.org/mcs/instructionsforauthors.html
> The title and abstract of the paper in plain text
https://en.wikipedia.org/wiki/Caret
> Surrogate symbol for superscript and exponentiation
印刷物やpdfなどでは上付き添字を組版で処理できるから問題ないがそのような処理が
できない場合に^を使う
http://mathworld.wolfram.com/C-Star.html
で上付き添字を含む数式の表記に画像とplain text形式での^が混在しているのは
引用されることを考慮しているためだろう
https://ja.wikipedia.org/wiki/MathWorld
> MathWorldはウルフラム・リサーチ社が運営している数学の解説のウェブサイト。
> 各記事ページの最下部に "Cite this as:" という節があり、そこに記事の執筆者を含め
> 記事の引用の仕方が書かれている。
上付き添字の*で「0を除く」ことを示す和書の例としては
杉浦「解析入門」では最初の四則演算の所で「0でない実数全体の集合R^*」と言う表現があり
対数関数の所で「C^*」が使われている
また齋藤「線型代数入門」では体の説明の所で「K^*」が使われている
参考までに永尾「代数学」では上付き添字の#で「0を除く」ことを示して
「R^#」や「Q^#」や「C^#」などが使われている
> ３．上記を認めるとして、
これは>>431, >>445を書いた本人でないので省く
ただしC^*は不要だと指摘するのならスレ主は>>433で記号Gを使っているが
> ２．上記により、乗法群Gを構成する
> ３．このようにして構成されたGの集合を考える。
これは>>431のC^*と同じ使い方をしていることを理解しておいた方が良いと思う
0498１３２人目の素数さん
2015/09/25(金) 21:38:54.67ID:Y0AVB9wz>>433の
> １．ゼロを除く複素数の集合から、任意の複素数の組みを選ぶ
> ２．上記により、乗法群Gを構成する
> ３．このようにして構成されたGの集合を考える。それをUとする
> ４．集合Uは、連続濃度の”べきの濃度”を持つ
> 任意の組み合わせで可だよ
乗法群Gに関して>>490の書き方をそのまま使う
組み合わせと選び方は任意で制限が無いからG(2)のみとかG(n)(nは素数)とかでも
上記の操作で構成されたGの集合として数学的に問題ないわけでその場合は集合Uの濃度は
スレ主の希望するものとは異なることになる
濃度が実数Rと等しい集合の部分集合全てを選ぶように集合Uを構成させたかったら
文章を変えて「任意に構成されたある特定のGの集合」という意味を排除したほうが良い
たとえば「このようにして構成されるG全体の集合」など
> 数学的でない記述
”べきの濃度”はスレ主が勝手に作った用語だけど他人が同じような用語の使い方をしていたら
スレ主は>>437のような書き込みをするのでしょうね
0499現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 09:11:50.12ID:bCOBeChqどうも。スレ主です。
１．まず
”これは「ゼロをのぞく複素数全体の成す乗法群C＾*の
部分群全体の成す集合は実数体のベキ集合の濃度を持つ」
という意味でいいの？”>>431
について
もし、最初から「C＾*を、ゼロをのぞく複素数全体の成す乗法群とするとき、C＾*の部分群全体の成す集合は実数体のベキ集合の濃度を持つ」と書かれていたら、これほど揉めなかったろう
２．問題は、”ゼロをのぞく複素数全体の成す乗法群C＾*”の意味が、多義になっていること
つまり、上記書き換えのようになっていれば、C＾*の定義であることは明白だ。
が、最初の表現では、「記号C＾*が、数学的に何か特別の意味を付与されているかどうか？」の判定が必要な、書き方になっていた。（実際C*は、数学では多義だ）
そして、私スレ主は、最初これを定義と解釈せずに、そのように受け取った。
だから、そこの問題点を指摘しつつ、「英語に翻訳して、関係代名詞を使って係を明確にしてくれ。そうすれば正確に意味が取れるだろう」>>437と言った
３．そうすると、英文は>>445「The cardinality of the set of all subgroups of the multiplicative group of
all non-zero complex numbers is equal to the cardinality of
the power set of the real number field.」だと。記号C＾*は、居なくなった
４．だったら、日本文でも最初から
「ゼロをのぞく複素数全体の成す乗法群の
部分群全体の成す集合は実数体のベキ集合の濃度を持つ」としておけば、すっきりしていたろう
0500現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 09:26:38.86ID:bCOBeChq次に
> 数学的でない記述
>”べきの濃度”はスレ主が勝手に作った用語だけど他人が同じような用語の使い方をしていたら
>スレ主は>>437のような書き込みをするのでしょうね
君は食言をしている
君は、>>431"これは「ゼロをのぞく複素数全体の成す乗法群C＾*の
部分群全体の成す集合は実数体のベキ集合の濃度を持つ」
という意味でいいの？"と書いたろ？
”連続濃度の”べきの濃度”を持つ”が、数学的ない記述としても、君は質問の中で、”実数体のベキ集合の濃度を持つ”という、やや長めのしかし自分なりの正確な理解を書いた
それで良いんじゃないかい？
アレフ２とか、この板で正確な数学記号が文字化けせずに使えれば、そうしていたろう。お互いね
だが、”べきの濃度”は数学的でないかも知れないが、簡素なんだよ。シンプルイズベスト。分からなければ聞けば良い
それで良いんじゃ無いのか？
そして、この板で正確な数学的表現を要求するのがおかしいだろ？
C＾*を自分の定義した記号として使うことは、なんの問題もない
繰り返すが、最初から「C＾*を、ゼロをのぞく複素数全体の成す乗法群とするとき・・・とするか、最初からC＾*を使わないかだと>>499
0501現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 09:50:19.26ID:bCOBeChqおっちゃん、どうも。スレ主です。
フーリエ級数、フーリエ変換の話は重要だよね
ただ、フーリエ級数にしろフーリエ変換にしろ、歴史の中の時間軸という視点は欠かせない
現代数学における、フーリエ変換の重要性はますます、大きくなっているという印象がある
一方で、微積から意識されだした無限大無限小をどう理解すれば良いのか？
この問題意識も、近代現代数学の重要なテーマだった
「C^*」の話は、私の意見は>>499-500に書いた通りだ
0502現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 10:02:32.90ID:bCOBeChqおっちゃん、どうも。スレ主です。
数学の記号の多くは、手書きの時代に作られた
だから、現在のワープロでは表現が難しい場合も多い
ニュートンやオイラーの時代にTeX（下記URL）が使えたら、数学記号もきっとタイピングのしやすいように発展したような気がする
ところで、だから、正統な数学記号が載らない２ちゃんねる板での表現は、それなりに気をつかわないと、わけわからんことになりやすい
>>407で「証明は求めていない」としているのは、そういうこころだ
２ちゃんねる板で、こてこて正統な証明を書かれても、読む方も大変だし、また、書く方も大変だろうから
https://ja.wikipedia.org/wiki/TeX
TeX は、クヌースが自身の著書 The Art of Computer Programming を書いたときに、組版の汚なさに憤慨し、自分自身で心行くまで組版を制御するために作成したとされている。
開発にあたって、伝統的な組版およびその関連技術に対する広範囲にわたる調査を行った。その調査結果を取り入れることで、TeX は商業品質の組版ができる柔軟で強力な組版システムになった。
TeX はフリーソフトウェアであり、ソースコードも公開されていて、誰でも改良を加えることができる。
（引用おわり）
0503現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 10:10:14.18ID:bCOBeChq問題文に対するご批判は、承った
かつ、>>445での言い換え「The cardinality of the set of all subgroups of the multiplicative group of
all non-zero complex numbers is equal to the cardinality of
the power set of the real number field.」
について、Yesと回答した>>463
ごたくは良いから、上記英文の言い換え問題への解答を書いてくれよ（＾＾
0504１３２人目の素数さん
2015/09/26(土) 10:39:42.01ID:lLiT8vrO0505現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 11:36:05.47ID:bCOBeChqどうも。スレ主です。
まあ、そうかな。その批判は甘んじて受けよう
で？
どうか、君の実力を見せてくれよ>>503、数学の（＾＾
0506現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 11:41:17.77ID:bCOBeChqおっちゃん、どうも。スレ主です。
そうそう
”杉浦「解析入門」では最初の四則演算の所で「0でない実数全体の集合R^*」と言う表現があり
対数関数の所で「C^*」が使われている
また齋藤「線型代数入門」では体の説明の所で「K^*」が使われている”
ね
おっちゃん、勉強家やね～（＾＾；
一杯本もってんだ
が、日本ではそうポピュラーな表現ではないってことで委員会？
0507１３２人目の素数さん
2015/09/26(土) 14:03:40.31ID:/lCs7+db実数体のべき集合の濃度はアレフ2であるとは言えないでしょ
0508現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 15:53:37.54ID:bCOBeChq確かに。連続体仮説が必要ですかね？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0
アレフ数
連続体仮説（選択公理）
0509１３２人目の素数さん
2015/09/26(土) 16:27:53.69ID:dtZ+MayQ0510１３２人目の素数さん
2015/09/26(土) 18:42:04.75ID:NpA6PxnJ> 君は、>>431(略)と書いたろ？
>>497に「>>431, >>445を書いた本人でない」と書いた
記号C^*に対して>>443でちゃんとした説明をしてくれている人がいるのにスレ主は>>464で
トンチンカンな思い込みを押し付けようとしていたから>>467を書き込んだのが最初
>>503
>>431, >>445でないが>>498には「濃度が(略)集合Uを構成させたかったら」と一応書いておいた
からスレ主が用意している解答を理解しているかは勝手に判断してくれ
>>506
> 日本ではそうポピュラーな表現ではないって
(大学数学の入門レベルの勉強をある程度して記号に慣れている人にとってという意味で)
日本に限ったことではないがR, Z, Q, Cに添字で何か記号がついていたら何か条件がついている
と最初に考えるのは自然なこと
記号のつけかたは人によって異なるが記号は*, ×, +, -, #などが条件は「0を除く」「正の」
「負の」「非負の」などがよくある
だから杉浦「解析入門」の「0でない実数全体の集合R^*」を見たら条件を探せば*が「0でない」
の意味であると判断できるし永尾「代数学」なら#が「0でない」の意味であると判断できる
>>431の場合でも同様に「ゼロを除く」とあるから*の意味は判断できる
0511現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 18:49:23.05ID:bCOBeChqどうも。スレ主です。
>スレ主さんは東大受験レベルの数学ならスラスラとけるレベルですか？
いや、そうは行かないだろうね
１．昔、数学だけなら全国模試で偏差値７０くらい行くときもあったけど、平均ではもう少し下がるだろう
２．東大の問題は、基本は新作問題が出る（因みに、昔東工大は過去問で手抜きしていると言われた。新作問題を出すのは、京大や阪大もかな）
３．東大の数学問題でよく言われたのは、ひねりがあって、力業（計算力）で解こうとすると、計算が大変になるが、ちょっとあることに気付いて工夫すると、すっと解ける。それを、限られた時間で見つけられるかどうかだと
４．なので、繰り返しになるが、知識だけでは解けない、ひねりがある出題だと
５．その点、代数方程式のガロア理論の方は、分かればすっきりですよ（＾＾；
0512現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 19:13:10.82ID:bCOBeChqどうも。スレ主です。
ご忠告ありがとう
いやー、まず警戒したんだよね。罠じゃないかと（＾＾；
なんか、訳分からん記号を使って・・・
もちろん、定義だと読めなくも無い
が、うかつに乗れない（下手なコメントを付けない方が良い）よねと
また、意図が読めなかった
問題自身は、かなり明白だから、わざわざ言い換える意図が
それで、探るために、観測気球を投げたんだ（＾＾；
しかし、>>407程度の問題は、どっかでだれか解いた文献とかないのかね～？
アレフ２なんて、だれもあまり考えないだろうとは思ったが・・・
追伸
今考えると、「ゼロを除く」とする必要もないかも
ゼロを含むと、ゼロの逆数がとれなから、群にならないだけ
「任意の複素数より成る乗法群の全てから成る集合をUとする。Uは、連続濃度の”べきの濃度”を持つ。ここに、ZFC公理系（下記URL）を仮定し、連続濃度の”べきの濃度”は、アレフ２に等しい。」とでも表現しますかね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96#ZF_.E5.85.AC.E7.90.86.E7.B3.BB
上記の ZF に次に述べる選択公理（axiom of choice）を加えた公理系を ZFC という（C は "choice" の頭文字）。選択公理を仮定しない体系も盛んに研究されている。
0513１３２人目の素数さん
2015/09/26(土) 19:54:53.47ID:NpA6PxnJ証明のステップは増えるが
集合Uは連続体濃度の連続体濃度べきの濃度をもつ
集合Rの濃度をそのままRで書くことにすれば
集合Uの濃度はR^Rである
とか
0514１３２人目の素数さん
2015/09/26(土) 20:44:53.69ID:0jJw3FLY＞>>507
＞連続体仮説（選択公理）
連続体仮説と選択公理は別物ですよ。
それに今の場合だと単なる連続体仮説でなく
一般化された連続体仮説を仮定するべきです。
そもそも、アレフ2などと言わずに実数体のベキ集合の濃度と言えばいいだけの話です。
それなら連続体仮説などは不要です。
0515１３２人目の素数さん
2015/09/26(土) 20:48:27.37ID:CdnFxCyH0516現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 21:13:37.10ID:bCOBeChqみんな、ごたくはいいから、答えを書けよ！（＾＾
0517現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 21:15:49.25ID:bCOBeChqサイエンス社の代数学演習？？ しらねー
が、代数の演習問題は、適当に解いたよ。自分の理解に必要な分くらいはー
0518現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 21:20:32.44ID:bCOBeChqhttp://www.nikkei-science.com/201511_088.html
日経サイエンス 2015年11月号
巨大分類定理を継承 数学者たちの挑戦
S. オーンズ（サイエンスライター）Stephen Ornes テネシー州ナッシュビルを拠点とするサイエンスライターで，数学からがん研究まで幅広いテーマについて執筆している。フランスの女性数学者ソフィ・ジェルマン（Sophie Germain）の伝記を2008年に出版した。
数学に「群論」と呼ばれる一大分野がある。対称性（何かが一連の変換を経た後にもとと同じに見えること）を数学的に探究する学問で，素粒子物理学はじめ多くの科学分野の基礎となっている。
この宇宙に見られる対称性が4つのカテゴリーに分類されるとする「有限単純群の分類定理」は20世紀数学の金字塔で，その証明は数学史上で最も長大だ。
100人以上の著者が数百の論文誌に部分部分を記述した多数の論文からなり，全体で1万5000ページにもなる。だが，このままでは専門家も全体を通読できない。
そこで，証明をすっきりとまとめる作業が半ばまで進んできた。知の集積を次代に継承するための挑戦だ。
原題名
The Whole Universe Catalog（SCIENTIFIC AMERICAN July 2015）
0519現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 21:22:30.92ID:bCOBeChqClassification of finite simple groups
Contents
1 Statement of the classification theorem
2 Overview of the proof of the classification theorem
2.1 Groups of small 2-rank
2.2 Groups of component type
2.3 Groups of characteristic 2 type
2.4 Existence and uniqueness of the simple groups
3 History of the proof
3.1 Gorenstein's program
3.2 Timeline of the proof
4 Second-generation classification
4.1 Why is the proof so long?
5 Consequences of the classification
0520現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 21:33:03.53ID:bCOBeChqClassification of finite simple groups
History of the proof
Gorenstein's program
In 1972 Gorenstein (1979, Appendix) announced a program for completing the classification of finite simple groups, consisting of the following 16 steps:
1.Groups of low 2-rank. This was essentially done by Gorenstein and Harada, who classified the groups with sectional 2-rank at most 4.
Most of the cases of 2-rank at most 2 had been done by the time Gorenstein announced his program.
2.The semisimplicity of 2-layers. The problem is to prove that the 2-layer of the centralizer of an involution in a simple group is semisimple.
3.Standard form in odd characteristic. If a group has an involution with a 2-component that is a group of Lie type of odd characteristic,
the goal is to show that it has a centralizer of involution in "standard form" meaning that a centralizer of involution has a component that is of Lie type in odd characteristic and also has a centralizer of 2-rank 1.
4.Classification of groups of odd type. The problem is to show that if a group has a centralizer of involution in "standard form" then it is a group of Lie type of odd characteristic.
This was solved by Aschbacher's classical involution theorem.
5.Quasi-standard form
6.Central involutions
7.Classification of alternating groups.
8.Some sporadic groups
つづく
0521現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 21:34:54.17ID:bCOBeChqClassification of finite simple groups
History of the proof
Gorenstein's program
In 1972 Gorenstein (1979, Appendix) announced a program for completing the classification of finite simple groups, consisting of the following 16 steps:
つづき
9.Thin groups. The simple thin finite groups, those with 2-local p-rank at most 1 for odd primes p, were classified by Aschbacher in 1978
10.Groups with a strongly p-embedded subgroup for p odd
11.The signalizer functor method for odd primes. The main problem is to prove a signalizer functor theorem for nonsolvable signalizer functors. This was solved by McBride in 1982.
12.Groups of characteristic p type. This is the problem of groups with a strongly p-embedded 2-local subgroup with p odd, which was handled by Aschbacher.
13.Quasithin groups. A quasithin group is one whose 2-local subgroups have p-rank at most 2 for all odd primes p, and the problem is to classify the simple ones of characteristic 2 type. This was completed by Aschbacher and Smith in 2004.
14.Groups of low 2-local 3-rank. This was essentially solved by Aschbacher's trichotomy theorem for groups with e(G)=3. The main change is that 2-local 3-rank is replaced by 2-local p-rank for odd primes.
15.Centralizers of 3-elements in standard form. This was essentially done by the Trichotomy theorem.
16.Classification of simple groups of characteristic 2 type. This was handled by the Gilman-Griess theorem, with 3-elements replaced by p-elements for odd primes.
引用おわり
0522１３２人目の素数さん
2015/09/26(土) 21:38:32.50ID:NpA6PxnJ>>513と>>510は同一人物ね
答えは別に書かなくてよいから
集合Uは連続体濃度の連続体濃度べきの濃度をもつ
を一度証明してみろよ
0523現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 21:42:04.33ID:bCOBeChqClassification of finite simple groups
In 1973, Aschbacher became a leading figure in the classification of finite simple groups. Interestingly,
Aschbacher considered himself somewhat of an outsider in the world of conventional group theory, claiming that he was not "plugged into the system at that point in time." [6]
Although he had access to several preprints that were shared among the practitioners of the field, he reproduced many proofs that had already been discovered by other researchers and published them in his early papers.
Aschbacher only became interested in finite simple groups as a postdoctorate.
He wrote his dissertation in combinatorics and was able to utilize many techniques developed in this area to make early contributions to the study of finite simple groups which surprised the community of researchers.
In particular, Daniel Gorenstein, another leader of the classification of finite simple groups, said that Aschabacher's entrance was "dramatic." [7]
つづく
0524現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 21:46:34.67ID:bCOBeChqClassification of finite simple groups
つづき
In fact, the rate of Aschbacher's results proved so astounding that many other mathematicians decided to leave the field to pursue other problems.
Aschbacher was proving one major result after another and when he announced his progress at the Duluth conference, mathematicians were convinced that the problem was almost solved.
This conference represented a turning point for the problem as many mathematicians (in particular those relatively new to the field) decided to leave the field to pursue other problems.[8]
つづく
0525現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 21:49:31.90ID:bCOBeChq同一人物だとか、だれだとか、無問題
証明？ いやだね
２ちゃんねるで証明は書くべきでは無いというのが、スレ主の主張だからだ！（＾＾
0526現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/26(土) 21:52:43.33ID:bCOBeChqClassification of finite simple groups
つづき
However, Aschbacher's entrance into the field did not come without difficulties.
Aschbacher's papers, beginning with the first he wrote in the field for publication, were very difficult to read.
Some commented that his proofs lacked explanations of very sophisticated counting arguments.
As Aschbacher's proofs became longer, it became even more difficult for others to understand his proofs.
Even some of his own coauthors had trouble reading their own papers.
From that point on, researchers no longer read papers as independent documents, but rather ones that required the context of its author.
As a result, responsibility of finding errors in the classification problem was up to the entire community of researchers rather than just peer-reviewers alone.
That Aschbacher's proofs were hard to read was not due to a lack of ability, but rather to the astounding complexity of the ideas he was able to produce.[9]
Education and career
He was awarded the Rolf Schock Prize for Mathematics by the Royal Swedish Academy of Sciences in 2011.[4]
In 2012 he received the Leroy P. Steele Prize for Mathematical Exposition and the Wolf Prize in Mathematics, and became a fellow of the American Mathematical Society.[5]
0527１３２人目の素数さん
2015/09/26(土) 21:53:43.28ID:NpA6PxnJ> ２ちゃんねるで証明は書くべきでは無いというのが、スレ主の主張だからだ
だから「答えは別に書かなくてよいから」と前もって書いてあるではないか
0528１３２人目の素数さん
2015/09/26(土) 22:12:57.57ID:lLiT8vrO逃亡乙
0529現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/27(日) 17:21:18.18ID:gUDLBQ6yマジレスすれば、対角線論法ね。過去スレにあるよ。例えば
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/599
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12
599 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 14:23:50.58 ID:ooXUMShZ
>>596
関連
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95
（抜粋。文字化けご容赦、修正しません）
カントールの対角線論法（カントールのたいかくせんろんぽう）は、数学における証明テクニック（背理法）の一つ。
1891年にゲオルク・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文[1]の中で用いられたのが最初だとされている。
その後対角線論法は、数学基礎論や計算機科学において写像やアルゴリズム等が存在しない事を示す為の代表的な手法の一つとなり、例えばゲーデルの不完全性定理、停止性問題の決定不能性、時間階層定理といった重要な定理の証明で使われている。
対角線論法
集合による表現
対角線論法とは、陰に陽に以下の補題を使って定理を証明する背理法の事である。
Xを集合とし、2XをXのべき集合とする。さらにψをXから2Xへの写像とする。Xの部分集合YをY=\{x\in X: x\notin\psi(x)\}により定義すると、ψ(x)=Yとなるx∈Xは存在しない。
上の補題は以下のように示せる。ψ(x)=Yとなるx∈Xが存在すると仮定したうえでxがYの元であるか否かを考える。
もしxがYの元であればx∈Y=ψ(x)である。しかしYの定義より、Yはx\notin\psi(x)を満たすxの集合であるので、x\notin\psi(x)でなければならず、矛盾する。
反対にもしxがYの元でなければx\notin Y=\psi(x)であるが、Yの定義により、x\notin\psi(x)であるxはYの元でなければならず、やはり矛盾する。
0530現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/27(日) 17:25:39.53ID:gUDLBQ6yこれも。（私だが、コテになっていない。このときは専用ブラウザの調子が悪かったためと思う）
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/219
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12
219 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 06:09:22.66 ID:NplpTsbd
どうも。スレ主です。
長谷川真人がなかなか良い
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_hasegawa.pdf
自己言及の論理と計算 - 京都大学 長谷川真人 京都大学数理解析研究所数学入門公開講座（2002 年8 月5～8 日）の予稿を改訂（2006 年5 月
／ 2007 年8 月／ 2011 年6 月）
目次
I 自己言及と対角線論法2
1 ラッセルの逆理2
2 カントールの対角線論法2
3 自己適用3
4 停止性問題5
5 対角線論法から不動点へ7
6 不動点定理から具体例を見直す8
II 矛盾したものを構成する11
1 完備半順序集合と連続関数11
2 最小不動点の発想12
3 最初の試み13
4 埋め込みと射影14
5 なぜ失敗したか15
6 正しい解の構成| 逆極限法16
0531現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/27(日) 17:40:51.09ID:gUDLBQ6yそれを、私ごときが、数日、数週間、いや同じ年月をかけたところで、スクラッチ（下記ご参照）で証明を書けるはずもない
http://homepage3.nifty.com/kyousei/tensai2.html
天才数学者のエピソードで綴るデンジャラス・ストーリー（２）
２．デンジャラスな無限というものに魅入られた天才たち
この章は「数学者列伝II」ジェイムス著、蟹江幸博訳、シュプリンガー・ジャパン、と『「無限」に魅入られた天才数学者たち』アミール・Ｄ・アクゼル著、青木薫訳、早川書房を骨子としている。
＝＝＝＝＝＝＝
カントール
＝＝＝＝＝＝＝
１８７３年にはデデキントに、実数の集合は可算でないことを手紙で書き送っている。
おなじみのカントールの対角線論法による証明は１８７４年に初めて行っているが、彼自身はその段階では理解が不十分であり、１８９１年になって改良を加えた強力なものにしている。
http://e-words.jp/w/%E3%82%B9%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%83%83%E3%83%81%E9%96%8B%E7%99%BA.html
スクラッチ開発 【 development from scratch 】
スクラッチ開発とは、既存の製品や雛形などを流用せずに、まったく新規にゼロから開発すること。
システム開発で、特定のパッケージ製品のカスタマイズや機能追加などによらず、すべての要素を個別に最初から開発することをスクラッチ開発という。
ソフトウェア開発の場合は、元になるソースコードや雛形などを使用せず、何も無い状態からコードを記述していくことをスクラッチ開発という。
他から流用する要素が一切無い場合を特に「フルスクラッチ」（full scratch）ということがある。
0532現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/27(日) 17:43:26.15ID:gUDLBQ6yこれは面白かったが、これだけでは当然理解できないので、他にも参照しました
それが>>529とかいろいろね
0533現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/27(日) 17:54:57.36ID:gUDLBQ6ywww.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_hasegawa.pdf
2 カントールの対角線論法
やはり良く知られているカントール（Cantor, G., 1845-1918）の対角線論法は，
はじめに述べたラッセルのパラドックスと大変良く似た構造を持っている．
定理1 自分自身の巾集合を含むような集合は存在しない．より正確には，任意
の集合X について，その巾集合2X からX への単射は存在しない．
証明はラッセルのパラドックスに用いられたのとほとんど同じ論法による．X を
集合とし，m : 2^X → X を単射としよう．ここで，X の部分集合R を，
R = {m(A) | A ⊆ X, m(A)? A}
と定義しよう．問題は，m(R) がR に属するかどうかである．
まず，m(R) ∈ R と仮定しよう．R の定義により，m(A) ?∈ A なるA ⊆ X が存在してm(R) = m(A)となるはずである．
m は単射だから，R = A．したがってm(R) ?∈ R となり，矛盾する．
しかし，m(R) ?∈ R と仮定すると，R の定義によりm(R) ∈ R となり，やはり矛盾する．
問題1 定理1 の証明と，通常の(自然数と実数の濃度に関する) カントールの対角線論法とを比較してみよ．
0534現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/27(日) 18:01:43.42ID:gUDLBQ6yああー、文字化けしたね
R = {m(A) | A ⊆ X, m(A)? A}→R = {m(A) | A ⊆ X, m(A) not ∈ A} とでも書きますか。∈の否定記号が入らないんだ
ところで、長谷川先生のPDFから、ラッセルのパラドックスも引用しておこう
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_hasegawa.pdf
Part I
自己言及と対角線論法
1 ラッセルの逆理
ラッセル（Russell, B.A.W., 1872-1970）は，有名なパラドックスを指摘すること
により，安易な集合論の定式化が矛盾をひきおこすことを示した．ラッセルのパ
ラドックス(のよく引用されるヴァージョン) とは以下のようなものである．
ラッセル集合とは，それ自身を要素として含むような集合のことであるとする．
すなわち，X ∈ X であるような集合X のことをラッセル集合とよぶことにする．
さて，M を，ラッセル集合でないような集合の集合であるとしよう．
このとき，M自身はラッセル集合だろうか？もしMがラッセル集合だとすると，ラッセル集合の定義よりM ∈ Mである．
しかし，これはMの元はラッセル集合ではないことと矛盾している．
ところが，Mをラッセル集合ではないと仮定してみても，Mはラッセル集合でないような集合の集合だったから，M∈Mであり，したがってMはラッセル集合となる．
以下では，導入として，この良く知られたパラドックスと，数学基礎論や計算の
理論などにおける関連した話題について解説する．その後，それらに共通する数
学的構造を，一種の不動点定理として定式化し，一般的な視点から考察する．と
ころどころで数学基礎論，直観主義論理，圏論，プログラミング言語などの知識
を要するところも出てくるが，馴染みのない事柄については，とりあえずとばし
て頂いてかまわない．
0535現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/27(日) 18:04:31.62ID:gUDLBQ6yもう一つ訂正
その巾集合2X →その巾集合2^X
(PDFからのコピーだと、右肩の添え字が、普通の文字になるんだ)
0536現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/27(日) 18:13:48.62ID:gUDLBQ6yR = {m(A) | A ⊆ X, m(A) not ∈ A} が、自己言及になっている
もっと言えば、否定を使った自己言及になっている
（このカッコの中の文はウソです）という、うそつきパラドックスに類似と思って貰えれば良いだろう。それ（うそつきパラドックス）を、数学的に厳密に記述したのが、カントールの対角線論法だと、長谷川先生はいう
まあ、対角線論法のネーミングの由来は、「実数を無限小数展開して並べたものと、整数との対応」を図式したものから来ていることは、みなさんご存知の通りだ
0537現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/27(日) 18:17:45.15ID:gUDLBQ6y君なら理解できるだろう（＾＾
0538現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/27(日) 18:30:32.70ID:gUDLBQ6yどうも。スレ主です。
ご指摘の通りです
（>>508の引用先にも書かれていますが）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0
アレフ数
連続体仮説 （内容省略）
選択公理の役割 （内容省略）
0539現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/27(日) 18:45:53.04ID:gUDLBQ6y１．まあ、複素平面から、原点のゼロを抜いた集合をC^*(下記より借用)とすると、C^*の濃度は、もちろん連続濃度だ
２．そして、C^*の部分集合の集合（つまりべき集合）の濃度は、実数体のベキ集合の濃度だ>>514
３．任意のC^*の部分集合で通常の積を考えて、逆元や単位元を追加すれば、群を成す
４．問題は、群が一致する場合が生じるときをどう処理するか。（例えば、一つの数２から生成される群と二つの数２と４から生成される群は一致する）
>>488 ”The notation C^* is also used to denote the punctured plane C-{0}. ”
問題を理解して頂いているとは思うが、一言
0540現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/27(日) 19:36:40.57ID:gUDLBQ6y>>514 ID:0jJw3FLYさんのご指摘は、ほぼ正しいと思ったが
一点、”アレフ2などと言わずに実数体のベキ集合の濃度と言えばいいだけの話です”という陳述がね
選択公理も連続体仮説も仮定しないとすると
基礎論的には、不成立かなと（せめて選択公理は必要だろう）
だから、>>539は、選択公理は前提ということでお願いします（＾＾
0541１３２人目の素数さん
2015/09/27(日) 19:45:02.55ID:puwZjbQp> なんらかの解答
最短は「3<4」の3文字かな
0542現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/27(日) 22:15:01.45ID:gUDLBQ6yそれが、ID:puwZjbQpくんの数学の実力かい？ いい友！（＾＾
0543１３２人目の素数さん
2015/09/27(日) 23:13:33.28ID:puwZjbQp「4<9」でも良いよ
0544１３２人目の素数さん
2015/09/28(月) 01:05:58.51ID:fF84s00a自己言及といえば個人的にはホフスタッターの本を思い出す
http://www.amazon.co.jp/dp/4826901267/
GEBの方が有名だと思うが
http://www.amazon.co.jp/dp/4826901259/
「この文章には動詞がな」
があったことをなぜか思い出した
感心したのは
http://www.public.coe.edu/wac/IS7.htm より孫引き
Only the fool would take trouble to verify that his sentence was composed
of ten a's, three b's, four c's, four d's, forty-six e's, sixteen f's, four g's,
thirteen h's, fifteen i's, two k's, nine l's, four m's, twenty-five n's, twenty-four
o's, five p's, sixteen r's, forty-one s's, thirty-seven t's, ten u's, eight v's,
eight w's, four x's, eleven y's, twenty-seven commas, twenty-three apostrophes,
seven hyphens, and, last but not least, a single !
ID:NpA6PxnJ=ID:puwZjbQpによって書かれたこの文には「ぬるぽ」という単語ガッ含まれている
0545１３２人目の素数さん
2015/09/28(月) 01:08:41.28ID:YvdaQEC1チャイティン・オメガのスレにも書き込んでくれくれ
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1443110811/
スレ主はいいや・・・
0546１３２人目の素数さん
2015/09/28(月) 02:48:24.39ID:Dd+dZ/mj0547１３２人目の素数さん
2015/09/28(月) 10:48:27.93ID:by0B8T2Yおっちゃんです。>>338-340について聞いている工学部君？
「今の」微分積分や線型代数の内容なら、論理性が不足したり内容の数学的背景を知らないと読むのはムリ。
基本的に、現代数学概説Ⅰ、Ⅱの書き方はブルバキ流で、はじめから読むようになっている。
そのブルバキが書かれた目的が、微分積分などの解析学を厳密に展開することだった。
私自身が、岩波講座基礎数学 解析入門や線型代数 を読むのに必要に迫られて現代数学概説Ⅰ、Ⅱ
を少し読んだことがある。現代数学概説Ⅰでは、集合から始まり群、環、体へと進み、
最後は線型代数(ホモロジー代数)の内容で閉じている。そして、現代数学概説Ⅰの付録では、
杉浦解析入門Ⅰの最初やポントリャーギン連続群論に書かれている、
任意の完備な順序体は実数体Rに同型であることの証明も丁寧に書かれている。
今の線型代数では、群、環、体は導入せず、現代数学概説Ⅰの最後の方の解説をしている(と思う)。
同時に発行されている和書の数からしたら、今の方が多い筈。
そういう訳で、「昔の数学科のレベルの」微分積分や線型代数の知識があれば、読めると思う。
0548１３２人目の素数さん
2015/09/28(月) 20:44:51.84ID:EnwaIxfnその説明だと、解析・線型代数と現代数学概説のどちらがどちらの基礎知識なのかさっぱりだぞ。
多分解析・線型代数が基礎だと言いたいのだと思うが、
＞解析入門や線型代数 を読むのに必要に迫られて現代数学概説Ⅰ、Ⅱを少し読んだ
と言ってるし、
＞任意の完備な順序体は実数体Rに同型であることの証明
については、現代数学概説では丁寧に書かれてるのでより初心者向きであるとも取れる。
0549１３２人目の素数さん
2015/09/30(水) 23:41:28.52ID:DjLsV/EMこのとき、K(ζ,n√a )がK(ζ)の巡回拡大である。
これってどう証明すれば…？？
0550１３２人目の素数さん
2015/10/01(木) 00:37:11.13ID:OrTFDs5M0551１３２人目の素数さん
2015/10/01(木) 00:45:45.09ID:ICFD2tiY0552１３２人目の素数さん
2015/10/01(木) 01:27:44.93ID:OrTFDs5Mよって、Gal(K(ζ,n√a )/K(ζ))からΜnへの群同型写像を構成してやればよい。
0553１３２人目の素数さん
2015/10/01(木) 14:57:55.12ID:PNpv1+eeおっちゃんです。何か>>547だとよく分からないみたいなので、
個人の学習法を晒すことになって、そんなことしても意味がないと思うんだけど、書き直します。
「今の」微分積分や線型代数の内容なら、論理性が不足したり内容の数学的背景を知らないと読むのはムリ。
基本的に、現代数学概説Ⅰ、Ⅱの書き方はブルバキ流で、はじめから読むようになっている。が、現代数学概説Ⅰは、
必ずしもはじめから1ページずつページを辿って読む必要はない。同様に、現代数学概説Ⅱも、位相の部分は、
はじめから読む必要はない。そのブルバキが書かれた目的が、微分積分などの解析学を厳密に展開することだった。
私自身が、岩波講座基礎数学(1976年刊行スタート) 解析入門、線型代数 を読むのに必要に迫られて
現代数学概説Ⅰの主に集合の部分、Ⅱの位相の部分を少し読んだことがある。現代数学概説Ⅰ(1960年初版)では、
集合から始まり群、環、体へと進み、最後は線型代数(ホモロジー代数)の内容で閉じている。そして、その付録では、
杉浦解析入門Ⅰの最初やポントリャーギン連続群論に書かれている、任意の完備な順序体は実数体Rに同型であること
の証明も丁寧に書かれている。しかし、この丁寧というのは、微分積分を学ぶ人にとっての丁寧ではなく、
この部分を理解するには群、環、体の知識が少しは必要で、その上位相も必要になる。
岩波講座基礎数学 線型空間、Jordan標準形と単因子論(両方線型代数)では、群、環、体、一変数複素解析は或る程度している。
現代数学概説Ⅰの付録では、位相も少し載っている。同時に発行されている和書の数からしたら、今の方が多い筈。
そういう訳で、「1970年代の数学科のレベルの」微分積分や線型代数の知識があれば、読めると思う。
0554１３２人目の素数さん
2015/10/01(木) 15:15:05.19ID:PNpv1+eeちなみに、「1970年代の数学科のレベルの」微分積分や線型代数 の本で、
>>553で挙げたのに近い今売られているモノだと、杉浦解析入門、齊藤線型代数入門(東大出版)かな。
どっちも持っていないので詳細は分からんが、一番近いモノは多分これだろうな。
それか、線型代数は裳華房の佐武か。佐武は内容を見たことがないので、よく分からない。
0555１３２人目の素数さん
2015/10/01(木) 19:48:59.18ID:ICFD2tiYおおっ！ありがとう。それ読んで参考書見たら理解できた。
そういう意味だったのか。
この手の証明ってどこが本質なのかつかむのが難しい。
0556１３２人目の素数さん
2015/10/01(木) 20:15:07.07ID:+XOWdeo3一応スレ主さんに聞いておきたいんですが、スレ主さんは
この問題を解けているんですか？
0557１３２人目の素数さん
2015/10/01(木) 22:33:11.77ID:HhSAXaUlありがとうございます。いま現代数学概説を注文しました。
私も線形代数は佐武の本で勉強しましま
0558１３２人目の素数さん
2015/10/02(金) 00:42:22.15ID:EgGrspfD区間[0,1]の実数集合の濃度と実数全体集合の濃度は等しい。
このことは、「選択公理が正しい」というのと等価なのか？
バナッハ＝タルスキーのパラドックス
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%EF%BC%9D%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
というパラドックスと同じ話か？
798 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/09/30(水) 23:30:27.18 ID:vgvFGA4E
>>797
月とすっぽん
799 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/09/30(水) 23:33:40.12 ID:iWUT1FfZ
どっかのアホのスレ主と同じ勘違いしてる…
800 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/10/01(木) 00:20:54.55 ID:OrTFDs5M
どっかのアホのスレ主だから 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:405b7f1af0f5a85b432d79fa769e9aeb)
0559１３２人目の素数さん
2015/10/02(金) 19:29:42.93ID:pSG9KaNK問題 L=K(a)，M＝K(b) ともに、Kの有限次アーベル拡大。このとき、K(a,b)はKの有限次
アーベル拡大であることを証明せよ。
とのことですが…。わからない…
0560現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/02(金) 21:58:16.44ID:NcyDDzi0どうも。スレ主です。
>一応スレ主さんに聞いておきたいんですが、スレ主さんは
>この問題を解けているんですか？
ああ、一応自分なりにはね。が、自分が先に解答を書くつもりはないよ
だれか、ほぼ正解に近いことを書いたあとでないと、解答は書かない
そうしないと面白くないだろ？（＾＾
なお、自分の解答をあらためて思い出すと、選択公理と（一般）連続体仮説を使っているね（この二つを仮定しないと、えらくややこしいことになりそう・・）
なので、選択公理と（一般）連続体仮説の二つを前提でどうぞ
強制ではないので、不要という解き方も可です
0561１３２人目の素数さん
2015/10/02(金) 22:07:22.24ID:MlbHRD0Cこの問題に連続体仮説は無関係でしょ。選択公理は必要かと思いますが。
0562現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/03(土) 06:56:43.85ID:/7z3oMVsどうも。スレ主です。
>この問題に連続体仮説は無関係でしょ。選択公理は必要かと思いますが。
詳しく書くと、解答のねたばらしになるので、書きたくないが
おそらく本質は、ご指摘の通りかも知れない
しかし、（一般）連続体仮説を置く方が、問題は簡単になると思う
それで解答を考えたから
0563現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/03(土) 07:04:39.15ID:/7z3oMVsどうも。スレ主です。
人に教えるレベルではないのですが
まあ、せっかくこのスレに迷い込んできたので
Q：定理 L，MがKの有限次アーベル拡大なら、LMもKの有限次アーベル拡大である。
問題 L=K(a)，M＝K(b) ともに、Kの有限次アーベル拡大。このとき、K(a,b)はKの有限次
アーベル拡大であることを証明せよ。
A：正直、初見です。LMという書き方も昔どこかで見たような。テキストだと、きちんと定義が書いてあるのでしょうが
定理→問題の流れからいうと、「K(a,b)がLM」を示せって誘導だと思う。が、LMの正確な定義も不明だし、まあ分かっても、まともにここで証明を書く気もないし
そこで、旧スレで紹介した雪本義人の講義ノートをカンニング
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/52
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む10
52 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2014/09/27(土) 21:15:34.50
大阪教育大学 数学教育講座
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~ybaba/yukimoto.html
雪本義人の講義ノート
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~ybaba/tairon.pdf
ガロア理論入門ノート（詳細） 体論(ガロア理論) 雪本義人
0564１３２人目の素数さん
2015/10/03(土) 07:34:36.14ID:ikZEN+WSでは私の解答を書いておきます。
命題:C^*を0でない複素数全体のなす乗法群とする。C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ。
証明:複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。また、SはCの部分集合であることから
Sの濃度は実数体の濃度に等しい。Sの部分集合Tに対し、Q(T)をQにTを付加して得られる体、そしてQ(T)^*を
Q(T)の0でない元全体のなす乗法群とする。するとU={Q(T)^* :TはSの任意の部分集合}という集合はC^*の部分群の
集合であり、T_1とT_2が相異なっていればQ(T_1)^*とQ(T_2)^*も相異なるのでUは実数体のべき集合の濃度を持つ。
よってC^*の部分群全体の集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を下回らない。
このことと、C^*のべき集合の濃度が実数のべき集合の濃度に等しいことから命題が従う。(証明終わり)
0565現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/03(土) 07:50:56.47ID:/7z3oMVs雪本義人
「1.3. 拡大次数.」”L がK ベクトル空間として有限次元であるときL はK の有限次拡大であるという．”
”定理1.1. K ⊆ M ⊆ L 体の包含関係とする．
(1) {α1, α2, . . . , αm} がM のK 基底，{β1, β2, . . . , βn} がL のM 基底ならば，
{αiβj j 1 ・ i ・ m, 1 ・ j ・ n}はL のK 基底である．
(2) (連鎖律) L/M とM/K が有限次拡大ならL/K も有限次拡大であって[L : K] = [L : M][M : K]”
あたりがご参考になるだろう
以下は、いわずもがな
「1.4. 代数的元，代数的拡大体.」”Iα を生成する多項式で最高次の係数が1 のものをα のK 上の最小多項式といいIrr(α,K,X)で表す．”
「1.5. 体の同型写像，自己同型写像.」
「6. ガロア拡大」
”定義6.1. 分離的かつ正規な代数的拡大をガロア拡大という．L/K がガロア拡
大であるときG(L/K) をL/K のガロア群という．”
”問6.1. 拡大L ⊇ M ⊇ K においてL/K がガロア拡大ならばL/M はガロア拡大であることを示せ．”
”定理6.1. L/K を有限次ガロア拡大，G をそのガロア群とするとき次がなりたつ：
(1) L はある既約な分離的多項式の最小分解体である．
(2) [L : K] = |G|
(3) F(G) = K”
あと
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E6%8B%A1%E5%A4%A7
ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大 (abelian extension) と言う。
ガロア群が巡回群のときは、巡回拡大 (cyclic extension) という。
ガロア拡大が可解 (solvable) とは、ガロア群が可解群、つまり中間拡大に対応するアーベル群の列からガロア群が構成されるときを言う。
つづく
0566現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/03(土) 08:24:00.92ID:/7z3oMVs>>563の問題に戻ると”有限次アーベル拡大”という記述から
”L がK ベクトル空間として有限次元であるときL はK の有限次拡大であるという．”
””定理1.1. K ⊆ M ⊆ L 体の包含関係とする．
(1) {α1, α2, . . . , αm} がM のK 基底，{β1, β2, . . . , βn} がL のM 基底ならば，
{αiβj j 1 ・ i ・ m, 1 ・ j ・ n}はL のK 基底である．”
”α のK 上の最小多項式といいIrr(α,K,X)”
”定義6.1. 分離的かつ正規な代数的拡大をガロア拡大という．L/K がガロア拡
大であるときG(L/K) をL/K のガロア群という．”
”ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大 (abelian extension) と言う。”
このあたり
ちらちらと浮かんでこないかな？（ここらの問題文にはない基礎的事項が浮かぶことが、解答への手がかりだと）
”Q：定理 L，MがKの有限次アーベル拡大なら、LMもKの有限次アーベル拡大である。
問題 L=K(a)，M＝K(b) ともに、Kの有限次アーベル拡大。このとき、K(a,b)はKの有限次
アーベル拡大であることを証明せよ。”だった
で、アーベル拡大→ガロア群がアーベル群＆分離的かつ正規な代数的拡大
最小多項式といいIrr(a,K,X)の次数m, Irr(b,K,X)の次数nとして
ベクトル空間をイメージする
そのイメージをベースに、K→K(a,b)の拡大を考える
有限次アーベル拡大：有限次＋アーベル拡大と分解する（ここは数学の常套手段。問題文の分解）
「有限次」は、すぐできそうだろ？
あとは
アーベル拡大：ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大＝ガロア群＋アーベル群＋ガロア拡大と分解する
多分、ガロア拡大＝分離的＋正規な代数的拡大と分解して、ここから証明していくんだろう
途中、「自明」とか「明らか」とか許される範囲で記述を短くする（減点されないかの判断要。但し、減点覚悟で走る選択肢もありだろう）
もし試験なら、ポイントは「こいつは分かっている」と採点者に理解されるように、かなり基礎まで戻って記述することかな
（どこまで戻るか、試験のレベル、中間、期末、院試など、与えられている時間とコンテキストに依存）
0567現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/03(土) 08:31:54.11ID:/7z3oMVsどうも。スレ主です。
おそらく正解と思う
私の解答よりレベル高いね（筋は同じだが）
但し、どこかで（一般）連続体仮説を使っているように思うが、いかが
0568１３２人目の素数さん
2015/10/03(土) 08:48:35.66ID:ikZEN+WS連続体仮説は使っていません。そうおっしゃるなら具体的に私の証明の
どこで連続体仮説を使ったのか指摘するか、もしくは連続体仮説を使った
スレ主さんの解答を出してもらえませんか？
0569１３２人目の素数さん
2015/10/03(土) 09:26:44.47ID:8Qqw52e3>途中、「自明」とか「明らか」とか許される範囲で記述を短くする
>（減点されないかの判断要。但し、減点覚悟で走る選択肢もありだろう）
通常、その手法は通用しない。「自明」とか「明らか」という言葉は、
書いた側にとっての「自明」であったり「明らか」ということで、
書いた側から見たときの表現になる。一般には、伝えんとすることが
伝える相手にとってそうかどうかは試してみるまで分からないので、
そういう書き方をすると、×をくらう。本に書いてある「自明」や「明らか」な
ことの証明を書き下すと、場合によっては、長くなることもある。
試験内容の用意段階でこういう状態なのだから、な、分かるだろ？、ってことだ。
0570１３２人目の素数さん
2015/10/03(土) 09:42:05.56ID:aVddQCNg長々と講釈たれながら、結局何一答えてないレス乙
0571現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/03(土) 09:54:24.55ID:/7z3oMVsどうも。スレ主です。あまり理解できなかったが、乙です！（＾＾
>>547-548＆>>553-554
おっちゃん、どうも。ID:EnwaIxfnさんどうも。コメントありがとう
0572現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/03(土) 10:03:24.29ID:/7z3oMVsどうも。スレ主です。
「このときSは非可算濃度を持つ。また、SはCの部分集合であることから
Sの濃度は実数体の濃度に等しい。」>>564
の部分はどうなの？連続体仮説不要ですか？
>>569
まあ、ご指摘の通りだろう
が、試験対策として、途中でつまって、あと白紙が良いのか、あるいは、つまったがその後は書けるので書くのがいいのかという選択
部分点がどこまでもらえるか
スルーして他の問題に時間を使うのが良いかの選択と思う
もちろん、自習の問題解きの場合はきっちりしておくべき
>>570
どうも。スレ主です。ご指摘の通りです（＾＾；
0573１３２人目の素数さん
2015/10/03(土) 10:40:59.66ID:ikZEN+WS>「このときSは非可算濃度を持つ。また、SはCの部分集合であることから
>Sの濃度は実数体の濃度に等しい。」>>564
>の部分はどうなの？連続体仮説不要ですか？
不要です。
理由:CはQ(S)の代数拡大となるのでCの濃度とQ(S)の濃度は等しい。それとQが可算であることからSの濃度は
Cの濃度に等しくなる。よってSは実数体の濃度を持つ。
私のほうは解答を提示したわけですが、スレ主さんのほうも解答を出していただけませんか？
お待ちしています。
0574１３２人目の素数さん
2015/10/03(土) 11:28:33.79ID:8Qqw52e3>>569では毎度のように「おっちゃんです。」とか断っていないが、その>>569がおっちゃんだよw
>>569で書いたことは、試験に関わらず、本を読んで学習するときの基本姿勢だよ。
通常は、マトモな本なら、その本に書いてある演習の方が試験問題より難しいと思う。
定理の証明が「明らか。」の一言で終わっていることが少なくない位だしな。
そのマトモな本には、180分そこそこで解答を書ける問題ではないような類の問題が、
少なからずあると思う。180分で5、6題を解くとなると、合格点を取るには1題あたり4、50分位で
要領よく4題位？の解答を書く必要があるが、この対策をすることは、むしろ受験勉強の考え方に近いだろうな。
ちなみに、受験対策についてはよく分からんが、ペーパーテストでの
>選択 部分点がどこまでもらえるか
は余り期待しない方がいいと思うぞ。
0575１３２人目の素数さん
2015/10/03(土) 11:34:26.66ID:QaghnfbP0576１３２人目の素数さん
2015/10/03(土) 19:16:20.68ID:KmzJUgXa0577１３２人目の素数さん
2015/10/03(土) 20:14:52.45ID:1STOGKW3自分の書き込みに対して補足しておくと
>>539
> ４．問題は、群が一致する場合が生じるときをどう処理するか。
> （例えば、一つの数２から生成される群と二つの数２と４から生成される群は一致する）
に対して
> 最短は「3<4」の3文字かな
3<4 = 2^2なので非可算無限集合である区間(2, 3)から数の組を選ぶようにすればよい
0578現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/04(日) 09:53:33.96ID:MnTM7Vmdどうも。スレ主です。
一晩考えたが、見事な解答ですね>>564（＾＾；
ハメル基はそうやって使うのか・・
連続体仮説不要も納得です
0579現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/04(日) 10:14:36.50ID:MnTM7Vmd即私の解答と行きたいが、その前に少し経緯を
１．問題は、このスレの>>407にあるが、”「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
だから証明は求めていない”
だった
２．起源は、おっちゃんの出題
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/498
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
498 投稿日：2015/02/01(日) 15:26:49.86 ID:f3suQEjt
次の問題はどう？ スレ主でも解けるでしょう。
複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。
３．で私の解答は
508 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/02/01(日) 20:32:19.43 ID:3tUKswY5
>>503 補正
超越数に限定しても、”c0≠c1ならG0≠G1”の証明には、あまり関係ない（ここを証明しておかないと単射性がゆらぐ）
証明には、c0とc1が、代数的に無関係である（もっと言えばべき乗での関係が付かない）という二つの数の間の関係がポイントだから
１．なので、こうしよう。一般性を失わずc0≠c1かつ1＜|c0|＜|c1|とする（|c0|、|c1|などは複素数の絶対値を表す記号）
２．c1から生成される任意の元 （c1）^n (c1のn乗でnは任意の整数) に対し、容易に分かるように|(c1）^n|≦１（nが負または0のとき）または|c0|＜|(c1）^n|（nが正のとき）
３．従って、c0 ∉ G1 が言えるので、c0≠c1 かつ 1＜|c0|＜|c1| のとき G0≠G1 が言える
４．よって、1＜|c|である任意の複素数cから生成される部分群Bを考えると、複素数C→部分群Bの単射が定義できる。
５．つまり、1＜|c|である任意の複素数cから生成される部分群Bを要素とする集合をB’とすると、B’は複素平面1＜|c|の部分と同じく非可算無限集合である
６．そこで複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群の集合をUとすると、明らかにB’⊂Uであるから、Uは非可算無限集合である
７．なお、乗法は可換でアーベルだから、部分群が即正規部分群であることは先に述べた通り
８．また、複素平面 1＜|c| の部分が非可算無限集合であることを証明していないが、それは集合論にゆずる
（c0から構成される乗法群の詳細は>>501に記した通り）
0580１３２人目の素数さん
2015/10/04(日) 10:34:51.11ID:uCW4EUSkおっちゃんです。「例に挙げた本」が少し多くて具体的にどういう本を指しているのか分かりかねるが、
「数学科でも胸を張ってやっていけますよね？」の部分から察するに、それこそ、>>374や>>387の工学部君だろう。
勝手ながら、一応そう仮定する。最初に、>>194や>>338-339、>>442で挙げた本には一長一短があり、必ずしも
私がそれらのレスで挙げた本が絶対的で完全に学習に相応しい本とはいい切れないことは断っておく。人によっては、
それらのレスで挙げた本が向かないということもある。そして、挙げた本の内容だけで十分とはいえないと思う。
>>374の内容からしてないとは思うが、もし、工学部君が線型代数や微分積分、集合・位相の本について聞いているとき。
そちらを聞いているなら、>>553-554の方の、岩波講座基礎数学(1976年刊行スタート) 解析入門、線型代数 については、
線形代数や微分積分「だけ」を学習するなら、間違いなくいいとは思う。
ついでに、線形代数や微分積分の他の分野も或る程度学習することになって、力が付くんで。
集合・位相の現代数学概説Ⅰ、Ⅱの方は、何といえませんな。現代数学概説Ⅰの
群・環・体の代数系の部分や、Ⅱの測度論の部分については、現代数学概説Ⅰ、Ⅱより
内容的にもっと詳しくていい本があるんで。
何れにしても、肝心なのは読み方でどれだけ丁寧に深く(場合によっては広く)読んだか
ということでしょうな。まあ、参考にでもして下さいな。
0581１３２人目の素数さん
2015/10/04(日) 10:37:59.56ID:uCW4EUSk0582１３２人目の素数さん
2015/10/04(日) 10:39:49.25ID:uCW4EUSkおっちゃんです。「例に挙げた本」が少し多くて具体的にどういう本を指しているのか分かりかねるが、
「数学科でも胸を張ってやっていけますよね？」の部分から察するに、それこそ、>>374や>>387の工学部君だろう。
勝手ながら、一応そう仮定する。最初に、>>194や>>338-339、>>442で挙げた本には一長一短があり、必ずしも
私がそれらのレスで挙げた本が絶対的で完全に学習に相応しい本とはいい切れないことは断っておく。人によっては、
それらのレスで挙げた本が向かないということもある。そして、挙げた本の内容だけで十分とはいえないと思う。
>>374の内容からしてないとは思うが、もし、工学部君が線型代数や微分積分、集合・位相の本について聞いているとき。
そちらを聞いているなら、>>553-554の方の、岩波講座基礎数学(1976年刊行スタート) 解析入門、線型代数 については、
線形代数や微分積分「だけ」を学習するなら、間違いなくいいとは思う。
ついでに、線形代数や微分積分の他の分野も或る程度学習することになって、力が付くんで。
集合・位相の現代数学概説Ⅰ、Ⅱの方は、何といえませんな。現代数学概説Ⅰの
群・環・体の代数系の部分や、Ⅱの測度論の部分については、現代数学概説Ⅰ、Ⅱより
内容的にもっと詳しくていい本があるんで。
何れにしても、肝心なのは読み方でどれだけ丁寧に深く(場合によっては広く)読んだか
ということでしょうな。まあ、参考にでもして下さいな。
>>580でレス相手間違えたから、書き直した。
0583１３２人目の素数さん
2015/10/04(日) 10:48:21.30ID:uCW4EUSkあと、>>582には書かなかったが、>>340で書いたポントリャーギン上下は、
今は和書としては売っていないが、これは読み易くていいでしょうね。
0584１３２人目の素数さん
2015/10/04(日) 11:13:26.54ID:uCW4EUSk>ハメル基はそうやって使うのか・・
>>564では
>複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。
と書いてあるから、ハメル基底は使っていない。超越基底の定義から、
Sは、1)：Sに属する点の代数的独立性、2)：複素数体Cが体Q(S)の代数拡大体である
ことを両方満たす必要があるが、ハメル基底をHとすると、その定義からは、
H≠Φは実数体Rの部分集合で、Hは複素数体Cが体Q(H)の代数拡大体であることを
満たす必要はない。Hが満たす条件は、Hに属する点がQ上線型独立で、
任意の実数が、Hに属する有限個の点を使って、有理数係数の一次結合として表されていればよい。
0585１３２人目の素数さん
2015/10/04(日) 11:22:58.71ID:uCW4EUSk例えば、超越数eについて、eと√eは有理数体Q上線型独立だから、
ハメル基底の定義から、e,√e∈H だが、eと√eはQ上代数的従属だから、
超越基底の定義から、e,√e∈S は満たさない。そのあたりが違うんですな。
0586１３２人目の素数さん
2015/10/04(日) 11:27:46.99ID:uCW4EUSk>>578
例えば、超越数eについて、eと√eは有理数体Q上線型独立だから、
ハメル基底の定義から、e,√e∈H だが、eと√eはQ上代数的従属だから、
超越基底の定義から、e,√e∈S は満たさない。そのあたりが違うんですな。
0587現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/04(日) 13:36:32.65ID:MnTM7Vmd１．で３の解答は、一つの複素数から成る群Gを考察して、それが1＜|c0|＜|c1|の場合に、G0≠G1 を示した。そして、それだけで、非可算無限が言えた
２．そこで、二つ以上の複素数から成る群Gを考えれば、連続濃度の”べきの濃度”を持つが言えるんじゃないかと、考えた
３．私の解答は、この問題を作る過程そのものだよ
４．二つ以上の複素数から成る群Gを考えると、群Gが一致する場合が出てくる。特に、連続する区間を含む場合が、大きな問題になる
５．>>597で示した解答は、実は実数Rで考えて、それを複素数1＜|c0|＜|c1|したんだ。そこで、任意の実数の組みで、群Gを考えた。しかし、連続する区間を含む場合、すぐ分かるが実数R全体に広がるんだ
６．そこで、実数x∈Rを偏角πθ（θは超越数）に写せば、x→xe^iπθみたいな形で、複素数の群G’は異なるんじゃないかと。しかし、偏角πθが一定だとうまく行かない＊）。x毎に変えた方が良いと
＊）偏角πθが一定だと、逆数との組み合わせで、実軸上の１の近くに連続する区間が演算の結果生じる。そうなると、群が肥大して一致する
７．そこで、θ＝tan^-1(x)（アークタンジェント）みたいなことを考えた
８．なお、後の視覚的説明のために、x→xe^iπθ|θ＝(1/(2π))tan^-1(x)とする。xが大きくなると、tan^-1(x) は1/2πに近づく。θは1/4に近づく。xe^iπθは、xe^iπ1/4（即ち複素平面上の実数軸に対し45度の直線）に漸近する。
逆数1/( xe^iπθ)は当然ながら、偏角はマイナスになる。
９．そこで、例えば、xを連続区間[2,3]で考えると、θ＝(1/(2π))tan^-1(2)～ (1/(2π))tan^-1(3)の区間になる。この区間に存在する数は、超越数が殆どであるとかんがえることができる。言い換えると、θはほぼ超越数と考えて良い＊）。
（注＊）議論を単純化するために、連続区間から有理数を除いて、全て無理数から成ると考えても良い）。
１０．そうすると、任意の実数の連続区間を上記のように、複素平面の曲線に移して、複素数からなる数で構成される群Gを考えると、群Gは連続区間を含む任意の実数の部分集合に対して、部分集合が異なれば、Gは異なることが期待できる。
（少数の例外がありそうだが、おそらく可算か連続非加算レベルに留まるので、連続のべき集合の濃度には影響しない。）
１１．私の考察は、ここまでだった。
0588現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/04(日) 13:59:50.04ID:MnTM7Vmd１．>>587の過程で、選択公理と連続体仮説を置いた方が、議論がすっきりしてくるだろう
２．いま、>>564を読むと、超越基底を使って、上記の考察を整理できるように思えるね（まだうまく整理できないが）
３．なお、一度:実数R^*を0でない実数全体として、そこで実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sをとって、そこで同じようにして、その後結果をC^*に拡張するのがきれいかも知れないね
４．半年以上解答者が現れなかったが、すっきり解決で良かったよ（＾＾
0589564
2015/10/04(日) 14:32:24.15ID:H61OoTNS>１０．そうすると、任意の実数の連続区間を上記のように、複素平面の曲線に移して、複素数からなる数で構成される群Gを考えると、群Gは連続区間を含む任意の実数の部分集合に対して、部分集合が異なれば、Gは異なることが期待できる。
> （少数の例外がありそうだが、おそらく可算か連続非加算レベルに留まるので、連続のべき集合の濃度には影響しない。）
この問題の難しい部分は相異なる生成系から同じ部分群が生成されてしまう可能性を考慮しないといけない点です。
なのでそこがクリアできていないスレ主さんの考察は解答には遠いものであると思います。
というか、そもそも実数の区間全体のなす集合は実数体の濃度を超えないものなのでこの路線では証明になりません。
>>588
>２．いま、>>564を読むと、超越基底を使って、上記の考察を整理できるように思えるね（まだうまく整理できないが）
>３．なお、一度:実数R^*を0でない実数全体として、そこで実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sをとって、そこで同じようにして、その後結果をC^*に拡張するのがきれいかも知れないね
この問題を解くには超越基底のようなものを選択公理を使って作り出すことが不可欠であると思います。
スレ主さんのように素朴に部分集合をとってきてそれが生成する部分群を考えるというやり方では証明はできないのではないでしょうか。
0590１３２人目の素数さん
2015/10/04(日) 14:49:02.86ID:Fwg656DQその大部分は問題自体が不明確で誰も見向きもしなかっただけなんだが
0591１３２人目の素数さん
2015/10/04(日) 14:58:40.67ID:Fwg656DQどうやらしょーもない自分の答えが正しいと本気で信じ込んでいたようだ
0592１３２人目の素数さん
2015/10/04(日) 14:59:37.51ID:+NFJdZgv「どうだ、オマエラにこの問題が解けるか！」
と言っていたスレ主が、まさかそのスレ主自身が、
「実は解けてなかった」
という大失態ｗｗｗｗｗｗ
0593現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/04(日) 15:17:49.78ID:MnTM7Vmdおっちゃん、どうも。スレ主です。
ハメル基底と超越基底のフォローありがとう
ハメル基底と超越基底とは、違うが、数体を線形空間と考えたときの基底であることは同じなんだね
ところで、おっちゃんの問題は解かれてしまったので、またなにか考えてよ
雑魚つぶしの問題を（＾＾
0594現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/04(日) 15:21:14.73ID:MnTM7Vmd人が解いたあとに、おれもか
まあ、だれでも言えるよ
悔し紛れは（＾＾
もともと問題設定で、理由を付して述べよ
だから証明は求めていない”
だった（＾＾
0595１３２人目の素数さん
2015/10/04(日) 15:24:49.65ID:Fwg656DQ0596１３２人目の素数さん
2015/10/04(日) 15:26:19.97ID:+NFJdZgv苦し紛れは解けてなかったお前の方であるｗｗ
お前の論法を認めてしまうと、自分が解けてなくても「解けたフリ」をして
何でもかんでも他人に押し付けて「どうだ、オマエラにこの問題が解けるか！」と
威張り腐ることが出来てしまう。お前がやってるのはそういうこと。
詭弁もいいところだなクソッタレｗ
0597現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/04(日) 15:48:04.67ID:MnTM7Vmdどうも。スレ主です。
564さんか。レベル高いね
>この問題の難しい部分は相異なる生成系から同じ部分群が生成されてしまう可能性を考慮しないといけない点です。
そうそう。だから、半年以上だれも、実質的な質問もコメントも無かった。難しいことが分かったからだろう
>というか、そもそも実数の区間全体のなす集合は実数体の濃度を超えないものなのでこの路線では証明になりません。
いや、任意の実数の部分集合を考えたときに、その集合の中に連続区間を含む場合の処理が一番難しい
そこをどう処理するかだ
>この問題を解くには超越基底のようなものを選択公理を使って作り出すことが不可欠であると思います。
>スレ主さんのように素朴に部分集合をとってきてそれが生成する部分群を考えるというやり方では証明はできないのではないでしょうか。
そうかも知れない。超越基底は全く浮かばなかった
というか、旧スレでおっちゃんが、証明しようとしたのが、それだったような気がする・・（下記）
当時、なにをしているのか読む気がしなかったがね。
話は戻るが、「連続濃度の”べきの濃度”」はそうそう実現できるものではない。いろんな例外事象が、連続濃度以下に留まるという評価ができれば、最初の線でも可能だと今でも思っているけどね。但し、場合分けが煩わしいことは確かだし、,議論が複雑になる
なお、大体どの時代でも、最初の証明は苦心惨憺してできて、その後他人がもっと簡単にできると別証明を出すパターンが多いよ
記
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/
571 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/02/04(水) 08:35:35.49 ID:hajkjFF/
[第3段]：任意の1＜a＜bなるa、b∈Aに対してH(a)≠H(b)なることを示す。
は、通常の加減乗除が定義される位相についてのQ上の線型位相空間R
の基底が非可算無限個存在することを示せば終了している。
・・・
以下略
0598現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/04(日) 15:50:17.03ID:MnTM7Vmd笑える（＾＾
おまえが、この問題が解かれる以前に、この問題に関してこのスレに書いたことを提示してみろよ、おい
0599現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/04(日) 15:51:11.99ID:MnTM7Vmdそれで大口を叩く暇人
数学レベルが分かるね（低）
0600１３２人目の素数さん
2015/10/04(日) 15:51:24.27ID:+NFJdZgvなおも正解に辿り着かないスレ主はいよいよ おバカであるｗｗ
超越基底を使わずとも、連続体仮説とハメル基底があればこの問題は簡単に解ける。
超越基底を使った証明は既にやられてしまっているので、
今度は連続体仮説とハメル基底を使った証明を「スレ主が」やるべきであるｗｗ
でなければ格好がつかないｗｗｗ
今のままでは、自分が解けてなかった問題を他人に押し付けて
威張り腐っていたことになってしまうからなｗｗ
0601１３２人目の素数さん
2015/10/04(日) 15:54:31.26ID:+NFJdZgvその言い分は、「お前が解けていた問題」でなければ通用しないｗｗ
お前自身が全く解けてなかった問題に対して、
他人がその問題にどのような興味を示そうが何の関係もないのであるｗｗｗ
重要なことはただ1つ。お前は、自分が解けてなかった問題を
他人に押し付けて威張り腐っていたということであるｗｗｗ
お前の論法を認めてしまうと、自分が解けてなくても「解けたフリ」をして
何でもかんでも他人に押し付けて「どうだ、オマエラにこの問題が解けるか！」と
威張り腐ることが出来てしまう。お前がやってるのはそういうこと。
詭弁もいいところだなクソッタレｗ
0602現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/04(日) 16:03:53.84ID:MnTM7Vmdかれは、結構問題や定理を証明なしに手紙に書いたという
亡くなってから、遺稿の中に見つかったのが、フェルマーの最終定理とよばれるものだった
ところで、問題であれ、予想であれ、それを表明することはなんの問題もないはずだ
>>579の冒頭に記した問題は、>>596のような雑魚を蹴散らし、悔しがらせる便利な道具として、存分に使わせもらった。その意味で、私にとって非常に有益だった（答えを書かないことがキモだよ（＾＾；）
この問題がかなり難しいとは感じていた。何か書かせりゃ、そいつのレベルが分かる。だから、解答が得られるまで、だれも何も書けなかったんだろう・・
さらには、>>564のようなすばらしい解答が得られて、非常に勉強になりました。ありがとうございました（超越基底Sやハメル基底の使い方よくわかりました）m（＿ ＿）m
0603１３２人目の素数さん
2015/10/04(日) 16:13:24.96ID:+NFJdZgv＞ところで、問題であれ、予想であれ、それを表明することはなんの問題もないはずだ
詭弁であるｗｗ
お前は問題を表明したのではない。お前は、さも自分がその問題を「解決済み」であるかのように扱い、
さらには他人にその問題を押し付けて「どうだ、オマエラにこの問題が解けるか！」と威張り腐ったのであるｗｗ
自分が解けてなかった問題を他人に押し付けて「この問題が解けるか！」と
威張り腐る行為は、「問題を表明した」とは言わないｗｗ
ところで、スレ主は意図的に>>600を避けてこの話題を終わらせようとしているように見えるが、
ここまで来てそのような態度は許されないｗｗｗ
以下、スレ主には>>600に答えてもらう。そう、スレ主が他人に対して
「オマエラにこの問題が解けるか！」と言っていたの同じ構図であるｗｗｗ
今度はスレ主の番というわけだｗｗｗ
まあ、>>600くらいヒントがあれば、さすがにスレ主にも解けるだろうｗ
0604１３２人目の素数さん
2015/10/04(日) 16:21:44.72ID:Fwg656DQ書かないも何も、スレ主の答えは大間違い
0605１３２人目の素数さん
2015/10/04(日) 16:22:21.17ID:+NFJdZgvただ単に「問題を表明した」だけであれば、その問題に対して他人が
どのように反応しようが、何の問題もないはずである。たとえ他人が
その問題に対して無反応であろうが、何の問題もないはずである。
なぜなら、問題を表明するとは、そういうことだからだｗｗｗ
一方で、>>598を見れば一目瞭然だが、スレ主はこの問題に対して明らかに
「何らかの反応」を求めており、反応が無い人間に対しては、
なぜか批判的な態度に出ている(威張り腐っている)。
したがって、スレ主は、口では「問題を表明しただけ」と言っておきながら、
実際にはそれ以上のものをこの問題に込めているのであり、そこが詭弁なのであるｗｗｗ
そして、スレ主がこの問題に何を込めているのかは明らかである。
一言で言えば「バカ避け」である。すなわち、
「オマエラにこの問題が解けるか？解けないならバカと見なすぞ」
というわけである。
ならば、少なくともスレ主はこの問題が解けていなければならぬｗｗｗｗ
さあスレ主よ、>>600のヒントに基づいて、この問題をキチンと解きなさいｗｗｗｗｗ
0606１３２人目の素数さん
2015/10/04(日) 17:22:33.35ID:m1C1Yr3bとりあえず、超越基底は線形空間としての基底ではない
0607現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/08(木) 21:23:28.62ID:bfTtX3it今日は変則です
ところで、皆さんは、ポーカーというゲームを、ご存知だろう
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%83%BC%E3%82%AB%E3%83%BC
ポーカーの特徴
ポーカーは、ハンドの強さを競うゲームである。相手をフォールドさせれば（ゲームから降りさせれば）、ハンドの強さに関わらず勝つことが出来る
0608１３２人目の素数さん
2015/10/08(木) 21:28:32.39ID:aJ3QIvey0609現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/08(木) 21:31:30.92ID:bfTtX3itみんなべた下りしてたんだ
下りたやつは負けたんだよ、何をいっても負け犬
0610現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/08(木) 21:43:06.85ID:bfTtX3itは、新作問題かなと予想しているんだ
理由は、群という抽象代数を対象に、連続濃度の”べきの濃度”を扱うことは、あまりないと思うから
まあ、和書では見たこと無いから
もし、ここに出ているということがあれば教えて下さい。それまでは、新作予想を信じているよ
ともかく、>>564 ID:ikZEN+WSの解答は見事だね
0611１３２人目の素数さん
2015/10/08(木) 21:48:03.04ID:Ty6UpwaXお前が言うなよ不正解君ｗ
そもそもこっちは問題にすらなってない代物端から眼中にねーし
降りたとか勝手に言われてもなあ
0612１３２人目の素数さん
2015/10/08(木) 23:12:47.78ID:hfwG7BP+ただ単に「問題を表明した」だけであれば、
その問題に乗っただの下りただのといった、余計なイチャモンが発生する余地はない。
となれば、お前はこの問題に「表明した」ということ以上のものを求めていることになる。
端的に言って、お前はバカ避けとしてこの問題を使っていたのである。
「オマエラにこの問題が解けるか？解けないならバカと見なすぞ」
というわけである。
ならば、少なくともお前はこの問題が解けていなければならぬｗｗｗｗ
さあスレ主よ、>>600のヒントに基づいて、この問題をキチンと解きなさいｗｗｗｗｗ
0613１３２人目の素数さん
2015/10/08(木) 23:27:13.73ID:hfwG7BP+「オレの方針だって、頑張って場合分けすれば解答に辿り着くさ」
という希望的観測があってのものである。
しかし、スレ主の方針では根本的に「高々連続濃度」までしか到達できないということに、
スレ主は全く気づいていないｗｗｗｗｗ
スレ主の希望的観測は、ここに打ち砕かれるのであるｗｗｗｗ
まず、C内の連続曲線は、全て集めても連続濃度にしかならないという事実に気づこう。
「そんなバカな、連続濃度のべき濃度まであるだろ！」と思うかもしれないが、
そんなことはなく、連続濃度にしかならないｗｗｗｗ
連続曲線は非常に少ないのであるｗｗｗ
もうこの時点で、スレ主が作ろうとしているGの個数(というか濃度)は高々連続濃度にしかならんのだが、
スレ主の方針はさらに致命的な欠陥を抱えているのであるｗｗｗ
0614１３２人目の素数さん
2015/10/08(木) 23:35:51.26ID:hfwG7BP+定義
あるr＞0とθ∈Rに対して { r^te^{iθt}｜t∈R } と表される集合のことを「渦巻き」と呼ぶことにする。
定理1
C^*の部分群Gが、C内のある連続曲線γに対してγ⊂Gを満たすならば、
G＝C^*であるか、もしくはある渦巻きΓが存在してγ⊂Γ⊂G が成り立つ。
定理2
C^*の部分群Gが、2つの異なる渦巻きΓ,Γ'をともに包含するならば、G＝C^*である。
定理1により、異なるGを作るために使える連続曲線は「渦巻きの一部分」しか無いことが分かるｗｗｗ
もうこの時点で、スレ主の方針では「高々連続濃度」までしか到達できないことが完全に確定するｗｗｗｗｗｗ
余談だが、定理1と定理2により、「ある渦巻きの一部分」「別の渦巻きの一部分」をともに含むGは
G＝C^*になってしまうことが分かり、いよいよスレ主の方針はナンセンスだということが分かるｗｗｗｗ
こうなったら、「不連続な曲線」まで考慮に入れるしかないわけだが、その不連続な曲線のごく一部分でも
連続だったら定理1に帰着されてしまうｗ
よって、考えるべき「不連続な曲線」は「いたるところ不連続」でなければならず、極めて病的ｗｗ
もはや「曲線」ではなく、単なる「写像」ｗｗ
いよいよ選択公理のニオイがするｗｗ
こうして、スレ主がこの問題が解ける余地など、最初から微塵もなかったということが確定するのだったｗｗｗｗ
0615１３２人目の素数さん
2015/10/09(金) 00:27:28.37ID:phvvXNko↓
２ちゃんで証明は書きたくない
で逃げまくるんだろうなあ（遠い目）
0616１３２人目の素数さん
2015/10/09(金) 00:44:55.82ID:vh5z+a2B・ 解答にカスリもしてなかったのに解けたと勘違いしていた無能な自分を責め、厳密に問題を解きなおす
スレ主が人間としてやるべきこと：
・ 解答にカスリもしてなかったのに「バカ避け」に使って威張り腐ってしまった愚かな自分を責め、周囲に謝罪する
1つ目は数学徒として必須事項。くだらない言い逃れに時間を使ってるヒマがあったら
きちんと解けやクソッタレ。それでも数学徒かテメーは。
既に書いたとおり、お前のクソみてーな方針じゃ解答にカスリもしねえから>>600を使え。
2つ目は人間として必須事項。もはや数学以前に道徳・倫理の問題。
ここまでやっておいてポーカーなんぞを引き合いに出して
幼稚な言い逃れをするなど言語道断。ハッキリ言うが、お前は人間ではない。
周囲に謝罪するか、もしくはこれ以上の言い逃れをせずに完全に口を閉じろ。
0617564
2015/10/09(金) 09:57:44.27ID:h0FUr9tNじゃあ類題を出します。
問題:複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度を求めよ。
これは元の問題の理解度を示す良い試金石だと思います。
これを解いてくれませんか？
0618１３２人目の素数さん
2015/10/09(金) 16:38:27.73ID:lxU3tk2H人を人とも思わないような奴に道徳を語る資格は無い。
人格に優劣を見出し、それを語るのに能力の優劣を持ち出すというのはまさに誤謬を招くための手段でしかない。
0619現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/09(金) 17:34:32.49ID:dUxA1EKKいやー盛り上がっていますね
雑魚は無視して
>>617の”564”さん、どうも。面白い問題ありがとう
秒殺とは行かないが、面白そうだよね
ちょっと、考えると、”実数体のべき集合の濃度”かな
いくつか、解答への筋は浮かぶが、まあ、私がすぐ答えを書ける訳も無く
また、すぐ書くと、皆様の問題を解く楽しみを奪うので、しばし問題を晒すことにしましょう（おそらく１ヶ月くらいは）
皆さん、一緒に考えましょう！（＾＾
0620現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/09(金) 17:45:36.25ID:dUxA1EKK>>606
どうも。スレ主です。
するどいご指摘ありがとう
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%AC%A1%E6%95%B0
超越次数
超越次数（ちょうえつじすう、英: transcendence degree）は抽象代数学において、体の拡大 L /K の「大きさ」のある種のかなり粗いはかり方である。きちんと言えば、K 上代数的に独立な L の部分集合の最も大きい濃度として定義される。
L の部分集合 S は、次のときに L /K の超越基底（transcendence basis）であると言う。S は K 上代数的に独立で、さらに L が体 K(S)（K に S の元を添加して得られる体）の代数拡大である。
すべての体拡大は超越基底をもち、すべての超越基底は同じ濃度をもつことを証明できる。この濃度は拡大の超越次数に等しく、trdegK L や trans. degK L, trdeg(L /K) などと表記される。
ベクトル空間の次元とのアナロジー
ベクトル空間の次元の理論との類似がある。
代数的に独立な集合は線型独立な集合と対応し、L が K(S) 上代数的であるような集合 S は spanning sets と対応し、超越基底は基底と対応し、そして超越次数は次元と対応する。
超越基底が常に存在するという事実（これは線形代数学において基底が常に存在するという事実との類似である）は選択公理を要求する。任意の2つの基底が同じ濃度をもつことの証明は、各設定において、exchange lemma（英語版） に依存する[1]。
このアナロジーは次のことを観察することによってより形式的にできる。
ベクトル空間における一次独立と体の拡大における代数的独立はともにマトロイドの例であり、それぞれ線型マトロイドと代数的マトロイドと呼ばれる。
したがって、超越次数は代数的マトロイドのランク関数（英語版）である。すべての線型マトロイドは代数的マトロイドに同型であるが、逆は成り立たない[2]。
事実
M/L が体の拡大で L /K がもう1つの体の拡大であれば、M/K の超越次数は M/L と L/K の超越次数の和に等しい。
これは次のことを示すことによって証明される。M/K の超越基底は M/L の超越基底と L /K の超越基底の和集合をとることによって得られる。
0621現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/09(金) 17:47:50.16ID:dUxA1EKKhttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%AC%A1%E6%95%B0
超越次数
応用
超越基底は体準同型についての様々な存在定理を証明するためのツールとして役に立つ。例を挙げよう。
代数的閉体 L と部分体 K と K の体自己同型 f が与えられると、f を拡張した L の体自己同型（すなわちその K への制限が f）が存在する。
証明のために、まず L/K の超越基底 S をとる。K(S) の元は K に係数をもつ S の元の多項式の商である。
したがって自己同型 f は S のすべての元をそれ自身に送ることによって K(S) の自己同型に拡張できる。
体 L は K(S) の代数的閉包であり、代数的閉包は同型を除いて一意的である。このことは自己同型がさらに K(S) から L に拡張できることを意味している。
別の応用として、複素数体 C の部分体で（体として）C と同型であるような真の部分体が（たくさん）存在することを示す。証明のために、C/Q の超越基底 S をとる。
S は無限（非可算）集合であるので、単射だが全射でないような写像 f: S → S が（たくさん）存在する。任意のそのような写像は全射でない体準同型 Q(S) → Q(S) に拡張できる。
そのような体準同型はそれぞれ代数的閉包 C に拡張することができ、得られる体準同型 C → C は全射でない。
超越次数によって体の大きさを直感的に理解することができる。
例えば、ジーゲルによる定理によると、X がコンパクトで連結な n 次元複素多様体であり、 K(X) がその上の（大域的に定義された）有理型関数の体を表していれば、trdegC (K(X)) ? n である。
0622現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/09(金) 17:53:05.32ID:dUxA1EKKベクトル空間の基底のアナロジーとして、理解すれば良いと
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%88%E3%83%AD%E3%82%A4%E3%83%89
マトロイド
マトロイド(matroid)はある公理を満たす集合とそのべき集合の部分集合の組である。
歴史的には、行列の一次独立・従属を一般化した概念であるが、多くの組合せ最適化問題をマトロイドあるいはより緩い独立性システムとコスト関数で定式化でき、特徴付けを行える等応用範囲は広い。
特に組合せ最適化において、マトロイド上の最適化問題には単純な貪欲法によって多項式時間のアルゴリズムとは限らないものの最適解が得られることは非常に重要である。
ベクトルマトロイド (vector matroid)
Eは体上の行列Cの列集合で、Fの元に含まれる列集合はその体上で線形独立である。
体を理解しなくても、その部分を実数と読み替えれば線形代数でよく知られた事実よりマトロイドであることが分かる。
本項ではベクトルマトロイドと捉えて解説することはないが、マトロイドという名前が行列(matrix)によるという事実を見ても分かるとおり、歴史上は行列の線形独立性から発展した概念である。
0623現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/09(金) 18:13:06.41ID:dUxA1EKK「双対」へのリンクがあった。関連抜粋
アーベル群の双対の記事が、今回の問題の関連かな
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE
双対
双対（そうつい、dual, duality）とは、互いに対になっている2つの対象の間の関係である。2つの対象がある意味で互いに「裏返し」の関係にあるというようなニュアンスがある（双対の双対はある意味で "元に戻る"）。
また、2つのものが互いに双対の関係にあることを「双対性がある」などとよぶ。双対は数学や物理学をはじめとする多くの分野に表れる。
アーベル群の双対
アーベル群 G から、0 を除く複素数全体のなす乗法群 C× への準同型（これは（1 次の）指標 (character) と呼ばれる）全体のなす群 G^ を双対群（または 指標群）という。指標の間の演算は、写像の値の複素数としての積によって入れる。
アーベル群 G が有限のときには、双対群はもとの群と同型になり、双対群の双対群 G^^ には元の群との間に自然な同型がある。
アーベル群とその指標群との双対性はポントリャーギン双対の一種である。なおポントリャーギン双対は、一般には局所コンパクト位相群で考えられる双対性であり、有限アーベル群は離散位相を入れてコンパクト群（したがって局所コンパクト）である。
さらに、有限アーベル群 G の部分群 H に対し、G^ の部分群 H* を、
H* := {χ ∈ G~ | χ(h)=1 for all h ∈ H} : 全ての H の元を 1 に写す指標全体
で定義し、G^ の部分群 Φ に対して G の部分群 Φ* を
Φ* := { g∈ G | Φ(g)=1 for all Φ ∈ Φ } : Φ の任意の指標によって 1 に移されるような G の元全体
と定義すると、自然な同型
H* ≒ (G / H)^, Φ* ≒ (G~ / Φ)^
が成立する。さらにまた H を H* に対応させるような G の部分群全体から G^ の部分群全体への写像は全単射で、(H*)* = H が成り立つ（Φ* に関しても同様）。
そして有限性や可換性の条件をゆるめると問題は急速に難しくなる。
0624現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/09(金) 18:16:27.82ID:dUxA1EKK蛇足だが、ここでは、「0 を除く複素数全体のなす乗法群 C×」としているね
*を、H*などで使いたかったんだろう
0625現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/09(金) 18:24:19.10ID:dUxA1EKKhttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%AC%A1%E6%95%B0
超越次数
の外部リンクで
1^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory, pp. 100-101.
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf
これ、いま v4.51 (August 31, 2015). Minor corrections; 138 pages. に成長してP109～になっている
0626現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/09(金) 18:52:11.84ID:dUxA1EKKリューローの定理を念のため。Milneにある
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
リューローの定理
数学において、リューローの定理 (Luroth's theorem) は、Jacob Luroth にちなんで名づけられているが、体論の結果であって、有理多様体と関係がある。定理が述べているのは、K(X) の部分体でもある体 K のすべての体拡大は単拡大であるというものである。
定理のステートメント
K を体とし M を K と不定元 X に対して K(X) の間の中間体とする。するとある有理関数 f(X)∈ K(X) が存在して M=K(f(X)) である。換言すれば、K と K(X) の間のすべての中間拡大は単拡大である。
リューローの定理の証明は有理曲線の理論から容易に種数の幾何学的概念を用いて得られる。
リューローの定理は一般に初等的でないと考えられているにも関わらず、体論の基本だけを使ったいくつかの短い証明が長い間見つかってきた。
実質的にはすべてのこれらの単純な証明は原始多項式に関するガウスの補題を主要なステップとして使う（例えば [1] を見よ）。
0627１３２人目の素数さん
2015/10/09(金) 18:56:18.92ID:vh5z+a2Bバカかてめーは。
まさに能力の優劣を持ち出して威張り腐ってたのがクソッタレのスレ主だろうが。
実際には解答にカスリもしてなかったくせになｗｗ
＞人格に優劣を見出し、
バカかてめーは。
人格の優劣を語らずに道徳・倫理を語ることはできないだろｗｗ
「こういう人格の人間になると周囲の迷惑だから、こういう人格はダメなんだよ」
と人格に優劣をつけるのが道徳であり、倫理だろｗｗｗ
人格に優劣が無いなら、道徳も倫理も必要ないだろｗｗｗ
0628現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/09(金) 19:03:50.91ID:dUxA1EKKMilneより、下記も関連だな
Separating transcendence bases
THEOREM 9.27 If F is perfect, then every finitely generated extension E of F admits a separating transcendence basis over F .
Transcendental Galois theory
THEOREM 9.29 Let Ω be an algebraically closed field and let F be a perfect subfield of Ω
.
If α ∈ Ω
is fixed by all F -automorphisms of Ω
, then α ∈ F, i.e., Ω^(Aut(Ω/F)
=F.
0629１３２人目の素数さん
2015/10/09(金) 19:26:32.94ID:vh5z+a2Bあんたの口から、スレ主にハッキリ言ってやれ。
「この類題はスレ主専用の問題であって、他人は全く関係がない。むしろ他人は口出しするな」
と、スレ主にハッキリ言ってやれ。スレ主が書いた
＞また、すぐ書くと、皆様の問題を解く楽しみを奪うので、しばし問題を晒すことにしましょう（おそらく１ヶ月くらいは）
＞皆さん、一緒に考えましょう！（＾＾
この言葉から察するに、スレ主はこの類題を「スレ全体に向かって提示された、共有された問題」
という位置づけにすり替えようとしている。それは564の本意ではないだろう？
この程度の類題に即答できない時点で問題外なのだが、それをスレ主は1ヶ月も晒し続けると言っている。
スレ主は、それで一体なにをするつもりなのか？――明らかである。どうせまた「バカ避け」に使うつもりなのだ。
一ヵ月後、スレ主は次のような発言をするのである。
「オマエラはこの類題に対してどんな意見を書き込んだのだ？ノータッチだっただろ？そういう雑魚は引っ込んでろ」
と、このような態度に出るつもりなのであるｗｗｗ
スレ主は>>593で「雑魚つぶしの問題」とやらを欲しがっていた。
そこへ564の類題が登場した。これを悪用するつもりでいるのだ。
564はスレ主の理解度を測るために類題を出してるんだから、スレ主が解かなくちゃ意味がない。
この類題は「スレ主のためだけの問題」であり、他人が口出しする問題ではない。
にも関わらず、スレ主はこの問題を悪用しようとしている。それは564の本意では無いだろう。
だから、あんたの口からスレ主に向かってハッキリと言ってやれ。「お前が解け」とな。
0630現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/09(金) 19:28:26.11ID:dUxA1EKKTranscendental Galois theory
落合 理先生のＰＤＦがあるね（ひょっとすると、過去ログでも紹介しているかも・・）
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/
落合 理 の ホームページ
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/kougiroku.html
授業ノートや教育的講演の原稿などの教育的資料
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/fundgp2005.pdf
2005年度整数論概論/代数学5 (数学4年/大学院共通) 講義録pdf
(局所体, 基本群とガロア群の類似などの基本的な考え方)
・・・と、読んだが、無限次ガロア拡大を扱っているが、超越拡大はほとんど記述がないね～（＾＾
まあ、結構内容は面白いけど
0631現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/09(金) 20:05:27.07ID:dUxA1EKKざこが・・
頭の弱い犬ほどよく吠えるという典型か・・
差しで勝負する勇気はあるのか？
ではこうしよう
１．いまから、２週間10/23（金）以降10/30（金）で、おまえの解答を書いて見ろ（２週間は皆様のお楽しみ期間とする）
２．それが一発正解なら、無条件でおまえの勝ち
３．おれは、ほぼ解けたが、先には書かない。
４．おまえが解答するか、あるいは10/30（金）以降気が向いたときに解答しよう
５．もし、おれの正解が早ければ、おれの勝ちだ
どうだい
0632現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/09(金) 20:19:05.39ID:dUxA1EKKそうか、下記のように永田雅宜『可換体論』が、超越拡大を扱っているという話（えらく難しい）を聞いたことがあったね・・（＾＾；
まあ、いまさら永田を買う気もしない。無しでも解けるんだろう。まあ、龍孫江の数学日誌くらい読みますか・・
http://blog.livedoor.jp/ron1827-algebras/tag/%E7%B4%94%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%8B%A1%E5%A4%A7
龍孫江の数学日誌 現在はぼやいたりため息をついたりしながら 永田雅宜先生の名著『可換体論』を読んでいます.
純超越拡大 2015年04月01日 §3.1 超越基 (その１)
第３章以降は, 有限次とは限らない体拡大にガロアの理論を拡張することを目標としています.
とはいえ, 有限という仮定をひとたび外したならばそれは未開の荒野を行くようなものでありまして, 体拡大にも, 群にも, それぞれに有限の場合とは段違いの知見を必要とします.
一口に無限次拡大といっても, 有限次拡大の延長に過ぎない場合と, そもそも本質的に有限にはなりえない場合とがあります.
第２章で定義したように, 体 K 上代数的でない元を超越元といい, 超越元を含む体拡大を超越拡大と言うのでした.
体 L が体 K の純超越拡大体であるとは, L が K の上に代数的に独立な集合 S で生成されるときにいう.
またこのとき, L は (K の上の) S の有理関数体であるともいう. L は, S の元についての K の上の多項式環 (無限変数かも知れない) の商体である.
すべての体は整域の商体として表されます. L/K が代数拡大の場合には, L を商体とする K 代数は L 自身しかありません.
これに対して, 超越拡大の場合には L を商体とする K 代数で整域でないものが存在します
[例えば, 純超越拡大 L=K(S) は多項式環 K[S] の商体].
代数拡大を扱っているうちは体しか出てこなかったので, 体のカテゴリーの中だけで話が進みましたが, 第３章以降で体以外の環を考察する理由はここにあります.
整域自身を調べればその商体のことは自ずからわかりますから, 超越拡大体の考察には積極的に環論の技法が用いられます.
体は環なのに今さらなぜ環論を, と思われるかもしれません. 体は確かに環の一種なのですが, その特殊性故に一般的な環の理論が適用しにくいところがあります.
良し悪しではなく, 環論と体論の志向性と踏み込みの違いです.
（以下略）
0633１３２人目の素数さん
2015/10/09(金) 20:21:08.57ID:vh5z+a2Bほらね、オレの言ったとおりだｗｗｗ
お前のその行為はまさに
・ 564 の類題を「悪用」して、「バカ避け」として使う
という行為そのものである。「それは564の本意ではないだろう」と
言っているにも関わらず、お前は なおも悪用し、バカ避けとして使おうとしている。
オレに釘をさされてしまって、よほど悔しかったんだなｗｗｗ
この問題は、他人との知恵比べのために提示されたのではない。
あくまでも、お前の理解度を測るために提示された問題である。
従って、お前が解かなければ意味が無く、他人が口出しするのはむしろ564の意図に反する。
そんなに勝負したけりゃ、まずは提示元である564に聞きな。
「 564様、あなたはこの問題を私専用の問題として提示されましたが、当の私は、
他人との知恵比べのためにこの問題を「悪用」したく思います。よろしいでしょうか？」
と、まずは564に聞きな。それが先であり、それが筋ってもんだろ。
564が「YES」と返事をしたなら、お前の勝負に乗ってやる。
564が「NO」と返事をしたなら、564から "具体的な指示" (他人は口出しするな、とか)
があるはずだから、その指示どおりにする。
0634現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/09(金) 20:23:00.35ID:dUxA1EKKここまでヒント書いてやったんだから、ID:vh5z+a2Bさんよ、おまでも解けるだろうさ
せいぜい、赤っ恥かかないように、がんばれよ
0635現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/09(金) 20:26:23.43ID:dUxA1EKKおまえは勘違いしている
ここをどこだと思っている
私スレ主の張った結界の中だ
私がルールブックだ
いやなら、どこでも好きなところへ行け
・・・・
・・・・
・・・・
おまえ、本当は勝負を怖がっているのか？ ＨａＨａＨａ！ そうだったのか！ （＾＾
0636１３２人目の素数さん
2015/10/09(金) 20:27:38.44ID:phvvXNko0637１３２人目の素数さん
2015/10/09(金) 20:34:59.16ID:NVl1WCN30638現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/09(金) 20:40:44.61ID:dUxA1EKKこのスレは、私スレ主の天下の雑記帳ではあるけれど
読んで役に立ったねという情報を上げるようにしている
自分が役に立ちそうと思う情報は、だれか他の人にも役立つだろうと
そういう意味で、"564"さんや、おっちゃんみたいな人が居てくれるとスレが引き締まって良いね（＾＾
0639１３２人目の素数さん
2015/10/09(金) 20:47:46.81ID:CG1B3L0A0640１３２人目の素数さん
2015/10/09(金) 21:17:35.42ID:vh5z+a2Bワロタｗｗｗｗｗ
オレの正論に いつもの「いいわけ」で対抗するどころか、もはや なりふり構わず
「私がルールブックだ」
というジャイアンのような暴論ｗｗｗｗｗｗ
頭が悪すぎるｗｗｗｗｗｗｗ
とても数学やってる人間とは思えないｗｗｗｗｗ
小学生かよコイツｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
＞おまえ、本当は勝負を怖がっているのか？ ＨａＨａＨａ！ そうだったのか！ （＾＾
小学生のようなくだらない挑発は不要。
>>633の繰り返しになるが、オレと勝負したけりゃ、まずは提示元である564に "お伺い" を立てろ。
それが筋ってもんであり、それが正論。「私がルールブックだ」なんて頭の悪い発言は通用しない。
大前提として、564の類題は「お前の理解度を測るために提示された問題」なのである。
それを捻じ曲げて、「知恵比べ」に悪用しようとしてるんだから、
まずは564に "お伺い" を立てるのが先であり、それが筋ってもんだ。
564が「YES」と返事をしたなら、お前の勝負に乗ってやる。
564が「NO」と返事をしたなら、564から "具体的な指示" (他人は口出しするな、とか)
があるはずだから、その指示どおりにする。
以降、オレは 564 からの返答を待つ。
スレ主はオレのこのレスに返答する必要はない。
これ以上のやり取りは水掛け論にしかならん。
全ては 564 次第だ。
0641１３２人目の素数さん
2015/10/09(金) 21:45:08.67ID:phvvXNkoアホが自尊心保つための手段
0642564
2015/10/09(金) 21:46:14.58ID:h0FUr9tN他の人が先に答えてからスレ主さんがそれに乗っかるという形では
スレ主さんの勉強にはならないと思うので是非スレ主さんが独力で解答してください。
0643現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/09(金) 22:05:33.57ID:dUxA1EKK正直でいいね
ところで、「私がルールブックだ」というのは、客観的事実だよ
過去から（下記）
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/117
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
117 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/01/11(日) 13:55:05.61 ID:4wiPSWZ6
ここはスレ主の張った結界の中
スレ主は、だれの指図も受けない。なので、君は還った方が良いだろう
0644現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/09(金) 22:07:38.99ID:dUxA1EKK0645564
2015/10/09(金) 22:20:24.71ID:h0FUr9tNそれならスレ主さんの言うようにすればいいと思います。
ただこの手の問題は完全な証明を与えるのが難しい部分なのであって、
発想とか方針だけ述べても大した意味はないということは注意しておきます。
0646１３２人目の素数さん
2015/10/09(金) 23:59:09.55ID:vh5z+a2B564の意向により、>>631が有効になったので、スレ主の勝負、受けて立つ。
ルールどおり、10/23(金)になったら、オレはこのスレに解答を書く。
では、10/23(金)になったらまた会おう、クソッタレ。
0647１３２人目の素数さん
2015/10/10(土) 00:44:27.44ID:XHmWOSP10648１３２人目の素数さん
2015/10/10(土) 01:08:12.88ID:Uzke+66q0649１３２人目の素数さん
2015/10/10(土) 02:09:41.31ID:4lTUF4Dc自分じゃ解けないから答え教えてもらうために煽ってるんだと思う
0650１３２人目の素数さん
2015/10/10(土) 08:42:27.72ID:dENICt4a0651１３２人目の素数さん
2015/10/10(土) 12:51:31.13ID:5R/IBR180652現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/11(日) 18:09:06.87ID:RDXEzJ3Ohttp://www.sankei.com/west/news/151011/wst1510110025-n1.html
2015.10.11 【ノーベル賞】今年は山梨に埼玉、いや徳島や長崎だって… 旧帝大には負けない地方大学の受賞ラッシュ 産経
今年は自然科学系のノーベル賞で、医学・生理学賞を北里大特別栄誉教授の大村智さん（８０）、物理学賞を東京大宇宙線研究所長の梶田隆章さん（５６）がそれぞれ受賞した。
２人に共通するのは、大村さんが山梨大、梶田さんは埼玉大と、地方大学の出身ということだ。
ノーベル賞といえば、これまでは湯川秀樹さんをはじめ、京都大や東京大など研究費と伝統で勝る旧帝大が受賞者を輩出。しかし、今世紀に入ってからは地方大学出身者の健闘が目立ち、“地方の時代”をリードしている。
「地方大学は運営にも苦労している。若い研究者や学生のはげみになる」。
大村さんの受賞が決まった５日、母校の山梨大の島田真路学長は、そう喜びを語った。大村さんは昭和３３年に山梨大学芸学部（当時）を卒業し、３８年から助手を務めた。学生からも「びっくりした。研究者を目指す身として勇気づけられた」との声が上がる。
６日に受賞が発表された梶田さんは埼玉大理学部の卒業生。昨年の物理学賞に輝いた中村修二さん（６０）も徳島大工学部の出身だ。
ほかに、２００８年に化学賞を受賞した下村脩さん（８７）が長崎大薬学部の前身である長崎医科大付属薬学専門部を卒業している。
日本のノーベル賞受賞２４人のうち旧帝大出身者は１８人を占めるが、今世紀に入ってからは１５人中５人が地方大学の出身者だ。
科学研究の現場に詳しいサイエンス作家の竹内薫さんは「地方大学にも優れた先生はたくさんいる。東大や京大のように大学受験で燃え尽きることもなく、じっくり学問と向き合えるのでは」と指摘する。
そのうえで、埼玉大を卒業後に東京大大学院に進んだ梶田さんのケースを挙げ、「地方大学で基本を学び、世界レベルの大学院に進むというコースもある。これからは、そうした研究者の活躍が増えるだろう」としている。
0653現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/11(日) 18:12:06.91ID:RDXEzJ3Oどうも。スレ主です。
ああ、勝負受けたのか！ なら、おそらく君（ID:vh5z+a2B ）の勝ちだよ
完全な証明？ そんなものが、私スレ主に出来るわけがないだろう（＾＾；
0654現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/11(日) 18:15:16.58ID:RDXEzJ3Oでも、まあ、証明は考えたよ
一つは、>>654と同じ方針
一つは、>>654が正しいことを前提として（数学的には、補題として使うような）、証明する方針と
まあ、書いたら、皆様のお楽しみを奪うから書かないけどね
0655現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/11(日) 18:21:01.68ID:RDXEzJ3Oまとめレスご容赦
”スレ主が問題ちゃんと解いたの一度でもあったっけ？” ・・？ スレ主が問題をすらすら解いたら、スレが盛り上がらないだろ？（＾＾；
自分じゃ解けないかも知れないが、考えるのが勉強だよ
連続体仮説は、前提にする方が、なにかとすっきりするけどね。考える上で。
が、厳密には>>573の回答が正しいと思う
0656現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/11(日) 18:38:58.85ID:RDXEzJ3O角皆 宏 （ツノガイ ヒロシ）先生 上智
http://pweb.cc.sophia.ac.jp/tsunogai/index-j.html
http://pweb.cc.sophia.ac.jp/tsunogai/kougi/
http://pweb.cc.sophia.ac.jp/tsunogai/kougi/08/
2008年度の講義概要
http://pweb.cc.sophia.ac.jp/tsunogai/kougi/08/daisuu2e.html
代数学IIe
・超越拡大・代数的独立性 代数学IIe page 17
・体の作り方・拡大 代数学IIe page 3
この二つのPDFが役に立つだろう
特にP17に
27. 演習(11)
問27-7. Q上の有理関数体Q(x) は可算濃度。一般に、体K が可算ならK(x) も可算。
問27-8. R のQ 上の超越次元は有限でない。(実は可算ですらない。)
がある
まあ、皆さんも一緒に勉強してください
0657現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/11(日) 19:10:51.55ID:RDXEzJ3O>>656 つづき
角皆 宏 （ツノガイ ヒロシ）先生、おそらく早稲田出身かな。で、上智の数学科へ
https://kaken.nii.ac.jp/d/r/20267412.ja.html
角皆 宏 ツノガイ ヒロシ ? Tsunogai, Hiroshi
研究者番号：20267412 研究者リゾルバーID：1000020267412
所属
2013年度～2014年度 ： 上智大学 / 理工学部 / 教授
2007年度～2013年度 ： 上智大学 / 理工学部 / 准教授
2006年度～2007年度 ： 上智大学 / 理工学部 / 助教授
2001年度～2006年度 ： 上智大学 / 理工学部 / 講師
2003年度～2005年度 ： 上智大学 / 理工学部 / 専任講師
1997年度～2001年度 ： 上智大学 / 理工学部 / 助手
1995年度 ： 早稲田大学 / 理工学部 / 助手
http://researchmap.jp/read0050222/
学位 博士（理学）(早稲田大学)
プロフィール
1993年頃～ : 代数多様体の基本群に付随するGalois表現について研究を始める
1995年頃～ : 特に外Galois表現の次数Lie環化について、計算機による具体的な計算のためのプログラムの開発や、実際に計算を行なって現象を観察することを始める
1997年頃～ : 点配置空間やその上の群作用を利用したGrothendieck-Teichmueller群内でのGalois像の性質の研究や、dessin d'enfantsにも関心を拡げる
2000年頃～ : 多重ゼータ値やそれらが成す環にも関心を拡げる
2002年頃～ : Galois群の構成問題(特に生成的多項式の構成)やNoether問題にも関心を拡げる
0658現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/11(日) 19:20:51.75ID:RDXEzJ3Ohttp://www.sci.u-toyama.ac.jp/~iwao/SS2003/
岩澤理論 整数論サマースクール 仙台 角皆宏 上智2003
http://www.sci.u-toyama.ac.jp/~iwao/SS2003/Bin/Reports/ss03rep-tsunogai.pdf
基本群に付随するGalois 表現（入門まで）岩澤理論
0659現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/11(日) 20:13:19.61ID:RDXEzJ3Ohttp://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/kougiroku.html
授業ノートや教育的講演の原稿などの教育的資料
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/fundgp2005.pdf
2005年度整数論概論/代数学5 (数学4年/大学院共通) 講義録pdf
(局所体, 基本群とガロア群の類似などの基本的な考え方)
幾何的なガロア理論の入門的な紹介(2005 年度夏学期)
例1.3.
1. 代数拡大でない拡大の例は有理関数体L = K(X) などがある(X は不定元). K(X)/K は代数拡大ではない.
他に身近な例ではR/QやC/Q はe, π ∈ R などの超越数が含まれているので代数拡大ではない.
集合論的にはQ は可算無限濃度であり, R やC は連続濃度をもつ. Q の代数拡大である体は可算無限濃度をもたなければいけない(←考えてみてください) のでR やC は代数拡大でないことがわかる.
2. 代数拡大の例としては例えばC/Rがある. C = R(√?1) である.
また, Cの代数拡大K/Cがあったとしてx ∈ K とするとき代数学の基本定理によりf(x) = 0となる式f(X) = X^m+a1X^m?1+a2X^m?2+・ ・ ・ am?1X+am1 次式の積に分解することが知られている(例えば複素函数論を使っても示すことができる). したがってK = C である.
3. もっとも手近なQ の代数拡大としては, d が平方数ではない整数とする
ときQ(√d) はQ の代数拡大であり, [Q(√d) : Q] = 2 である.
環とイデアルの言葉をつかえばQ(√d) ?=Q[X]/(X2 ? d) である.
4. 一般にK を体, K[X] を1 変数多項式環とする. f(X) ∈ K[X] をd 次既約多項式とする.
このとき, 剰余体K[X]/(f(X)) はK の有限次拡大となる(← 多項式環, 素イデアル, 極大イデアルなど復習のこと).
0660現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/11(日) 20:17:41.79ID:RDXEzJ3O>集合論的にはQ は可算無限濃度であり, R やC は連続濃度をもつ. Q の代数拡大である体は可算無限濃度をもたなければいけない(←考えてみてください) のでR やC は代数拡大でないことがわかる.
これ、過去スレでやった気もするし、どこかに証明が落ちていたような気がします
で、そろそろ500KBに近づいたので、新スレを
0661現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/11(日) 20:25:38.28ID:RDXEzJ3O現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1444562562/
0662現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/12(月) 10:07:04.14ID:bHE7evZIどうも。スレ主です。
>なぜか単調な荒らしはこのスレ爆撃しないよなｗ不思議だなぁwwww
初代スレで猫さんとは仲良くなったからね
あと最近「運営乙」という人も来なくなったね
余談でした
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