>>622 つづき
「双対」へのリンクがあった。関連抜粋
アーベル群の双対の記事が、今回の問題の関連かな
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE
双対
双対（そうつい、dual, duality）とは、互いに対になっている2つの対象の間の関係である。2つの対象がある意味で互いに「裏返し」の関係にあるというようなニュアンスがある（双対の双対はある意味で "元に戻る"）。
また、2つのものが互いに双対の関係にあることを「双対性がある」などとよぶ。双対は数学や物理学をはじめとする多くの分野に表れる。

アーベル群の双対
アーベル群 G から、0 を除く複素数全体のなす乗法群 C× への準同型（これは（1 次の）指標 (character) と呼ばれる）全体のなす群 G^ を双対群（または 指標群）という。指標の間の演算は、写像の値の複素数としての積によって入れる。

アーベル群 G が有限のときには、双対群はもとの群と同型になり、双対群の双対群 G^^ には元の群との間に自然な同型がある。
アーベル群とその指標群との双対性はポントリャーギン双対の一種である。なおポントリャーギン双対は、一般には局所コンパクト位相群で考えられる双対性であり、有限アーベル群は離散位相を入れてコンパクト群（したがって局所コンパクト）である。

さらに、有限アーベル群 G の部分群 H に対し、G^ の部分群 H* を、

H* := {χ ∈ G~ | χ(h)=1 for all h ∈ H} : 全ての H の元を 1 に写す指標全体

で定義し、G^ の部分群 Φ に対して G の部分群 Φ* を

Φ* := { g∈ G | Φ(g)=1 for all Φ ∈ Φ } : Φ の任意の指標によって 1 に移されるような G の元全体

と定義すると、自然な同型

H* ≒ (G / H)^, Φ* ≒ (G~ / Φ)^

が成立する。さらにまた H を H* に対応させるような G の部分群全体から G^ の部分群全体への写像は全単射で、(H*)* = H が成り立つ（Φ* に関しても同様）。

そして有限性や可換性の条件をゆるめると問題は急速に難しくなる。