せっかくなので、>>564の復習から

>>606
どうも。スレ主です。
するどいご指摘ありがとう

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%AC%A1%E6%95%B0
超越次数
超越次数（ちょうえつじすう、英: transcendence degree）は抽象代数学において、体の拡大 L /K の「大きさ」のある種のかなり粗いはかり方である。きちんと言えば、K 上代数的に独立な L の部分集合の最も大きい濃度として定義される。

L の部分集合 S は、次のときに L /K の超越基底（transcendence basis）であると言う。S は K 上代数的に独立で、さらに L が体 K(S)（K に S の元を添加して得られる体）の代数拡大である。
すべての体拡大は超越基底をもち、すべての超越基底は同じ濃度をもつことを証明できる。この濃度は拡大の超越次数に等しく、trdegK L や trans. degK L, trdeg(L /K) などと表記される。

ベクトル空間の次元とのアナロジー
ベクトル空間の次元の理論との類似がある。
代数的に独立な集合は線型独立な集合と対応し、L が K(S) 上代数的であるような集合 S は spanning sets と対応し、超越基底は基底と対応し、そして超越次数は次元と対応する。
超越基底が常に存在するという事実（これは線形代数学において基底が常に存在するという事実との類似である）は選択公理を要求する。任意の2つの基底が同じ濃度をもつことの証明は、各設定において、exchange lemma（英語版） に依存する[1]。

このアナロジーは次のことを観察することによってより形式的にできる。
ベクトル空間における一次独立と体の拡大における代数的独立はともにマトロイドの例であり、それぞれ線型マトロイドと代数的マトロイドと呼ばれる。
したがって、超越次数は代数的マトロイドのランク関数（英語版）である。すべての線型マトロイドは代数的マトロイドに同型であるが、逆は成り立たない[2]。

事実
M/L が体の拡大で L /K がもう1つの体の拡大であれば、M/K の超越次数は M/L と L/K の超越次数の和に等しい。
これは次のことを示すことによって証明される。M/K の超越基底は M/L の超越基底と L /K の超越基底の和集合をとることによって得られる。