>>48 つづき

証明はしないが，次の定理たちは重要である．難しくないので本を読めばすぐに証明付きで理解できるだろう．
定理19（準同型定理） 環準同型f : R → R′ に対し，Im f := {a′ ∈ R′ | あるa ∈ R が存在してa′ = f(a) となる}と定めると，これは自然に環になる．
このとき，f は環同型R/Ker f ? Im fを誘導する．
定理20 剰余環R/a のイデアルは，環R のイデアルでa を含むものと1 対1 に対応する．「イデアル」の部分を「素イデアル」や「極大イデアル」に変えても同じことが成り立つ．
最後に，代数幾何学で重要になる被約イデアル(reduced ideal) について補足しておく．
定義21（根基イデアル） 環R のイデアルa に対して，a の根基イデアル(radical ideal)
√a を√a := {f ∈ R | あるn ∈ Z>0 が存在してf^n ∈ a となる.}で定める．
演習22 根基イデアル√a は実際にR のイデアルになることを示せ．また，a ⊂√a が成り立つことを確認せよ．
定義23（被約イデアル） 環R のイデアルa は，√a = a となるとき被約イデアル(reduced ideal) であるという．
演習24 素イデアル（および極大イデアル）は被約イデアルである．これを確かめよ．
演習25
1 変数多項式環C[X] のイデアル(X^2 ? 1) は被約イデアルであることを確かめよ．また，(X^2) は被約イデアルではないことを確かめよ．
2 変数多項式環C[X, Y] の場合には，被約イデアル，被約でないイデアルにはそれぞれどのようなものがあるか．

以上で環論の本当に基本的な部分の説明を終わりにする．紙数の関係で省略した話題も多いので，より詳しい説明は代数学の初歩的な教科書を参照されたい．