>>45 つづき

このイデアルの説明が分かり易いんだな

定義7（イデアル） 環R の部分集合a ⊂ R がイデアル(ideal) であるとは，次の条件を満たすことである．
(i) 任意のa, b ∈ a に対し，a ? b ∈ a が成り立つ．
(ii) 任意のa ∈ a とr ∈ R に対し，ra ∈ a が成り立つ．
例10
(a) 有理整数環Z に対し，(n) はイデアルになる．逆に，簡単な計算によりZ のイデアルはこの形のものに限られることを確かめることができる．
このように任意のイデアルが単項イデアルである環を単項イデアル環という．
(b) 複素数体C のイデアルは，(0) およびC の2 つのみである．
(c) 一般に環R に対して(0) とR 自身はイデアルになる．これを指して自明なイデアルという．
体は自明なイデアルしか持たない．
逆に，自明なイデアル以外持たない環は体であることも分かる．
(d) 環準同型f : R → R′ に対して，その核(kernel)，
Ker f := {a ∈ R | f(a) = 0}
はイデアルである．

イデアルの中で重要なものは次の２つである．
定義12（素イデアル） p ⊂ R を，R でないイデアルとする．p は，ab ∈ p ならばa ∈ p またはb ∈ p が成り立つとき，素イデアル(prime ideal) という．
定義13（極大イデアル） イデアルm ⊂ R は，R 自身でないイデアルの中で包含関係について極大であるとき，極大イデアル(maximal ideal) であるという．
注意14 R 自身は素イデアルに含めない．また，Zorn の補題を用いれば任意の環に対し極大イデアルは常に存在することが分かる．
Zorn の補題についての解説は集合位相の教科書に，実際に極大イデアルが存在することの証明は基本的な代数学の教科書に譲ることにする．

例15 (a) 素数p ∈ Z に関して，(p) ⊂ Z は素イデアルになる．また，これは同時に極大イデアルにもなる．
(b) ab = 0 ∈ R ならばa = 0 またはb = 0 が成り立つとき，環R は整域(integral domain) であるという．
定義から，環R が整域であることと(0) が素イデアルであることは同値である．
(c) 既約多項式f ∈ C[X1, . . . ,Xn] から生成される単項イデアル(f) は素イデアルである．
(d) 一般に環が与えられたとき，その素イデアルや極大イデアルを決定することは難しい問題である．