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>切り口というか、有限群で万能な定理ってこれくらいしかないんだよね

有限群論で思い出したんだが、中心化群というキーワードを思い出した。鈴木の有限群論 岩波にあった

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%8C%96%E7%BE%A4%E3%81%A8%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%8C%96%E7%BE%A4
中心化群と正規化群
数学、とくに群論において、群 G の部分集合 S の中心化群 (英: centralizer) とは、S の各元と可換な G の元全体からなる集合であり、S の正規化群 (normalizer) とは、「全体で」S と可換な G の元全体からなる集合である。
S の中心化群と正規化群は G の部分群であり、G の構造について知る手掛かりを得られる。

http://hooktail.sub.jp/algebra/CenteredGroup/
中心化群 [物理のかぎしっぽ]

http://www.comp.tmu.ac.jp/yosihiro/teaching/ 首都大学東京理工学研究科数学専攻　澤野嘉宏のホームページ
http://www.comp.tmu.ac.jp/yosihiro/teaching/daisuu/sylow-subgroup.pdf
シロー部分群 澤野嘉宏　学習院大学
Abstract.
有限群G の構造について考える．有限群G が可換であるなら，
G ? Z=(a1) × Z=(a2) × ・ ・ ・ × Z=(ar); a1; a2; ・ ・ ・ ; ar ? 2
なる同型が存在するのは既知の事実として認める．これは有限生成PID 加群の構造定理をZ に対
して適用しただけだからである．ここでは，非可換群の構造を考察する．

www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/100gun.html
ときわ台学/代数学入門/中心と中心化群