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松本節さくれつ
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/hosoku1.pdf
代数曲線に触れる補足 松本 眞 広島大 2009

3 近代的代数幾何（空間概念とスキーム論）
連立方程式系f1・・・・ ・ fn ∈ K[x1・・・・ ・XN]に対し、その零点集合をV (f1・・・・ ・ fn)であらわし、アファイン代数的集合と言った。
これには、
・x^2 +y^2 +1 = 0 のように、たとえば実数上では空集合になってしまうおそれがあった。
・上の問題はK が代数閉体であることを仮定すると避けられないこともない。が、f = g^2 のときなどは集合として一致(V (f) = V (g))してしまう。
・K = Q, K = Fp などでは「解の集合」の位相構造をどのように扱えばよいか。
といった問題点があった。

歴史的には、体は複素数体であり、代数関数は複素解析的な（極を持ちうる）有理関数の一種として定義されて取り扱われたので、これらの問題は生じなかった。
しかし、我々は、有限体や整数をより精密に調べたいという要求がある。
２０世紀に入って発展した、有限体や整数を「幾何的対象」としてとらえ研究をする「数論幾何」（arithmetic geometry) は大きく発展した。

フェルマー予想・志村谷山予想・セール予想といった多くの未解決問題が陥落している。

また、計算機分野のアルゴリズムでも、数論幾何に基づく暗号や符号が広く用いられている。デジタル計算機は、有限集合に対して有限の操作（演算）を行う機械である。
したがって、有限体やそれらを係数とする多項式に対しては正確な演算をなしうるのであるが、実数や複素数に対しては常に「有限の精度（誤差つき）」の計算しかなしえない。
したがって、数論幾何はデジタル計算機と相性がいいのである。

以下、意味不明なコメントを重ねる。
１９世紀的な幾何においては、多様体は「局所的に、標準的なものと同一視される位相空間」であった。
すなわち、「集合に、付加的な情報が追加されたもの」を部品として組み立てられたもの、なのである。
それに対し、Grothendieck や米田信夫らの発想は、「関係こそが実在（関数環や準同型がものの存在の実態）」というあらたな哲学を切り開いたと言える。