>>12 つづき

ここらも、引用しておこう
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%92%B0
ユークリッド環

ユークリッド環の裏にある本質的な考え方は、それが環であって「その任意の元 a と任意の非零元 b に対して、b の倍元の中に a に十分近い元が存在する」という性質を持つということである。
もちろん、その環が可除環（あるいは体）であったならば、a?b?1 を倍率として左から b に掛ければ a が得られる。つまり、体や可除環については a に「ちょうど」一致するような b の倍元が存在する。
もちろんこのことは一般の環では成立するとは限らない（例えば整数環 Z では成り立たない）から、制約条件は「b の倍元の中に a に十分近い元が存在する」というだけに緩めるのである。

自然な問いとして「距離（次数）はどのような集合に値を取るのか」という問題が考えられるが、多くの目的で（特にユークリッドの互除法が自由にできるという目的で）、自然数全体の成す集合 N に値をとるものと定めるのが普通である。
自然数全体の成す集合 N の持つ、この文脈で重要になる性質は、それが整列集合を成すことである。

定義に関する注意
ユークリッド函数の定義として任意の整列集合に値を取ることを許して一般化する場合もある[7]。このように条件を弱めても、ユークリッド性の最も重要な部分には何も影響しない。