現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15 [転載禁止]©5ch.io
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/15(土) 21:37:29.19ID:BibK/cXUこのスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む10
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む9
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1408235017/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む8
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1364681707/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む7
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1349469460/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む6
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1342356874/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む5
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1338016432/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む(4)
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/
（古いものは、そのままクリックで過去ログが読める。また、ネットで検索すると、無料の過去ログ倉庫やキャッシュがヒットして過去ログ結構読めます。）
0153１３２人目の素数さん
2015/08/29(土) 08:16:22.24ID:86dDTELQ>>150の「>>137-138」は「>>138-140」の間違い。
ID見れば分かると思うが、>>137は別人。
0154現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 08:19:52.15ID:eoE5GmxFどうも。スレ主です。
おっちゃんって・・
本格的に勉強しているんやね・・
複素解析は。
昔、アルフォースと言われた時代があった。第1回目のフィールズ賞を受賞か・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%82%B9
抜粋
ラース・ヴァレリアン・アールフォルス（Lars Valerian Ahlfors、1907年4月18日-1996年10月11日）はフィンランドの数学者。リーマン面の研究と複素解析の教科書を書いたことで知られる。
1936年、彼はジェス・ダグラスとともに第1回目のフィールズ賞を受賞した。
1953年に出版されたComplex Analysis (邦題：「複素解析」、訳者：笠原乾吉)は古典的な名著で、現在でも世界中の大学で複素解析の授業に用いられている。また1960年にはRiemann surfaces 、1973年にはConformal invariants など、他にも有名な本を書いている。
0155１３２人目の素数さん
2015/08/29(土) 08:24:29.44ID:86dDTELQ>（書棚のスペースが無くなったので処分したが）
何かもったいないことをしたと思うぞ。
下巻の方の有限群論の内容は読む気失せるような内容だが、
上巻の方はマニアックなことまで書いてあって読む価値あると思う。
0156１３２人目の素数さん
2015/08/29(土) 08:35:50.14ID:86dDTELQ岡潔はリーマン面をモデルに多変数複素変数での複素解析を展開しようとしたが、
1変数のときとは異なり、1変数では解析関数の解析接続が全平面まで拡張して
定義出来るが、多変数ではその解析接続による定義が全空間まで拡張して出来る
とは限らないので、1変数のときとはかなり様相が違う。
0157１３２人目の素数さん
2015/08/29(土) 08:41:49.10ID:86dDTELQ>>156の「>>155」は「>>154」の間違い。
ちなみに、アールフォルスのComplex Analysisは1変数複素解析の本。
読んだことはないが、(1変数)楕円関数などまで丁寧に載っているようだ。
0158現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 09:23:46.59ID:eoE5GmxF>>155
おっちゃん、ほんま、見かけによらず勉強家やね～
鈴木まで読んでいるのか
だいぶ記憶が薄れたが、読み物としては下巻の方が面白かったような・・
上巻もそれなりに
でも、代数方程式のガロア理論に限ると、ちょっと過剰なんだよね
それと、別の切り口の本もいずれ出るだろうしと思って（実際にはまだお目に掛からないけど）
>>156
岡潔先生は、大学を退官されてからは、文筆家になられた
多変数複素解析の話は有名ですね
>>157
アールフォルスのComplex Analysisは1変数複素解析の本はそうなんだけど
ＰＣの無い時代は、1変数複素解析の積分計算って、結構重要だったんだわ
ところで、>>151の「結局、コンピュータでやりましたって部分が結構ある」という話は、これからの人は意識しておいたほうが良いだろう
実際、「コンピュータでやりましたって部分」が表に出なくても、結構あるんじゃないかな？ 佐藤幹夫先生も結構やってたよね
0159１３２人目の素数さん
2015/08/29(土) 09:42:11.20ID:86dDTELQいや、鈴木は持ってはいるが、通読してはいない。
これまで通読しようとしたら大変だろう。普段は、せいぜい上巻は調べ物に使っている。
Tisz系とかアパートとか、代数群に関するようなことまでが上巻に載っている。
鈴木の群論の上巻の価値は、そのあたりにあるだろうな。
下巻はグラフだったかな。そういう言葉が出て来たな。
0160１３２人目の素数さん
2015/08/29(土) 09:49:52.40ID:86dDTELQ「>>159」は「>>158」の間違い。
あと、訂正：Tisz系→Tits系
綴り間違えた。
0161現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 10:20:55.07ID:eoE5GmxFどうも。スレ主です。
おっちゃん、どうも。本格的やねー
ちょっと意味が違うが、鈴木が群論のバイブルかねー
もう記憶が薄れているが、鈴木の本は有限群論の分類を主眼に書かれていたような気がするんだ
が、有限単純群の分類が終わったいまでは、もう少し別の視点があっても良いような気がする
例えば、下記を総括するような、かつ群論といろんな分野（物理や計算）との関連を記述するような（売れるかどうかは別として）
https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_group
https://en.wikipedia.org/wiki/Group_of_Lie_type#Chevalley_groups
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_simple_groups
0162現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 10:30:49.26ID:eoE5GmxFStein Spacesか～
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
数学の多変数複素函数論および複素多様体論におけるシュタイン多様体（シュタインたようたい、英: Stein manifold）とは、複素 n 次元ベクトル空間のある複素部分多様体のことを言う。
考案者の Karl Stein (1951) の名にちなむ。
同様の概念にシュタイン空間（Stein space）があるが、こちらは特異性を持つことも許されている。
シュタイン空間は、代数幾何学におけるアフィン多様体、あるいはアフィンスキームと類似の概念である。
目次
1 定義
2 非コンパクトなリーマン面とシュタイン多様体
3 シュタイン多様体の性質と例
4 滑らかな多様体との関係
5 注釈
6 参考文献
このような多様体の更なる特徴付けは多く存在し、特に複素数に値を取る多くの正則函数を持つという性質が挙げられる。
例えば層コホモロジーに関連するカルタンの定理 A, Bを参照されたい。第一の動機は、解析函数の（極大）解析接続の定義域の性質を表現することであった。
類似の概念が多く存在する GAGA において、シュタイン多様体はアフィン多様体に対応する。
シュタイン多様体はある意味において、複素数からそれ自身への「多くの」正則函数を許すような複素解析学における楕円多様体（elliptic manifold）の対となるものである。
シュタイン多様体が楕円型であるための必要十分条件は、それがいわゆる正則ホモトピー論（holomorphic homotopy theory）の意味での fibrant であることであることが知られている。
0163現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 11:04:05.48ID:eoE5GmxFwww.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1026-4.pdf
岩澤理論入門(代数的整数論とその周辺) 東京大学大学院数理科学研究科 中島匠 数理解析研究所講究録 1998年
抜粋
本稿では最新の成果について述べることは避けて, 岩澤理論の原点に帰り,「代数体の円分Zp 拡大」に絞って話をすることとした. また, その中でも代表的な成果である, 岩澤類数公式と岩澤主予想の解説を目標とした.
2 節では我々の扱う状況を設定して, 重要な環A を導入する. 3 節でA 加群の構造について概説した. 4 節で代表的成果である岩澤類数公式を解説し,7 節ではハイライトともいうべき岩澤主予想を扱った.
岩澤理論の進展の背後には, 代数体と代数関数体(代数曲線) との類似, という「動機」があると考えられるし, またその類似を知ることは読者の理解の助けにもなると思われるので, 5 節においてその類似について触れた.
6 節では主予想の片方の主役である$p$ 進$L$ 関数について必要な$$‘とをまとめてある.
A 加群の構造定理は代数体の岩澤理論に限らずその?般化に関しても不可欠の道具だと考えたので, 3 節がすこし長くなってしまった.
岩澤理論とはどんなものでそもそもどんな成果があるのか, ということをまず知りたい読者は, 2 節で状況を理解した後(3 節を飛ばして)4 節を読んで頂きたい.
Introduction の最後に, 文献について触れておきたい. 岩澤理論を本格的に学ぶためには, もちろん岩澤先生の原論文に接するのが最も望ましいであろう. 論文は数多くあるが, [Iw 2], [Iw 3] などを読むのが良いのではないかと思う.
その他に岩澤理論の教科書を挙げるとすれば, Lang の本[La] とWashington の本$1^{\mathrm{W}\mathrm{a}}$] が代表的なものといえよう. 本稿で述べた命題に関し
ては, 極力[Wa] での対応箇所を指摘するようにした. 岩澤理論の教科書といえるものが日本語で出版されていないのが(筆者には) 不満であったが, 最近-, 市村文男氏の講義録[Ichi] が出た.
この本は薄いものであり, 理論のす
べてをカバーしているわけではないが, 類体論の概要から始めて代数体の岩
澤理論のエッセンスがうまくまとめられている.
また, 岩澤理論の発生と進展, 代数体と代数関数体との類似に関する考
え方, について興味を持たれる読者には[Iw 1], [Iw 4] を読むことをお勧めする.
0164現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 11:14:12.55ID:eoE5GmxFhttps://web.math.princeton.edu/~fsprung/
I am a Veblen Research Instructor at the Institute for Advanced Study and Princeton University.
https://web.math.princeton.edu/~fsprung/kinosaki.pdf
楕円曲線の岩澤理論について シュプルング フローリアン(Florian Sprung) 東大数理
抜粋
岩澤理論は遠く離れているはずの（p 進）解析的対象と代数的な数論的対象との間を深く結びつける不思議な理論である。
そして、x3 では古典的な岩澤理論について説明します。
x4 では「御縁のある」楕円曲線という対象について簡単に説明します。
それをもとに，x5 とx6 では「通常」な素数における楕円曲線の岩澤理論、そして「超特異」な素数における
岩澤理論について説明しようと思います。（ある昔話とのたとえはここに含む。）
講演とこの報告集は主に加藤和也先生の2006 年の国際数学者会議での講演をもとにしました。実際，この講演をオンラインで見ました
（http://www.icm2006.org/video/での“eighth session”をクリック）。後、同じ辻教室で研究されてる原さんの
素晴らしい原稿[原]（去年の第五回城崎新人セミナーの講義ノート）やCoates 先生の講義ノート[Coates] 等を
参考にしました。
7 おわりに
楕円曲線の岩澤理論には、不思議な現象がまだ沢山残ってます。Bertolini とDarmon[BD] による非円分岩
澤理論，Coates、深谷、加藤、Sujatha、Venjakob[C 深加SV] による（楕円曲線の）非可換岩澤理論等には触
れませんでした。あと、楕円曲線（言い換えればweight = 2 の保型形式）を越えた(weight > 2 の）保型形
式*15の岩澤理論は通常な素数の場合、定式化されてるが、超特異な場合はまだ未知の世界である。今年の４月
に李（Lei) さんによりap = 0 の場合が発見されました[Lei]。ap 6= 0 の場合について李さんと議論した結果、
かなり困難であれども面白そうなので、いくつかの論文が出来上がるかもしれません。興味／アイデア／手伝い
たいという意志がある方は是非とも連絡をください。
最後に、第六回城崎新人セミナーに参加する機会をいただき誠にありがとうございました。運営委員、つたや
旅館晴嵐亭の皆様、参加者の皆様に感謝します。講演を聴いてくださり，さまざまな突っ込みと質問をされた方
等にも感謝します。
0165現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 11:21:08.46ID:eoE5GmxFhttp://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1229316057
godfalkonさん 2009/8/1118:12:19
大フェルマーの定理を解いた、ワイルズ氏が参考にしたという岩沢理論と谷山予想とはどのようなものですか
ベストアンサーに選ばれた回答 sedrft1さん 2009/8/11 前に私が回答したものを引用します。
抜粋
はじめに岩澤理論について。
やや専門的な言葉を使ってしまい申し訳ないです。
ゼータ関数とイデアル類群との間にはクンマーの判定法をはじめ深い関係が知られていますが、ゼータ関数はp進数のもつ性質があり、p進L関数のようなp進解析的対象と、イデアル類群から得られる代数的対象との関係を明らかにしようというのが岩澤理論です。
http://www.mm.sophia.ac.jp/~shinoda/msj/pdffiles/kato.pdf
岩澤理論はこのような代数的対象と解析的対象が完全に結びつくといった意味で、数論の中でも最も美しい理論の1つに数えられます。類体論もそうですが、日本人による整数論の貢献は大きく、フェルマーの最終定理も日本人が活躍したことはよく知られています。
本格的に数論を勉強したければ、
『数論Ⅰ、Ⅱ』（黒川信重、栗原正人、斎藤毅、加藤和也）岩波書店
がいいと思います。
L.Washington Introduction to cyclotomic fields,Graduate Texts in Math.83, Springer-Verlag
は標準的な教科書です。
加藤先生が東大に来た時に講義したものを載せておきます。
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/index.html
から、「講義・講演会」をクリックしてください。
現在は岩澤理論はもともとの円分体の理論からさらに発展し、楕円曲線やK3曲面への応用がされているようです。
0166現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 12:20:29.12ID:eoE5GmxFhttps://www.math.kyoto-u.ac.jp/insei/index.php?KINOSAKI%20SEMINAR%202009
第6回 城崎新人セミナー
日時 : 2009年2月16日(月)?2月20日(金)
場所 : 兵庫県豊岡市 城崎町大会議館
宿泊場所 : つたや旅館
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/insei/index.php?MenuBar
Menu 城崎新人セミナー
第1回城崎新人セミナー/報告集
第2回城崎新人セミナー/報告集
第3回城崎新人セミナー/報告集
第4回城崎新人セミナー/報告集
第5回城崎新人セミナー/報告集
第6回城崎新人セミナー/報告集
第7回城崎新人セミナー/報告集
第8回城崎新人セミナー/報告集
第9回城崎新人セミナー
琵琶湖若手数学者勉強会
第1回琵琶湖若手数学者勉強会/報告集
第2回琵琶湖若手数学者勉強会/報告集
第3回琵琶湖若手数学者勉強会/報告集
第4回琵琶湖若手数学者勉強会/報告集
第5回琵琶湖若手数学者勉強会/報告集
第6回琵琶湖若手数学者勉強会/報告集?
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/insei/index.php?KINOSAKI%20SEMINAR%202009%2Fproceeding
第6回城崎新人セミナー/報告集 セッション講演者（代数系） シュプルング フローリアン (東京大学 M2)
0167現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 12:42:33.26ID:eoE5GmxFフローリアン(Florian Sprung) 東大数理くん
加藤和也先生の「鶴の恩返し」にかぶれたか（＾＾；
でも理解しているんだね・・
原稿に出てくる、他の原さんの素晴らしい原稿[原]（去年の第五回城崎新人セミナーの講義ノート）や、伊東さんの稿などは、>>166で分かるだろう
0168現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 12:54:06.44ID:eoE5GmxFhttps://www.math.kyoto-u.ac.jp/insei/proceeding/2008/hara.pdf
総実代数体の非可換岩澤理論の展開 原 隆 (Takashi Hara)? 東京大学大学院 数理科学研究科 2008
「岩澤理論とはどのような理論であるか」，「代数的K-理論によって可換な拡大に対する岩澤理論が非可換な拡大の場合に如何に“美しく”昇華するか」
といった，他分野の人でも興味を持てそうな事柄をなるべく重点的にお話しし，整数論のバック・グラウンドを持たな
い方にも非可換岩澤理論の「面白さ」が少しでも伝わるようにと色々工夫してみました．講演後ありがたくも
「何となく岩澤理論のイメージが掴めた」とか「面白かった」などという感想を何件かいただき，このささやか
な目論みはある程度は成功したのではないかと思っています．
しかし，時間の都合上「非可換岩澤主予想をどのようにして可換な場合に帰着するか(“Akashi”の思想)」
という一番重要かつ面白い部分を全くお話しすることが出来なかったことは痛恨の極みでありました．
0169現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 13:11:22.01ID:eoE5GmxF付録C ジョン・コーツ氏の“Akashi” の哲学
抜粋
コーツさんは自身の苦節の日々に，須磨で失意の日々を経て見事返り咲いた源氏の姿を重ね合わせ，
「非可換の理論を可換の理論に帰着する」ような手法や写像を，源氏が人生の再起のきっかけを掴んだ『明石』
の巻に因んで“Akashi” と呼ぶようになった，ということです*42．筆者が知る限りでは，
? バーンズの手法における「張り合わせ」写像(§4 参照)
? 局所化された岩澤代数のK1 群におけるevaluation map (§3 参照)
? 特性元とG-オイラー標数を繋ぐ架け橋となる重要な概念である「明石級数」(Akashi series) ([CFKSV])
等は，まさに「非可換の理論の困難を可換(円分体) の理論に帰着する」と言う“Akashi” の思想を実現した
“Akashi map” に相違ないですが，論文などで公式に用いられているのは残念ながらAkashi series だけのよう
です．ただ，今回の講演では，この“Akashi” という言葉に込められたコーツさんの想いと，日本で生まれた
「岩澤理論」という数学の理論が，コーツ先生の仲介によって今また日本の古典文学と再会を果たしたと言う奇
跡を色々な方に知っていただきたいと思い，「明石写像」という言葉を敢えて使わせていただきました*43．論文
に現れないところでも，コーツ先生の“Akashi” の哲学は至る所に息づいているのです．
*42 ジョン・コーツ教授は，源氏物語を全巻読破するほどの日本通であることで有名です．
*43 因みに，コーツ先生がK1(Λ(G)S) のevaluation map も§4 の写像も“Akashi map” と呼んでいるのは間違いがないようです．
0170現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 13:12:54.81ID:eoE5GmxF0171現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 13:19:59.75ID:eoE5GmxFhttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%84
ジョン・コーツ (John Henry Coates, 1945年1月26日 - ) はイギリスの数学者。ケンブリッジ大学エマニュエルカレッジ教授。専門は数論、数論幾何学、岩澤理論。
オーストラリア国立大学を卒業後はフランスのエコール・ノルマル・シュペリウールに留学。 フランス留学を終えた後にイギリスのケンブリッジ大学でアラン・ベイカーのもとで博士号を取得。 その後ハーバード大学、スタンフォード大学、オーストラリア国立大学等を経て現職。
業績として ベイカーとともに代数的K-理論における貢献。楕円曲線のヴェイユ予想の特別な場合を解決した。
アンドリュー・ワイルズとともに岩澤理論をバーチ・スウィナートン=ダイヤー予想に応用し、虚数乗法を持つ楕円曲線について非常に大きな貢献をした。
岩澤理論とp-進 L関数との関係や、p-進 リー群の岩澤理論、岩澤理論のモチーフや変形理論、岩澤理論のデデキント ゼータ関数への応用、加藤和也とともに非可換岩澤理論の構築。
などなど数論 (特に岩澤理論) への貢献は非常に大きいもの。
岩澤理論と名づけたのはコーツ。 フェルマーの最終定理を証明したアンドリュー・ワイルズはコーツの弟子である。
0172１３２人目の素数さん
2015/08/29(土) 14:05:58.12ID:86dDTELQ鈴木の 群論(上下) が有限群論のバイブルであることにはほぼ間違いないとは思う。
有限群は代数群の例になる。
単純に群論といっても、位相群論、リー群論、有限群論、代数群論、(無限)可換群論
と、これらの表現論などなど幾つにも分かれる。任意の群は位相を入れることで
位相群として扱うことが出来る。なので、総括的な視点となると、
位相群論やリー群、リー代数と、これらの表現論からの視点になる気はする。
これらは物理でも量子力学とかで使われている。位相群論の名著はポントリャーギン。
リー群論の名著はこれとシュヴァレーの1巻目。シュヴァレーの2巻以降は確か代数群の話になる。
強いて他に挙げれば、ワイルの古典群。単に位相群論といっても位相群上での
フーリエ解析による表現論もあったり、同じリー群論や位相群論の表現論といっても、
代数的手法と解析的手法に分かれたりして、位相群論やリー群、リー代数と、
これらの表現論だけでも、かなりの分量になる。
0173現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 17:58:43.14ID:eoE5GmxFどうも。スレ主です。
ほんと、おっちゃん博識やね～
0174現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 18:32:43.02ID:eoE5GmxFhttps://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/15/2/15_2_65/_article/-char/ja/
数学 Vol. 15 (1963-1964) No. 2 P 65-67
代数体と函数体とのある類似について 岩沢 健吉1)
0175現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 19:18:54.96ID:eoE5GmxFhttps://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/45/4/45_4_366/_article/-char/ja/
数学 Vol. 45 (1993) No. 4 P 366-372 岩澤健吉先生のお話しを伺った120分
3月18日の午後2時,編集部の飯高と中島の二人で
目黒の閑静な住宅街にある岩澤先生のお宅をお訪ねし,
先生からいろいろなお話を伺いました.また藤崎源二郎
さんにも同席していただきました.
0176現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 19:23:53.64ID:eoE5GmxFhttp://www.sci.u-toyama.ac.jp/~iwao/SS2003/#hachimori1
2003年度整数論サマースクール 「岩澤理論」
函数体と代数体の類似（60分）八森祥隆（学習院大学）
http://www.sci.u-toyama.ac.jp/~iwao/SS2003/Bin/Reports/rev-ss03rep-hachi1.pdf
函数体と代数体の類似、八森祥隆（学習院大学）
代数体と一変数代数函数体, 特に有限体上の函数体とは多くの類似点がある. 特に, イデアル類群の函数体における類似物は, 次数 0 の因子類群である. しかしながら, 函数体の理論にあって代数体にないものは次の事実であった:
(完全)体 $k$ 上の函数体は, $k$ 上射影非特異な代数曲線の函数体であり, そのヤコビ多様体の$k$-有理点が次数 0 の因子類群と同型になる.
この事実により, 代数幾何的手法によって因子類群の性質を明らかにすることが出来る.
岩澤は, 代数体の $Zp$-拡大体とその上のイデアル類群の構造の理論を建設していく中で, それが, 函数体において, ヤコビ多様体の類似物を考えていることに当たるということに気付いていったようである.
ヤコビ多様体の理論によって因子類群の構造が簡単になるのが,代数閉体上の函数体の場合であることから, 代数体の $Zp$-拡大と函数体の代数閉体への係数拡大が類似していると考えたのである.
さて, 函数体における著しい結果は Weil による次の結果であり, これには (代数体にない) 曲線とヤコビ多様体の理論が必要であった:
"函数体の合同ゼータ関数(の主要部)は行列式表示をもつ"
これの代数体における類似物は何であろうか. 実はそれが岩澤主予想なのである.
本講演では Weilの結果を説明しながら, 岩澤主予想がどのようにその類似と考えられるかを説明する. また, 他の類似についても触れたい.
0177現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 20:25:01.28ID:eoE5GmxFhttp://www.eco.wakayama-u.ac.jp/ritornello/article.php?vol=18&;num=7
和歌山大学生による書評誌 「リトルネロ」数学者の風景 藤永 博（経済学部教員）
フェルマーの最終定理 サイモン・シン（著）青木 薫（訳）新潮文庫 2008年
抜粋
ケンブリッジ大学で博士号を取得後、プリンストン大学に移ったワイルズは、フライが示した谷山?志村予想とフェルマーの最終定理の関係をリベットが証明した後、第 VI 章「秘密の計算」で語られる7年間の隠遁生活にはいる。
ワイルズの「秘密の計算」の最初のステップはガロアの研究の中にあった。
この章では数学と共和主義と恋愛にその身を捧げたガロアの20年余の短い生涯、特にそれによって命を落とすことになる決闘と、5次以上の方程式の解に関する定理などをすべて書き残そうとした悲壮感の漂う決闘前夜の物語にかなりの紙数を割いている。
ガロアのアイディアを応用して突破口を開いたワイルズであったが、次のステップで行きづまる。
岩澤理論を問題解決に資するように発展させることができず無力感を味わう。しかし、コリヴァギン?フラッハ法との出会いが次の大きなステップとなる。
この方法を拡張し、ワイルズは証明を完成させる。そして、1993年の世紀の講演。数学者の間で飛び交う短い電子メールの記録を挿入して、物語をスリリングに展開していく。
第 VII 章「小さな問題点」は講演後の展開で、第 I 章の続きである。ここでも電子メールの記録の挿入が効果的である。
「小さな問題点」を解消できず、ワイルズは苦境に立たされるが、彼を救ったのは、一度はその応用をあきらめた岩澤理論であった。
コリヴァギン?フラッハ法と岩澤理論は相互に補完する形で機能したのである。それまでのワイルズの努力がすべてフェルマーの最終定理の証明に収束することになった。
「小さな問題点」が解決する瞬間の描写は感動を誘う。
ラングランズ・プログラムが夢見る「数学の大統一」は第 V 章や「訳者あとがき」でも触れられているが、単に純粋数学だけではなく、物理学や工学、応用科学の分野にとっても大きな意味をもつ。
「訳者あとがき」で紹介されている「ゼータの統一」（底流にゼータ関数と呼ばれるものが流れる分野の統一）と物理学における「力の統一」の対応関係（『ゼータの世界』梅田亨著 日本評論社）は興味深い。
0178現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 20:27:34.15ID:eoE5GmxF関連しているんだ・・
0179現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 20:31:47.00ID:eoE5GmxFいまとなれば、２１世紀の常識ですが、一応書かせてもらった・・（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0
ラングランズプログラム（英: Langlands program）は、代数的整数論におけるガロワ群の理論を、局所体およびそのアデール上で定義された代数群の表現論および保型形式論に結び付ける非常に広汎かつ有力な予想網である。
同プログラムは Langlands (1967, 1970) により提唱された。
相互律
ラングランズプログラムの出発点は、二次の相互律を一般化したアルティンの相互律であると考えられる。
アルティンの相互律は、ガロワ群が可換であるような代数体のガロワ拡大に適用して、L-函数をガロワ群の一次元表現に対応させ、
さらにそれら L-函数がある種のディリクレ L-級数やヘッケ指標から構成されるより一般の級数（つまり、リーマンゼータ函数のある種の対応物）と同一視できることを主張するものである。
これら種々の異なる L-函数の間の具体的な対応が、アルティンの相互律を構成しているのである。
非可換なガロワ群やその高次元表現に対しても、L-函数は自然な方法で定義することができる（アルティン L-函数）。
ラングランズの考察は、アルティンの主張をより一般の仮定の下で定式化することを許すような、ディリクレ L-函数の真の一般化を求めることであった。
保型形式論
ヘッケ（英語版）は既に、ディリクレ L-函数を保型形式（C の上半平面上で定義される正則函数である種の函数等式を満たすもの）に関連付けていたが、
ラングランズはそれを（有理数体 Q のアデール環 A 上で定義される一般線型群 GL(n, A) の無限次元既約表現の一種である）保型尖点表現に対して一般化した。（Q のアデール環というのは、Q の任意の完備化を一斉に扱ったようなものである）。
ラングランズは、保型 L-函数をその保型表現に対応させ「任意のアルティンのL-函数が、代数体のガロワ群の有限次元表現から生じることと、保型尖点表現から生じることとは等しい」と予想した。
これをラングランズの「相互律予想」という。一口に言えば、相互律予想は簡約代数群の保型表現とラングランズ群から L-群への準同型との間の対応を与えるものである。
つづき
0180現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 20:38:43.52ID:eoE5GmxF幾何学的ラングランズ予想
ドリンフェルトのアイデアに従ってローモンの提唱した、いわゆる幾何学的ラングランズプログラムは、通常のラングランズプログラムを幾何学的に定式化しなおして、単に既約表現だけを考える以上のものを関連付けようとして生じたものである。
単純な場合だと、代数曲線のエタール基本群の l-進表現を、その曲線上のベクトル束のモジュライスタック上で定義された l-進層の導来圏の対象に関連付ける。
現在の状況
・GL(1, K) に対するラングランズ予想は類体論から従う（というよりは本質的には同じものである）。
・ラングランズ自身は、アルキメデス局所体（R および C）に対するラングランズ予想を、既約表現に対するラングランズ分類を与えて肯定的に解決している。
・ ルスティックによる、有限体上のリー型の群の既約表現の分類は、有限体に対するラングランズ予想に相当するものと考えられる。
・ワイルズによる、有理数体上の半安定楕円曲線のモジュラー性の証明は、ラングランズ予想の一部と見做すことができる[なぜ?]が、ワイルズの方法を任意の数体上に拡張することはできない。
・有理数体上の二次一般線型群 GL(2, Q) に対するラングランズ予想は未解決。
・ラフォルグは函数体 K 上の一般線型群 GL(n, K) に対するラングランズ予想を保証するラフォルグの定理（英語版）を示した。これは GL(2, K) の場合を示したウラジーミル・ドリンフェルトの先行研究に続くものである。
局所ラングランズ予想 詳細は「局所ラングランズ予想（英語版）」
Kutzko (1980) は、局所体上の二次一般線型群 GL(2, K) に対する局所ラングランズ予想（英語版）を証明した。
一般次元の場合には、 Laumon, Rapoport, and Stuhler (1993) が、大域理論を含む論法を以って正標数局所体 K 上の一般線型群 GL(n, K) に対する局所ラングランズ予想を証明し、
標数 0 の局所体上の一般線型群 GL(n, K) に対する局所ラングランズ予想は Taylor and Harris (2001) の証明や、あるいは Henniart (2000) の証明などがある（何れも大域的な議論を用いるものである）。
基本補題
2008年にゴ・バオ・チャウは、所謂「基本補題（英語版）」と称される補助的だが非常に難しい主張を示した。基本補題はもともとラングランズ自身によって1983年に述べられたものである。
0181現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 20:45:21.44ID:eoE5GmxFhttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B0%B7%E5%B1%B1%E5%BF%97%E6%9D%91%E4%BA%88%E6%83%B3
谷山志村予想（たにやましむらよそう、Taniyama-Shimura conjecture）は、「すべての有理数体上に定義された楕円曲線はモジュラーであろう」という数学の予想。
証明されて定理となったので、モジュラー性定理またはモジュラリティ定理 (modularity theorem) と呼ばれることもある。
アンドリュー・ワイルズ (Andrew Wiles) は、半安定楕円曲線のモジュラリティ定理＝谷山志村予想を証明し、この証明はフェルマーの最終定理とも深く関連する。
後に、クリストフ・ブロイル（英語版）(Christophe Breuil)、ブライアン・コンラッド（英語版）(Brian Conrad)、フレッド・ダイアモンド（英語版）(Fred Diamond)、リチャード・テイラー(Richard Taylor)は、
ワイルズのテクニックを拡張し、2001年にモジュラリティ定理を完全に証明した。
モジュラリティ定理は、ロバート・ラングランズ(Robert Langlands)によるより一般的な予想の特別な場合である。
ラングランズ・プログラムは、保型形式、あるいは保型表現(automorphic representation)（適切なモジュラ形式の一般化）を、例えば数体上の任意の楕円曲線のような、より一般的な数論幾何の対象へ関連付ける方法を探している。
これらの拡張された予想の場合は、現在のところほぼ証明されていない。
^ 黒川重信・栗原将人・斎藤毅共著『数論Ⅱ：岩澤理論と保型形式』岩波書店、2005年、ISBN 4-00005528-3、pp. 589, 591.
0182現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/29(土) 20:49:41.36ID:eoE5GmxF”Freitas, Hung & Siksek (2015) proved that elliptic curves defined over real quadratic fields are modular.”だとか
https://en.wikipedia.org/wiki/Modularity_theorem
Modularity theorem
The Langlands program seeks to attach an automorphic form or automorphic representation (a suitable generalization of a modular form) to more general objects of arithmetic algebraic geometry, such as to every elliptic curve over a number field.
Most cases of these extended conjectures have not yet been proved, however, Freitas, Hung & Siksek (2015) proved that elliptic curves defined over real quadratic fields are modular.
0183１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 08:39:46.62ID:pcS0NOonいいえ、決して博識な訳ではございません。
>>174-182の内容は付いていけず、何といえばいいのか分からないが、いえることは、
WeilはSiegelが自分より上だと見ていて、Siegelは自身より岡潔が上だと思っていたようだ。
その岡潔を軸にGrauertやRemmertなどが参戦して多変数関数論は切り拓かれた。
多変数関数論の発展の結果、複素(代数)幾何や(可換環論を用いる)代数幾何が発達し、
数論幾何では後者の代数幾何の結果や手法は使っている。
なので、数論幾何は、多変数関数論のおかげで存在するような分野ということになる。
標数が素数のときの環や体で考えるより、標数が0のときの環や体で考える方が難しい。
標数が素数のときの環や体で考えるような数論幾何は、恐ろしい量の知識とアイディアがなきゃ出来ん。
それに比べて、標数が0のときの環や体で考えることは知識はそれ程要らず、
アイディアがあればいい。知識の量というより発想の問題になる。ただ、解析的なことは必要。
そのよい例が、ワイエルシュトラスがリンデマンの結果を拡張して
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理を証明したことだろう。
これは、いつからかは知らないが、長い間問題になっていた円積問題に否定的解決を与えた。
0184１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 11:08:05.08ID:2xi6miSI0185現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 11:32:42.35ID:kC2go6vWどうも。スレ主です。
おっちゃん、やっぱり博識やで
>>174-182は、自分のメモとして貼ったんよ。このまえ、ラングランズ予想の本読んだからね。あの本が引用文献になっとるよ（英語版も同じ。というか英語版が元か）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0
注釈
^ Frenkel, Edward (2013). Love & Math. ISBN 978-0-465-05074-1. 邦訳『数学の大統一に挑む』青木薫訳、文藝春秋、2015年。ISBN 978-4-16-390280-7.
父はこれまでの話を読んで、「内容を詰め込みすぎだ」と言った。たしかに本章では、ヒッチン・モジュライ空間、ミラー対称性、Aブレーン、Bブレーン、保型層といった概念が登場した。
これらすべての名前を覚えようとするだけでも、頭が痛くなってくるかもしれない。しかし信じてほしいが、ここで話した構成法を隅々まで理解している人は、専門家の中にさえ、まずめったにいないのだ。
^ Frenkel, Edward (2013), Love and Math: The Heart of Hidden Reality, Basic Books, p. 77, ISBN 9780465069958
邦訳『数学の大統一に挑む』青木薫訳、文藝春秋、2015年。ISBN 978-4-16-390280-7.
ラングランズ・プログラムは、今や広大な研究分野となり、数論、調和解析、幾何学、表現論、数理物理学などさまざまな領域で、多くの数学者がこれに取り組んでいる。数学者たちは、相当異質な対象を調べているにもかかわらず、よく似た現象を見る。
https://en.wikipedia.org/wiki/Langlands_program
Frenkel, Edward (2013). Love & Math. ISBN 978-0-465-05074-1. "All this stuff, as my dad put it, is quite heavy: we've got Hitchin moduli spaces, mirror symmetry, A-branes, B-branes, automorphic sheaves...
One can get a headache just trying to keep track of them all. Believe me, even among specialists, very few people know the nuts and bolts of all elements of this construction."
0186現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 11:34:21.57ID:kC2go6vWネーター環か
分からん。有限生成ということくらいしか浮かばん
まあ、私が答えられなくても、だれか答えてくれるよー（＾＾；
0187現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 11:39:30.54ID:kC2go6vW>なので、数論幾何は、多変数関数論のおかげで存在するような分野ということになる。
そう（層）なんや～！ だから、野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』>>146 を読んだ方が良いと思う
教養として。まあ、名著ですね。歴史的補足とか、ところどころに良い解説が入っているよね
0188現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 12:13:48.45ID:kC2go6vW野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』を読んだけど、結局難しいところは分からんかった（＾＾；
”そう（層）なんや～！”と言えるところまでは、行かなかった
けど、Ａ：そう（層）と、Ｂ：層係数コホモロジーとあって、ＡとＢが同時に分からんと、分かった気にならないということだけ分かった（＾＾；
日本の天才岡潔が７年、その論文を受けた仏の天才カルタンが、ルレイのアイデアを参考に読みこなすのに１年かかったという
そんなにすぐ分かるはずもないか～（＾＾；
だけど、例えばP91 注意3.7.7みたく、大事なのは１次コホモロジーが消えるかどうか
するとどうして一見より複雑な高次コホモロジーをまで考えるのかと
そういう気の利いた注意などが、至るところにあるんだよね。読みやすい。が、すぐ内容が頭に入るほどの実力はまだない・・（＾＾；
0189現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 12:37:27.95ID:kC2go6vW標数正の世界ね。あれ、まだ分からん。普通の直感が働かないよね。働くようになったら、分かったってことだろうが
でも、リーマン予想の類似では、標数正の世界では解決したんじゃなかったっけ？
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理か
http://thesaurus.weblio.jp/content/%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%9E%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
Weblioシソーラス
リンデマン＝ワイエルシュトラスの定理
リンデマンの定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
この定理は、円周率やネイピア数などの数が超越数であることを内包する。1885年のカール・ワイエルシュトラスによる寄与を踏まえ、リンデマン=ワイエルシュトラスの定理 (Lindemann?Weierstrass theorem) とも呼ばれる。
歴史
1873年、シャルル・エルミートは e が超越数であることを示した。このことを言い換えるならば、α1, …, αn が相異なる自然数であるとき、eα1, …, eαn は Q 上一次独立である。
リンデマンの定理は、この結果の「自然数」を「代数的数」に、「Q 上」を「Q 上」に 拡張したものである。
リンデマンは、1882年にこの定理を証明し、同時に円周率が超越数であること、円の正方形化が不可能であることを歴史上初めて明らかにした。
1885年、カール・ワイエルシュトラスは、リンデマンの定理の証明を簡単にしたものを公表した。
その後、ヒルベルトらがさらに証明を簡単にした。リンデマンの定理の p-進類似や、一般化であってゲルフォント＝シュナイダーの定理も含むシャヌエルの予想は、2009年現在未解決問題である。
英ではLindemann?Weierstrass theoremか。証明がある、Modular conjectureも
https://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann%E2%80%93Weierstrass_theorem
Modular conjecture
An analogue of the theorem involving the modular function j was conjectured by Daniel Bertrand in 1997,
0190現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 12:44:31.90ID:kC2go6vWEduard ?echさん。?ech cohomologyで有名。1935～37の論文か。層の理論より前だね
https://en.wikipedia.org/wiki/Eduard_%C4%8Cech
Eduard ?ech
From Wikipedia, the free encyclopedia
Eduard ?ech (Czech: [??duart ?t??x]) (29 June 1893 ? 15 March 1960) was a Czech mathematician born in Stra?ov, Bohemia (then Austria-Hungary, now Czech Republic).
His research interests included projective differential geometry and topology. He is especially known for the technique known as Stone??ech compactification (in topology).
He received his doctoral degree in 1920 at Charles University, Prague with Karel Petr as advisor. In 1921?1922 he collaborated with Guido Fubini in Turin, Italy.
He taught at Masaryk University in Brno and at Charles University. Ivo Babu?ka, Vlastimil Dlab, Zden?k Frolik, V?ra Trnkova and Petr Vop?nka have been doctoral students of ?ech. He died in Prague in 1960.
Publications
?ech, E. (1935), "Les groupes de Betti d'un complexe infini", Fundamenta Mathematicae 25 (1): 33?44
?ech, E. (1936), "Multiplications on a complex", Ann. of Math 37: 681?697, doi:10.2307/1968483
?ech, E. (1937), "On bicompact spaces", Ann. of Math, (2)38: 823?844
0191現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 12:46:19.89ID:kC2go6vWCechのＣの上に記号がついているんだけど・・
0192１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 13:23:09.03ID:GBlATZpwコホモロジーの定義ぐらい追えるんなら準同型定理わかってるはずなんだがな。
0193現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 14:58:10.78ID:kC2go6vWそりゃそうだね～（＾＾：
ホモロジーも同じだな
短完全列と長完全列か・・
そのうちやってみるよ
あまり御利益が見えないので、つい後回しだが
最近あちこちで出てくるんだよね～
0194１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 15:30:29.20ID:pcS0NOonそういう層やコホモロジーが分からない人のための多変数複素解析の本が、
>>150のコースになる。西野氏の本では出来る限り岡潔のやり方を踏襲している。
Grauert-RemmertのTheory of Stein Spacesを参考にすることで、やっとこさ層やコホモロジーが出て来る。
大沢氏の多変数複素解析、複素解析幾何学とデイバー方程式を事前に読むといい。
ヘルマンダーの読み方は大体書いた。他に必要な知識といえば、微分形式や関数解析
だが、楕円型境界値問題が分かれば関数解析の方は分かる。
野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』に匹敵する
名著が岡潔に直接ご対面したことがある一松氏が書いた一松本。
方法論は同じで、一松本でも層やコホモロジーを使っているらしい。
聞くところによると、歴史も書いてあるらしい。挙げている長所は似たり寄ったり。
0195現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 15:38:44.36ID:kC2go6vW「代数曲線に触れる補足 松本 眞 広島大 2009」が、めちゃ面白い（＾＾；
この面白さが理解できるようになったのは、野口 潤次郎を読んだお陰やと思う・・
層の気持ちね～（＾＾；
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/hosoku1.pdf
代数曲線に触れる補足 松本 眞 広島大 2009
こちらは付録
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/kyokusen1.pdf
代数曲線に触れる 松本 眞 広島大 2004
0196現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 15:41:53.22ID:kC2go6vWどうも。スレ主です。
おっちゃん、ありがとう
一松信先生ね
結構いろんな本出してたよね。大分記憶が薄れたが・・
0197現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 15:46:08.57ID:kC2go6vW「代数曲線に触れる補足 松本 眞 広島大 2009」さわり抜粋
P10
前半の授業で、「どうしてもわれわれは射影代数多様体を考えた
い」すなわち「射影化の必要性」を見た。しかしながら、アフィンスキー
ムの範疇では射影代数多様体を含むものは構成できない（と思う）。それ
は、たとえば次のような観察による。（ラフな考えなので、厳密ではない。）
定理3.15. コンパクトな複素解析多様体X において、X 全体で定義され
る正則関数（すなわち、X ! C なる正則関数）は定数のみ。
ここでは深入りしない。射影直線P1(C) においては、極を持たない関
数が定数関数しかないことは複素一変数関数論の「最大値の定理」から
従う。
そこでわれわれは、「多様体」などがそうであったように、「アフィン
スキームを部品として、貼りあわしてできたものの全体」を考えて、そ
れを多様体の一般化＝（一般の）スキームとして定義する必要性にせま
られる。
可微分多様体であれば、「位相空間X」であって、局所的には開球と位
相同型が与えられ（座標）、二つの位相同型（座標）は、重なっているとこ
ろでは（座標間の）「可微分同相を与える」、という定義が可能であった。
スキーム論でも、実はほとんど同じ作戦をとることもできるのだが、
ちょっと複雑になる。なぜ複雑になるのかを説明しようと試みたが、僕の
力量ではできない。
結論からいうと、「位相空間上の環の層」で、局所的にアフィンスキー
ムと同型になるもの、としてスキームを定義するのが最も標準的と思わ
れる。
つづく
0198現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 15:51:03.24ID:kC2go6vW「代数曲線に触れる補足 松本 眞 広島大 2009」さわり抜粋
P7
(0) の閉包を考えるとV (0) = X。したがって、(0) を含む閉集合はX
のみ。言い換えると、X の開集合は、空でなければ(0) を含む。この位
相空間はハウスドルフ性をもたない。(0) をX のgeneric point（一般点）
という。generic point は、初学者には躓きの石である。が、なれてくる
と非常に便利で自然な点であることがわかってくる。
標語的にいえば、generic point がなければ、点集合C が「一つの曲線」
であることを保証するものがない。
コメント：なんのこっちゃと思うけど、そういう説明があることが親切やねー（＾＾
つづく
0199１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 15:52:19.86ID:pcS0NOon持っているようなので、ちょっと聞きたいが、
野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』
にベルグマン核のことは書いてあるか？
0200現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 15:58:05.05ID:kC2go6vW「代数曲線に触れる補足 松本 眞 広島大 2009」さわり抜粋
P8
これにより、f は曲線V (f) を「代表
する一般的な点」とみなされ（意味不明かと思うが、いつかわかるかも）
V (f) のgeneric point と呼ばれる。
(0) の閉包はX で、X のgeneric point と呼ばれる。
定義3.6. Aを可換環とする。SpecAの関数環とは、Aのことである。A
の元を、「SpecA 上の正則関数」(regular function) と言うが、定義上は
ちっとも「関数」にはなっていない。
すなわち、スキーム論では、「関数」は通常の「集合から集合への写像」
を意味しない。
定義3.7. 環A と位相空間SpecA を組にして考えたものをアフィンス
キームという。が、記号としてはSpecAであらわす。位相空間SpecAの
ことは、「SpecA の台集合(underlying set)」と呼ぶことが多い。
コメント：（意味不明かと思うが、いつかわかるかも）とか、「SpecA 上の正則関数」(regular function) と言うが、定義上は
ちっとも「関数」にはなっていない・・とか。記号SpecAって意味が変わっているとか。フォローが良いね
つづく
0201現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 16:01:19.04ID:kC2go6vWおっちゃん、どうも。スレ主です。
ベルグマン核ね、無いみたいやね
索引に無いし、さっと読んだだけだが、気付かなかったから
0202１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 16:07:39.51ID:pcS0NOonあ～、野口氏の本と一松本の決定的な違いはここだな。
一松本にはベルグマン核のことも書いてあるらしいんだよ。
0203現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 16:18:03.89ID:kC2go6vWベルグマン核は、初耳だが、思うに偏微分方程式の解法に関係するんじゃないかな？
1933あたりだと、シュワルツの超関数論の前か。いまでは、積分核を使うのは当たり前だが、当時は最先端かねー
野口の本のテーマとはちょっと合わないんじゃないかな？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%82%B0%E3%83%9E%E3%83%B3%E6%A0%B8
多変数複素函数論の研究におけるベルグマン核（ベルグマンかく）とは、領域 D in Cn 上のすべての二乗可積分正則函数のヒルベルト空間の再生核（英語版）(reproducing kernel)である。ステファン・ベルグマン（英語版）(Stefan Bergman)の名前に因む。
https://en.wikipedia.org/wiki/Bergman_kernel
https://en.wikipedia.org/wiki/Stefan_Bergman
Stefan Bergman (5 May 1895 ? 6 June 1977) was a Polish-born American mathematician whose primary work was in complex analysis. He is best known for the kernel function he discovered while at Berlin University in 1922.
This function is known today as the Bergman kernel. Bergman taught for many years at Stanford University, and served as an advisor to several students.[1]
The Bergman Prize
The Stefan Bergman Prize in mathematics was initiated by Bergman's wife in her will, in memory of her husband's work. The American Mathematical Society supports the prize and selects the committee of judges.[4] The prize is awarded for:[4]
1.the theory of the kernel function and its applications in real and complex analysis; or
2.function-theoretic methods in the theory of partial differential equations of elliptic type with a special attention to Bergman's and related operator methods.
Selected publications
Bergmann, Stefan (1933), "Uber die Kernfunktion eines Bereiches und ihr Verhalten am Rande. I", Journal fur die reine und angewandte Mathematik (in German) 169: 1?42, doi:10.1515/crll.1933.169.1, JFM 60.1025.01.
以下略
0204現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 16:30:17.55ID:kC2go6vWおっちゃん、どうも。スレ主です。
一松本の内容を知らないが、野口本の参考文献に上がっている
一松信「多変数解析函数論」培風館 1960
1960は、さすがに内容が古くないか？
まあ、当時の空気を伝えているという意味では、価値があると思うが・・。下記前にも引用した気がするが、まだご存命か・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%9D%BE%E4%BF%A1
一松 信（ひとつまつ しん、1926年3月6日 - ）は、日本の数学者。京都大学名誉教授。
人物
「すでに学生時代に多変数関数論の最高峰をきわめられた」[1]と紹介されるほどの俊才だったようで、その後も、多変数関数論の他、数値解析、計算機科学などでもリーダー的な研究者であった。
著作は多数に上り、良書とされるものが多い。また優れたエッセイ集もある。数学セミナーの「エレガントな解答をもとむ」によく問題を投稿している。
著作は明解かつ詳細な記述が特徴で、構成が緻密であり、練習問題やその解答、索引や参考文献にも気が配ってあるものが多い。
0205現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 16:37:48.18ID:kC2go6vW「代数曲線に触れる補足 松本 眞 広島大 2009」さわり抜粋
P12
定義4.5. (opposite category) カテゴリーC に対し、そのopposite カテ
ゴリーCop をob(Cop) = ob(C)
HomCop(a; b) := HomC(b; a) 合成を
g ±Cop f := f ±C g で定義する。
定義4.6. Cop からD への関手を、C からD への半変関手(contravariant
functor) という。
定義4.7. 前層(presheaf) X を位相空間とし、C(X) をその開集合がなす
カテゴリーとする。Dをカテゴリーとする。関手F : C(X)op ! Dを、D
に値をとる前層という。
例4.8. X を位相空間とする。たとえば複素数の集合とおもってもよい。
X のある開集合上定義された実数関数の全体は、前層となる。D として、
環のカテゴリーをとる。
U 2 ob(X) に対して、F(U) := U 上の実数値関数の全体をとる。U1 ?
U2 のとき、FU2;U1 : F(U2) ! F(U1) は制限写像で与えられる。
同様の例は、X 上のある開集合上定義された実連続関数でもよい。
この例により、R 2 F(U2) に対し、RjU1 2 F(U1) でFU2;U1(R) を表すこ
とが多い。
コメント：前層をカテゴリーで定義するか・・・。（＾＾
つづく
0206現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 16:42:49.12ID:kC2go6vW「代数曲線に触れる補足 松本 眞 広島大 2009」さわり抜粋
P12
定義4.9. Dを集合のカテゴリーの部分カテゴリーとする。前層F : C(X)op !
D が層であるとは、次の二条件を満たすことである。
U = [i2IUi
を、X の開集合U とその開被覆とする。
2 F(U) の元R; ￣ は、RjUi = ￣jUi が全てのi で成立するならばR = ￣.
2 各i についてRi 2 F(Ui) をとり、全てのペアi; j 2 I に対して
RijUi\Uj = Rj jUi\Uj
となったとする。このとき、R 2 F(U) が存在してRjUi = Ri となる
（任意のi で）。
層の条件とは、「局所的に一致していたら、大域的に一致」「局所的に
存在しているものが、共通部分で一致していたら貼りあって大域的に存
在するものになる」という気持ちを公理化したものである。
X 上の実数関数の前層、実連続関数の前層などは層である。
コメント：文字化けがひどいので、引用ではさっぱり分からんやろ。原文見て。”気持ちを公理化したものである”か。松本節炸裂！（＾＾；
つづく
0207現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 16:47:20.01ID:kC2go6vW「代数曲線に触れる補足 松本 眞 広島大 2009」さわり抜粋
P13
前層だが層でないものの例として、X を非連結な位相空間とし、F(U)
をU 上定義された実定数関数として得られる前層がある。
たとえばX = 1; 2:離散位相とする。F(X) = F(1) = F(2) = R とし、
F(;) = f0g とする。制限写像は恒等写像とし、空集合への制限は0 写像
とすると、前層である。しかし、R1 2 F(1), R2 2 F(2) を異なる実数とす
ると、これはX 上の元に貼り合わさらない。
次の注意は、理解するのが困難なので、最後の一行だけ信じればよい。
注意4.10. F がX 上の層であるとすると、F(;) は一元集合となる。とい
うのは、; の開被覆としてI = ; という「０個の集合からなる」被覆がと
れる。このとき、Qi2I F(Ui) は一元集合f;g である(何もとってこない、
という取り方)。これらは貼り合わせの条件を満たす。ので、これらを貼
り合わせてえられる元がF(;) にある。一方、「一意性」の条件から、他
には元はない。
これにより、たとえばF が環のカテゴリーに値をとる層であるならば、
F(;) はただ一元からなる環であり、それは零環= f0g である。
コメント：これも文字化けがひどいので、原文見て。”次の注意は、理解するのが困難なので、最後の一行だけ信じればよい”って、松本先生、ほんまいい人やね～、涙でるわ！（＾＾；
つづく
0208１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 16:49:18.66ID:pcS0NOonいや、書いてあることの内容が発展した時代としては、
一松本も西野氏(Grauert,Remmert)の本も、ヘルマンダーも、大して変わらない。
どれも岡潔やGrauert,Remmertなどが発展させた内容を扱っている。
その後、新しく多変数複素解析が発展した時期があって、Feffermanが
ベルグマン核の核関数の漸近挙動を導いたことで新しく内容を付け加えたことがある。
その結果は、大沢氏の多変数複素解析に書いてある。その証明は載っていない。
長い証明だそうだ。なので、ベルグマン核は多変数複素解析の1つの内容になる。
0209現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 16:55:01.52ID:kC2go6vW松本 眞先生のお陰で、層の気持ちが分かってきた・・
そうなんや、そうなんや、層なんや～！（＾＾；
他の先生は、分からんようにぐしゃぐしゃに書いていたんや～・・・、って自分が分かってなかっただけやけど（＾＾；
グロタンが悪い。あいつ天才すぎ。常人に分かるように書く能力ないんやわきっと、、って自分が分かってなかっただけやけど（＾＾；
次は、層係数コホモロジーか
松本 眞先生のＰＤＦ落ちてないかな・・
0210１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 16:57:53.72ID:pcS0NOon>>208の訂正：「漸近挙動」→「漸近展開」
0211１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 16:59:58.22ID:GBlATZpw0212１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 17:03:57.53ID:GBlATZpw層係数ではないけど。
0213現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 17:06:37.66ID:kC2go6vWおっちゃん、どうも。スレ主です。
いやー、ほんま初耳の話ばかりです
多変数複素解析の知識は、岡先生の話から先は知らないんよ
佐藤超関数なんかも、多変数複素解析の基礎の上に乗っていると思うんだが
検索するとこれか
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%A4%89%E6%95%B0%E8%A4%87%E7%B4%A0%E9%96%A2%E6%95%B0
多変数複素関数
さらに進んで、解析幾何（紛らわしいが、これは解析的関数の零点の幾何に関する名称であり、初中等教育で習うような解析幾何学のことではない）や複数変数の保型形式、偏微分方程式などに応用できる基本的な理論が構築された。
また複素構造の変形理論（英語版）や複素多様体は、小平邦彦やドナルド・スペンサー（英語版）によって一般の形式で表現された。
さらに、ジャン＝ピエール・セールの高名な論文 GAGA において、解析幾何 (geometrie analytique) を代数幾何 (geometrie algebrique) へと橋渡す観点が突き止められた。
数論に対する興味は、特にモジュラー形式の一般化に注がれる。
その古典的な代表例は、ヒルベルトモジュラー形式（英語版）やジーゲルモジュラー形式（英語版）である。
今日においてそれらは、解析的関数から保型表現が生じるようなアーベル群（それぞれ GL(2) の総実代数体（英語版）のヴェイユ制限（英語版）と、シンプレクティック群）と関連付けられている。
その後の発展として、佐藤超関数の理論や楔の刃の定理（英語版）が挙げられるが、それらはいずれも場の量子論から着想が得られているものである。
その他、バナッハ環の理論など、多複素変数を扱う分野は数多く存在する。
0214現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 17:09:39.63ID:kC2go6vWどうも。スレ主です。
コメントありがとう
コホモロジー、勉強します（＾＾；
0215１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 17:40:53.69ID:GBlATZpw「数学の土壌」日本評論社の「層」と「消滅定理」の項目でクザンの問題を使って層係数コホモロジーの解説してるのが
文系にも読みやすいまともな解説だと思う。
0216１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 17:43:01.47ID:GBlATZpw売り切れてるから図書館で借りるしかないけど。
0217現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 18:11:59.16ID:kC2go6vW>大沢氏の多変数複素解析
こんなのがヒットした。読んでも意味わからんが、比較的最近の文献なんで、引用文献なども参考になるだろう
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/140964/1/1661-08.pdf
複素葉層の安定集合の幾何と∂方程式(葉層の微分幾何とベルグマン核) 大沢健夫 数理解析研 ?2009
0218現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 18:23:28.48ID:kC2go6vWども
ありがとう
まあ、文系の読める本が良いよね
図書館はあるけど、町の図書館なので、数学の専門書は少ない。大学の数学系の図書館とは違う
でも、アマゾンで結構古書が上がっているので、良い本なら・・
0219現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 19:38:09.46ID:kC2go6vWこれ面白そうだよ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む10
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/615
615 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2014/12/06(土) 16:20:45.35
＜下記は、検索でヒットした寄り道である＞
http://www.math.chuo-u.ac.jp/
中央大学
http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/
ENCOUNTERwithMATHEMATICS
http://www.math.chuo-u.ac.jp/morita.htm
森田茂之氏による特別講演
http://www.math.chuo-u.ac.jp/lecture_notes_almostwhole.pdf
微分トポロジーの研究と展望等について, 森田茂之氏（東大・名誉教授）に自由に講演していただきます. 全10回程度の講演
テーマ: 「特性類と不変量」
全体への梗概:
向き付けられた閉曲面に対するガウス・ボンネの定理は, ガウス曲率の総和とオイラー数との間の密接な関係を与える美しい定理である.
現代幾何学は, これをさまざまな形に一般化しつつ発展してきた.
その中で中心的な働きをしてきたのは, 特性類と不変量という考え方である.
この講義では, これらの道筋をいくつかのトピックスを取り上げつつ概観する.
そして後半では, 新しい不変量をいかにして作るかについて, 現在研究中の一つの方法を述べる.
コンピュータによる実験的な計算なども例示する予定である.
0220現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 20:00:25.48ID:kC2go6vWhttp://takehikoyasuda-jp.jimdo.com/app/download/6472296367/CompAG3.pdf
Macaulay2による計算代数幾何
2012年10月8?12日に首都大学東京で行ったの集中講義の講義ノート。誤植、間違いなど多々あると思います。見つけた方は、連絡頂けると嬉しいです。
http://takehikoyasuda-jp.jimdo.com/%E6%9B%B8%E3%81%8D%E7%89%A9/
プロフィール 安田 健彦 （ヤスダ タケヒコ）大阪大学 大学院理学研究科 数学専攻准教授
自己紹介：福岡県北九州市と千葉県市原市で育つ。数学者。専門は代数幾何。ゲームEuler Gettterを考案。趣味はテニス。
研究について：代数幾何、特に特異点を研究しています。モチーフ積分、新しいブローアップの構成、非可換環など、新しい手法を特異点の研究に利用するのが好きです。
学生の頃は抽象理論にあこがれましたが、ポスドク時代に数値実験によりいくつかの発見をしてからは、実験の重要性を認識するようになりました。
最近は特異点、フロベニス写像、非可換環、整数論などの間の不思議な関連を調べています。また私の研究の多くはマッケイ対応というものと関連しています。
研究というか分かりませんが、数学的なボードゲーム"Euler Getter"を開発しました。実射影平面上でオイラー標数を取り合うゲームです。良かったら遊んでみて下さい。
0221現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 20:11:19.01ID:kC2go6vW・私自身はMacaulay2 を体系的に勉強したことはなく、見よう見まねでやっているうちに少しずつ覚えて、今では研究でもよく使うようになった。
・1.2 実験のススメ 数学研究における、コンピューターの使用は少しずつ増えてきているが、まだまだ「数学は紙と鉛筆でひたすら証明を積み上げる」というイメージが強いと思う。しかし、私はコンピューターを使った数値実験を大いにお勧めしたい。
・今後は、数学も通常科学に近づき、理論と実験が2 本の柱になるだろう。
・第8 章 射影多様体と層のコホモロジー
・8.2 連接層のコホモロジー いくつかの標準的な連接層は簡単に射影多様体から作ることができる。まず、（捻れ）構造層。
・任意の連接層を捻りたければ、例えばTX(3) などとすれば良い。（接層とOX(3) のテンソル積。）
・演習30 Serre の双対定理と消滅定理、小平の消滅定理を好きな例で確認せよ。
・8.3 加群から連接層を作る
コメント：要するに、コホモロジーは計算機に乗るよと
0222現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 20:17:21.35ID:kC2go6vWhttp://fe.math.kobe-u.ac.jp/MathLibre-doc/
KNOPPIX/Math/2011 質問と答え集 KNOPPIX/Math 開発チーム
http://fe.math.kobe-u.ac.jp/MathLibre-doc/ponpoko/Macaulay2.pdf
Macaulay2の紹介 横田博史 著
0223現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 20:25:25.83ID:kC2go6vW検索でヒットしたので、貼っておく
http://www.mathsoc.jp/section/algebra/
日本数学会 代数学分科会 ホームページ
http://www.mathsoc.jp/section/algebra/algsympo.html
代数学シンポジウム関連情報
http://www.mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp14.html
第59回代数学シンポジウム（報告集）日程： 2014年9月8日（月）-- 9月11日（木）
http://www.mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp14_files/abe.pdf
阿部知行（東大カブリ数物） 数論的D加群と関数体のラングランズ対応(pdf file)
0224現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/08/30(日) 20:27:10.99ID:kC2go6vWおーい、おっちゃん！
Macaulay2 使ってみて～！（＾＾；
0225１３２人目の素数さん
2015/08/30(日) 20:45:59.62ID:AGkdFtPDおっちゃんではありませんが、
Macaulay2は面白そうですね。後で調べてみます。
0226１３２人目の素数さん
2015/09/01(火) 15:41:41.24ID:MF8hzrYgおっちゃんです。
悪いけど、普段パソコンで計算するようなことはしていません。
むしろ、数値解析の理論や応用数学の理論の方に興味がある。
数値解析や応用数学の定理とか読むと、しっかり証明されていたりして案外面白い部分はある。
>>217を読んだけど、前提知識が多くなっているぞw
特性類、葉層構造、複素多様体(ケーラー多様体)、多変数複素解析全般、デイバー方程式、表現論(等質空間)、
調和写像、Siuの強剛性定理だったか、非線形の熱方程式、フィンスラー多様体、レヴィ形式。
この位か。
まあ、多変数複素解析とか他の分野してたら自然に或る超越性の証明が出来た。
ただ、どうしても出来ないことがまだあるので、今度は逆問題も必要になるかもな。
0227現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/04(金) 21:23:38.52ID:s9oRX8Kuどうも。スレ主です。
Macaulay2、よろしく
どうも、Ｌｉｎｕｘみたいな環境が必要らしい（windowsそのままでは乗らない）
0228現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/04(金) 21:26:32.35ID:s9oRX8Kuどうも。スレ主です。
おっちゃん、レスありがとう
大沢健夫先生も難しいことを書いたんやね～
もっとも、専門の論文やからしかたないか
超越性の証明ね
おっちゃん、博識やからなー
0229１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 00:11:56.33ID:7l3YOBh10230現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 06:45:38.50ID:LkHxIaypMacaulay2 ではないが、マイヤー・ヴィートリス完全系列
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%A4%E3%83%A4%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AA%E3%82%B9%E5%AE%8C%E5%85%A8%E7%B3%BB%E5%88%97
数学の特に代数的位相幾何学およびホモロジー論におけるマイヤー・ヴィートリス完全系列（マイヤーヴィートリスかんぜんけいれつ、英: Mayer?Vietoris sequence）は、
位相空間が持つホモロジー群やコホモロジー群といった代数的位相不変量を計算するのに便利な道具の一つで、オーストリアの数学者ヴォルター・マイヤーとレオポルト・ヴィートリスによって示された。
これは、位相空間を（コ）ホモロジーの計算がより容易にできるような部分空間の小片に分解するとき、得られる部分空間の（コ）ホモロジーの列ともとの空間のそれとの関係を述べたもので、それによりもとの空間のそれらを計算するという方法論を与える。
マイヤー・ヴィートリス完全系列と呼ばれる完全系列は、全体空間の（コ）ホモロジー群、部分空間の（コ）ホモロジー群の直和、部分空間の交わりの（コ）ホモロジー群の三者から構成される自然な長完全列である。
位相幾何学に現れるような空間の多くは非常に簡単な小片の貼り合わせとして構成されるが、
そういったものの中で、空間を被覆する二つの部分空間（およびそれらの交わり）がもとの空間より単純な（コ）ホモロジーを持つものを注意深く選べば、マイヤー・ヴィートリス完全系列によりもとの空間の（コ）ホモロジーが完全に演繹できるというのである。
この観点で言えば、マイヤー・ヴィートリス完全系列は、基本群に対するザイフェルト-ファン・カンペンの定理（英語版）の類似であり、実際一次元ホモロジーに対しては明確な関係がある。
0231現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 06:48:15.73ID:LkHxIayp分かり難く書いてある
というか、意味分からんかった
が、例えば、どうも図形を２つに分けて、それぞれを計算して合成するみたいな話らしい
0232現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 07:02:13.20ID:LkHxIayp引用しないが、球面とかクラインの壷のホモロジー群の計算はこうやるのか・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%A4%E3%83%A4%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AA%E3%82%B9%E5%AE%8C%E5%85%A8%E7%B3%BB%E5%88%97
3 簡単な応用例
3.1 超球面
3.2 クラインの壷
3.3 一点和
3.4 懸垂空間
0233現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 07:28:33.93ID:LkHxIayp英語版
https://en.wikipedia.org/wiki/Mayer%E2%80%93Vietoris_sequence
超球面
k-sphere
このように球面のホモロジー群は完全にわかっており、今のところ知られている球面のホモトピー群の場合（特に n > k の場合には殆ど知られていない）とは対照的である[15]。
Such a complete understanding of the homology groups for spheres is in stark contrast with current knowledge of homotopy groups of spheres, especially for the case n > k about which little is known.[15]
0234１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 07:37:59.28ID:m1S6Yidm>超越性の証明ね
>おっちゃん、博識やからなー
いえいえ、そんなことはございません。
私(おっちゃん)なんぞはちっぽけな存在であります。
恥ずかしくて情けない限りでございます。
0235現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 07:56:54.65ID:LkHxIayp球面のホモトピー群は下記
https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_groups_of_spheres
In the mathematical field of algebraic topology, the homotopy groups of spheres describe how spheres of various dimensions can wrap around each other.
They are examples of topological invariants, which reflect, in algebraic terms, the structure of spheres viewed as topological spaces, forgetting about their precise geometry.
Unlike homology groups, which are also topological invariants, the homotopy groups are surprisingly complex and difficult to compute.
The n-dimensional unit sphere ? called the n-sphere for brevity, and denoted as Sn ? generalizes the familiar circle (S1) and the ordinary sphere (S2).
The n-sphere may be defined geometrically as the set of points in a Euclidean space of dimension n + 1 located at a unit distance from the origin.
The i-th homotopy group πi(Sn) summarizes the different ways in which the i-dimensional sphere Si can be mapped continuously into the n-dimensional sphere Sn.
This summary does not distinguish between two mappings if one can be continuously deformed to the other; thus, only equivalence classes of mappings are summarized.
An "addition" operation defined on these equivalence classes makes the set of equivalence classes into an abelian group.
つづく
0236現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 08:01:37.52ID:LkHxIaypThe problem of determining πi(Sn) falls into three regimes, depending on whether i is less than, equal to, or greater than n. For 0 < i < n, any mapping from Si to Sn is homotopic
(i.e., continuously deformable) to a constant mapping, i.e., a mapping that maps all of Si to a single point of Sn. When i = n, every map from Sn to itself has a degree that measures how many times the sphere is wrapped around itself.
This degree identifies πn(Sn) with the group of integers under addition.
For example, every point on a circle can be mapped continuously onto a point of another circle; as the first point is moved around the first circle, the second point may cycle several times around the second circle, depending on the particular mapping.
However, the most interesting and surprising results occur when i > n.
The first such surprise was the discovery of a mapping called the Hopf fibration, which wraps the 3-sphere S3 around the usual sphere S2 in a non-trivial fashion, and so is not equivalent to a one-point mapping.
The question of computing the homotopy group πn+k(Sn) for positive k turned out to be a central question in algebraic topology that has contributed to development of many of its fundamental techniques and has served as a stimulating focus of research.
つづく
0237現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 08:05:07.65ID:LkHxIaypどうも。スレ主です。
おっちゃん、朝早くありがとう
超越数はむつかしいよね
多変数複素函数論とどう結びつくのか、想像できませんでした（＾＾
0238現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 08:07:29.49ID:LkHxIaypきれいな労作の表が作ってあってね。一見の価値ありです
https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_groups_of_spheres
Contents
1 Background
1.1 n-sphere
1.2 Homotopy group
2 Low-dimensional examples
2.1 π1(S1) = Z
2.2 π2(S2) = Z
2.3 π1(S2) = 0
2.4 π2(S1) = 0
2.5 π3(S2) = Z
3 History
4 General theory
4.1 Table
4.2 Stable and unstable groups
4.3 Hopf fibrations
4.4 Framed cobordism
4.5 Finiteness and torsion
4.6 The J-homomorphism
4.7 Ring structure
5 Computational methods
6 Applications
7 Table of homotopy groups
8 Table of stable homotopy groups
9 References
9.1 General algebraic topology references
9.2 Historical papers
10 External links
0239１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 08:36:53.76ID:m1S6Yidm基本的に代数的数とかの数学的対象全体がなす集合が可算な場合は、その対象は代数で扱える。
が、超越数とか対象全体がなす集合が非可算な場合、その対象には、空間や直線の完備性故に、
代数で扱える範囲には限度がある。例えば、無作為かつランダムに実数xを選んだとき、
xの超越性を示すときは、如何にして思い付くのかがサッパリ理解不能だが、大抵解析的手法で
何らかの積分を構成して2つの相反する大小関係から矛盾に導いて示すことになる。
事前にxが超越数と予め判明していないと、有理数体Qにxを添加した超越拡大体Q(x)とかを
構成して超越数について議論することは不可能になる。
解析にハマり出したのは、そういうことを悟ったあたりからだよ。
0240１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 09:07:23.69ID:m1S6Yidmまあ、他にはディオファンタス近似とか無限級数の手法とかもある。
何れにしろ、無作為かつランダムに実数xを選んだとき、xの超越性を示すときは、
大抵解析的手法になる。超越性を既に認識していれば、超越拡大体とかの手法により
代数的議論が可能になる。このようなとき構成した超越拡大体は可算になる。
超越性をまだ認識していない無作為かつランダムな実数を選んで議論するときは、
大抵代数的手法は通用せず解析的手法とか他の手法になる。
0241１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 09:11:33.31ID:w2f+XEjfランダム実数って基礎論の概念じゃないの？。昔数セミに竹内外史が記事書いてた。
0242１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 09:40:30.87ID:m1S6Yidm普通より突っ込んだ基礎論は余り知らず、
ランダム実数が基礎論の概念かどうかまでは詳しく知らない。
0243現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 09:45:25.29ID:LkHxIaypおっちゃん、どうも。スレ主です。
>何らかの積分を構成して2つの相反する大小関係から矛盾に導いて示すことになる。
ああ、いまちらっと見た下記がそうだったね。この板では、積分記号が扱えないから、引用しないけど
https://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number
Sketch of a proof that e is transcendental
The first proof that the base of the natural logarithms, e, is transcendental dates from 1873. We will now follow the strategy of David Hilbert (1862?1943) who gave a simplification of the original proof of Charles Hermite. The idea is the following:
Assume, for purpose of finding a contradiction, that e is algebraic. Then there exists a finite set of integer coefficients c0, c1, ..., cn satisfying the equation:
おっちゃん、本格的やね！（＾＾；
0244１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 09:55:10.47ID:tj0iRPLO私は自分の能力のなさに絶望してもう数学やりたくなくなりました
0245現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 10:01:19.67ID:LkHxIayp解析的整数論
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E8%AB%96
解析的整数論
微積分や複素関数論等の解析学的手法を用いて問題に取り組む。この分野は初めて解析的な手法を系統的に数論に応用したディリクレに始まるとされる。
その弟子であるベルンハルト・リーマンによってすでにこの分野の（ひいては数論）の最大の未解決問題であるリーマン予想（1859年）が提示されたのは興味深い。
素数定理の証明（1896年）はこの分野の一里塚である。ゼータ関数、保型関数を研究するのもこの分野であって、超越数論とも関係が深い。
19世紀末から20世紀初頭
この時代には、アクサル・トゥエがディオファントス方程式の研究に重要な貢献をした。また、ダフィット・ヒルベルトは代数的整数論で貢献し、ウェアリングの問題の証明も行った。
ヘルマン・ミンコフスキーは幾何学的数論を創始した。他にも、アドルフ・フルヴィッツ、ヴァツワフ・シェルピニスキといった数学者が数論の発展に貢献している。
20世紀
20世紀の数論研究の有名人としては、略
20世紀の数論における大きな出来事として次のようなことが挙げられる。
1920年代には、高木貞治、エミール・アルティン（ドイツ語版、英語版）、フィリップ・フルトヴェングラーらが類体論を創始し、1930年代にヘルムート・ハッセやクロード・シュヴァレーが発展させた。
1940年代にアンドレ・ヴェイユがヴェイユ予想を発表し、バーナード・ドゥワーク、アレクサンドル・グロタンディーク、ピエール・ルネ・ドリーニュらがその証明に取り組んだ。
1961年の M. B. Barban の成果に基づき、1965年にエンリコ・ボンビエリらが「ボンビエリ＝ヴィノグラドフの定理 (en)」を定式化した。
1960年代後半にロバート・ラングランズがラングランズ・プログラムを提唱し、そこから他の数学者により様々な発展が得られた。
陳景潤の定理が1966年に発表され、1973年に証明された。
アンドリュー・ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明（1994年）。また、これと密接に関連する谷山・志村の定理は1999年、クリストフ・ブレイユ、ブライアン・コンラッド、フレッド・ダイアモンド、リチャード・テイラーによって証明された。
0246現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 10:07:03.97ID:LkHxIaypどうも。スレ主です。
>スレ主さんは数学に飽きたり数学がイヤになったりしませんか？
>私は自分の能力のなさに絶望してもう数学やりたくなくなりました
それもありなんじゃないかな？
0247現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 10:09:17.71ID:LkHxIayp>スレ主さんは数学に飽きたり数学がイヤになったりしませんか？
>私は自分の能力のなさに絶望してもう数学やりたくなくなりました
自分の於かれている立場によるけど
一つは、現代数学は、範囲が広がりすぎて、一人の人間が簡単に理解できる範囲を超えてしまったようなところがあるよね
0248現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 10:12:11.16ID:LkHxIaypその中で、いわゆるグロタンとかＷｉｔｔｅｎ先生とか
一瞬で全てを理解し見通す能力を持ったように見える、いわゆる天才と呼ばれる人たち
0249１３２人目の素数さん
2015/09/05(土) 10:12:47.23ID:tj0iRPLO自分の脳には線形代数より難しいものは理解できないみたいで
0250現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 10:16:22.64ID:LkHxIaypでも、よく考えてみると、世の中天才だけで成り立っているわけではないんだよね。当たり前だけど
世の中天才と、その一方で、天才を讃える多数の人たち、その両方が存在する必要がある
あなたに見えるのは、光を発している天才たちだろうが、実は世の中を成り立たせているのはその他大勢の天才を讃える多数の人たちなんだ
まず、この基本原理を理解するところから始めたらどうかな？
0251現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 10:26:26.40ID:LkHxIaypどうも。スレ主です。
”普通の代数学（群・環・体）の時点”か
ということは、数学科か
それはあるかも知れない
普通の代数学（群・環・体）というけれど、いまの（現代）テキストは、先を見て抽象化した難しい素材を盛り込んでいる場合が多い
昔のテキストは、もう少し素朴でね。代数方程式のガロア理論くらいが射程だったような
あんまり合わないと思ったら、別の選択肢もあるだろう。有名な小島先生がそうだったと言っている
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F%E5%B3%B6%E5%AF%9B%E4%B9%8B
小島寛之
東京都生まれ。東京大学理学部数学科卒業。中学生のときから数学者になることを夢見ていたが、東京大学院理学系研究科数学専攻(現数理科学研究科)大学院入試に3度落第し挫折[1]。
0252現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/09/05(土) 10:32:26.01ID:LkHxIayp気休めかも知れないが、こんなのがある
http://sohsa.hatenablog.com/entry/2014/06/22/205722
『数学でつまずくのはなぜか』 小島寛之 ブックレビュー 20140622
数学って、学生時代からちょっと苦手…っていう人、多いのではないでしょうか。
特に私みたいに根っからの文系人間って、たいがい高校時代に数学や物理に挫折して、文系に進んだというパターンでは？（えっ、やっぱり私だけですか、そんな意気地なしの人生を歩んできたのは…。）
そんな数学に対する挫折が、いったいどこから始まったのか、ターニングポイントはどこだったのか。この本で、そんな過去の自分をちょっと振り返ってみました。
数学でつまずくのはなぜか (講談社現代新書)
作者: 小島寛之
出版社/メーカー: 講談社
発売日: 2008/01/18
メディア: 新書
いやあ、なるほど。そこで道に迷ったのか。
そんなことをこの本はちゃんと教えてくれました。そして、道に迷わない方法も、わかりやすく丁寧に。
しかし、そこは数学の本。だんだん後半に進むに従って少しずつ内容は難しくはなっていきますが、それでも筋道が明らかだから、読み手としては何となく「なるほど」と腑に落ちる感があります。
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています