旧スレ534つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%92%B0
ユークリッド環

動機付け

整数全体の成す集合 Z に自然な演算として加法 + と乗法 ? を考える。よく知られた整数に対する長除法は、Z における次の事実に強く依拠したものである：

除法の原理
「整数 a と 0 でない整数 b が与えられたとき、a = q?b + r を満たす整数の対 q および r が存在して、さらにそのようなものの中に r = 0 または |r| < |b| を満たすものが取れる」

a および b が正である場合のみを考えることにすれば、r と b に関する制約条件は、単に「r = 0 または r < b」と表すことができる。

各元に加法単位元 0 からの「距離」を導く（「次数」や「賦値」などとも呼ばれる）ある種のノルム[1] d を備えた環としてのユークリッド環の概念が導かれる。
そうして、制約条件「r = 0 または r < b」を「r = 0 または d(r) < d(b)」で置き換わる。