質問です。
いま整数 a,b,c (a != 0) とある素数 p が与えられており
　(1)　y^2 = ax^4 + bx^2 + c
が Q_p 上で局所解をもつかどうか判定したいとします（実際に解を求める必要はありません）。
mwrank という楕円曲線に関するプログラムのソースを読んでいたら、このとき（おそらく計算量削減のため）
Hilbert symbol (・,・)_p を使って (a,b^2-4ac)_p の値をまず調べ、この値が -1 であれば (1) は解なしとしていました。
Hilbert symbol (・,・)_p = { 1, -1 }は
　(2)　ax^2 + (b^2 - 4ac)y^2 = z^2
が Q_p 上で (0,0,0) 以外の解をもつかどうか（もてば +1, もたなければ -1）を表していると思うのですが、
(1) と (2) の関連性が分かりません。
b^2-4ac 自体は (1) の右辺の四次式の判別式 Δ = 16ac(b^2-4ac)^2 に現れるので重要な値だとは思うのですが……。
どなたかご教示いただければ助かります。

* 一応自分でも hilbert symbol を実装して確認してみたのですが、
* 　(a,b^2-4ac)_p = -1　=>　(1) は整数解なし
* は成り立っているようです。