>>453 >>454
ε<sという条件が抜けてました.

一応, 教科書の内容を記述しますと
「有理数体Qの部分集合 A={x in Q | x>0, x^2<2} は上に有界であるがQの中には
　s=sup A 存在しない. このような s in Q が存在したと仮定して矛盾が生ずることを示す.
　s>0 だから s>s-ε>0 となる ε>0 を取れば, 上限の性質からa in Aが存在して 0 < s-ε < a
　となるから (s-ε)^2<a^2<2である. ここでε>0 は任意だから s^2 <= 2となる. ....」

上で「x in Q」はxという要素が集合Qに含まれることを意味する記号としてinを使いました.